CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC CHUYÊN ĐỀ KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

Trang 1

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

Khoảng cách và góc Dạng 1 Khoảng cách

A Tóm tắt lý thuyết

Khoảng cách d M  ;  từ điểm M x y 0; 0 đến đường thẳng :ax by   được tính bởi c 0 công thức

2 2

d M

a b

 



B Các ví dụ

Ví dụ 1 [SGK10NC] Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau

1) M13;14 và : 4x3y15 ; 0

4 3

 



 

  



Giải 1) Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng ta có



2) Từ phương trình tham số của , khử tham số t , ta được:

:

x y



Ví dụ 2 [ĐHA06] Cho các đường thẳng d1:xy  , 3 0 d2:xy  , 4 0 d3:x2y Tìm 0 tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng d sao cho khoảng cách từ 3 M đến đường thẳng d bằng 1

hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d 2

Giải Điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ có dạng 3 M2 ;a a Ta có

,

2



 

2

,

2

 

Từ giả thiết ta có

Trang 2

d M d  d M d  3 1 2 4







1

a a

 





22; 11 2;1

M M







Vậy M  22; 11  hoặc M2;1

Ví dụ 3 [SGK10NC] Cho ba điểm A3;0, B  5; 4 và P10; 2 Viết phương trình đường thẳng  đi qua P đồng thời cách đều A và B

Giải Đường thẳng  đi qua P nên phương trình có dạng

Ta có d A ,  3a 102 a 22b 7a2 2b2

, d B ,  5a 4b2 102a 2b 15a2 2b2





0

a







Trường hợp 1 b2a Cho a 1 suy ra b 2 Do đó :x2y14 0

Trường hợp 2 a 0, suy ra :by2b , hay 0 :y  (chú ý rằng khi 2 0 a 0 thì b phải khác 0)

Ví dụ 4 Cho tam giác ABC Biết A  2;0, B4; 2 , diện tích tam giác ABC bằng 10 và C

nằm trên đường thẳng d y:  x

Giải Ta có 1  ; 

2

ABC

S  AB d C AB , suy ra  ,  2 2.10 10

40

ABC

S

d C AB

AB

AB  

 , hay AB x: 3y  Điểm 2 0 C thuộc đường thẳng d nên tọa độ C có

10



So sánh hai biểu thức tính khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB ở trên, ta được

10 10

a 

 , hay 2a  1 5

Phương trình trên có các nghiệm là a 2 và a  3 Vậy C2; 2 hoặc C   3; 3

Trang 3

2

I 

 , AB x: 2y  và 2 0

2

AB AD Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng A có hoành độ âm

Giải Gọi H là trung điểm của AB Vì 1

2

AH  AB, 1

2

 

1 2 2 2

2

AH  IH  d I AB      

 

Ta thấy tam giác AHI vuông tại H nên

4

AI AH HI 

A thuộc đường thẳng AB nên tọa độ A có dạng

2

AI   a  a  a  a

H

I

C

B A

D

So sánh hai công thức tính AI ở trên ta có 2

2

a a







2; 0 2; 2

A A









Vì A là điểm có hoành độ âm nên A  2;0

B là điểm thuộc đường thẳng AB và BI2  AI2 nên B2; 2

C, D là các điểm đối xứng với A, B qua I nên C3; 0, D   1; 2

Vậy A  2;0, B2; 2, C3; 0, D   1; 2

Ví dụ 6 Cho hai đường thẳng 1:axbyc1 và 0 2:axbyc2  Chứng minh khoảng 0 cách d   1, 2 giữa  , 1  là 2

1 2 2 2

d

a b





Giải Lấy điểm M x y 0; 0 thuộc đường thẳng  , ta có 2 ax0by0c2 0 Khoảng cách giữa

1

 ,  chính là khoảng cách từ 2 M đến  nên 1

d   1, 2d M  , 1  0 0 1

2 2

a b



2 2

a b



2 2

a b



 (ĐPCM)

Trang 4

Ví dụ 7 [SGKNC] Viết phương trình đường thẳng ' song song và cách đường thẳng :ax by c 0

Giải Đường thẳng ' song song với đường thẳng  nên phương trình ' có dạng

' :ax by c' 0

Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đương thẳng ta có

 ', 

d   h 

2 2

|c c' |

h

a b







Từ phương trình trên ta giải được c' c h a2b2 hoặc c' c h a2b2

Vậy ' :ax by  c h a2 b2  hoặc 0 ' :ax by  c h a2b2  0

C Bài tập

Bài 1 Tính khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d trong các trường hợp sau

