Một số ứng dụng của định lí pascal và định lí brianchon trong hình học sơ cấp

nhau theo thứ thự α, β, γ.Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác P QR tạo bởi ba cạnhkhông kề nhau của một lục giác với các cát tuyến CβB, DEα, γF Aba cạnh còn lại ta lần lượt có: Nhân từ

KHOA TOÁN

TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON

TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI - 2015

KHOA TOÁN

TRẦN ĐẶNG QUỲNH ANH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL VÀ ĐỊNH LÝ BRIANCHON

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thạc sĩ NGUYỄN THỊTRÀ, người đã tận tình giúp đỡ, chỉ bảo và cung cấp cho tôi nhữngkiến thức nền tảng để tôi hoàn thành bài khóa luận này Cô cũng làngười đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trongsuốt thời gian được làm việc cùng cô.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại KhoaToán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các thầy, cô khác đã trựctiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyênmôn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu và năng lực bảnthân còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, tôi rấtmong nhận được những ý kiến đóng góp từ các thầy cô, các bạn sinhviên để khóa luận của tôi được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn

Tôi xin cam đoan những nội dung mà tôi trình bày trong khóaluận này là kết quả quá trình nghiên cứu nghiêm túc của bản thândưới sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo, đặc biệt là

cô NGUYỄN THỊ TRÀ

Mở đầu 1

Nội dung chính 3

Chương 1: Lý thuyết chuẩn bị 4 1.1 Định lý Pascal 4

1.1.1 Định lý Pascal 4

1.1.2 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Pascal 5

1.2 Định lý Brianchon 8

1.2.1 Định lý Brianchon (Đối ngẫu của định lý Pascal) 8 1.2.2 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Brianchon 8 Chương 2: Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon 11 2.1 Ứng dụng của định lý Pascal 11

2.2 Ứng dụng của định lý Brianchon 26

Kết luận 35

Tài liệu tham khảo 36

1 Lý do chọn đề tài

Toán học nói chung và hình học nói riêng có tầm quan trọng đặcbiệt đối với những môn khoa học khác Đồng thời, hình học còn giúpchúng ta có một phương pháp suy luận, phương pháp giải và sáng tạomột số bài toán thuộc chương trình phổ thông

Những bài toán về đường tròn được sử dụng phương pháp chứngminh bằng Pascal và Brianchon trong hình học sơ cấp đều là nhữngbài toán rất hay

Vì vậy trong đề tài này tôi cũng cố gắng đưa vào chứng minh sơcấp của hai định lý Đồng thời nêu lên cách giải của một lớp các bàitoán đẹp ứng dụng chúng

• Biết cách thể hiện những hiểu biết của mình

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống lý thuyết, phân loại và đưa ra bài tập chi tiết liên quanđến Định lý Pascal - Định lý Brianchon

4 Đối tượng - Phạm vi nghiên cứu

- Định lý Pascal - Định lý Brianchon và những ứng dụng có liên quan

- Các tài liệu tham khảo do cá nhân tự tìm hiểu và thu thập thêm

1 Tên đề tài

Một số ứng dụng của định lý Pascal và định lý Brianchon

2 Kết cấu của nội dung

3 Phương pháp nghiên cứu

• Thu thập, tra cứu, phân tích tài liệu

• Nghiên cứu hệ thống kiến thức của hình học sơ cấp và hìnhhọc xạ ảnh

• Tham khảo tài liệu, đào sâu suy nghĩ tìm ra cách giải quyếtmột số vấn đề

nhau theo thứ thự α, β, γ.

Áp dụng định lý Menelaus vào tam giác P QR tạo bởi ba cạnhkhông kề nhau của một lục giác với các cát tuyến CβB, DEα, γF A(ba cạnh còn lại) ta lần lượt có:

Nhân từng vế ba đẳng thức sau này với nhau và để ý rằng:

AP BP = F P EP (phương tích của điểm P đối với vòng trònngoại tiếp),

AQ.BQ = CQ.DQ (phương tích của điểm Q đối với vòng trònngoại tiếp),

CR.DR = ER.F R (phương tích của điểm R đối với vòng trònngoại tiếp),

Chú ý Định lý áp dụng cho mọi lục giác nội tiếp không cần giảthiết là lục giác lồi

1.1.2 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Pascal

• Ngũ giác nội tiếp đường tròn:

Giả sử ABCDEF là một lục giác nội tiếp Ta hãy hình dung một

đỉnh nào đó, F chẳng hạn, chạy trên vòng tròn đến trùng với mộtđỉnh khác, thí dụ là điểm A Lúc đó lục giác trở thành một ngũgiác (nội tiếp) và cạnh F A trở thành tiếp tuyến ở A với vòng trònngoại tiếp và ta có định lý sau:

Định lý 1.1.2 Trong một ngũ giác nội tiếp hai cặp cạnh không

kề nhau nào đó cắt nhau (nếu có) tại hai điểm thẳng hàng với giaođiểm của cạnh thứ năm với tiếp tuyến tại đỉnh đối diện

Tương tự như trên, ta có thể áp dụng định lý Pascal vào các tứgiác, tam giác nội tiếp bằng cách xem những hình đó như nhữnglục giác có hai hay ba cặp đỉnh trùng nhau và thay cạnh nối haiđỉnh trùng nhau bằng tiếp tuyến tại điểm trùng với hai đỉnh đó.Bằng cách đó, ta có thể phát biểu định lý như sau:

• Tứ giác nội tiếp đường tròn:

Định lý 1.1.3 Trong một tứ giác nội tiếp, hai cặp cạnh đối diện

và hai cặp tiếp tuyến ở các cặp đỉnh đối diện giao nhau (nếu có)theo bốn điểm thẳng hàng

• Tam giác nội tiếp đường tròn:

Định lý 1.1.4 Ba cạnh của một tam giác cắt ba tiếp tuyến vớiđường tròn ngoại tiếp tại đỉnh đối diện (nếu có) theo ba điểm thẳnghàng.

Định lý Brianchon1.2 Định lý Brianchon

1.2.1 Định lý Brianchon (Đối ngẫu của định lý Pascal)

Định lý 1.2.1 Các đường thẳng nối các đỉnh đối diện của một lụcgiác ngoại tiếp với một vòng tròn đồng quy tại một điểm

1.2.2 Một số trường hợp đặc biệt của định lý Brianchon

Cũng như đổi với định lý Pascal ta có thể áp dụng định lý anchon vào các ngũ giác, tứ giác, tam giác ngoại tiếp bằng cách coinhững hình này như những lục giác ngoại tiếp đặc biệt có một, haihoặc ba cặp cạnh trùng nhau Thí dụ ta hãy hình dung tiếp điểm A1chạy trên vòng tròn đến trùng với điểm B1 để cạnh F A đến trùng vớicạnh AB Lúc đó ta có một ngũ giác ABCDE ngoại tiếp có tính chấtsau:

Bri-• Ngũ giác ngoại tiếp đường tròn:

Hai đường nối hai cặp đỉnh không kề nhau nào đó cắt nhau tạimột điểm thẳng hàng với đỉnh thứ năm và tiếp điểm của cạnh đối

diện với đỉnh này.

Theo đó ta có thể phát hiện thêm những tính chất mới của tứ giác,tam giác ngoại tiếp như sau:

• Tứ giác ngoại tiếp đường tròn:

Nếu một hình tứ giác ngoại tiếp một đường tròn thì các đường nốicác đỉnh đối diện và các đường nối các tiếp điểm trên các cạnh đốidiện đồng quy

• Tam giác ngoại tiếp đường tròn:

Nếu một hình tam giác ngoại tiếp một đường tròn thì ba đườngnối mỗi đỉnh với tiếp điểm trên mỗi cạnh đối diện là ba đườngđồng quy

Chứng minh rằng: MQ, NR, PS đồng quy.

Bài giải

• Vì A0, B0, C0 lần lượt là các điểm chính giữa của các cung BC, AC,

AB nên AA0, BB0, CC0 theo thứ tự là các đường phân giác củagóc BAC,\ ABC,\ ACB Suy ra I = AA\ 0∩ BB0∩ CC0 (do ba đườngphân giác đồng quy)

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm C, C0, A0, B0, B, A ta có:

Bài tập 2.1.2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) Gọi

M là điểm nào đó trên cạnh AC (M 6= A, C) Đường thẳng BM cắtđường tròn lần nữa tại N Đường thẳng qua A vuông góc với AB vàđường thẳng quan N vuông góc với NC cắt nhau tại điểm Q

Chứng minh rằng QM luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyểntrên cạnh AC

CE ∩ BD = O;

EN ∩ DA = Q;

N B ∩ AC = M Suy ra ba điểm O, M, Q thẳng hàng

Vậy QM luôn đi qua một điểm cố định là O (đpcm)

