Giáo án ôn thi THPT quốc gia Toán CHỦ đề PHƯƠNG TRÌNH mặt cầu

Mục tiêu: * Kiến thức: - Hệ thống lại kiến thức cơ bản về mặt cầu - Rèn luyện cho học sinh giải các bài tập đơn giản về phương trình mặt cầu như: Tìm tọa độ tâm và tính bán kính, xác địn

1 Mục tiêu:

* Kiến thức:

- Hệ thống lại kiến thức cơ bản về mặt cầu

- Rèn luyện cho học sinh giải các bài tập đơn giản về phương trình mặt cầu như: Tìm tọa

độ tâm và tính bán kính, xác định vị trí tương đối của điểm và mặt cầu, viết phương trình mặt cầu trong một số trường hợp đơn giản

* Kỷ năng: Học sinh phải biết giải các dạng toán cơ bản sau:

- Nhận dạng phương trình mặt cầu

- Xác định tọa độ tâm và tính bán kính mặt cầu

- Xác định vị trí tương đối của điểm, của mặt phẳng với mặt cầu

- Biết viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau: Biết tâm và bán kính, biết tâm

và đi qua một điểm, đường kính, biết tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng

2 Các dạng toán cơ bản:

- Xác định tọa độ tâm và tính bán kính mặt cầu

- Xác định vị trí tương đối của điểm, của mặt phẳng với mặt cầu

- Viết phương trình mặt cầu

3 Thời gian: 3 tiết

4 Tiến trình thực hiện:

Tiết 1:

I Lý thuyết:

+ Phương trình mặt cầu ( )S tâm I a b c( ; ; ) bán kính R là:

( ) : (S x a )  (y b)  (z c) R (1)

+ Nếu mặt cầu ( ) : (S x a )2 (y b)2 (z c)2 R2 thì tâm I a b c( ; ; ) và bán kính R

GV: Hướng dẫn hs cách ghi nhớ và yêu cầu hs nhớ công thức (1)

+ Xét phương trình : x2y2 z2 2ax2by2cz d 0 (2)

Điều kiện để phương trình (2) là phương trình mặt cầu là a2   b2 c2 d 0 Khi đó pt (2) là mặt cầu tâm I a b c(  ; ; ) và bán kính R a2  b2 c2 d

GV: Không cần giải thích và sao lại có điều kiện , tâm, bán kính Chỉ yêu cầu hs nhớ cách tìm tọa độ tâm và công thức bán kính

II Bài tập :

Dạng 1: Xác định tọa độ tâm và tính bán kính mặt cầu.

Hoạt động 1:

Ví dụ 1: Xác định tọa độ tâm và tính bán kính mặt cầu sau:

1) (x1)2 (y 2)2 (z 3)2 9

2) (x1)2 (y 2)2 (z 4)2 7

GV: Hướng dẫn hs dùng công thức (1) để xác định

GV: Chú ý các sai lầm các em thường gặp như: Sai dấu tọa độ tâm, không khai căn bán kính …

Hoạt động 2:

Bài tập 1: Xác định tọa độ tâm và tính bán kính mặt cầu sau:

1) (x1)2 (y 2)2 (z 3)2 4

2) (x3)2 (y 5)2 (z 3)2 25

3) x2 (y 2)2 (z 3)2 8

( ) (z 7) 25

2

GV: Gọi học sinh đứng tại chổ trả lời ý 1 và 2

GV: Hướng dẫn hs làm ý 3, 4

GV: Chốt lại kiến thức cần nhớ và chú ý cho các em một số sai lầm hay mắc phải

Hoạt động 3:

Ví dụ 2: Xác định tọa độ tâm và tính bán kính mặt cầu sau:

1) x2y2 z2 2x4y6z 2 0

2) 2x22y22z24x4y  8z 5 0

GV: Hướng dẫn hs như sau:

+ Đối chiếu với phương trình (2) ta có :

(1; 2; 3)