1) M 1;1 , d x:    y 2 0

d   



4

x t d







 



Đáp số 1) 2 2) 3 2

1

5

Bài 2 Cho điểm M x y 0; 0 Chứng minh công thức tính khoảng cách từ M đển các trục tọa độ

d M Ox  y , d M Oy ,  x0

Hướng dẫn Suy ra trực tiếp từ công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng Chú ý

rằng phương trình các trục tọa độ là Ox y  và : 0 Oy x  : 0

Bài 3 Cho P2;5 và Q5;1 Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng các từ Q

tới đường thẳng đó bằng 3

Đáp số d x : 20 hoặc d: 7x24y134 0

Bài 4 [CĐ09NC] Cho các đường thẳng 1:x 2y 3   và 0 2:x y 1   Tìm toạ độ điểm 0

M thuộc đường thẳng  sao cho khoảng cách từ điểm 1 M đến đường thẳng  bằng 2 1

2

Đáp số M1; 1  hoặc 1; 5

M  

Trang 5

Bài 5 [ĐHB04] Cho hai điểm A 1 1 ; , B 4 3 ;  Tìm điểm C thuộc đường thằng

x 2y 1  sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6

Đáp số C7;3 hoặc 43; 27

C  

Bài 6 Biết diện tích tam giác ABC là 3

2, A2; 3 , B3; 2  và trọng tâm G của tam giác thuộc đường thẳng có phương trình d: 3x   Tìm tọa độ đỉnh y 8 0 C

Đáp số C1; 1  hoặc C   2; 10

Bài 7 [ĐHB09NC] Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A  1; 4 và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng x   Xác định toạ độ các điểm y 4 0 B và C , biết diện tích tam giác ABC

bằng 18

Đáp số 11 3;

2 2

B 

;

C  

;

B  

11 3

;

2 2

C 

Bài 8 [ĐHD10NC] Cho điểm A0;2 và  là đường thẳng đi qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên  Viết phương trình đường thẳng , biết khoảng cách từ H đến trục hoành bằng AH

Đáp số : 5 1 x2 52 y0 hoặc : 5 1 x2 52 y0

Bài 9 Cho d: 3x2y  Viết phương trình đường thẳng 4 0 d' trong các trường hợp sau 1) d d d , '2 2) d d d , '3

Đáp số

Trang 6

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC Dạng 2 Đường phân giác

1 Phương trình đường phân giác

Cho hai đường thẳng cắt nhau, có phương trình

1:a x b y1 1 c1 0

    ,  2:a x b y2  2 c2 0 Khi đó phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng là

0

a x b y c a x b y c

2 Phân giác góc nhọn, góc tù

Giả sử  và 1  là hai đường thẳng cắt nhau tại điểm 1 I và không vuông góc với nhau, l và 1 l 2

là các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng Khi đó, để phân biệt phân giác góc nhọn và phân giác góc tù tạo bởi hai đường thẳng, ta làm như sau

Lấy điểm M thuộc một trong hai đường thẳng sao cho

M khác giao điểm của hai đường thẳng Tính khoảng

cách d , 1 d từ 2 M đến hai đường phân giác l , 1 l Khi đó, 2

khoảng cách lớn hơn chính là khoảng cách ứng với phân

giác góc tù Cụ thể

 d1d2  l là phân giác góc nhọn, 1 l là phân 2

giác góc tù

 d1d2  l là phân giác góc tù, 1 l là phân giác 2

góc nhọn

d 2

d 1

Δ 2

Δ 1

l 2

l 1

I

M

3 Phân giác trong, phân giác ngoài

Cho tam giác ABC Các phân giác của góc A là các phân giác của các góc tạo bởi các đường thẳng chứa các cạnh AB và AC Phân giác trong là phân giác mà hai điểm B, C nằm về hai phía của phân giác, phân giác ngoại là phân giác mà hai điểm B, C nằm về một phía phía của phân giác

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 [SGKNC] Cho tam giác ABC với 7;3

4

A 

 , B1; 2 và C  4;3 Viết phương trình đường phân giác trong góc A

Trang 7

Giải Ta có

7 4 3 4

3 :

1

AB   

  , hay AB: 4x3y  ; 2 0 AC y   Suy ra phương trình các : 3 0 đường phân giác góc A là

0







 

