5 CHUYEN DE PHUONG TRINH CHO CAU V THI VAO LOP 10

PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ Bài 1... Phân tích: Dùng máy tính nhận biết được phương trình có một nghiệm duy nhất x=4 2 x ... Giải phương trình Giải:.

PHƯƠNG TRÌNH

I PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ

Bài 1 Giải phương trình:

 

2 2

2

9

40 3

x x

x



Bài 1 Giải phương trình:

 

2 2

2

4

5

2

x x

x



Bài 2 Giải phương trình: x2123x x 212x2 0

Bài 3 Giải phương trình: x2 x14 4x4 3x x2 2 x1

Bài 4 Giải phương trình: 4  1  2 2 2 0









x

Bài 5 Giải phương trình: 2 4 2 3 1

Bài 6 Giải phương trình: x 3 x 5 x 6 x10 24x2

Bài 7 Giải phương trình: x2  3x 3x2  2x 3 2x2

Bài 8 Giải phương trình: x4 x3 2x2 2x 4 0

Bài 9 Giải phương trình: x4 2x3 2x2 6x 9 0

Bài 10.Giải phương trình: x34x54 16

Bài 11.Giải phương trình: x 24x 34 1

Bài 12.Giải phương trình: 4 x5x 25 32

Bài 13.Giải phương trình:  2 

3

4

  (Thi vào lớp 10 năm 2014 của chuyên toán-ĐHSP Hà Nội)

II PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Bài 1.Giải phương trình: 4 2 x x 2  x 2

Bài 2.Giải phương trình: x 4 1 x  1 2 x

Bài 3.Giải phương trình: x 3 2x x 1 2x x24x3

Bài 4.Giải phương trình: x2 x 5 5

Bài 5.Giải phương trình: x 3 3x 1 2 x 2x2

Bài 6.Giải phương trình: 3 x 1 3 x23 x3 0

Bài 7.Giải phương trình: x2 2x 1 4x2 4x 1 4

x   x  x  x x  x

(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 của TP Hà Nội)

Bài 9.Giải phương trình: (x4)(x1) 3 x25x2 6

2x 3 x 1 3x2 2x 5x 3 16

2

x



Bài 12. Giải phương trình: x24x 7 x4 x27

(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2010-2011 của TP Hà Nội)

Bài 13. Giải phương trình: x22(x1) x2  x 1 x 2 0

Bài 14. Giải phương trình: 32 x x1 1

Bài 15. Giải phương trình: 2(x22) 5 x31

2(x 2) 5 x 1

2 2 1x  1 x  1 x 3x 1

3

Bài 19. Giải phương trình: 8x 1 3x 5 7x 4 2x 2

Bài 20. Giải phương trình: x 2 4 x 2x 5 2 x2 5x

Bài 21. Giải phương trình: 3 2x 1 2 4 33  x 13

Bài 22. Giải phương trình: 4 x 1 x2 5x14

Bài 23. Giải phương trình: x x 4 2 x1 0

Bài 24. Giải phương trình: 4x214x11 4 6 x10

Bài 25. Giải phương trình: x2 2x 2 2x 1 2 0

(Đề thi học sinh giỏi TP Hà Nội năm học 2013-2014)

Bài 26. Giải phương trình: 4x33x23x 1 0

Bài 27. Giải phương trình: 2x211x21 3 4 3 x 4

Bài 28. Giải phương trình: x 2 10 x x212x40

Bài 29. Giải phương trình: x2 x 1 x x 2 1 x2 x2

PHƯƠNG TRÌNH

I PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ

Dạng 1: Phương trình dạng

2 2 2

2

a x

x a





2

2

2

2

Sau đó đặt ẩn phụ y x2

x a



 VD: Giải phương trình

a)

 

2 2

2

9

40 3

x x

x

 Đáp số 2;6 b)

 

2 2

2

4

5

2

x x

x

 Đáp số 1; 2

Dạng 2: Phương trình dạng A.f x 2 B.f   x.g x C.g x 2 0

 Chia cả hai vế cho g x 2, rồi đặt  

  



x g

x f t

Ví dụ: Giải phương trình:

a) x2123x x 212x2  Đáp số 0 1

b) x2 x14 4x4 3x x2 2 x1 Đáp số 1

c) 4  1  2 2 2 0









x

c dx ax

Bx c

bx ax

Ax













 Chia cả từ và mẫu số của mỗi phân số cho x rồi đặt ẩn   

x

c x t

1

x  x  x  x  Đáp số 1 7;

