Phương trình cơ bản thpt

Dùng đồng nhất đa thức để tìm hệ số a,b,c,d có giá trị đẹp... Bài tập tự luyện: Bài 1 Giải phương trình a... 3x2   1 x x3 1 e Phương pháp đánh giá bằng hàm số và tính đơn điệu của h

Trang 1

1 Một số phương pháp giải phương trình cơ bản:

a) Phương trình trị tuyệt đối:

 |A|=B 

 |A|=|B| 

 |A|+|B|=|C| 

Ví dụ: 1/ |2x2+3x|=x-1

2/ |2x2+5x-7|=|x-3|

3/|2x+3|+|2x2-3|=|x+3|

b) Phương trình căn thức:

 AB

 A B 

 A B  C 

Ví dụ: 1/ x   1 x 2 2 / x  1 2 x 3 / x  2 x  4 x 3

c) Phương trình bậc 4:

 Phương trình bậc 4 trùng phương: => Đặt t=x2

Ví dụ:x4+2x2-8=0

 Phương trình bậc 4 hệ số đối xứng: => Chia hai vế cho x2

sau đó đặt ẩn là t x 1

x

 

Ví dụ:1/ x 4 +4x 3 -5x 2 +4x+1=0 2/2x 4 -3x 3 -4x 2 +3x+2=0

 Phương trình bậc 4 bất kì: => Đồng nhất hệ số:

Cho một hàm bậc 4 f(x) bất kì, để giải phương trình f(x)=0, ta tìm các phân tích f(x)=(x2+ax+b)(x2+cx+d) Dùng đồng nhất đa thức để tìm hệ

số a,b,c,d có giá trị đẹp

Ví dụ: 4 3 2

1/x x  7x  8x  4 0 4 3 2

2 /x x  5x  14x 10  0

3 /x  5x  31x  6x  6 0

Bài tập tự luyện

Bài 1 Giải phương trình

Trang 2

a x2 3x    2 x 1 b 3x2 9x 1    x 2

e x 3   7 x   2x 8  f x   2 3 x   5 2x 

g (x 3) x  2 3x   2 x2 8x 15  h (x  4) 10 x  2  x2 2x 8 

i

2

x

3x 2    

2

x

4x 3    



a x2 3x   2 x2 6x 5   2x2 9x 7 

b x2 3x   2 x2 4x 3   x2 5x  4

a 3x 5  3x 6  32x 11  b 3x 1  3x 1  35x c 32x 1  3x 1  33x 1  = 0

a x  x 1   x   4 x 9   0 nghiệm x = 0

b x 1   x 16   x 4   x 9  nghiệm x = 0

c x 3   3x 1   2 x  2x  2

d) (*) Phương pháp lượng liên hợp:

Cơ sở phương pháp: Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm

xo hữu tỉ, khi đó phương trình luôn viết được thành (x – xo)P(x) = 0 và P(x) = 0 có thể vô nghiệm hoặc giải được.Thường dùng trong căn

thức.Để làm tốt dạng này ta cần chọn cặp để dùng lượng liên hợp cho

thích hợp thông qua nhẫm nghiệm.( cách nhẫm nghiệm thông thường là chọn x o sao cho các biểu thức trong căn là một số chính phương)

Ví dụ:1/ x  2 2x  2 x  3 6 3 2

2 /  x 2x  3x  2 2x  2 x 3

3 / x  2x  1 x   x 3 2(x 4)

Trang 3

Bài tập tự luyện:

a (B 2010) 3x 1   6 x   3x2 14x 8   0

b 2 3x 2 3 6 5x 16 3      0 Nghiệm duy nhất x   2

c 4(2 10 2x   3 9x 27)   4x2 15x 33 

a x 1 4x   2  1 3x

b x 1 9x   2   1 4x

x  12   5 3x  x  5 Nghiệm duy nhất x = 2

d x2 15  3x 2   x2 8

e 3x2 5x 1   x2  2 3x2 3x 3   x2 3x  4

a 2x2   x 9 2x2    x 1 x 4

b 2x2   x 1 x2   x 1 3x

Bài 4 Giải phương trình: 3x2   1 x x3 2

a x2 3x 1 (x 3) x    2 1

b 4 3 10 3x     x 2

c 2 (2 x)(5 x)     x (2 x)(10 x)  

d 2x2 16x 18   x2  1 2x  4

Trang 4

e 2x2  1 x2 3x   2 2x2 2x 3   x2  x 2

f 3x2 7x 3   x2  2 3x2 5x 1   x2 3x  4

a 3x2  4 x 1 2x 3    b 3x2  1 3x3  2 3x 2 

c 2x2 11x  21 3 4x 4  3   0 d 3x2   1 x x3 1

e) Phương pháp đánh giá bằng hàm số và tính đơn điệu của hàm số:

Để làm tốt phương pháp này đầu tiên ta ước lượng được số ước của

phương trình Sau đó chuyển phương trình về dạng f(x)=0 Dùng đạo hàm f’(x) để chứng minh số nghiệm của phương trình đó.Cuối cùng ta chỉ

cần chỉ ra những nghiệm đó Phương trình đã được giải quyết

 f’(x)>0 hay f’(x)<0  f(x)=0 có tối đa một nghiệm

 f’(x)>0 hay f’(x)<0 và f[u(x)]=f[v(x)]  u(x)=v(x)

Ví dụ:

 f(x) đồng biến => f(x)=0 có nghiệm duy nhất

mà f(9)=0

vậy x=9 là nghiệm phương trình

3

1

2



Xét f(t)=t3+t, ta có: f’(t)=3t2+1>0

 f(t) đồng biến

mà f(2 )x  f( 2x 1) 2x 2x 1

bài tập tự luyện:

Bài 1 Giải các phương trình

a 3 2

x  x  x  x

Trang 5

b 3

x 1     x 4x 5  (Chuyển vế, nghiệm duy nhất x = 1)

c 2x 1   x2   3 4 x

Bài 2: Giải các phương trình sau:

2x(4x   1) (x  3x 1) x   3x

b 3

4x    x (x 2) 2x 3   0

f) Phương pháp dùng bất đẳng thức:

 Bất đẳng thức Cauchy:

Cho các số a i (i=1…n), ta luôn có:

1 2 n 1 2

n n a   a a n a a a Dấu bằng xảy ra  a1a2  a n  Bất đẳng thức Bunhiacopsky: Cho các cặp số ai (i=1….n) và bi(i=1 n) thuộc R, ta luôn có: 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 (a a   a n)(b b   b n)  (a b a b   a b n n) Dấu “=” xảy ra  1 2 1 2 n n a a a b b   b  Bất đẳng thức vecto: ………

………

1/ x  3 5  x x  8x 18

2

2 /x   x 2 4x  3 3 2  x

Trang 6

a x 2   4 x   x2 6x 11  (nghiệm x = 3)

b x 2   10 x   x2 12x 52 

c x2 2x 5   x 1   2 (nghiệm x = 1)

d 3x2 6x 7   5x2 10x 14    4 2x  x2 (nghiệm x = –1)

   

  

a 2 7x3 11x2 25x 12   x2 6x 1 

b 2 5x3 3x2 3x 2   x2 6x 1 

c 2 x2 2 12 4 (x 1)

x x

Bài 4 Giải phương trình:

2

2 2

Bài 5 Giải phương trình 13 x2 x4  9 x2 x4  16

2 Phương pháp đặt ẩn phụ:

a) Đặt ẩn phụ cơ bản:

Ví dụ: 2 2

1/ 2x  4x x  2x  2 2

2/ |x  2 |x  x  2x 12

2

3 / 3 x   (x 2) |x  2 | 0

Bài tập tự luyện:

a (x 1)(x   4)  5 x2 5x  28 b 5x2 10x 1    7 2x  x2

Trang 7

c (4 x)(6 x)    x2 2x 12  d x(x 5)   2 x3 2 5x 2   2

Bài 2 Tìm m để phương trình có nghiệm

b 2

8



 

a 5 x 5 2x 1 4

2x

2 x

2x

2 x

b) Đặt nhiều ẩn phụ cùng lúc để biến đổi xung quanh phương trình nhiều ẩn:

Ví dụ: 2

1/ 2x  3x  2 x 3x 2 (đưa về phương trình đẳng cấp)