Bài tập 2.1.3 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) và 3 điểm

M, N, P cùng thuộc đường thẳng (d) AM, BM, CM cắt lại (O) tươngứng ở A1, B1, C1; A1N, B1N, C1N cắt lại (O) tương ứng ở A2, B2, C2;

A1N , B1N , C1N cắt lại (O) tương ứng ở A3, B3, C3

Chứng minh rằng: AA3, BB3, CC3, (d) đồng quy

Bài giải

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, A1, A3, C, C1, C3 ta có:

CC1 ∩ AA1 = M ;

C1A3 ∩ C3A1 = Q;

CC3 ∩ AA3 = S0

Để chứng minh bài toán trên, trước hết ta chứng minh bổ đề sau:

"Cho đường tròn (O) với dây cung AB Một đường tròn (I)tiếp xúctrong với (O) và tiếp xúc với AB lần lượt tại M, N Khi đó M N điqua điểm chính giữa cung AB không chứa M của (O)"

Ta có: Vì I là tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC nên CI là tia phângiác \ACB, CI ∩ (O) = F Suy ra F là trung điểm dây cung AB nên

C, I, F thẳng hàng

Áp dụng bổ đề trên ta cũng có S, M, F thẳng hàng suy ra SM, CI

và (O) đồng quy tại điểm F

+ Tương tự ta có: BI là tia phân giác ABC, E = BI ∩ (O) nên\

E là trung điểm dây cung AC Suy ra 3 điểm B, I, E thẳng hàng

Áp dụng bổ đề trên ta cũng có S, N, E thẳng hàng nên SN, BI, (O)đồng quy tại điểm E

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm F, C, A, B, E, S ta có:

F C ∩ BE = I;

CA ∩ ES = N ;

AB ∩ SF = M Vậy ba điểm M, I, N thẳng hàng hay M N luôn đi qua một điểm

cố định là I

Bài tập 2.1.5 Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp (O) Tiếp tuyếncủa (O) tại A cắt CD ở S BS cắt lại đường tròn ở T.

Chứng minh rằng CT, SO và AD đồng quy

Bài giải

Gọi I = CT ∩ AD, (d) là tiếp tuyến với đường tròn tại A

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, B, C, D, T, A ta có:

AC ∩ BD = O;

AD ∩ CT = I;

(d) ∩ CD = S

Suy ra 3 điểm S, I, O thẳng hàng

Hay CT, SO, AD đồng quy (đpcm)

Bài tập 2.1.6 Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đườngtròn (O) Kẻ đường kính AD của đường tròn, S là 1 điểm di động trênđường tròn SB cắt AC ở M, SD cắt BC ở N

Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định

Bài giải

Giả sử BM, AN cắt (O) tương ứng ở S, I, tiếp tuyến của (O) tại

C cắt SI ở T

+ Vì ∆ABC là ∆ cân tại A nên BAD =\ CAD hay cung BD =\

CD

⇒ SN là tia phân giác BSC.[

+ Vì vậy BSCI là tứ giác điều hòa nên SI, tiếp tuyến tại B, Ccủa (O) đồng quy (Hay T là giao điểm của 2 tiếp tuyến tại B, C của(O) nên T cố định)

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, B, C, C, S, I ta có:

AC ∩ BS = M ;

BC ∩ AI = N ;

SI ∩ CT = T

Suy ra 3 điểm M, N, T thẳng hàng (đpcm)

Bài tập 2.1.7 Cho tam giác ABC và điểm S thuộc cạnh BC Trên cáctia AB, AC lấy tương ứng các điểm M, N sao choAM C =\ 1

2ASC,[ AN B =\1

2ASB Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.[

Chứng minh rằng: IS⊥BC

Bài giải

Giả sử N B, M C cắt đường tròn (I) tại H và K

HK cắt tiếp tuyến tại A của (I) ở V

Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm A, A, H, K, M, N ta có:

+ Vì AIV =[ ASV (cùng chắn cung AV).[

⇒ Tứ giác AISV là tứ giác nội tiếp nên:

Xét cực và đối cực với (O).

Gọi I, J, K lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng (HM, P Q),(M N, QR), (N P, RS)

Áp dụng định lý Pascal cho lục giác nội tiếp M N P QRS ta có

I, J, K thẳng hàng

Ta có các đường đối cực của I, J, K lần lượt là AD, BE, CF nên

AD, BE, CF đồng quy

Như vậy ta có điều phải chứng minh

Bài tập 2.1.9 Cho hình vuông ABCD ngoại tiếp (O) Tiếp điểm (O)trên AB, BC, CD, DA lần lượt là M, N, P, Q Một điểm S nằm trên

cung nhỏ PN của (O) Tiếp tuyến của (O) tại S cắt BC, CD lần lượttại H, K.