I

�   �  

GV: Chú ý hs sai ở dấu các hệ số a b c, , , hướng dẫn hs dùng máy tính để tính R

GV: Hướng dẫn hs chia hai vế cho 2 và quy trình như ý 1

GV: Chốt lại kỷ thuật nhớ dựa vào dấu của hệ số a b c, ,

Bài tập 2: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:

1) x2y2 z2 4x4y6z 7 0

2) 2x22y22z22x4y6z 5 0

3) 3x23y23z26x12y6z 8 0

Hoạt động 4 :

GV: Cho hs làm một số câu hỏi TNKQ

Câu 1 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) ( 2)2 ( 1)2 2 5









tâm I của mặt cầu:

A.I(-2;1;0) B.I(2;-1;0) C.I(2;1;0) D.(-2;-1;0)

Câu 2 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S):(x 5)2 (y2)2 (z 7)2 6 Tìm tọa đọ tâm I của (S):

A.I(5;2;7) B.I(5;-2;7) C.I(5;-2;-7) D.I(-5;2;7)

Câu 3 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S):(x3)2 (y 2)2 z2 5 Tìm bán kính mặt cầu (S):

A R=5 B.R=25 C.R= 5 D.R= 5

Tìm tọa độ tâm I của mặt cầu:

A.I(1;-2;3) B.I(-1;2;-3) C.I(1;2;-3) D.I(-1;-2;-3)

Câu 5 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S):x2 y2 z2  8x 2y10 Tìm bán kính mặt cầu (S):

A.R=-4 B.R=4 C.R=16 D.R=18

Câu 6 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x2 y2 z2 2x4y 2z19

.Tìm tọa độ tâm và bán kính mặt cầu

A.I(1;-2;-1) R=4 B.I(-1;2;-1) R=4

C.I(1;-2;1) R=5 D.I(-1;2;-1) R=5

Tiết 2:

I Lý thuyết:

+ Cho mặt cầu ( ) : (S x a )2 (y b)2 (z c)2 R2 (1), tâm I a b c( ; ; ) , bán kính R và điểm

0 0 0

( ; ; )

- Nếu d R thì M�( )S

- Nếu d R suy ra M nằm ngoài ( )S

- d R suy ra M nằm trong ( )S

+ Phương trình mặt cầu ( )S tâm I a b c( ; ; ) bán kính R là:

( ) : (S x a )  (y b)  (z c) R (1)

+ Mặt cầu đường kính AB có tâm là trung điểm I của AB và bán kính

2

AB

II Bài tập :

Dạng 2: Xác định vị trí tương đối của điểm và mặt cầu.

Hoạt động 1:

Ví dụ 1: Xác định vị trí tương đối của điểm M(1; 2;3) và mặt cầu

( ) : (S x2)  (y 1)  (z 4) 7

GV: Yêu cầu hs xác định tâm và tính bán kính, tính IM

GV: Gọi hs so sánh IM và R

GV: Gọi hs kết luận

Bài tập 1: Cho mặt cầu ( ) : (S x1)2 (y 1)2 (z 2)2 16 Xác định vị trí tương đối của các điểm sau với mặt cầu ( )S

a) M1(0, 1;1)

b) M2(6, 1;1)

c) M2(1, 1; 2)

GV: Gọi 3 hs lên bảng thực hiện

GV: Kết luận bài làm của hs

GV: Chốt lại dạng toán này và hướng dần hs dùng chức năng CALC trên máy tính cầm

tay để kiểm tra điểm có thuộc mặt cầu hay không

Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu biết tâm I a b c( ; ; ) và bán kính R

Hoạt động 2:

Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; 3;5) và bán kính R4

GV: Yêu cầu hs dùng công thức (1) để làm

GV: Nhắc các sai sót hay gặp, đặc biệt dấu các hệ số và quên bình phương R

Bài tập 2: Viết phương trình mặt cầu tâm I , bán kính R trong các trường hợp sau: 1) Tâm I(0;0; 2),R4