2 / x  1 x   2 1 x 3x 2 ( đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích)

a 2x2 5x 1 7 x   3 1 (Đặt u  x 1; v   x2  x 1)

b x2 3 x2  1 x4 x2 1 (Đặt a = x² và b  x2 1)

Bài 2 Giải phương trình: x2 2x  2x 1   3x2 4x 1 

Bài 3 Giải phương trình: 4x2 5x 1 2 x   2   x 1 9x 3 

Bài 4 Giải phương trình: x3 3x2 2 (x  2)3  6x  0

Bài 5: Giải các phương trình

a x3 3x2 2 (x 1)  3 3x  0

b x3 (3x2 4x 4) x 1    0

Trang 8

c) Đặt nhiều ẩn phụ cùng lúc rồi đưa về hệ phương trình:

Ví dụ: Giải phương trình : Giải phương trình

3 2x 1 6 x     4 (2x 1)(x   4)   7 0

Đặt u 2x 1 2 2





Thay vào phương trình: 3u – 6v + uv + 7 = 0 (2)

Thay (1) vào (2) và rút gọn được (2v – u)(u + v – 3) = 0 <=> x = 0

Giải phương trình

a 2 3x 23   3 6 5x    8 0 (A 2009) Nghiệm x = –2

b 2 3x 2 3 6 5x 16 3      0

c x  17 x  2 x 17 x  2  9

d x 35 x (x3  3 335 x )  3  30

e

2

x 1;

2

 



2

 



g x3  2 3 3x 3  2

d) Đặt ẩn phụ không hoàn toàn:

Ví dụ: 3

1/ 2x   x 3 3x x 3

2

2 / (4x 2) x  8 3x  7x 8

2

x x

x

  



Giải phương trình

Trang 9

a x2 3x  x x2   2 1 2 x2 2 (đặt t  x2 2)

(x 1) x   2x 3   x  1

c x2  1 2x x2 2x Nghiệm x 1   2

d 3x2  x 48  (3x 10) x  2 15

2(x 1) x   2x 1   x  2x 1 

f x2 4x  (x 2) x  2 2x 15 39  

g (1 4x) 4x  2  1 8x2 2x 1 

h (4x 1) x  3  1 2x3 2x 1 

i x3 3x 2   (x 2) x  3 2x 1 

e) Đặt ẩn phụ dạng tổng tích:

Khi trong bài toán xuất hiện f(x).g(x) và f(x)+g(x) Ta dựa vào f(x).g(x) để xác định f(x) và g(x) Sau đó đặt ẩn là f(x)+g(x).(Thường được áp dugn5 trong phương trình lượng giác)

x  x  x  x 

a 2x 3   x 1   3x  2 2x2 5x 3 2   Nghiệm 25 6 17 

b 7x 7   7x 6   2 49x2 7x 42   181 14x 

c x   4 x 4   2x 12 2 x   2 16

d 3x 2   x 1   4x 9 2 3x   2 5x  2

Bài 2 (B 2011) Giải phương trình: 3 2 x   6 2 x   4 4 x  2  10 3x  (nghiệm x = 6/5)

Trang 10

f) Một số phương pháp đặt khác:

 Biến đổi trước khi đặt ẩn:

Ví dụ: 2 1

x

 Tổng của nhiều căn thức nhiều bậc: Để làm những bài này ta phải đoán được nghiệm của phương trình Sau đó ta đặt ẩn cho căn thức

bậc lớn:

Ví dụ: 3

x  x 

 Đặt nhiều ẩn rồi biến đổi một hay một số biểu thức theo ẩn đó:

Ví dụ: 3 3 3

1/ x  1 x  2 2x 3

2 / x  2 2x  1 2 3x 3

Để giải hệ phương trình ta chọn một hoặc chọn nhiều phương trình để biến đổi để đưa về phương trình rồi dùng các phương pháp trên để giải

Một số phương pháp giải phương trình :

- Đặt ẩn phụ:

- Dùng lượng liên hợp

- Biến đổi tương đương để ra nhân tử chung:

- Dùng hàm số để chứng minh các giá trị của biến bằng nhau:

- Dùng tính chất hàm bậc 2:

Ví dụ:

2

1 0

{x y xy x y

  

Chú ý

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	753,46 KB