CHUYÊN ĐỀ SỰ BIỀN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

CHUYÊN ĐỀ SỰ BIỀN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ SỰ BIỀN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ SỰ BIỀN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ SỰ BIỀN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ SỰ BIỀN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ SỰ BIỀN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ SỰ BIỀN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN ĐỀ SỰ BIỀN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG

Sự biến thiên của hàm số và ứng dụng

Mục lục

Loại 1 Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số 3

A Tóm tắt lý thuyết 3

B Một số ví dụ 4

C Bài tập 11

D Hướng dẫn và đáp số 13

Loại 2 Sự biến thiên của hàm số chứa tham số 17

A Tóm tắt lý thuyết 17

B Một số ví dụ 18

C Bài tập 21

D Hướng dẫn và đáp số 22

Loại 3 Ứng dụng xét phương trình 25

A Tóm tắt lý thuyết 25

B Một số ví dụ 26

C Bài tập 35

D Hướng dẫn và đáp số 36

Loại 1 Sự biến thiên của hàm số không chứa tham số

A Tóm tắt lý thuyết

 Định nghĩa: Cho f :a b  ; 

+) f được gọi là đồng biến trên khoảng a b;  nếu:  , x1 x2a b; , x1x2 

+) f được gọi là nghịch biến trên a b;  nếu:  , x1 x2a b; , x1x2 

+) f ' x 0  x a b;   f không đổi trên a b; 

 Ứng dụng xét tính đơn điệu của hàm số: Để xét tính đơn điệu của hàm số y  f x , ta làm như sau:

+) Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

+) Bước 2: -) Tính f ' x

-) Tìm nghiệm của phương trình f ' x 0

-) Xét dấu của f ' x (nếu cần)

+) Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số

+) Bước 4: Kết luận về sự biến thiên của hàm số

3 -1

n x

00

n n

a Dấu của nhị thức bậc nhất: Xét g x ax b (a 0) Bảng sau cho ta quy tắc xét dấu của

b Dấu của tam thức bậc hai: Xét   2

g x ax bxc (a 0,  b24ac) Ta có ba trường hợp sau đây:

x 2

x 1

_

_ +

ag x ( ) 0

+∞

∞ x

c Dấu của đa thức: Tất cả các bài toán xét dấu đa thức đều có thể được quy về xét dấu của đa

- x 1  x 2    x n là các nghiệm của P x ,

- k , …, 1 k là các số nguyên dương, n k được gọi là bội của nghiệm i x i

Ta có quy tắc sau đây về dấu của đa thức P x :

- Khi x lớn hơn nghiệm lớn nhất ( x ) thì n P x  cùng dấu với a

- P x  không đổi dấu khi x đi qua nghiệm bội lẻ và đổi dấu khi x đi qua nghiệm bội

chẵn

d Hệ quả (của quy tắc xét dấu đa thức): Nếu một đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt thì đa

thức đó đổi dấu liên tiếp khi x đi qua các nghiệm

Ví dụ 2 Xét chiều biến thiên của hàm số   3 2

Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta thấy f ' x 0   x và f ' x 0  x 1, tuy nhiên f vẫn

nghịch biến trên  Tổng quát hơn, ta có:

+) f ' x 0  x a b; , dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc a b;  

∞ x

 

lim

  .

+) Kết luận: f nghịch biến trên  ; 2 và 1; 2 , đồng biến trên   2;1 và  2;  

Ví dụ 4 Xét chiều biến thiên của hàm số   2 3

_ _

1 2 _

f x ( )

f ' x ( )

+∞

∞ x

 

3 1

+)  a x0  x x a0; : g x  trái dấu với f x 0   

y x

+∞

+∞

∞_

0

00

11

x x

+) Kết luận: f đồng biến trên ; 0 và 2; , nghịch biến trên 0;1 và 1; 2

Ví dụ 6 Xét chiều biến thiên của hàm số 2

1

y x

Giải

+) TXĐ  1;1

10

1_

y

y'

+∞

∞x

+) Kết luận: hàm số đồng biến trên 1;0, nghịch biến trên 0;1

Ví dụ 7 Xét sự biến thiên của hàm số y 1x 1x

2

10

1_

y

y'

+∞

∞x

+) Kết luận: hàm số đồng biến trên 1;0, nghịch biến trên 0;1

Nhận xét: Trong các ví dụ trên, việc xét dấu đạo hàm được thực hiện bằng các quy tắc xét dấu

cơ bản (nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai, đa thức) Trong ví dụ sau, ta sẽ xét dấu của đạo hàm bằng cách giải một bất phương trình

Ví dụ 8 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y2x 1x2

f x ( )

f ' x ( )

+∞

∞ x

+) Kết luận: hàm đã cho đồng biến trên  2 

Bài 1 Xét chiều biến thiên các hàm số sau đây

4) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và 1 

2; 2 , đồng biến trên các khoảng  1

Lưu ý: Trong bài tập này, đạo hàm không đổi dấu khi x đi qua 0

7) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định (nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và

9) Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 0 và 4; , đồng biến trên các khoảng 0; 2 và

0 _

3 1 1

3 2

0 0

+) Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và 1; , đồng biến trên 1;1

3 4

3

1 4 2

3 2

3

1 4 2

3 5

3 4

4 3

5

7 2 2

+) Hàm số nghịch đồng trên  7

2

2; , nghịch biến trên 7 

2;5

Các câu 18) 19) 20) có cách giải tương tự câu 17)

