một số ứng dụng của đại số tuyến tính

Bằng những điều trên đã tiếp sức cho tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp “ Một Số Ứng Dụng Của Đại Số Tuyến Tính” Lời đầu tiên tôi xin cám ơn thầy Trang Văn Dể - người luôn quan tâm, giú

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

MSSV:1100034 Lớp: SP Toán K36

Cần Thơ, 2014

LỜI CÁM ƠN

Trong suốt quá trình học tập tại Trường Đại Học Cần Thơ, tôi đã nhận được rất nhiều sự chỉ dẫn, quan tâm của các thầy cô cùng sự giúp đỡ, san sẽ của gia đình bạn bè và các anh, chị khóa trước Bằng những điều trên đã tiếp sức cho tôi

hoàn thành luận văn tốt nghiệp “ Một Số Ứng Dụng Của Đại Số Tuyến Tính”

Lời đầu tiên tôi xin cám ơn thầy Trang Văn Dể - người luôn quan tâm, giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp Thầy sẵn sàng giúp đỡ khi tôi gặp khó khăn cả về kiến thức và cách thức để có thể hoàn thành luận văn Tôi xin cám ơn quý thầy cô Bộ môn Sư phạm Toán- Khoa Sư Phạm – Trường Đại Học Cần Thơ vì quý thầy cô đã cung cấp cho tôi các kiến thức quan trọng, cần thiết thông qua các học phần của chương trình đào tạo Đó là nền tảng giúp cho tôi thực hiện hoàn tất luận văn tốt nghiệp như ngày hôm nay

Một điều quan trọng là trường học – Trường Đại Học Cần Thơ đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi học tập (trung tâm học liệu , thư viện các khoa, máy tính…) Cám ơn tất cả các bạn đã đóng góp ý kiến cũng như các tài liệu tham khảo cùng với sự động viên Điều đó giúp tôi có thể vượt qua nhiều khó khăn

Tuy luận văn đã được hoàn tất nhưng tôi biết nó vẫn còn nhiều thiếu sót cần bổ sung và chỉnh sửa Kính mong quý thầy cô và toàn thể các bạn có thể đóng góp ý kiến để luận văn có thể hoàn thiện hơn

Xin chân thành cám ơn!

MỤC LỤC

LỜI CÁM ƠN 2

MỤC LỤC 3

PHẦN MỞ ĐẦU 5

Chương 1 TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ SỞ 6

1.1 Ma trận 6

1.1.1 Định nghĩa 6

1.1.2 Các định nghĩa 6

1.2 Các phép toán trên ma trận 6

1.2.1 Phép cộng các ma trận 6

a Định nghĩa 6

b Các tính chất của phép cộng ma trận 7

1.2.2 Phép nhân đại lượng vô hướng với ma trận 7

a Định nghĩa 7

b Các tính chất 7

1.2.3 Phép nhân hai ma trận 7

a Định nghĩa 7

b Các tính chất 7

1.3 Ma trận khả nghịch 8

1.3.1 Định nghĩa 8

1.3.1 Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo nhờ các phép biến đổi sơ cấp 8

1.4 Định thức 8

1.4.1Định nghĩa phép thế 8

1.4.2 Định nghĩa định thức 8

1.4.3 Công thức khai triển định thức 8

1.4.4 Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp 9

1.5 Hạng của ma trận 9

1.5.1 Định nghĩa 9

1.5.2 Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp 10

1.6 Hệ phương trình tuyến tính 10

1.6.1 Định nghĩa 10

1.6.2 Phương pháp khử Gauss 10

a Định lý: 10

b Phương pháp khử Gauss 11

c Định lý 11

1.6.3 Hệ Cramer 12

1.6.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 12

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 13

2.1 Ứng dụng trong các ngành Hóa- Sinh 13

2.1.1 Ứng dụng trong lĩnh vực Hóa- Sinh học 13

2.1.2 Đường thẳng bình phương tối tiểu 19

a Định nghĩa 19

b Định lý 20

c Ví dụ minh họa 22

2.2 Ứng dụng trong vật lý 23

2.2.1 Xác định phương trình tổng quát của các đường cônic trong mặt phẳng (Parapol, Hyperbol, Elip, các suy biến của đường cong) 23

a Bài toán tổng quát 23

b Một vài ví dụ 24

2.2.2 Ứng dụng trong bài toán tìm cường độ dòng điện của mạch điện 26

a Sơ lượt kiến thức về mạch điện 26

b Một vài ví dụ 29

2.3 Ứng dụng trong kinh tế 31

2.3.1 Bài toán hạch toán giá thành 31

2.3.2 Bài toán xác định nhu cầu vốn 32

2.3.3 Bài toán lập kế hoạch sản xuất 35

2.3.4 Xích Markov 38

a Khái niệm ma trận ngẫu nhiên 39

b Khái niệm xích Markov 42

2.3.5 Một vài ứng dụng thông thường 45

2.3.6 Mô hình cân bằng thị trường 49

a Thị trường một loại hàng hóa 49

b Thị trường nhiều hàng hóa liên quan 50

2.3.7 Mô hình Input- output Leontief 51

PHỤ LỤC 57

PHẦN KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

PHẦN MỞ ĐẦU

Toán học là một trong các lĩnh vực quan trọng trong cuộc sống Tuy nhiên nhiều người vẫn cho rằng toán là một môn học mang tính khô khan Có nhiều câu hỏi đặt ra: Học toán để làm gì? Những kiến thức đã học có ứng dụng vào thực tế cuộc sống không? Ứng dụng của nó ở đâu? ,…Những câu hỏi đó xuất hiện nhiều hơn khi tôi tiếp cận với các môn học về toán cao cấp, đặc biệt khi biết đại số tuyến tính lại được đưa vào chương trình đào tạo của rất nhiều ngành Đó cũng

chính là lí do tôi chọn đề tài “ Một số ứng dụng của đại số tuyến tính”

