Các mối quan hệ thường dùng trong việc tính nguyên hàm và tích phân

Khi nhìn vào một bài giải cho bài toán tính nguyên hàm hay tích phân bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến số), bạn đọc thường có câu hỏi: tại sao lại chọn đặt ẩn phụ như vậy? Làm sao chọn ẩn phụ thích hợp? ... Những kiến thức dưới đây sẽ giúp các bạn định hướng được phép đặt ẩn phụ cho mình một cách nhanh chóng mà không phải mày mò làm giảm tốc độ tính nguyên hàm, tích phân của các bạn.

CÁC MỐI QUAN HỆ THƯỜNG DÙNG TRONG VIỆC TÍNH NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Trần Tuấn Anh Khi nhìn vào một bài giải cho bài toán tính nguyên hàm hay tích phân bằng phương pháp đặt ẩn phụ (hay phương pháp đổi biến số)ï, bạn đọc thường có câu hỏi: tại sao lại chọn đặt ẩn phụ như vậy? Làm sao chọn ẩn phụ thích hợp? Những kiến thức dưới đây sẽ giúp các bạn định hướng được phép đặt ẩn phụ cho mình một cách nhanh chóng mà không phải mày mò làm giảm tốc độ tính nguyên hàm, tích phân của các bạn

Trước tiên các bạn cần lưu ý hai kết quả mà chúng ta thường dùng sau đây :

- ( 1 ) df x( )= f '( )x dx

- ( 2 ) Nếu ∫ f u du ( ) = F u ( ) + C và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì:

( ( )) '( ) ( ( )) ( ) ( ( ))

Ví dụ:∫ cos(2 x2 + 3 x + 1) (2 d x2 + 3 x + = 1) sin(2 x2 + 3 x + + 1) C.

(ta hiểu trong suy nghĩ “ 2 x2 + 3 x + 1” là u )

Sau đây chúng ta tìm hiểu các mối quan hệ quan trọng giúp chúng ta tìm nhanh phép đặt ẩn phụ và định hướng nhanh cách giải cho bài toán nguyên hàm, tích phân

1 Quan hệ giữa n

x và n1

x+ (n≠ −1)

ℝ Vậy ta có quan hệ giữa n

x và n 1

x + (n≠ −1) như sau:

1 1

( 1)

a n

+

+

Ví dụ 1. Tính: 2 3 9

Phân tích : Theo lối giải thông thường, các bạn sẽ khai triển biểu thức (2 x3 + 1)9, sau đó nhân với x2 để đưa về nguyên hàm dễ tính hơn Thế nhưng việc khai triển biểu thức (2 x3 + 1)9 là không đơn giản? Do vậy, cách này đã tỏ ra không hiệu quả! Nếu giải bài toán này bằng phương pháp đổi biến số, ta chọn ẩn phụ là

3

2 1

u= x + Tại sao lại chọn được ẩn phu như vậy? Bây giờ các bạn để ý quan hệ giữa 2

x và 3

x như sau:

(2 1) 6

x dx= d x + , nên ta có 2 3 9 1 3 9 3

6

x x + dx = x + d x + Do đó, việc chúng ta chọn ẩn phụ là 3

2 1

u= x + là hoàn toàn tự nhiên, không mang tính áp đặt.

I x (2x 1) dx (2x 1) d(2x 1)

6

u = 2x + 1 ⇒ du = d(2x + 1)

Ta có:

9 1

u = 2x + 1 ta được:

3 10

1

60

+

* Nhận xét: Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các bạn có thể trình bày lời giải nhanh hơn như sau:

1

1

I x (2x 1) dx (2x 1) d(2x 1)

6

3 10

C 60

+

2x + 1” là “u”)

2 Quan hệ giữa 12 và 1

Ta có

' 2

−

 

=

 

  nên quan hệ cần xét giữa 1

x và 12

x là:

2

1 = − 1    +  



 

a

a x x

Ví dụ 2. Tính:

3 1

x

e

x

+

Phân tích:Nếu chưa được biết đến sự quan hệ giữa 12

x và 1

x thì thật không dễ để chúng ta tìm ra ngay phép

đặt ẩn phụ! Các bạn để ý quan hệ giữa 12

x và1

x :

2

1 3

x x

−   

=   + 



  nên ta

có

3

1 2

1 3

x

x

e

dx e d

x x

+

+   

  Do đó, ta có thể chọn ẩn phụ là

3 1

u x

= + .

