ôn tập khảo sát hàm số

Giao điểm của hai đồ thị.. Xác định m sao cho đồ thị hàm số 1 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.. Gọi d là đườngthẳng đi qua điểm M0;-1 và có hệ số góc bằng k.. Gọi d là đườngthẳng đi

CÁC BÀI TỐN LQĐ KHẢO SÁT HÀM SỐ

I Giao điểm của hai đồ thị.

Cho y = f x ( ) (C 1 ) và y g x = ( )(C 2 )

( ) ( ; ) ( ) ( )

( )

y g x

=



 Pt hồnh độ giao điểm của ( ) C1 và ( ) C2 : f x ( ) = g x ( ) (*)

Số nghiệm của (*) là số giao điểm của ( ) C1 và ( ) C2

2

P giải : Đại số và dựa vào đồ thị

BT:

Bài 1: Cho hàm số y = − ( x 1)( x2+ mx m + ) (1) Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

Bài 2: Cho hàm số y = 2 x3− 3 x2− 1 (C) Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm M(0;-1) và có hệ số góc bằng k Tìm k để đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt

Bài 3 : Cho hàm số y=x3−3x+2 (C) Gọi (d) là đườngthẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc bằng m Tìm m để đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt

Bài 4 : Cho hàm số y x = 4− x2+ − m 1 (1) Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Bài 5: Cho hàm số 2 2 4

2

y

x

=

− (1) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx+2-2m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt

Bài 6: Cho hàm số

1

1 2

+

−

−

=

x

x x

y (1) Tìm m để đường thẳng (d): y = m(x-3)+1 cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt

Bài 7: Cho hàm số 2 4 1

2

y x

= + Tìm các giá trị của m để đường thẳng (d):y=mx+2-m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thị

Bài 8: Cho hàm số 2

1

y

x

+ +

=

− (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành taị hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương

Bài 9: Cho hàm số 2 1

1

x y x

−

= + Với giá trị nào của m, đường thẳng (dm) đi qua điểm A(-2; 2) và cĩ hệ số gĩc m cắt đồ thị hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt ? tại 2 điểm thuộc 2 nhánh của đồ thị ?

Bài 10: Cho hàm số 2

2 1

x y x

+

= + cĩ đồ thị (C ) và đường thẳng (D): y mx m = + − 1.Tìm m để (D) cắt (C) tại 2 điểm cùng thuộc một nhánh của (C)

Bài 11: Cho hàm số 1

1

x y x

+

=

− cĩ đồ thị (H) và ĐT (d): y = -2x + m Tìm m để (d) cắt (H) tại 2 điểm phân biệt A và B, tìm quỹ tích trung điểm của AB

Bài 12: Cho hàm số

2

1

y

x

− +

=

− cĩ đồ thị (H) và ĐT (d): y = -x + m

Tìm m để (d) cắt (H) tại 2 điểm phân biệt A và B, tìm quỹ tích trung điểm của AB

Bài 13: Cho hàm số

x x

y= +4 (1) Chứng minh rằng đường thẳng (d):y=3x+m luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB, hãy tìm m để I nằm trên đường thẳng (∆):y=2x+3

II Điều kiện tiếp xúc của đồ thị hai hàm số :

(C1) tiếp xúc với (C2) ⇔ hệ : f(x) g(x)' '

f (x) g (x)

=





=

 có nghiệm

 ĐT (d): y = px q + là tiếp tuyến của parabol (P): y = ax2+ + bx c ⇔ ax2+ + = bx c px q + cĩ nghiệm kép

 TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG

a Dạng 1:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) tại điểm M (x ;y ) (C)0 0 0 ∈

Phương pháp:

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x0;y0) có dạng: y = f'(x0)( x - x0 ) + f(x0)

b Dạng 2:

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Gọi M x y ( ; ) ( )0 0 ∈ C là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Bước 2: Tìm x0 bằng cách giải phương trình : f x'( )0 = k, từ đó suy ra y0 = f x ( )0 =?

Bước 3 : Thay các yếu tố tìm được vào pt y = f'(x0)( x - x0 ) + f(x0) ta sẽ được pttt cần tìm

c Dạng 3:

Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA;yA)

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng (∆) qua A và có hệ số góc là k :

y k x x = ( − A) + yA (*)

Bước 2: Định k để (∆) tiếp xúc với (C) Ta có:

f(x)=k(x-x )' A

tiếp xúc (C) hệ có nghiệm (1)

f ( )

A

y

+



=



Bước 3: Giải hệ (1) tìm k Thay k tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm.

BT:

Bài 1.Cho (P):y=x2 −3x−1 và

1

3 2 :

)

−

− +

−

=

x

x x y

C Chứng minh rằng (P) và (C) tiếp xúc nhau Viết pt tiếp tuyến chung của (P) và (C)

Bài 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x3−3x+3 tại điểm uốn của nó

Bài 3 Cho đường cong (C): 1 3 1 2 2 4

y = x + x − x − Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2

Bài 4 Cho đường cong (C):

1

3 2

+

+

=

x

x

y Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

x

:

)

(∆ =−

Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) của hàm số y x 2x 3x

3

1 3− 2 +

= tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất

Bài 6: Cho đường cong (C):

2

1 2

+

− +

=

x

x x

y Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (∆):y=x−2

Bài 7: Cho hàm số

1

6 3 2

+

+ +

=

x

x x

y (C) Tìm trên đồ thị (C) các điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng

x

y

d

3

1

:

)

Bài 8: Cho đường cong (C): 2 1

1

y x

+ +

= + Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến với (C) tại đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C)

Bài 9: Cho hàm số

1

1 2

−

+

−

=

x

x x

y Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(0;1) và tiếp xúc với đồ thị hàm số

Bài 10: Cho đường cong (C): y=x3−3x2+2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(2;-7)

Bài 11 Cho đường cong (C): 2 5

2

x y x

−

=

− Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;0).

Bài 12 Cho đường cong (C): y=x3+3x2 +4 Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1)

III Tìm điểm cố định của họ đường cong

PP:

B 1: Gọi K x y ( ; ) là điểm cố định (nếu có) mà họ (Cm) đi qua Khi đó phương trình:

y = f x m ( , ) nghiệm đúng ∀m (1)

B2: Biến đổi phương trình (1) về một trong các dạng sau:

Dạng 1: Am+B=0 ∀m

Dạng 2: Am2 +Bm+C=0 ∀m

Áp dụng Am+B=0







=

=

⇔∀

0

0

B

A

m (2)









=

=

=

⇔

∀

= +

+

0 0

0 0

2

C B

A m C

Bm

Am (3)

B 3: Giải hệ (2) hoặc (3) ta sẽ tìm được ( ; ) x y

BT:

Bài 1: CM: đt y mx m = + − 1luơn đi qua một điểm cố định

Bài 2: Cho h/s 4

2( 1)

y

mx

−

=

− cĩ đồ thị (Hm) Chứng minh ∀ ≠ ± m 1/ 2, các đường cong đi qua hai điểm cố định

IV Các bài toán về sự đối xứng

PP: Dùng cơng thức chuyển hệ tọa độ

Bài 1: Cho hàm số

1

1 2

−

+

−

=

x

x x

y (C) Chứng minh rằng (C) nhận giao điểm hai tiệm cận đứng và xiên làm tâm đối xứng

Bài 2: Cho hàm số 3

2 1

x y x

+

=

− (C) Chứng minh rằng (C) nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

Bài 3: Cho hàm số y x = 3− 3 x2 + 3 x + 1(C) Chứng minh rằng (C) nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

Hết!!!