2 2

Dạng 4 Phương trình hồi quy 4 3 2 0 ,









bx cx dx e

2















d

b e a

Ví dụ: Giải phương trình:

a) x4 x3 2x2  2x 4 0 Đáp số 1;2

b) x4 2x3 2x2 6x 9 0 Đáp số 1;3

Dạng 5 Phương trình dạng x a 4x b 4 c

Phương pháp đặt

2

a b

VD: Giải các phương trình

a) x34x54 16. Đáp số: 5; 3. 

b) x 24x 34 1.Đáp số: 2;3.

c) 4 x5x 25 32. Hướng dẫn: Đặt y x 3.Đáp số: 4; 2

II PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Phương pháp 1: Biến đổi

Dạng 1: Biến đổi tương đương

Bài 1: Giải phương trình 4 2 x x 2  x 2

Giải:

 

2

2 2

2

2 0

2

2 0 3 3

x

x

x

x

x

x



 







 















Vậy S  3

Bài 2: Giải phương trình x 4 1 x 1 2 x

Giải:

2

x

  

2

2

1

2

0

x

x

x

 



 









 



Ta thấy x=0 thỏa mãn ĐKXĐ của phương trình

Vậy S  0

Dạng 2: Biến đổi đưa về phương trình tích

Bài 1: Giải phương trình x 3 2x x 1 2x x24x3

Giải:

ĐKXĐ: x 1

 

 

2

3 2 0 1

x







Giải (1):

2

3 2 0

3 4 0 1 3 4 1

x

x

x x x





 

 









 

 

 





Giải (2):

0

x

x

Vậy S 0;1

Bài 2: Giải phương trình

x  x 

Giải:

ĐKXĐ: x 5

 

2

2

5 5

5 0

 

  



Dạng 3: Biến đổi đưa về phương trình hệ quả

Bài 1: Giải phương trình x 3 3x 1 2 x 2x2

Giải:

ĐKXĐ: x 0

     

2

1

x

Thử lại ta thấy x=1 thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy S  1

Bài 2: Giải phương trình

3 x 1 3 x23 x 3 0

Giải:

ĐKXĐ: x  

     

       

3

3

2

x

Thử lại ta thấy x=-2 thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy S   2

Dạng 4: Biến đổi đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Bài 1: Giải phương trình 2 2

x  x  x  x 

Giải:

Sau đó xét 3 trường hợp rồi suy ra kết quả

Bài 2: Giải phương trình 2 1 2 1 1 3 2 

x   x  x  x x  x

(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2009-2010 của TP Hà Nội)

Giải:

do vt>=0 nên để phương trình có nghiệm thì vp>=0

   

3 2

2

1

2

x

Ta có phương trình:

2

3 2

suy ra kết quả

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ

Dạng 1: Đặt một ẩn phụ hoàn toàn

Bài 1: Giải phương trình(x4)(x1) 3 x25x2 6

Giải:

Đặt

 

   

2

Khi đó phương trình đã cho có dạng:

2

2

4(tm) 1(loai)

t t





   



Với t=4, suy ra

2

2

5 14 0 7

2

x

x





  



Vậy S   7; 2

2x 3 x 1 3x2 2x 5x 3 16

Gợi ý:

Đặt 2x 3 x 1 t t 0

Vậy S  3

Bài 3: Giải phương trình 2 2 1

x



Gợi ý: Chia cả hai vế của phương trình cho x và dặt x 1 t t 0

x

2

S   

Dạng 2: Đặt một ẩn phụ không hoàn toàn

Bài 1: Giải phương trình 2   2

(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2010-2011 của TP Hà Nội)

Giải:

Đặt

  2

2 2

7

Khi đó phương trình đã cho có dạng:

4

t





  



Với t=4, suy ra

2 7 4

3 3

x

x

x





  



Với t=x, suy ra

2

7

x

Vậy S   3;3

Bài 2: Giải phương trình x22(x1) x2  x 1 x 2 0

Giải:

Đặt

  2

2 2

1

Khi đó phương trình đã cho có dạng:

2 2( 1) 2 1 0

1

t





   