2) Tâm I( 1;5; 2), R2

3) Tâm (2; ; 3),1 5

2

GV: Yêu cầu hs đứng tại chổ làm ý 1, lên bảng làm ý 2, 3

GV: Kết luận

Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB

Hoạt động 3:

* Viết phương trình mặt cầu đường kính AB

+ Giáo viên nêu phương pháp:

Bước 1: Tìm tâm I là trung điểm của AB

Bước 2: Tính

2

AB

Bước 3: Áp dụng công thức (1) để giải

GV: Hs có thể quên công thức tính tọa độ trung điểm và độ dài của đoạn thẳng vì thế gv nên nhắc lại cho các em trước khi làm

Ví dụ 3: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB biết A(1;3;5), ( 3;1; 1)B  

GV: Gọi hs tìm tâm I

GV Gọi hs tính R và thay vào công thức (1)

GV: Kết luận

Bài tập 3: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB biết:

1) A(2;3; 1), (0;1; 3) B 

2) A( 2;3;1), (2;1; 5) B 

3) A(1;5; 1), (2;1; 3) B 

Hoạt động 4:

Câu 1 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S):(x 1)2 (y2)2(z 3)2 17

.Trong số các điểm sau điểm nào thuộc thuộc mặt cầu (S):

A D(3;0;0) B.(2;2;2) C.(3;2;1) D.(0;3;2)

Câu 2 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x2y2 z2 6x2y30.Trong các điểm sau điểm nào thuộc mặt cầu (S)

A.Q(2;2;0) B.Q(0;-1;0) C.Q(-3;-2;0) D.(-1;2;2)

Câu 3 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 2 điểm A(1; 2;3), B(5;4;7) Viết phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính

A.(x 1) 2 (y 2)2 (z 3)2 17 B (x 3) 2 (y 1)2 (z 5)2 17

C.(x 5) 2 (y 4)2 (z 7)2 17 D.(x 6) 2 (y 2)2 (z 10)2 17

phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính

(x 2)   y (z 3) 3 B (x 2) 2  y2 (z 3)2  3

C (x 2) 2  y2 (z 3)2 9 D (x 2) 2  y2 (z 3)2 3

Câu 5 Cho điểm A(1; 2;3) và mặt cầu ( )S :(x 3) 2 (y 2)2 (z 1)2 100

A Điểm A nằm trên mặt cầu ( )S

B Điểm A trùng với tâm I của mặt cầu( )S

B Điểm A nằm trong mặt cầu ( )S

C Điểm A nằm ngoài mặt cầu ( )S

D Điểm A nằm trong mặt cầu

Câu 6 Cho mặt cầu (S) có tâm I(1;0;-2) có bán kính bằng 2 có phương trình là:

A.(x1)2y2 (z 2)2 2 B.(x1)2y2 (z 2)2 2

C.(x1)2y2 (z 2)2 4 D.(x1)2y2 (z 2)2 4

Tiết 3:

I Lý thuyết:

+ Viết phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A

+ Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P

GV: Nêu ngắn gọn phương pháp và yêu cầu học sinh ghi nhớ

II Bài tập :

Dạng 5: Viết phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A

Hoạt động 1:

* Viết phương trình mặt cầu tâm I a b c( ; ; ) và đi qua điểm A x( ; y ; )A A z A

GV: Nêu phương pháp giải:

Bước 1: Tính độ dài IA�R IA

Bước 2: Áp dụng công thức (1) viết pt mặt cầu

GV: Yêu cầu hs nhớ phương pháp

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; 2;3) và đi qua điểm A(4;0;1)

GV: Gọi 1 hs tính R IA

GV: Gọi hs viết pt mặt cầu

GV: Kết luận và có thể cho thêm 1 vd nữa trước khi làm bài tập

Bài tập 1: Viết phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A , biết:

1) I(1; 1;5) và đi qua điểm A(1;1;3)

2) I(1;0; 1) và đi qua điểm A(2;1;3)

3) I(2;0;0) và đi qua điểm A( 1;1; 2)

4) ( ; 1;3)1

2

I  và đi qua điểm ( ;0; 3)3

2

GV: Gọi hs đứng tại chổ thực hiện ý 1

GV: Gọi học sinh lên bảng thực hiện ý 2 và 3

GV: gọi hs nhận xét bài làm của bạn

GV: Chốt lại và nêu các sai lầm hs hay mắc phải.

