BÀI GIẢNG SỐ 03: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO NGUYÊN HÀM CƠ BẢN A.
Trang 1BÀI GIẢNG SỐ 03: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Các công thức tính tích phân
a) ( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
a
a
f x dx
kf x dxk f x dx kR
f x dx f x dx f x dx
h) Nếuf x g x ;x a,bthì ( ) ( )
f x dx g x dx
i) Nếumf x M;x a,bthì ( )
B VÍ DỤ MINH HỌA
Vídụ 1: Tính các tích phân sau:
1 x x
1 x 2 1
0
2
d I =
3
1
2 3
dx x
x x x
g I =
4
4
0 3
x
b I = 2 2
3 1
2
dx x
e I =
1
2
0 4
xdx x
h I =
1 2
2
0 4
x dx x
c I =
2
2
sin 7 sin 2x xdx
f I =
4 2
0
sin
4 x dx
i I =
2 4
2 (10 sin )
x
x dx
Bài giải:
a I = 1 2
1 2
0
1
1
b I =
2
2 2
1
c I =
(cos 5 cos 9 ) cos 5 cos 9
Trang 22
sin 5 sin 9
d I =
(x x 1)dx x dx xdx dx
3
1
x
= 9 9 3 1 1 1 20
2 2
1 0
4
x x
f I =
4
0
2 x dx
4 4
0
0
0
g I =
4
3
xdx e dx xdx e d e
h I =
1
=
1
2
i I =
2
4
2
x x
x
Vídụ 2: Tính các tích phân sau:
a |x 1|dx
2
0
2 2
2 1
Bài giải:
a Xét biểu thức y = x – 1 trên đoạn0; 2
1, 1; 2 1
x
x x
Trang 3Vậy I =
b Xét biểu thức y = x2 – 1 trên đoạn2; 2
2
y x x
2 2
2
1, 2; 1 1; 2 1
x
x x
Do đó:
=
4
Vídụ 3: Tính các tích phân sau
a I =
16
dx
c I =
2
1 2 9 x dx
b I = x x 8dx
2
0
3 3 2
Bài giải:
a I =
9
16 3 3
2 2
0
9 3 x 9 3x
1348 27
2
3 x d x 3 x dx 3 4 x
c I =
2
2
9
x
Vídụ 4: Tính các tích phân sau:
a I =
1
0
1 x dx
e c I =
4
0
x cos
dx x sin e
b
e
1
2
dx x
x
ln
d I =
1
0
x
dx ) 1 x
3 e
(
Bài giải:
1 1
0 0
(3 1)
Trang 4b I =
3 2
ln (ln )
e e
x
4
0 0
d I =
1
0
x
Vídụ 5: Tính các tích phân sau:
a I =
2 /
0
3 xdx cos x sin
b I = 3sinx)dx
x cos
4 ( 4
4
2
c I =
4
0
2 dx 2
x sin
Bài giải:
a I =
4
3
sin (sin )
x
4 2
4
dx
x
4
4
x
2
Ví dụ 6: Chứng minh các bất đẳng thức tích phân sau đây:
a
2
dx x sin 2 3
1 4
4
3
4
2
b sin2xdx 2 sinxdx
2
0 2
Bài giải:
a Trên đoạn ;3
4 4
ta có:
Trang 52 2
2
2 2 x x 23 2 sin x
Do đó:
3
3
4
4
4
2
dx x sin 2 3
1 4
4 3
4
2
b Trên đoạn 0;
2
, ta có:0cos ,s inx 1x sin 2x2sin cosx x2sinx
Do đó:
sin 2xdx 2 sinxdx 2 sinxdx
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1:Tính các tích phân sau đây
a)
1
0
dx 1
x
1
x 3
1 x ( 8
c) |x 1|dx
2
2
d)
2
2
0
| x 2x3 | dx
2
1
dx
x 1 x 1
3
2
2 x x
1 x
2 x x
x 1
0
2
3
1 2 3
16 x
dx x i)
5
4
9 x 1
j)
1
2
0
dx
x 1
3
2
1 x
1
l)
1
1
5 dx 2 x x
ĐS: a) ln2 b) 125 c) 5d) 4 e) 1(3 3 2 2 1)
f)
4
5 ln 3
1 2
ln
3
2
8
9
ln h)
15
7 ln 8
4 i)
7 4
9 ln
j) ln 2 1 k)ln( 1 2) l) 32ln3
15
526
Bài 2:Tính các tích phân sau:
Trang 6a)
1
0
x
xdx
e 2 b)
4
1
x dx x
e
c) dx
x cos 3 1
x sin 2
0
x
) x sin(ln
e
1
x
x ln 1 e
1
2 /
6 /
3 2
xdx cos x sin
g)
4
0
dx x sin 2 1
x cos
x
x ln
2
e
e
i)
3
4
2 xdx
j) 1 4sinxcoxdx
6
0
4
0
x cos
x sin 1
m) dx
x cot x sin
1 4
6 2
n)
2
0
s inxsin2xsin3xdx
ĐS: a)
2
1 e 2
1
b) 2e2 2e c) ln4
3
1 d) 1 – cos1 e)
3
2 2
f)
480
47 g) ln3 4
1 h)
3
2 2
i) 3 1
12
j)
6
1 3
k) 1 + ln2, m) 24 3 n) 2
6 1
Bài 3: Chứng minh các bất đẳng thức tích phân sau đây:
a)
4
5 dx
x sin 2 3 2
2
4
2
5 dx 2
x 4 1 1
0
2