Đề tài chủ yếu tìm hiểu về ứng dụng của đại số tuyến tính không chỉ trong lĩnh vực toán học mà còn trong các lĩnh vực: kinh tế, hóa học, sinh học và vật lí Trên thực tế đã có rất nhiều tài liệu về “Đại số tuyến tính” kể cả trong nước và ngoài nước Phần lớn các tài liệu viết về cơ sở lí thuyết và hệ thống bài tập mang tính áp dụng Một phần trong số đó có đưa ra ứng dụng của đại số tuyến tính đặc biệt trong lĩnh vực kinh tế Tuy nhiên vẫn chưa tìm được tài liệu tổng hợp lại ứng dụng của đại số tuyến tính ở các lĩnh vực trong cuộc sống Do thời gian và trình

độ kiến thức còn nhiều hạn chế nên luận văn này chỉ tập trung tìm hiểu, tổng hợp ứng dụng của đại số tuyến tính trong một số lĩnh vực như trên

Chương 1 TÓM TẮT KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Ma trận 1.1.1 Định nghĩa

Cho m, n là các số nguyên dương Ma trận A cấp m  n trên trường K là một

bảng chữ nhật gồm m  n phần tử trong K được viết thành m dòng và n cột sau :

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

2 22

21

1 12

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

2 22

21

1 12

11

Trong đó a ij (với mọi i=1,…, m; j= 1, …, n) là phần tử vị trí (i, j) của A

Kí hiệu : A  a ij mn hoặc A  a ij hoặc A Aij

Nhận xét : Nếu  R thì ma trận AMmn  gọi là ma trận thực, còn nếu C

a

 Nếu a ij  0 với mọi i=1,…, m; j=1, …, n thì A gọi là ma trận không Kí

hiệu O

 Nếu m=n thì ma trận A gọi là ma trận vuông cấp n trên trường K Các

phần tử a11,a22, ,a nnđược gọi là các phần tử chéo của A Các phần tử này nằm trên đường chéo của hình vuông mà ta gọi là đường chéo chính của A Đường chéo còn lại là đường chéo phụ Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp

n trên trường K được kí hiệu là Mn 

 Ma trận A được gọi là ma trận đơn vị nếu A có các phần tử chéo

a Định nghĩa

Cho A,BMmn  Tổng của A và B, kí hiệu A+B, là ma trận cấp n trên K

được xác định như sau

ABij  A ij B ij với mọi i=1, 2, …, m ; j=1, 2, …, n

A M và r  Tích vô hướng của r với A, kí hiệu là rA, là

một ma trận thuộc Mmn  được xác định bởi

c

1Nhận xét

Tích của hai ma trận A với ma trận B tồn tại khi số cột của A bằng với số dòng của B

Với hai ma trận A, B  Mn  thì tích AB và BA đều tồn tại, nhưng nói chung AB  BA

1.3 Ma trận khả nghịch 1.3.1 Định nghĩa

Cho ma trận AMn  Ma trận A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận BMn 

Sao cho AB = BA =In

Ma trận B được gọi là ma trận nghịch đảo của A Kí hiệu là A-1

1.3.1 Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo nhờ các phép biến đổi sơ cấp

Cho A là ma trận vuông cấp n trường K n2 Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A ta tiến hành các bước sau :

Bước 1 : Lập ma trận chia khối A In cấp n 2 n trên K bằng cách ghép thêm bên phải của ma trận A ma trận đơn vị In

Bước 2 : Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng đưa A In về dạng A'B

trong đó A’ là ma trận bậc thang dòng rút gọn Khi đó :  Nếu A'  In thì A khả nghịch và A -1  B

 Nếu A' In (tức là A' có ít nhất một dòng không) thì A không khả nghịch

1.4 Định thức 1.4.1Định nghĩa phép thế

Mỗi song ánh từ tập {1, 2, …, n} (n là số nguyên dương) vào chính nó được gọi là phép thế bậc n Tập hợp các phép thế bậc n được kí hiệu là S n