18) Hàm số đồng biến trên 0; 2, nghịch biến trên 2; 6

19) Hàm số đồng biến trên  3; 1, nghịch biến trên 1;1

20) Hàm số nghịch biến trên 0;1, đồng biến trên 1; 2

Loại 2 Sự biến thiên của hàm số chứa tham số

A Tóm tắt lý thuyết

Trong loại toán này, ta quan tâm đến hai bài toán sau đây

1 Bài toán 1 Số khoảng đơn điệu của hàm số

a b Sự biến thiên của y

 0  y nghịch biến trên ; 0, đồng biến trên ; 0





 (a , c , adbc0)

+) adbc0  y đồng biến trên từng khoảng xác định

+) adbc0  y nghịch biến trên từng khoảng xác định

2 Bài toán 2 Điều kiện để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng

* Phương pháp 1: f đồng biến (nghịch biến) trên a b;   f có ít nhất một khoảng đồng

biến (nghịch biến) và a b;  là tập con của một khoảng đồng biến (nghịch biến) nào đó

* Phương pháp 2: Giả sử f có đạo hàm không đồng nhất bằng 0 trên a b;  Khi đó

+) Vậy, trong trường hợp này, hàm số đồng biến trên ;

Ta có y' x24x2m '1 y là tam thức bậc hai có hệ số của x là 2  1 0, ' 2m5 Do

đó hàm số nghịch biến trên  khi và chỉ khi

m+1 m

TH2: m 0  , 'y có ba nghiệm phân biệt là 0 và  m2 , y đổi dấu liên tiếp khi x đi qua 'các nghiệm

1) Hàm số đồng biến trên   'y  0   x  m  3 hoặc m 2

2) Tương tự câu 1) ta có: m  1 hoặc m 1

2 ;

m m

 

Trong trường hợp này: y đồng biến trên 1;3  1

2 1

m m

2 1

m m



  m  1

 m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán



  ,  1

2

0; m m



Trong trường hợp này: y đồng biến trên 1;3  1

2 3

m m

2 9

m m

Loại 3 Ứng dụng xét phương trình

A Tóm tắt lý thuyết

1 Nguyên tắc

Để xét phương trình g x m  ;  0  * , ta biến đổi

tương đương phương trình về dạng f x m (bước

này được gọi là cô lập tham số)

Do đó, việc xét phương trình  * được đưa về xét sự

tương giao của đường thẳng d y: m với đồ thị hàm

Chú ý:

 d là đường thẳng đi qua điểm M0;m (MOy) và vuông góc với Oy

 Thay vì sử dụng đồ thị hàm số, ta có thể dùng bảng biến thiên (bảng biến thiên cho ta hình ảnh về đồ thị hàm số)

2 Một số kết luận hay sử dụng

 Phương trình  * có nghiệm  d có điểm chung với  C

 Số nghiệm của phương trình  * bằng số điểm chung của đường thẳng d với

 C

 Nghiệm của  * là hoành độ điểm chung của d và  C

5 4

3 4

1 _

f x ( )

f ' x ( )

+∞

∞ x

2)  1 có 2 nghiệm phân biệt  đường thẳng ym có 2 điểm chung với đồ thị hàm số

2 +

+) Kết luận:  1 có hai nghiệm phân biệt  4

2 0

+) Kết luận:  1 có 6 nghiệm phân biệt  0m1

Ví dụ 5 [ĐHB07] Chứng minh với mọi giá trị dương m , phương trình sau có hai nghiệm thực

+

0

2 _

+

-3

1 _

Ta thấy t  1 ( ' 0) cho đúng một nghiệm x , t  1 ( ' 0) cho đúng hai nghiệm x

Do đó  1 có 2 nghiệm phân biệt   3 có nghiệm t  1  m 1 0  m  1

Ví dụ 8 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

Giải

Ta có

 1  sinxcosx1 sin cos x xm

2

2 _ 2

+ + 0 _ 0

+ +

_ 2 _

f t

f ' t ( )

+∞

∞ t

(với x   1;1)  f ' x cùng dấu với x   x  1;1

Bảng biến thiên của f x :

0

-1

+ _

0

1 0

Từ đó suy ra:  2 có nghiệm đối với x  t0; 2

t t m

402

 1 có nghiệm   3 có nghiệm t0; 2  2 1   m  1

Ví dụ 10 [ĐHA07] Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

2 4

3 x 1 m x 1 2 x 1  1

Giải

+) Điều kiện để  1 có nghĩa là x 1

+) Chia hai vế cho x   ta được phương trình tương đương: 1 0

+) Với phép đặt ẩn phụ như trên, phương trình đang xét trở thành:

-1 0

0

-1

1 3 0

+ _

f x

f ' x ( )

+∞

∞ x

Bài 2 [ĐHA02] Tìm k để phương trình x33x2k33k2  có ba nghiệm phân biệt 0

Bài 3 Chứng minh với mọi m   2; 2, phương trình x33x2m2  luôn có ít nhất hai 0nghiệm phân biệt

Bài 4 Tìm m để phương trình x42x24m có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng 0 2; 2

Bài 5 Tìm m để phương trình  2 2    2 

3; 0

Bài 6 [ĐHA02] Cho phương trình log32x log32x 1 2m  1 0

1) Giải phương trình khi m 2

2) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1;3 3

 

Bài 7 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x13m x 12  0

Bài 8 Giải phương trình 2x3x 3x 2