N,P là các tiếp điểm.. Gọi K là trung điểm của AB.. b, Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua 2 điểm cố định khi M di động trên d e, Xác định vị trí của M để tứ giác MNOP l
Trang 1Đề thi thử vào lớp 10 Môn chung : Môn Toán ( Dành cho khối chuyên B C D)– –
Thời gian làm bài : 150 phút Câu 1(2 điểm) : Cho biểu thức
−
+ + +
+
− +
−
+
=
xy
xy y x xy
y x xy
y
x
A
1
2 1
: 1
1
a, Rút gọn A
b, Tính giá trị của A khi x= 2+2 3
c, Tìm giá trị lớn nhất của A
Câu 2 (2 điểm) : Giải hệ phơng trình
+
=
+
−
=
+
4 4
4
6 9
9
2
2
2
2
xy xy
x
xy y
x
Câu 3 (1 điểm) : Cho 3 số x,y,z thoả mãn đồng thời x2 + 2y+ 1 = y2 + 2z+ 1 =z2 + 2x+ 1 = 0
Tính giá trị của biểu thức
2010 2010
2010 y z
x
Câu 4(1 điểm): Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn AB = c, AC= b, CB = a.
Chứng minh rằng: b2 =a2 +c2 − 2ac cosB
Câu 5(2 điểm): Cho đờng tròn (O;R) và đờng thẳng d cắt (O) tại 2 điểm A, B Từ
điểm M trên d kẻ các tiếp tuyến MN, MP với (O) (N,P là các tiếp điểm) Gọi K là trung điểm của AB
a, Chứng minh 5 điểm M, N, O, K, P cùng nằm trên 1 đờng tròn
b, Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua 2 điểm cố định khi M di
động trên ( d)
e, Xác định vị trí của M để tứ giác MNOP là hình vuông
Câu 6 (2 điểm) :Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ớc tự nhiên của
p4 là 1 số chính phơng
-Họ và tên thí sinh :
SBD :
Đơn vị :
Giáo viên ra đề : Nguyễn Đức Tính
ĐT : 01292837488 Email : ngdtinh@yahoo.com.vn
Web : http://violet.vn/gvngdtinhtp
Trang 2Đáp án:
Câu 1:
a, 1,5 đ
Điều kiện để A có nghĩa là x≥ 0 ;y≥ 0 ;xy≠ 1 (0,5đ)
+ + +
+
− +
−
+
=
xy
xy y x xy
y x xy
y x A
1
2 1
: 1
1
xy
xy y x xy
xy y
x xy y
x
−
+ + +
−
−
− + + +
=
1
1 : 1
1 1
.
(0,25)
xy xy y x xy
x y y y x x x y y y x x
−
+ + +
−
+
−
− + + + +
=
1
1 :
xy xy
x y x
+ +
−
−
+
=
1 1
1 1
2 2
(0,25)
x y
x
y x
+
= + +
+
b, 1,5 đ
Ta có : x=2+2 3 thoả mãn điều kiện x≥ 0 (0,25)
3 2
3
2
3 2
− +
−
=
Thay x vào A ta có:
3 2 5
1 3 2 1 3
2
4
1
3
−
−
= +
−
−
=
3 2 5 1
3
2
+
−
+
−
( )2
5
3 2 5 6
3
5
2
−
−
− +
13
1 3 3 2 12
25
1
3
3
−
+
c, 1 đ
⇔x− 2 x+ 1 ≥ 0
⇔x+ 1 ≥ 2 x (0,25)
x
x
+
≥
⇔ 1
2
1 ( vì x+1>0)
1 1
1
+
x
Vậy giá trị lớn nhất của P = 1 khi x− 1 = 0 ⇔x= 1 (0,25) Câu2: 4 đ
Hệ phơng trình đã cho tơng đơng với
Trang 3
=
−
+
= +
+
4 4
4