Dễ thấy Sn có đúng n ! phép thế Nếu  Snthì ta thường biểu thị  dưới dạng ma trận cấp 2 n :

n

2 1

2 2 1

1 1

sign detA

1.4.3 Công thức khai triển định thức

Bổ đề Cho A  a ij  Mn K Nếu tồn tại i, j sao cho a jk = 0, với mọi

k

j  thì

detA=(-1)i+j a ijMij, trong đó Mij là định thức cấp n-1 nhận được từ A bằng cách

a

1 j A detA , với mọi p= 1, 2, 3, …, n





n iq iq a

1 i

AdetA , với mọi q= 1, 2, 3, …, n

9 8 7

6 5 4 -

3 2 1

5 4 3 1 9 7

6 4 2 1 9 8

6 5 1 1

A   1     12     13   

Ta cũng tính được định thức của ma trận A bằng cách khai triển theo dòng

2 hoặc dòng 3 Ví dụ khai triển theo dòng 3 như sau

5 4

2 1 9 1 6 4

3 1 8 1 6 5

3 2 7 1

1.4.4 Tính định thức bằng các phép biến đổi sơ cấp

Phương pháp này dựa trên các tính chất sau :

 Nếu ma trận có một dòng (cột) bằng 0 thì định thức sẽ bằng 0

 Đổi chỗ hai dòng (cột) cho nhau thì định thức sẽ đổi dấu

 Nhân một đại lượng vô hướng vào một dòng (cột) nào đó thì định thức phải nhân thêm với chính đại lượng vô hướng đó

 Cộng vào một dòng (cột) nào đó với một bội của dòng (cột) khác thì định thức sẽ không đổi

Bằng các phép biến đổi này sẽ giúp ta tính định thức được đơn giản hơn

1.5 Hạng của ma trận 1.5.1 Định nghĩa

Cho AMmn  Hạng của A, ký hiệu là rankA hay r(A), là số nguyên r

không âm thỏa mãn các điều kiện sau:

 Nếu A= O thì r = 0

 Nếu A  Othì r chính là số nguyên dương lớn nhất sao cho A có định thức con cấp r khác 0

1.5.2 Tìm hạng của ma trận bằng các phép biến đổi sơ cấp

Để tìm hạng của ma trận A  Mmn  \{O} (m,n 2 trước hết ta dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng (tương ứng, cột) đưa ma trận A về ma trận bậc thang dòng (tương ứng, cột) B Khi đó hạng của A chính là số dòng (tương ứng, cột) khác không của B

1.6 Hệ phương trình tuyến tính 1.6.1 Định nghĩa

Một hệ phương trình tuyến tính trên trường K, là hệ gồm m phương trình, mỗi hệ phương trình gồm n ẩn có dạng

m

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

2 2 1 1

1 1

2 12 1 11

Trong đó a ijK (gọi là các hệ số) và b iK(gọi là các hệ số tự do) là các

phần tử cho trước, còn các x i là các ẩn

1.6.2 Phương pháp khử Gauss

a Định lý:

Cho hai hệ gồm m phương trình tuyến tính n ẩn trên trường K có ma trận bổ

sung lần lượt là AAB,A'A'B'khi đó nếu A' nhận được từ A bởi hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng thì hai hệ phương trình trên có cùng một nghiệm

a'1 1 '2 2   '  ' với mọi i (1.1)

Thật vậy, do u 0 là nghiệm của AX=B nên

i n in i

Do  là một phép biến đổi sơ cấp dòng nên ta có các trường hợp sau:  Nếu  là phép biến đổi 1 (d  i d j với i  j) thì (1.1) hiển nhiên đúng

 Nếu  là phép biến đổi 2 (d  i rd j , với r  \{0}) thì từ (1.2) ta suy ra

i

n in i

i

n in i

i n in i

i

b

c a c

a c a r

c ra c

ra c ra c a c

a c a

'

'

' '

'

' '

2 2 1 1

2 2 1 1 2

2 1 1

i n in i

i

b rb b c a c

a r c a c

a

c ra a c

ra a c a c

a c a

'

'

' '

1 1 1

1

1 1 1 2

2 1 1

k n kn k

Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa ma trận bổ sung Avề dạng ma trận bậc thang dòng Từ ma trận bậc thang dòng này, chúng ta dễ dàng giải hệ phương trình đã cho.Trong khi dùng các phép biến đổi dòng trên ma trận bổ sung ta cần chú ý đến một số vấn đề sau:

 Nếu ta thấy có một dòng i nào đó là dòng không thì ta bỏ dòng i đó

 Nếu ta thấy hai dòng bằng nhau hoặc tỉ lệ nhau thì ta bỏ đi một dòng

 Nếu thấy một dòng có dạng 00 0a với a khác 0 thì kết luận ngay

phương trình đã cho vô nghiệm mà không cần biến đổi tiếp

c Định lý Nếu A AB là ma trận bổ sung của hệ phương trình AX=B thì r A r Ahoặc r A  r A  1 Hơn nữa

 Nếu r A  r A  1 thì hệ vô nghiệm

 Nếu r A r A n thì hệ có nghiệm duy nhất

Nếu r A r A rn thì hệ có nghiệm phụ thuộc vào n-r tham số

1.6.3 Hệ Cramer

Định nghĩa:

Hệ phương trình tuyến tính gồm n phương trình, n ẩn được gọi là hệ

Gramer nếu và chỉ nếu ma trận hệ số của nó là ma trận không suy biến (định thức khác 0)

n

n n

b x a x

a x a

b x a x

a x a

2 2 1 1

1 1

2 12 1 11

Luôn luôn có nghiệm duy nhất cho bởi

1.6.4 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX=O có ít nhất một nghiệm là nghiệm tầm thường Vấn đề đặt ra là khi nào hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có nghiệm không tầm thường Dựa vào phương pháp khử Gauss ta có

