Biến đổi zak và một số ứng dụng

Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng Biến đổi zak và một số ứng dụng

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THANH

BIẾN ĐỔI ZAK VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS BÙI KIÊN CƯỜNG

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

LỜI CÁM ƠN

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại Học SưPhạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của TS Bùi Kiên Cường,người đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báutrong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn Tác giả xinbầy tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với Thầy

Xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội

2, Phòng Sau đại học, khoa toán và tổ giải tích cùng các quý Thầy Cô đãtạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình caohọc và hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các bạn trong lớp K16 Toán Giải tíchđợt 2 đã giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành tốt luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Phương Thanh

Tôi xin cam đoan luận văn Biến đổi Zak và một số ứng dụng làkết quả học tập và nghiên cứu của riêng tôi Đó là kết quả của sự tìm tòi,tổng hợp từ các tài liệu tham khảo dưới sự hướng dẫn của TS Bùi KiênCường Những tài liệu tham khảo trong luận văn đã được chỉ rõ nguồngốc Luận văn chưa được công bố trên bất kì phương tiện thông tin nào.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Phương Thanh

R: Tập hợp các số thực

C: Tập hợp các số phức

z: số phức liên hợp của số phức z

C∞(Ω): Không gian các hàm khả vi vô hạn trong Ω

kf kp: Chuẩn trong không gian Lp(Ω)

Lp: không gian các hàm đo được Lebesgue có chuẩn Lp hữu hạn.sup pf: Giá của hàm f ∈ Lp(Ω)

ϕα(x): Là hàm Gauss với ϕα(x) = e−πx2/α

C0∞(Ω): Không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω

Vgf: Biến đổi Fourier thời gian ngắn của hàm f đối với hàm cửa sổ g

X[a,b] : Hàm đặc trưng trên [a, b]

F−1(f ) : Biến đổi fourier ngược của hàm f

Txf : Phép tịnh tiến theo x của hàm f và Txf (t) = f (t − x)

Mωf : Sự điều biến theo w của hàm f và Mωf (t) = e2πiω.tf (t)

Mở đầu 7

1 Kiến thức chuẩn bị 9 1.1 Chuỗi Fourier 9

1.2 Một số không gian hàm 11

1.3 Giải tích thời gian- tần số 13

1.3.1 Hàm cửa sổ 14

1.3.2 Cửa sổ thời gian - tần số của biến đổi Fourier thời gian ngắn 16

1.4 Khung Gabor 17

1.4.1 Lý thuyết khung 17

1.4.2 Khung Gabor 22

2 Biến đổi Zak 24 2.1 Định nghĩa và một số tính chất 24

2.2 Một số ứng dụng đơn giản 35

2.2.1 Phương trình sai phân cấp 1 35

2.2.2 Dãy số Fibonacci 36

2.2.3 Phương trình sai phân cấp 2 36

2.2.4 Nghiệm tuần hoàn 37

2.2.5 Phương trình sai phân cấp 2 không thuần nhất 38

2.2.6 Đa thức chebyshev 38

3 Ứng dụng biến đổi Zak trong giải tích thời gian- tần số 40 3.1 Mở rộng định nghĩa biến đổi Zak 40

3.1.1 Định nghĩa 40

3.1.2 Tính chất 40

3.2 Ứng dụng trong lý thuyết khung Gabor 46

5

Kết luận 50

1 Lý do chọn đề tài

Biến đổi Zak là một mở rộng của biến đổi Laplace rời rạc và ChuỗiFourier Nó có nhiều tính chất đẹp, hữu ích và được phát hiện nhiều ởnhững lĩnh vực rất khác nhau, chẳng hạn trong giải hệ phương trình saiphân (W Hurewicz, 1947) Nó cũng được gọi là ánh xạ Weil-Brezin, vàGauss đã tìm ra một số tính chất của nó Biến đổi Zak cũng được Gel’fand,

J Zak phát hiện ra nó một cách độc lập và nghiên cứu nó có hệ thống,lần đầu tiên cho các ứng dụng trong vật lý trạng thái rắn, sau đó có nhiềuứng dụng rộng lớn Một bài báo thú vị có hướng ứng dụng trong giải tíchtín hiệu là Janssen (1988), từ đây đánh dấu những ứng dụng vào giải tíchthời gian – tần số Trong giải tích thời gian – tần số, biến đổi Zak cungcấp một công cụ thuận tiện cho một giải pháp đối xứng hơn của hệ Gabor.Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về biến đổi Zak và những ứng dụng của

nó, dưới sự hướng dẫn của TS Bùi Kiên Cường tôi lựa chọn đề tài "Biếnđổi Zak và một số ứng dụng" làm luận văn tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu

+ Nắm được các dạng của biến đổi Zak và những tính chất của nó.+ Hệ thống hóa những kết quả và ứng dụng cơ bản của biến đổi Zaktrong một số lĩnh vực

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày tổng quan về biến đổi Zak và những ứng dụng cơ bản củabiến đổi này trong giải phương trình sai phân, trong giải tích thời gian –tần số

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Giải tích thời gian – tần số, khung Gabor, biếnđổi Zak.

+ Hệ thống hóa những kết quả và ứng dụng cơ bản của biến đổi Zaktrong một số lĩnh vực

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Sử dụng các kiến thức và phương pháp của giải tích hàm để tiếp cậnvấn đề

+ Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bàibáo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập đến

6 Đóng góp của luận văn

Luận văn là một công trình nghiên cứu tổng quan về biến đổi Zak vàmột số ứng dụng trong giải tích thời gian - tần số, trong đó, tác giả làmchi tiết hơn một số tính chất đã nêu trong các tài liệu tham khảo

Định nghĩa 1.1 Giả sử f ∈ L2(Td) Ta định nghĩa fˆbởi công thức

với sự hội tụ như một khai triển trực chuẩn và ta có:

f (n)b

A[0, 1]d

... data-page="24">

Biến đổi Zak< /h2>

2.1 Định nghĩa số tính chất

Định nghĩa 2.1 Biến đổi Zak, ký hiệu Z dãy {f (n)} hàm

F (z) biến phức z xác định

Như vậy, Z biến đổi tuyến... 35

2.2 Một số ứng dụng đơn giản

Trong mục này, xét số ví dụ ứng dụng biến đổi

Z phương trình sai phân hữu hạn

2.2.1 Phương... thời gian- tần số< /h3>

Mặc dù biến đổi Fourier có nhiều ứng dụng lĩnh vực khácnhau, lại trở nên khơng thực thỏa đáng cần phân tích địaphương kết hợp miền thời gian miền tần số tín hiệu cần