1 2







Ký hiệu F x y ;  là vế trái của phương trình tổng quát của đường l , ta có 1

F B F C      , suy taB và C nằm về cùng một phía d Vậy phương trình 1

đường phân giác trong góc A là d2: 4x8y170

Ví dụ 2 Cho 1: 3x y 7 và 0 1: 2x6y 0

1) Chứng minh  và 1  cắt nhau và viết phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi 2

1

 và  2

2) Xác định phân giác góc tù tạo bởi  và 1  2

Giải 1) Ta có 3 1 16 0

D    

giác của các góc tạo bởi  và 1  là 2

0

x y x y

 

1 2







2) Ta thấy thay A0; 7 là một điểm thuộc  Ta có 1

 

2

,

4 2

d A l    

 

,

2 2

d A l    



Ta thấy d A l , 1d A l , 2, suy ra d là phân giác góc tù tạo bởi 2  và 1  2

Ví dụ 3 [SGKNC] Cho hai đường thẳng 1:x2y  , 3 0 2: 3xy2 Viết phương 0 trình đường thẳng  đi qua điểm P3;1 và cắt  , 1  lần lượt tại 2 A và B một tam giác cân có đáy là AB

Giải Ta thấy  thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi  vuông góc với một trong hai phân giác của các góc tạo bởi  và 1  2

Phương trình hai phân giác của các góc tạo bởi  và  là

Trang 8

0





1

2





1

l

  nên  nhận véc-tơ pháp tuyến n 23; 2 2 1 

làm véc-tơ chỉ phương, lại có

nu   

nên  u

 còn đi qua P nên

Tương tự, trong trường hợp   , ta có l2

Vậy : 2 2 1   x 23y5 2  hoặc 6 0 : 2 2 1   x 23y5 2  6 0

C Bài tập

Bài 1 Viết phương trình hai đường phân giác của hai góc tạo bởi hai đường thẳng d và 1 d 2

trong các trường hợp sau

1) d1:x2y  , 1 0 d2:x3y  3 0

4

x t

d







 



, d2:xy  7 0

4

x t

d







 



, 2:

3

x t d

y t











1

2





2) 1

2

: 2 11 0

y x







3) 1

2

x y







Bài 2 Viết phương trình các đường phân giác trong của tam giác ABC biết rằng các cạnh của

nó nằm trên các đường thẳng có phương trình 3x4y , 40 x3y và 50 x12y101 0

Bài 3 Cho A1; 2, B3; 4  và C   1; 2 Hãy lập phương trình các đường phân giác trong và xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC

Bài 4 Cho 1: 3xy  và 1 0 2: x 2 t

y t

 







Hãy lập phương trình phân giác góc nhọn tạo bởi

1

 và  2

Trang 9

Bài 5 Lập phương trình đường thẳng qua P2; 1  sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường thẳng d1: 2x   và y 5 0 d2: 3x6y  tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của 1 0

1

d và d 2

Đáp số : 3 5 0

d x y





Bài 6 [ĐHB10Chuẩn] Cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C  4;1, phân giác trong góc

A có phương trình x y 5 –  Viết phương trình đường thẳng 0 BC, biết diện tích tam giác

ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương

Đáp số BC: 3x4y16 0

Trang 10

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC Dạng 3 Góc giữa hai đường thẳng

1 Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b được ký hiệu là a b hoặc đơn giản hơn là , 

a b,  và số đo của nó được định nghĩa như sau:

 Nếu a và b cắt nhau thì a và b chia mặt phẳng thành bốn góc Số đo nhỏ nhất của các

góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b

 Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước số đo góc giữa hai đường thẳng a

và b bằng 0

2 Công thức tính cô-sin của góc giữa hai đường thẳng

Giả sử đường thẳng  có véc-tơ pháp tuyến là 1 n1

, véc-tơ chỉ phương là u1

Giả sử đường thẳng  có véc-tơ pháp tuyến là 2 n2

, véc-tơ chỉ phương là u2

Ta có

1 2

n n



 

  , đặc biệt:     1 2 n n 1 2 0

1 2

u u



 

  , đặc biệt:     1 2 u u 1 2 0

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 [SGKNC] Tìm góc giữa hai đường thẳng  , 1  trong các trường hợp sau 2



  



 



 



; 2) 1:x và 5 2: 2xy14 ; 0

4 3

 



  



và 2: 2x3y  1 0

Giải 1) Ta thấy  nhận 1 u11; 2

làm véc-tơ chỉ phương,  nhận 2 u22;1

làm véc-tơ chỉ phương Ta có u u 1 2   2 20

, suy ra  1, 290

Trang 11

2)  vuông góc với trục hoành nên 1 i1; 0

làm véc-tơ pháp tuyến,  nhận 2 n2;1

làm véc-tơ

1

5

i n



 