Mệnh đề: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX=O AMm n   có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn

Hệ quả: Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất

Trong đó ma trận A  Mn  Khi đó

 Hệ (1.1) có nghiệm duy nhất là nghiệm tầm thường khi và chỉ khi A  0

 Hệ (1.1) có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi A  0

Chương 2 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

2.1 Ứng dụng trong các ngành Hóa- Sinh 2.1.1 Ứng dụng trong lĩnh vực Hóa- Sinh học

Ta thường gặp các tình huống trong thực tế yêu cầu chúng ta giải quyết các vấn đề đề dựa trên các thông tin đã biết Điều đó đã gây cho chúng ta không ít khó khăn Để gỉảm bớt những khó khăn đó các nhà toán học đã xem những vấn

đề cần tìm là các biến số và các thông tin đã biết ghép lại thành các mối quan hệ giữa các biến số, đưa đến một cách giải quyết mới đó là giải hệ phương trình với biến là cái ta cần tìm Cách này đã giúp cho hầu hết các ngành giải quyết các vấn

đề được đơn giản hơn

Ví dụ 1 Dung dịch thứ nhất chứa H2SO4 10%, dung dịch thứ nhì chứa H2SO430% và dung dịch thứ ba chứa H2SO4 50% Tính thể tích mỗi dung dịch được dùng để pha trộn thành 100 lit dung dịch H2SO4 25%

Giải Gọi x1, x2, x3 lần lượt là thể tích (l) của dung dịch thứ nhất, thứ nhì và thứ ba

Để thu được 100 lit dung dịch H2SO4 25% chúng ta phải có:

, 0 3 , 0 1 , 0

100 3 2

1

3 2

1

x x

x

x x

1 1 1

1 0 1

Hệ phương trình ứng với ma trận này là

25 3 2

3 1

x x

x x

Chúng ta viết lại hệ phương trình này

3 1

2 75

25

x x

x x

Vì x2  0 nên 75 - 2x3  0 , suy rax3 37 , 5Vậy x1 25x3,x2 752x3,0 x337,5

Một số nghiệm được liệt kê trong bảng sau:

Ví dụ 2 Một bác sĩ dinh dưỡng sắp xếp một chế độ ăn đặc biệt gồm 3 thức ăn

Chế độ ăn cần 340 đơn vị canxi, 180 đơn vị sắt và 220 đơn vị vitamin A Số đơn

vị của canxi, sắt và vitamin A trong 1 kilogram của mỗi thức ăn được cho trong bảng sau:

Số đơn vị trong 1 kilogram Thức ăn I Thức ăn II Thức ăn III

Tính trọng lượng mỗi thức ăn dùng trong một chế độ ăn

Giải Gọi x1, x2, x3 lần lượt là trọng lượng (kg) của các thức ăn I, II, III

30 10

180 20

10 10

340 20

10 30

3 2 1

3 2 1

3 2 1

x x x

x x x

x x x

Ma trận bổ sung của hệ phương trình này là

20 30 10

20 10 10

20 10 30

Dạng rút gọn bậc thang của ma trận này là

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất là 8,2,4

Vậy có 8 kilogram thức ăn I, 2 kilogram thức ăn II và 4 kilogram thức ăn III cần cho chế độ ăn

Ví dụ 3 Trong một thí nghiệm, Gregor Mendel đã lai những cây đậu dị hợp tử

vàng tròn (vàng và tròn là những tính trạng trội) và những cây đậu cũng chứa những gen mang đặc tính lặn màu xanh và nhăn thu được 560 hạt đậu của các loại được trình bài trong ma trận

Tròn Nhăn

A 32 108

101 319

124 370

225 689 36

110

124 370

32 108

101 319

B AChúng ta tính

18 , 0 57 , 0

1200

68 1200

218

1200

225 1200

689 68

218

225 689 1200

1 B A 1200 1

Ví dụ 4 Một nhà dinh dưỡng học trộn lẫn 2 ngũ cốc thành các hỗn hợp khác

nhau Trọng lượng protein, hydrat cacbon và chất béo ( theo số gram của mỗi kilogram) trong mỗi loại ngũ cốc được cho bởi ma trận A Trọng lượng của mỗi ngũ cốc đã dùng cho ba hỗn hợp được cho bởi ma trận B

A 1g 2g

15g 18g

2g 4g

II I

4kg

12kg 15kg

Vàng Xanh

Ngũ cốc Ngũ cốc

Hỗn hợp X Hỗn hợp Y Hỗn hợp Z

Protein Hydrat cacbon Chất béo

Ngũ cốc I Ngũ cốc II

b) Tìm cỡ của AB c) Tìm AB và ý nghĩa của nó

Giải a) Bằng cách tính   72

4

16 2

336 345 348

64 70 72

8 5 4

12 15 16 1 2

15 18

2 4 A.B

Z Y X

Các phần tử trong AB trình bày trọng lượng của protein, hydrat cacbon và chất béo trong các hỗn hợp Ví dụ trọng lượng của hydrat cacbon trong hỗn hợp