9 6
9
2
2
2
2
xy xy
x
xy
y
x
(0,25)
( )
( )
=
−
=
+
⇔
4
2
9
3
2
2
y
x
y
x
(0,25)
±=
−
±=
+
⇔
2
2
3
3
y
x
y
x
(0,25)
Ta cã c¸c trêng hîp sau:
=
−
=
+
2
2
3
3
y
x
y
x
;
−=
−
=
+
2 2
3
3
y x
y
x
;
=
−
−=
+ 2 2
3
3
y x
y
x
;
−=
−
−=
+
2 2
3
3
y x
y x
Ta gi¶i tõng trêng hîp:
⇔
⇔
5
12
5
1
22
15
22
33
yx
y
yx
y
yx
yx
(0,5)
0
1
22
55
22
33
x
y
yx
y
yx
yx
(0,5)
Trang 40
1
22
55
22
33
x
y
yx
y
yx
yx
(0,5)
⇔
⇔
5
12
5
1
22
15
22
33
x
y
yx
y
yx
yx
(0,5)
Vậy hệ phơng trình đã cho có 4 nghiệm
−
=
5
1
; 5
12
; 1
; 0
; 1
; 0
; 5
1
;
5
12
; y
Câu 3: 2 đ
Từ giả thiết ta có:
= + +
= + +
= + +
0 1 2
0 1 2
0 1 2
2 2 2
x z
z y
y x
(0,5)
Cộng các vế các đẳng thức ta có:
(x2 + 2x+ 1) (+ y2 + 2y+ 1) (+ z2 + 2z+ 1)= 0 (0,25)
=
+
=
+
=
+
⇔
0
1
0
1
0
1
z
y
x
1
−
=
=
=
2010 2010
=
Câu4: 4 đ
Kẻ AH ⊥ BC ⇒ ∆ABC vuông tại H
Trang 5áp dụng định lí Pi ta go ta có:
AC2= AH2+HC2
= AC2+(BC-BH)2
= AH2+ BC2-2BC.BH+BH2
= (AH2+ BH2)+BC2-2BC.BH
= AB2+ BC2-2BC.AB cosB
Vì trong tam giác vuông AHB thì:
AH2+ BH2=AB2= c2 ; BH = AB cosB
Câu 5: 2 điểm
a,
⇒ ∆MNO vuông tại N ⇒ N nằm trên đờng kính MO (0,25) ∆MPO vuông tại P ⇒ P nằm trên đờng kính MO (0,25) Vì AK = KB (gt) ⇒ OK⊥AB tại K ( đờng kính đi qua trung điểm của dây) (0,25)
∆MKO vuông tại K ⇒ K nằm trên đờng tròn đờng kính MO (0,25) Vậy 3 điểm N, P, K nằm trên đờng tròn đờng kính MO (0,25) Hay 5 điểm M,N,O,P,K cùng nằm trên đờng tròn đờng kính MO (0,25)
b, 1 đ
Mà theo câu a) đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP chính là đờng tròn đờng kính MO
(0,25)
Theo câu a) đờng tròn đờng kính MO đi qua O; K (0,25) Vậy đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua 2 điểm cố định O, K (0,25)
c, 1 đ
Tứ giác MNOP là hình vuông ⇔MN= ON, ∠MON = 90 0
⇒OM= ON 2= R 2 ( R là bán kính đờng tròn (O)) (0,25)
⇒ M là giao điểm của (O; R 2) với đờng thẳng d (0,25) Vậy ta xác định đợc 2 điểm M1; M2 thoả mãn điều kiện đề ra (0,25) Câu 6 : 2 đ
Trang 6V× p lµ sè nguyªn tè nªn p4 cã c¸c íc lµ 1; p; p2; p3; p4 (0,25) Gi¶ sö 1 +p+p2 +p3 +p4 =n2 ( n∈ Ζ)
( 2 )2 2
3 4 4 3 2
4n = + p+ p + p + p > p + p + p = p +p
MÆt kh¸c :
( 2 )2 2
3 2
4 2
3 4
Tõ (1) vµ (2) 2 ( 2 )2
2 2
4 4 4 4 4 1 2 5 4
4
4 2 = 4 + 3 + 2 + + < 4 + 3 + 2 + +
0 3 2
V× p∈N ⇒p= 3
===================================================