Bài giải:

3

1

1 3

x

x

e

x x

+

+   

Đặt u 1 3 du d(1 3)

= + ⇒ = +

1

Thay u 1 3

x

= + ta được:

3 1 1

1 3

x

I = − e+ + C

* Nhận xét: Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các bạn có thể trình bày lời giải nhanh hơn như sau:

3

1

x

e

x x

+

3 Quan hệ giữa 1

x và ln x

Ta có ( )' 1

ln x

x

= nên quan hệ cần xét giữa 1

x và ln x là: 1 dx = 1 d a ( ln x + b )

Ví dụ 3. Tính:

2

2 ln x 5 ln x

x ln x

+

Phân tích :Các bạn để ý quan hệ giữa 1

x và ln x : 1

(ln )

dx d x

x = nên ta có

(ln )

Do vậy, ta chọn ẩn phụ là u=lnx

Bài giải:

2

2 ln x 5 ln x 2 ln x 5 ln x

Đặt u = ln x ⇒ du = d(ln x)

2

2u 5u

C

Thay u = ln x ta được:

2

* Nhận xét: Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các bạn có thể trình bày lời giải nhanh hơn như sau:

2

2 ln x 5 ln x 2 ln x 5 ln x

( 2 )

2(ln x) 5 ln x d(ln x)

4 Quan hệ giữa ex và aex + b

Ta có ( x )' x

ae +b =ae nên quan hệ cần xét giữa x

e và x

ae + b là:

1

a

Ví dụ 4. Tính:

1

3

x x

e

e

=

+

Phân tích:Các bạn để ý quan hệ giữa ex và 2 ex + 1: 1

(2 1) 2

e dx = d e + nên ta có

2

x

e

x

e

+ Do vậy,

ta chọn ẩn phụ là u=2e x+1.

Bài giải:

x

2

u = 2e + 1 ⇒ du = d(2e + 1)

Ta có:

1

Thay x

1

3

I ln(2e 1) C 2

= + + (ta không lấy dấu giá trị tuyệt đối vì

x

2e + > 1 0)

* Nhận xét: Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các bạn có thể trình bày lời giải nhanh hơn như sau:

x

x

2

ln(2e 1) C 2

5 Quan hệ giữa sinx và cosx

Ta có ( )'

sinx =cosx và ( )'

cosx = −sinx nên quan hệ cần xét giữa sin x và cos x là:

1

a

1

a

Ví dụ 5. Tính: 3 2

1 = ∫ cos sin x

Phân tích :cos3x sin x= cos cos2 x 2x sin x= cos (12 x − sin x) sin x2 2

Các bạn để ý quan hệ giữa sin x và cos x: cos xdx = d (sin ) x nên ta có

sin

1

(1 sin x) sin xd(sin x)

Đặt u = sin x ⇒ du = d(sin x)

Ta có:

Thay u = sin x ta được:

1

* Nhận xét: Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các bạn có thể trình bày lời giải nhanh hơn như sau:

1

I = ∫ cos x sin xdx= ∫ cos x(1 − sin x) sin xdx

(1 sin x) sin xd(sin x) (sin x sin x)d(sin x)

sin x sin x

C

6 Quan hệ giữa sin 2 x, cos 2 x và sin2x

Ta có ( 2 )'

sin x =2sin cosx x=sin 2x và ( 2 )'

cos x = −2 cos sinx x= −sin 2x nên quan hệ cần xét giữa

2

1

a

2

1

a

Ví dụ 6. Tính:

sin 2

=

+

Giải:Ta biến đổi:

Các bạn để ý quan hệ giữa cos x2 và sin 2x: sin2x dx = − d (2 + cos2x ) nên ta có

2

−

x

Do đó, ta có thể chọn ẩn phụ là

2 cos

u= + x hoặc u = 2 cos + 2x Trong trường hợp này ta nên chọn u = 2 cos + 2x để biểu thức dưới dấu nguyên hàm không còn căn thức

−

u = 2 + cos x ⇒ u = + 2 cos x ⇒ du = d(2 + cos x)

2

−

u = 2 + cos x ta được: 2

2

* Nhận xét: Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các bạn có thể trình bày lời giải nhanh hơn như sau:

2

−

1

(2 cos x) d(2 cos x) 2 (2 cos x) C

−

7 Quan hệ giữa

2

1 os

c x và tan x,

2

1

sin x và cot x

Ta có ( )'

2

1 tan x

os

c x

= và ( )'

2

1 cot x

sin x

−

= nên quan hệ cần xét giữa

2

1 os

c x và tan x,

2

1

sin x và

cot x là:

2

( tan x+b)

os dx = d a

a

( cot x+b)

a x

(ta hiểu công thức trên một cách đơn giản như sau: đưa

2

1 os

c x vào trong vi phân thành ( tan x+b) a ,

đưa 12

sin x vào trong vi phân thành − ( cot x+b) a , với a ≠ 0 và b tùy ý trên ℝ)

Ví dụ 7. Tính:

2 2

cot sin x

 

=   



 

Phân tích:Ta biến đổi:

2

cot

 

 

x Các bạn để ý quan hệ giữa

2

1

sin x và

cot x:

2

1

(cot ) sin dx = − d x

x nên ta có

2

1

x dx xd x Do vậy, ta có thể chọn ẩn phụ là u = cot x.

Bài giải:

2

cot



 

2 cot xd (cot ) x

Đặt u = cot x ⇒ du = d(cot x)

Ta có:

3 2

2

u

3

= − ∫ = − +

Thay u = cot x ta được:

3

2

(cot x)

3

* Nhận xét: Nếu đã thành thạo trong việc sử dụng phương pháp này, các bạn có thể trình bày lời giải nhanh hơn như sau:

x



 

3