Y là 345g

Ví dụ 5 Dịch cúm xảy ra trong một thành phố Mỗi người dân trong thành phố

hoặc ốm, hoặc khỏe mạnh hoặc mang mầm bệnh Tỉ lệ người ta trong mỗi loại như sau:

Tuổi

A 1 , 0 1 , 0 2 , 0

4 , 0 3 , 0 2 , 0

5 , 0 6 , 0 6 , 0

30 trên 30 15 15 0

000 52 000 50

000 32 000 30

Giải a)

Protein Hydrat cacbon Chất béo

Khỏe

Ốm Mang mầm bệnh

Nam Nữ

0-15 15-30 Trên 30

000 52 000 50

000 32 000 30

1 , 0 1

, 0 2 , 0

4 , 0 3 , 0 2 , 0

5 , 0 6 , 0 6 , 0 AB

900 66 000 61

200 107 000 98

b) Dựa vào câu a ta có 61 000 nam ốm c) Dựa vào câu a ta có 22 900 nữ mang mầm bệnh

Ví dụ 6 Có hai nhóm tuổi đối với các sinh vật thuộc loại T Nhóm I gồm tất cả

các sinh vật dưới 1 năm tuổi, nhóm II gồm tất cả các sinh vật có từ 1 đến 2 năm tuổi Không có sinh vật nào sống quá 2 năm Trung bình mỗi thành viên của nhóm I sinh 1 con trong khi mỗi thành viên của nhóm II sinh 2 con Mỗi năm

5

4của nhóm I sống sót để chuyển thành nhóm II

a) Gọi x và y lần lượt là số ban đầu của các sinh vật trong nhóm I và II, a và

b lần lượt là số sinh vật trong nhóm I và nhóm II sau một năm

Viết phương trình ma trận biểu diễn mối quan hệ giữa 

b) Giả sử ban đầu có 500 000 sinh vật trong nhóm I và 300 000 sinh vật trong nhóm II Tính số sinh vật trong mỗi nhóm sau 1 năm và sau 2 năm

c) Giả sử rằng vào một thời điểm nào đó có 800 000 sinh vật trong nhóm I và

600 000 sinh vật trong nhóm II Xác định số lượng mỗi nhóm trước đó một năm

a y x

5 4 2

Hệ phương trình này có thể được viết

x

0 5 4

2 1

Đây là phương trình ma trận biểu diễn mối quan hệ giữa 

b) Chúng ta tính

Nam Nữ

Khỏe

Ốm Mang mầm bệnh

2 1

000 100 1 000 300

000 500

000 900 1 000 400

000 100 1 0 5 4

2 1

Sau một năm : 1 100 000 trong nhóm I, 400 000 trong nhóm II Sau hai năm : 1 900 000 trong nhóm I, 880 000 trong nhóm II c) Để xác định số lượng của mỗi nhóm trước đó một năm, chúng ta giải phương trình ma trận

000 800 0

5 4

2 1

y x

2 1

5 2 1 4

5 0

000 750 000

600

000 800 8 / 5 2 / 1

4 / 5 0

y x

Trước đó 1 năm : 750 000 trong nhóm I, 375 000 trong nhóm II

Ví dụ 7 Một bác sĩ dinh dưỡng sắp xếp một bữa ăn có vitamin C, canxi và

ma-nhê-xi Ba thức ăn được dùng với số lượng và số lượng của chúng được đo bằng các đơn vị Chất dinh dưỡng có trong những thức ăn này và yêu cầu ăn kiêng được liệt kê sau đây:

Trọng lượng (mg) của các chất dinh dưỡng trong mỗi đơn vị của thức ăn

Chất dinh dưỡng Thức ăn I Thức ăn II Thức ăn III Tổng số các chất dinh

dưỡng được yêu cầu Vitamin C

Canxi Ma-nhê-xi

10 30

300 10

40 50

100 20

20 10

z y x

z y x

z y x

Hệ phương trình này có thể được viết dưới dạng phương trình ma trận

40 10 30

10 40 50

20 20 10

z y x

10 40 50

20 20 10

9 2 17

6 6 15 330 1

nên từ phương trình ma trận trong a) người ta suy ra

6 5 7

9 2 17

6 6 15 330 1

z y x

Hay

33

40 , 33

50 , 11

50 , 11

y 

Dữ liệu thực nghiệm thường cho ta mối liên hệ giữa hai yếu tố mà ta có thể biểu diễn thành các điểm x1;y1 , x2;y2, ,x n;y nmà khi vẽ đồ thị chúng dường như nằm trên cùng một đường thẳng yaxb nào đó Chúng ta cần xác định a,

b sao cho đường thẳng này nằm gần những điểm này nhất

Đường thẳng như vậy được gọi là đường thẳng bình phương tối tiểu

Chúng ta hãy xem đường thẳng y axb trong hình 2.1 Tương ứng với mỗi điểm x ; i y i có điểm x i;ax ib nằm trên đường thẳng Khi đó :

r1 2  là nhỏ nhất Các hệ số a, b của đường thẳng này được gọi là các hệ số

hồi qui tuyến tính

b Định lý Đường thẳng bình phương tối tiểu yaxb đối với những điểm x1;y1, x2;y2,

x ; n y n

, nhận được bằng cách giải hệ 2 phương trình 2 ẩn số a, b:

Y

* A AX

b a

1

Y , X , 1

1

1 x A

Hình 2.1

Ta có thể chứng minh hệ phương trình trên luôn có nghiệm duy nhất

n n n

n

n

n n n

n n

n

n n n

n n

n n n

n

y y

y bn

x x

x a

y x y

x y x x x

x b x x

x a

y y

y

y x y

x y x bn

x x

x a

x x

x b x x

x a

y y

y

y x y

x y x b

a n

x x

x

x x

x x

x x

y

y

y x x

x b a

x

x

x x x

1

1

11

11

1

2 1

2 1

2 2 1 1 2

1 2

2 2 2 1

2 1

2 2 1 1 2

1

2 1 2

2 2 2 1

2 1

2 2 1 1 2

1

2 1 2 2

2 2 1

2 1 2

1 2

1 2

n n

y y

y

y x y

x y x n

x x

x

x x

x x

x x

2 2 1 1 2

1

2 1 2 2

2 2 1

x x

x x

x x

x x

n

n n

2 1 2 2

2 2 1

Ta chứng minh định thức của ma trận trên khác 0 Xét

2 1 2 2

2 2

1 x x n x x x n x

Với n 2ta có 2x12 x22x1x22 x12 x22  2x1x2 x1x22  0Dấu bằng xảy ra khi x 1 x2(vô lí) vì x 1 x2

Với n 3ta có

2 2

2 2 2 2 3

2 3 2 2 3 1 2 2 1

3 2 3 1 2 1 2 3 2 2 2 1 2 3 2 1 2 3 2 2 2 1

x x x x x x x x x x

x x x x x

Dấu bằng xảy ra khi x1 x2 x3(vô lí) vì x1 x2  x3

Tương tự ta có

   

2

2 2 1 2 2

2 2 1

2 2

1 2 2

2 2 1

i k k

k i

n

i n

i k k k i n

n

n n

x x

x x x

x x x x

x n

x x

x x

x x n

Vậy det A  0  rank A  2 Vậy hệ luôn có nghiệm duy nhất

Đường thẳng bình phương tối tiểu có thể giúp ta dự đoán được các giá trị thực nghiệm một cách gần đúng từ đó giúp ta đề ra các phương pháp cũng như các giải pháp hợp lý trong quá trình làm việc

c Ví dụ minh họa

Ví dụ 8 Dữ liệu sau nói lên sự liên quan giữa số giờ mà thuốc có trong cơ thể và

nồng độ của nó có trong cơ thể

b) Hãy dự đoán nồng độ thuốc sau 5 giờ

Giải Ta xem số giờ là giá trị của các biến x i còn nồng độ thuốc là giá trị của các

biến y i khi đó ta được:

a X 1

8

1 6

1 4

1 2 A

Thay A, X, B vào hệ phương trình A*AXA*Y, ta được

27 40

20

20 120

0 , 1

4 , 1

6 , 1

1 , 2

1 1 1 1

8 6 4 2

1 8

1 6

1 4

1 2

1 1 1 1

8 6 4 2

b a

b a

Từ đây ta có được hệ phương trình

, 6 40 20

27 20 120

b

a b

a

b a

Vậy đường thẳng bình phương tối tiểu đối với dữ liệu này là:

5

12 40

7



y b) Thay x=5 vào phương trình đường thẳng bình phương tối tiểu ta được

y=1,5 Đó là nồng độ của thuốc dự đoán sau 5 giờ

2.2 Ứng dụng trong vật lý 2.2.1 Xác định phương trình tổng quát của các đường cônic trong mặt phẳng (Parapol, Hyperbol, Elip, các suy biến của đường cong)

a Bài toán tổng quát

Trong không gian Oxy xác định phương trình của đường cônic đi qua 5

điểm phân biệt Ax1;y1 ,B x2;y2 ,C x3;y3 ,D x4;y4 ,E x5;y5

Xây dựng bài toán Phương trình tổng quát của đường cônic có dạng

0

6 5 4 2 3 2 2

1x a xya y a xa ya 

Phương trình (2.1) có 6 hệ số, ta có thể giảm còn 5 hệ số bằng cách chia cho một hệ số khác 0 và như vậy đủ để xác định các hệ số của nó thông qua 5 điểm phân biệt trong mặt phẳng.