Với t=1, suy ra

2

2

1 1 0 1 0

x

x

  





  



Với t=1-2x, suy ra

2

2 2

2

1 1 2

1 1 2 1

2

0

x

x

x

   



 

   









 



Vậy S   1;0

Dạng 3: Đặt hai ẩn phụ đưa về hệ

Bài 1: Giải phương trình 32 x x1 1

Giải: ĐKXĐ x 1 Đặt

 

32 x a , 1 x b b 0 Khi đó ta có hệ:

 

3 2

2 3

3 2

1

1 1

1

a b

 







 



 



 



 



0

1

1

0

2

3

a

b

a

b

a

b

 











 



 



 











 



Vậy S 1;2;10

Dạng 4: Đặt hai ẩn phụ đưa về một phương trình Bài 1 Giải phương trình

2(x 2) 5 x 1

Giải:

Đặt a x2 x1, b x Suy ra phương trình có dạng:1

2

2

b

a









 



Từ đó suy ra nghiệm 5 37

2

Bài 2: Giải phương trình

C

Hướng dẫn: đặt

2

1,

4

Bài 3: Giải phương trình

2 2 1x  1 x  1 x 3x 1

Hướng dẫn:

Bài 4: Giải phương trình

3

Hướng dẫn:

Đặt:

2 2

3 2

3

Suy ra đáp số: 7 3 5

2

Phương pháp 3: nhân liên hợp:

* 3.1: Nhân liên hợp trực tiếp

Bài 1: Giải phương trình 8x 1 3x 5 7x 4 2x 2 Giải:

ĐKXĐ:x 1 Khi đó:

   

0

3 0

0(1)

x

 









Dễ thấy VT(1)>0 nên (1) vô nghiệm

Vậy S  3

* 3.2: Nhân liên hợp gián tiếp

Bài 1 Giải phương trình x 2 4 x 2x 5 2 x2 5x

Phân tích: Dùng máy tính nhận biết được phương trình có một nghiệm duy nhất x = 3

2 x

2

2

3

x

x

x

x













Chứng minh (1) vô nghiệm dựa vào điều kiện, chú ý rằng chúng ta đã biết số nghiệm của phương trình khi dùng máy tính

Bài 2 Giải phương trình 3 2x 1 2 4 33  x 13

Phân tích: Dùng máy tính nhận biết được phương trình có một nghiệm duy nhất x=4

2

x  Khi đó:

 

3

3

2 3 3

2 3 3

0

4

0

x









VT(1) > 0 nên suy ra (1) vô nghiệm

* Phương pháp 4: phương pháp đánh giá :

Bài 1 Giải phương trình

2

4 x 1 x  5x14

Giải :

2

3

x

Tương tự cách giải của bài 1 ta có các ý tương tự của bài 2

Bài 2 Giải phương trình

a) x x 4 2 x1 0

b) 4x214x11 4 6 x10

c) x2 2x 2 2x 1 2 0

(Đề thi học sinh giỏi TP Hà Nội năm học 2013-2014)

d) 4x33x23x  1 0

Đáp số :

a) x=5

4

c) x=4



Bài 3 Giải phương trình

2x 11x21 3 4 x 4

Giải :

Do 2x211x21 0 nên để phương trình có nghiệm thì 4x 4 0  x1 Khi đó áp dụng bđt cosi ta được :

3 4x 4 3 2.2.(x 1) 2 2     x 1 x 3 (Dấu = xảy ra khi x=3)

 2 2

2x 11x21 2 x 3    x 3 x 3(Dấu = xảy ra khi x=3)

Vậy phương trình đã cho tương đương với x=3

Bài 4 Giải phương trình

2

Giải:

Áp dung bất đẳng thức Cô si cho hai số không âm ta có

 2 4 10 .4 2 4 10 4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 4 6

x

x x





Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 2 10 6

6 0

x x





 

 Vậy phương trình có nghiệm x = 6

Bài 5 Giải phương trình

Giải:

Vì x2    và x 1 0 x x 2  nên Áp dụng bất đẳng thức Cô si mỗi số hạng của vế trái ta 1 0

1 1

1 1

x  x  x x         nên theo đềx

ta có :x2 x   2 x 1 x12 0 Đẳng thức xảy ra khi x = 1 Thử lại ta thấy x = 1 thoả Vậy phương trình có nghiệm là x = 1