Dạng 6: Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P

Hoạt động 2:

* Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P

GV: Nêu phương pháp

Bước 1: Tính d I P( ,( ))�R d I P ( ,( ))

Bước 2: Dùng công thức (1) để giải quyết

GV: Trước hết nên nhắc lai công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, cho hs thực hành vài VD

GV: Yêu cầu hs nhớ phương pháp

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 4) và tiếp xúc với mặt phẳng

( ) : 2P x2y z  1 0

GV: Gọi hs tính bán kính

GV: Sau đó gọi hs khác viết pt mặt cầu

GV: Sửa bài cho hs và kết luận, chú ý sai sót khi tính bán kính R

Bài tập 2: Viết phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với mặt phẳng ( )P , biết:

1) Tâm I(0;1; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 2P x3y z  6 0

2) Tâm I(3;1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) : 3P x y 4z 6 0

3) Tâm I(2;1; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng ( ) :P x3y z  1 0

GV: Gọi 2 hs lên bảng giải

GV: Kết luận

Hoạt động 3:

GV: Cho hs làm một số câu hỏi TNKQ

Câu 1.Phương trình mặt cầu tâm I(1; 1;2) và đi qua điểm A(3; 1;3) có phương trình là:

A (x1)2 (y 1)2 (z 2)2  5 B (x1)2 (y 1)2 (z 2)2 5

C (x1)2 (y 1)2 (z 2)2 5 D (x1)2 (y 1)2 (z 2)2 25

Câu 2 Cho điểm A(1;2;3) và mặt phẳng (P) : x y  4z  3 0 Mặt cầu (S) tâm A và tiếp

xúc với mặt phẳng (P) có phương trình là

A.(x1)2 (y 2)2 (z 3)2 2 B.(x1)2 (y 2)2 (z 3)2 2

C.(x1)2 (y 2)2 (z 3)2 4 D.(x1)2 (y 2)2 (z 3)2 4

Câu 3 ( Đề thử nghiệm 2017) Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu có tâm I(1;2;-1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) x 2y 2z  8 0

A.(x1)2 (y 2)2 (z 1)2 3 B.(x1)2 (y 2)2 (z 1)2 3 C

(x1)  (y 2)  (z 1) 9 D.(x1)2 (y 2)2 (z 1)2 9

Câu 4 Trong các phương trình sau Phương trình nào là phương trình mặt cầu.

C.x2y2 z2 2x4y6z 15 0 D.x2y2 z2 4x4y2z 12 0

Câu 5 Cho đường thẳng d: 1 2

x  y  z

 và mặt phẳng (P) x2y2z 1 0 Mặt cầu

(S) có tâm I thuộc đường thẳng d, bán kính bằng 3 và tiếp xúc với mp (P) Biết I có hoành độ dương Phương trình mặt cầu (S) là

A.(x16)2 (y 7)2 (z 6)2 9 B.(x16)2 (y 7)2 (z 6)2 9

C (x2)2 (y 2)2 (z 3)2 9 D.(x2)2 (y 2)2 (z 3)2 9

Câu 6 Cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc Ox và đi qua điểm A(1;1;2) và B(-1;0;1)

Phương trình mặt cầu (S) là :

A.(x1)2y2z2 5 B.(x1)2y2 z2 5

C.(x 1) 2 y2 z2  5 D 2 2 2

(x 1) y z  5