Vì A, B, C, D, E thuộc cônic nên ta có hệ phương trình

6 5

5 5

4 2

5 3 5 5 2 2 5 1

6 4

5 4

4 2

4 3 4 4 2 2 4 1

6 3

5 3

4 2

3 3 3

3 2 2 3 1

6 2 5 2

4 2

2 3 2

2 2 2 2 1

6 1

5 1

4 2

1 3 1 1 2 2 1 1

6 5

4 2

3 2

2 1

a y a x a y

a y x a x a

a y

a x

a y

a y x a x a

a y

a x

a y

a y x a x a

a y a x

a y

a y

x a x a

a y a x

a y

a y x a x a

a y

a x

a y

a xy

a x a

Để phương trình có nghiệm không tầm thường thì định thức của hệ phương trình tương ứng phải bằng 0

Từ đó ta có

1 1 1 1 1 1

5 5 2 5 5 5 2 5

4 4 2 4 4 4 2 4

3 3 2 3 3 3 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 1 1 1 2 1



y x y

y x x

y x y

y x x

y x y y x x

y x y y x x

y x y y x x

y x y xy x

1 2 2 2 4 2 4 8

1 0 3 0 0 9

1 0 3 0 0 9

1 6 0 36 0 0

1 2

2





y x y xy x

1 2 4 2 4 8

1 0 0 0

9

1 0 0 0 9

1 6 36 0 0

1 4 5 5 4 5

1 2 2 2 2 4 8

1 0 3 0 9

1 0 3 0 9

1 6 0 0 0

1 4 5 16 5

1 2 2 2 4 8

1 0 3 0 9

1 0 3 0 9

1 6 0 36 0

1 4 5 16 5 4

1 2 2 2 4 2 4

1 0 3 0 0

1 0 3 0 0

1 6 0 36 0

2 2

x y

xy x

4 5 16 5 4 5

2 2 2 4 2 4 8

0 3 0 0 9

0 3 0 0 9

6 0 36 0 0

1 5 16 5 4 5

1 2 2 4 2 4 8

1 3 0 0 9

1 3 0 0 9

1 0 36 0 0

1 2 2 2 4 2 4

1 0 3 0 0

1 0 3 0 0

1 6 0 36 0



4 5 16 5 4

2 2 2 4 2 4

0 3 0 0

6 0 36 0

1 4 16 5 4

1 2 4 2 4

1 0 0 0

1 6 36 0 3

2 4 2 4

6 36 0 3 4 16 5 4

2 4 2 4

6 36 0 3

1 2 2 2 4 8

1 0 3 0 9

1 0 3 0 9

1 6 0 36 0



1 4 5 5 4 5

1 2 2 2 2 4 8

1 0 3 0 9

1 0 3 0 9

1 6 0 0 0

1 2 4 2 4 8

1 0 0 0

9

1 0 0 0 9

1 6 36 0 0

1 5 16 5 4 5

1 2 2 4 2 4 8

1 3 0 0 9

1 3 0 0 9

1 0 36 0 0





 5 2

10368

4 5 16 5 4 5

2 2 2 4 2 4 8

0 3 0 0 9

0 3 0 0 9

6 0 36 0 0

Ví dụ 2 Một nhà thiên văn học muốn xác định quỹ đạo của một tiểu hành tinh hệ

mặt trời phải thiết lập hệ thống tọa độ Cartesian trong mặt phẳng quỹ đạo với mặt trời tại gốc Đơn vị thiên văn đo lường được sử dụng theo trục (1 đơn vị thiên văn bằng khoảng cách của trái đất với mặt trời bằng 93 triệu dặm) Theo quy luật của Kepler, quỹ đạo phải là một hình elip, do đó, các nhà thiên văn có năm quan sát các tiểu hành tinh tại 5 thời điểm khác nhau và tìm được 5 điểm dọc theo quỹ đạo là:

(8,025; 8,310) (20,170; 6,365) (11,202; 3,212) (10,736; 0,375) (9,092; -2,267)

Giải Áp dụng công thức (2.2) ta có phương trình quỹ đạo của tiểu hành tinh đó là:

0

1 267 , 2 092 , 9 139

, 5 612 , 20 664 , 82

1 375 , 0 735 , 10 141

, 0 026 , 4 262 , 115

1 212 , 3 202 , 11 317 , 10 981 , 35 485 , 125

1 355 , 6 170 , 10 386 , 40 630 , 64 429 , 103

1 310 , 8 025 , 8 056 , 69 688 , 66 401 , 66

1 2

y xy

x

Vậy phương trình quỹ đạo của tiểu hành tinh cần tìm là:

0 375 , 17109 998

, 1427 443

, 2476 029

, 446 895

, 102 802

,

2.2.2 Ứng dụng trong bài toán tìm cường độ dòng điện của mạch điện

a Sơ lượt kiến thức về mạch điện

Đây là sơ đồ mạch điện mô tả việc xảy ra ở một số kết nối giữa pin, xe và đèn Đây là một điển hình của sơ đồ này

Chúng ta có thể xem điện ra khỏi một đầu của pin (6V hoặc 12 V), chạy qua các dây (vẽ như đường thẳng để sơ đồ dễ đọc hơn) và quay trở lại đầu kia của pin Nếu trong quá trình này từ một đầu của pin chạy qua các thiết bị khác của mạng điện thông qua các dây dẫn như dòng điện chạy qua bóng đèn (được vẽ

là vòng tròn bao quanh các dây điện) sau đó là đèn sáng Ví dụ khi ta điều khiển phanh tại điểm A sau đó chuyển đổi tiếp xúc và dòng điện chạy qua đèn phanh ở điểm B