Bài tập 2.1.10 Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F cùng thuộc một đườngtròn (O) sao cho ABCD là hình chữ nhật Giả sử EF cắt AB, CD lầnlượt ở P, Q; BE cắt AF ờ H; CE cắt DF ở K.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1 Cho đường tròn tâm (O) đường kính EF Lấy hai điểm

N, P trên đường thẳng EF sao cho ON = OP Từ điểm M nào đóbên trong đường tròn mà không thuộc EF , kẻ đường thẳng M N cắtđường tròn tại A và C, đường thẳng M P cắt đường tròn tại B và Dsao cho B và O nằm khác phía đối với AC Gọi K là giao điểm của

OB và AC, Q là giao điểm của EF và CD

Chứng minh rẳng các đường thẳng KQ, BD và AO đồng quy

Bài 2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) Mộtđường thẳng đi qua O cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại M, N Gọi

I, J, K lần lượt là trung điểm của CM, BN, M N

Chứng minh bốn điểm I, J, K, O nằm trên một đường tròn

Bài 3 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và một điểm

S trong mặt phẳng AS, BS, CS cắt lại (O) tương ứng ở D, E, F Mộtđường thẳng (d) qua S cắt BC, CA, AB lần lượt tại M, N, P

Chứng minh rằng DM, EN, F P và đường tròn (O) đồng quy

Bài 4 Một đường tròn cắt các cạnh BC, CA, AB của tam giácABC lần lượt tại D1, D2; E1, E2; F1, F2 D1E1 cắt D2F2 ở L; E1F1 cắt

E2D2 ở M ; F1D1 cắt F2E2 ở N

Chứng minh rằng AL, BM và CN đồng quy

Bài 5 Cho tam giác ABC không cần nội tiếp đường tròn tâm(O) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

Chứng minh rằng các đường tròn (AOM ), (BON ), (COP ) có hai điểmchung

2.2 Ứng dụng của định lý Brianchon

Bài tập 2.2.1 Cho tam giác ABC với (I) là đường tròn nội tiếp.Tiếp điểm của (I) trên BC, CA, AB lần lượt là D, E, F Gọi M, N, Plần lượt là điểm chung của các cặp đường thẳng (EF,BC), (DF,CA),(DE,AB)

Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng

Bài giải

* Xét cực và đối cực đối với (I)

Vì AI là phân giác góc A, mà ∆AEF cân tại A ⇒ AI⊥EF

Áp dụng định lý Brianchon ta có: AD, BE, CF đồng quy tại S

Dễ thấy rằng đường đối cực của M đi qua D nên suy ra đườngđối cực của M là AD

Hoàn toàn tương tự ta cũng có: đường đối cực của N là BE vàđường đối cực của P là CF

Vì ba đường AD, BE, CF đồng quy nên có M, N, P thẳng hàng

Bài tập 2.2.2 Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với

BC, CA, AB lầ lượt là D, E, F Đường tròn nội tiếp tam giác DEFtiếp xúc với EF, FD, DE lần lượt là M, P, N

Chứng minh rằng: AM, BP, CN đồng quy

Theo bài toán [2.2.1] thì H, K, L thẳng hàng (*)

+ Áp dụng định Brianchon đối với ∆DEF nội tiếp đường tròn(I) ta có DM, EN, F P đồng quy nên H, M, F, E thẳng hàng

Do đó M thuộc đường đối cực của (H) đối với (O)

Mặt khác: E, F lần lượt là tiếp điểm của các đường tiếp tuyến

AC và AB đối với (O) suy ra OA⊥EF Do đó A thuộc đường đối cựccủa H đối với (O) nên ta có AM là đường đối cực của H đối với (O)(1)

Tương tự ta có:

• BP là đường đối cực của K đối với (O) (2)

• CN là đường đối cực của L đối với (O) (3).

Do ED là đường đối cực của M đối với (O) nên M, N, P, Q thẳnghàng.