  Vậy góc giữa hai đường thẳng  và 1  là góc có 2

cô-sin bằng 1

5 3)  nhận 1 u 1 1;3

làm véc-tơ chỉ phương, lại có u1n13;1

Suy ra  nhận 1 n13;1

làm véc-tơ pháp tuyến  nhận 2 n22;3

làm véc-tơ pháp tuyến Do đó

1 2

130

n n



 

Vậy góc giữa hai đường thẳng  và 1  là góc có cô-sin bằng 2 9 130

Ví dụ 2 [SGKNC] Cho ba điểm A4; 1 , B  3; 2, C1; 6 Tính góc BAC và góc giữa hai 

đường thẳng AB, AC

Giải Ta có AB  7;3

, AC  3; 7

Góc BAC chính là góc giữa hai véc-tơ AB  và AC Do đó

AB AC BAC

AB AC



 

Do đó BAC là góc nhọn có cô-sin bằng 21

29 Góc giữa hai đường thẳng AB và AC cũng là góc



BAC , suy ra cos ,  21

29

AB AC 

Ví dụ 3 Cho điểm A2; 3  Lập phương trình đường thẳng  qua A và tạo với đường thẳng

Giải Giả sử n a b ; 

là một véc-tơ pháp tuyến của  Ta thấy n' 1;3 

là một véc-tơ pháp tuyến của ' Do đó, tạo với 'góc 45 khi và chỉ khi

' cos 45 '

n n









 

 2 2

2 10

a b







Phương trình trên tương đương với 2a23ab2b2  Từ phương trình này suy ra 0 b 0 (vì nếu b 0 thì a 0) Do đó, chia hai vế của phương trình cho b ta được 2

Trang 12

2

 

 

2 1 2

a b a b









b  , cho b 1 suy ra a 2  còn đi qua A nên

2

a

b   , cho a 1 suy ra b  2  còn đi qua A nên

Ví dụ 4 Xác định tọa độ đỉnh A của tam giác ABC biết rằng tam giác này cân tại A, AB, BC

có phương trình lần lượt là y3x , 3 xy và 1 AC qua 0;7

3

M 

Giải AC qua 0;7

3

M 

7 3

AC ax by  

Đưa phương trình AB, BC về dạng tổng quát ta được AB: 3x   , y 3 0 BC x:    y 1 0 Tam giác ABC cân tại A nên

ABC ACB  cosABCcosACB 

2 2

3 1

a b







2 5

2 2

2

a ab b

a b



  3a210ab3b2  0 Thay b 0 vào phương trình cuối cùng ta được a 0 (loại)

Nếu b 0 chia hai vế phương trình cho 2

b và đặt t a

b

 ta thu được phương trình

2

 

 

1 3 3

a b a b



 





3

a

b   cho a 1 suy ra b  3 Do đó AC x: 3y   7 0 AC không song song với AB (thỏa mãn) Khi đó

x y A

x y







 A2;3

Trang 13

b   cho b  1 suy ra a 3 Do đó

7 3

Vậy A2;3

Ví dụ 5 Cho hình chữ nhật ABCD có AB x: – 2y   , 1 0 BD x: – 7y 14 , 0 AC đi qua

2;1

Giải BABBD  : – 2 1 0

x y B

x y

 







 21 13

5; 5

AC đi qua M  phương trình AC có dạng: AC a x:  2b y 10

 AC ax by:  2a b  (0 a2b2  ) 0

Ta có: AC AB,   BD AB;   cosAC AB, cosBD AB; 



2 1 14

5.50 5

a b

 

 7a28ab b 2  0  1

 Thay b 0 vào  1 ta được a 0 (loại)

 Nếu b 0 chia hai vế  1 cho b và đặt 2 a

b

t  ta thu được phương trình

2

7t 8t 1 0

1 7

1

t t

 





 



+) t  1  a 1

b    a b Cho b  1  a 1  AC x:     y 1 0 AC không song song với BD (thỏa mãn)

A

x y

 







 A3; 2

x y I







 7 5

2;2

I

2

C I A







2

D I B







 14 12

5 ;5

7

t    1

7

a

b    b 7a Cho a 1  b  7  AC x: 7y    AC BD5 0  , loại

Vậy A3; 2, 21 13

5 ;5

B , C4;3, 14 12

5;5

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	260,85 KB