Sự phân tích mạng điện đầy đủ các thành phần này là phức tạp Ví dụ tính

ra bao nhiêu điện được sử dụng khi cả đèn pha và đèn phanh thì chúng ta cần phải có một số công cụ hệ thống Một công cụ như vậy là hệ thống tuyến tính

Để minh họa cho ứng dụng này đầu tiên chúng ta cần một vài kiến thức về điện và mạng điện

Hai kiến thức mà chúng ta cần quan tâm về điện, các thành phần điện hoạt động như thế nào Đầu tiên pin giống như một máy bom điện nó cung cấp một năng lượng hay đẩy để điện chạy nếu có ít nhất một con đường có sẵn cho nó Thứ hai chúng ta cần biết rõ về vật liệu cấu tạo nên các thiết bị điện và độ mạnh của dòng điện tỉ lệ thuận với lực đẩy

Đối với mỗi thành phần điện có một hằng số tỉ lệ gọi là điện trở của nó Một số đơn vị trong mạng điện: Hiệu điện thế (U) có đơn vị Volt (V), cường độ dòng điện (I) đơn vị là Ampere (A), điện trở (R) đơn vị là ohm () Ta

ON OFF

P hanh A

Công tắt đèn

P hanh

Đèn chiếu sáng

Ví dụ 3 Giả sử bóng đèn có điện trở là 25  Hệ thống điện kết nối với pin 12 V Vậy ta có cường độ dòng điện trong hệ thống là  A

Định luật K1: Tại một nút bất kì (ngã rẽ) nào trong mạch điện tổng cường

độ dòng điện chạy đến nút bằng tổng cường độ dòng điện từ nút chạy ra Hay tổng giá trị đại số của dòng điện tại một nút bằng 0

Định luật K2: Tổng giá trị điện áp dọc theo một vòng bằng 0

(Trong mạch điện trên điện áp chỉ được tăng ở pin, nhưng một mạch có nhiều hơn một sự gia tăng)

Quy ước dấu cho điện áp:

 Nếu chiều dòng điện gặp cực dương trước thì mang dấu (-), gặp cực âm trước thì mang dấu (+)

 Nếu chiều của dòng điện cùng với chiều quy ước thì mang dấu (+), ngược chiều quy ước thì mang dấu (-)

Chúng ta có thể sử các định luật trên cho một phân tích đơn giản của mạch điện gồm 3 thành phần bên dưới (các thành phần đó có thể là bóng đèn hoặc các thành phần khác) Các thành phần được nối như vậy được gọi là trong một vòng kín

Theo định luật K2: Vì nguồn điện trong mạch là 20V, do đó tổng điện áp xung quanh bằng 20V Tổng điện trở trong mạch này là 10(xem điện trở của dây dẫn là không đáng kể) Chúng tanhận được cường độ dòng điện trong mạch

b Một vài ví dụ

Ví dụ 4 Hệ thống tuyến tính sẽ xuất hiện trong mạch điện bên dưới Trong sơ đồ

dưới đây một trong hai điện trở không nằm trong vòng kín Hai điện trở này song song với nhau Sơ đồ điện này có nét giống sơ đồ chiếu sáng của xe Tuy nhiên

nó đơn giản hơn sơ đồ chiếu sáng của xe

Chúng ta bắt đầu gọi tên cho các nhánh của mạch Gọi dòng điện ra khỏi

pin và qua dây dẫn là i0, dòng điện qua nhánh bên trái của mạch là i1, dòng điện

qua nhánh bên phải là i2, dòng điện chạy qua dây cuối trở về pin là i3 (Chú ý: trong lúc gọi tên không cần biết hướng của dòng điện thực tế Chúng ta chỉ cần chọn ngẫu nhiên một hướng để thiết lập một quy ước dấu cho các phương trình)

Trong sơ đồ trên i0 được tách thành i1 và i2 Áp dụng định luật K1 ta có 0

2

1 i i

i   Tương tự ta có i1i2 i3 Xét vòng kín từ pin qua nhánh bên trái và trở lại pin Theo định luật K2 ta có 2012.i10 Tương tự ta có 20 i8.2 0 Trong mạch chỉ vòng quanh các nhánh bên trái và bên phải ta có 8i2 12i1  0

20 8

20 12

0 0

2 1 2 1

3 2 1

2 1 0

i i i i

i i i

i i i

Giải phương trình trên ta được nghiệm

 A i  A i  A i  A i

6

25

; 2

5

; 3

5

; 6

25

3 2

1

Ta có thể tìm ra các nghiệm mà không cần đến quá nhiều phương trình Luật Kirchhoff có thể được sử dụng để thiết lập các tính chất điện của mạng lưới điện phức tạp hơn, lớn hơn

Ví dụ 5 Trong mạch điện dưới đây có 5 điện trở có sự kết hợp của các mạch

song song và các vòng kín Nó được gọi là mạch kín song song

Một mạch điện như vậy được gọi là cầu Wheatstone Nó sử dụng điện trở của các dán nhãn ở một vị trí nào đó ví dụ ở nhánh có vị trí 5, và các vị trí khác để có thể tính được cường độ dòng điện cụ thể của các nhánh Để phân tích

ta thiết lập hướng như sau

2  10V