Bài tập 2.2.4 Cho đường tròn (S) và hai điểm I, J trên nó Lấy 2điểm A, B lần lượt nằm trên tiếp tuyến (S) tại I, J Vẽ AC và BD tiếpxúc với (S) lần lượt tại C và D Kí hiệu P = ID ∩ AC, Q = J C ∩ BD.Chứng minh rằng: P Q ∩ AB ∈ IJ

• Sáu đường AC, AC, AI, BD, BD, BJ tiếp xúc với (S) nên áp dụngđịnh lý Brianchon ta có ba đường CD, AB và đường thẳng nối haiđiểm IA∩BD và AC ∩BJ đồng quy Suy ra ba đường IJ, CD, ABđồng quy (2)

Từ (1) và (2) suy ra P Q, AB, IJ đồng quy hay P Q ∩ AB thuộc IJ Bài tập 2.2.5 Hãy dựng thêm tiếp tuyến của đường tròn (S) biết nămtiếp tuyến thuộc (S)

Bài giảiGiả sử (S) có năm tiếp tuyến a1, a2, a3, a4, a5 Ta cần dựng thêmtiếp tuyến a6 của (S).

Vậy ta đã dựng được tiếp tuyến a6 ∈ S.

Bài tập 2.2.6 Hãy dựng thêm tiếp tuyến của đường tròn (S) biết bốntiếp tuyến thuộc (S)

Bài giảiGiả sử ta dựng được bốn tiếp tuyến a, b, c, d và M là tiếp điểmcủa a Ta cần dựng tiếp tuyến e của (S)

+ Cách dựng:

• Bước 1: Dựng p qua (M, c ∩ d)

• Bước 2: Trên p lấy O bất kỳ

• Bước 3: Dựng q qua (O, a ∩ b), r qua (O, b ∩ c)

• Bước 4: Khi đó, e = (a ∩ r, d ∩ q) là tiếp tuyến cần dựng

Do p, q, r đồng quy nên theo định lý Brianchon, ngũ giác này nộitiếp một đường tròn (S0) nào đó; mà qua bốn đường thẳng a, b, c, d và

1 tiếp điểm M của a có duy nhất 1 đường tròn (S) nên S ≡ S0

Vậy e là tiếp tuyến của (S)

Bài tập 2.2.7 Hãy dựng thêm tiếp tuyến của đường tròn (S) biết batiếp tuyến của (S) và hai tiếp điểm của a, b (a, b là hai tiếp tuyến của(S))

Bài giảiGiả sử A, B, C ∈ (S), tiếp tuyến a đi qua A và tiếp tuyến b đi qua

B Ta cần dựng d của (S)

+Cách dựng:

• Bước 1: Dựng p qua (A), b ∩ c;

• Bước 2: Trên p lấy điểm O bất kỳ;

• Bước 3: Dựng q qua B, O, r = (O);

• Bước 4: Khi đó đường thẳng cần dựng là d = (a ∩ q, c ∩ r)

Suy ra D ∈ (S).

Vậy ta đã dựng được tiếp tuyến (d) của (S)

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) M, N lần lượt là trungđiểm của AB, CD (ABN ) cắt CD ở P , (CDM ) cắt AB ở Q

Chứng minh rằng AC, P Q, BD đồng quy

Bài 2 Cho parabol (G) tiếp xúc với ba cạnh của tam giác ABC

cố định Chứng minh rằng: mỗi đường thẳng nối hai điểm thuộc haicạnh cho trước đều đi qua một điểm cố định, ba đường thẳng nối mỗiđỉnh với tiếp điểm thuộc cạnh đối diện đồng quy tại điểm E Tìm quỹtích điểm E

Bài 3 Cho elip (G) và tam giác ABC có các cạnh AB, BC, CAtiếp xúc với (G) lần lượt tại các điểm M, N, L

Chứng minh rằng [ABM ].[BCN ].[CAL] = −1

Bài 4 Cho parabol (G) và tam giác AC có các cạnh tiếp xúc với(G).Từ B kẻ đường thẳng b0 song song với AC Đặt H và K là haigiao điểm của b; với (G) Đặt L là giao điểm của hai tiếp tuyến tại H

và K của (G)

Chứng minh rằng: LA song song với BC còn LC song song với AB

Bài 5 Trong mặt phẳng afin cho (H) với hai đường tiệm cận a

và b Cho bốn điểm A, B, C, D nằm trên (H) Gọi a0 là đường thẳng

đi qua A và song song với a, b0 là đường thẳng đi qua B và song songvới b Đường thẳng AC ∩ b0 = P, BD ∩ a0 = Q Chứng minhh rằng:

P Q//CD