DẠNG TOÁN 16: TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO TÍNH CHẤTI... Phân tích hướng dẫn giải1.. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính giá trị của tích phân dựa vào tính chất.. HƯỚNG GIẢI: B1: Nhận xét mối qu
Trang 1DẠNG TOÁN 16: TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO TÍNH CHẤT
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Định nghĩa:
Cho hàm số f liên tục trên K và a b, là hai số bất kỳ thuộc K Nếu Flà một nguyên hàm của f trên
K
thì hiệu số F b( )−F a( )
được gọi là tích phân của f từ a đến b
và kí hiệu là
( )
b
a
f x dx
∫
Trong trường
hợp a b<
, ta gọi
( )
b
a
f x dx
∫
là tích phân của f trên đoạn [ ]a b;
Người ta dùng kí hiệu
( )b a
F x
để chỉ hiệu số F b( )−F a( )
Như vậy Nếu F x( )
là một nguyên hàm của
( )
f x
trên K thì
( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x dx F x= =F b −F a
∫
Tính chất:
Giả sử f g, liên tục trên K và a b c, , là ba số bất kì thuộc K Khi đó ta có
1) ( ) 0
a
a
f x dx=
∫
; 2) ( ) ( )
f x dx= − f x dx
; 3) ( ) ( ) ( )
f x dx+ f x dx= f x dx
4) ( ) ( ) ( ) ( )
f x +g x dx= f x dx+ g x dx
; 5) ( ) ( )
kf x dx k f x dx=
với k R∈
Chú ý là nếu F x′( )= f x( )
với mọi x K∈
thì
( ) ( )
F x =∫ f x dx
II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
BÀI TẬP MẪU
(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2020-2021) Nếu
( )
2 1
d 5
f x x=
∫
và
( )
3 2
f x x= −
∫
thì
( )
3 1
d
f x x
∫
bằng
Trang 2Phân tích hướng dẫn giải
1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính giá trị của tích phân dựa vào tính chất
2 HƯỚNG GIẢI:
B1: Nhận xét mối quan hệ giữa các tích phân đã cho và tích phân cần tìm: hàm, cận
B2: Áp dụng tính chất 3 để tính
Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:
Lời giải Chọn A
f x x= f x x+ f x x= + − =
Bài tập tương tự và phát triển:
Mức độ 1
Câu 1 Biết
( )
2 1
d 2
f x x=
∫
và
( )
2 1
d 6
g x x=
∫
, khi đó
( ) ( )
2 1
d
f x −g x x
∫
bằng
Lời giải Chọn B
Ta có:
f x −g x x= f x x− g x x= − = −
Câu 2 Biết tích phân
( )
1
0
3
=
∫ f x dx
và
( )
1
0
4
= −
∫g x dx
Khi đó
( ) ( )
1
0
+
∫ f x g x dx
bằng
A −7
Lời giải Chọn C
Ta có
f x +g x dx= f x dx+ g x dx= + − = −
Câu 3 Cho
( )
1 0
d 2
f x x=
∫
và
( )
1 0
d 5
g x x=
∫
, khi
1
0
f x − g x x
∫
bằng
A −8
D 12 Lời giải
Chọn A
Có
∫ f x g x x ∫ f x x ∫g x x
2 2.5 8
= − = −
Câu 4 Cho
( )
2 2
d 1
f x x
−
=
∫
,
( )
4 2
f t t
−
= −
∫
Tính
( )
4 2
d
f y y
∫
A I =5
B I = −3
C I =3
D I = −5
Lời giải
Trang 3Chọn D
Ta có:
=
,
f y y= f x x
Khi đó:
Vậy
( )
4
2
f y y= −
∫
Câu 5 Cho
1
0
( )
f x
∫
dx= −1
;
3
0
( )
f x
∫
dx=5
Tính
3 1
( )
f x
∫ dx
Lời giải Chọn C
Ta có
3
0
( )
f x
∫
dx =
1
0
( )
f x
∫
dx +
3 1
( )
f x
∫ dx
3 1
( )
f x
⇒∫
dx =
3
0
( )
f x
∫
dx
1
0
( )
f x
−∫
dx = 5+ 1= 6
Vậy
3 1
( )
f x
∫
dx = 6
Câu 6 Cho
( )
2 1
f x x= −
∫
và
( )
3 2
d 4
f x x=
∫
Khi đó
( )
3 1
d
f x x
∫
bằng
Lời giải Chọn C
( )
3
1
d
f x x
=∫ +∫ = − +3 4 =1
Câu 7 Cho
f x dx f x dx
−
Tích phân
( )
3
1
f x dx
∫
bằng
Lời giải Chọn B
Có
Trang 4Câu 8 Cho hàm số f x( )
liên tục trên ¡
và
( )
4
0
d 10
f x x=
∫
,
( )
4
3
d 4
f x x=
∫
Tích phân
( )
3
0
d
f x x
∫
bằng
Lời giải Chọn D
Theo tính chất của tích phân, ta có:
f x x+ f x x= f x x
Suy ra:
( )
3
0
d
f x x
f x x f x x
Vậy
( )
3
0
d 6
f x x=
∫
Câu 9 Cho hàm số
( )
f x
liên tục trên ¡
thoả mãn
( )
8 1
d 9
f x x=
∫
,
( )
12 4
d 3
f x x=
∫
,
( )
8 4
d 5
f x x=
∫
Tính
( )
12 1
d
I =∫ f x x
A I=17 B I =1
C I=11
D I =7
Lời giải Chọn D
Ta có:
I =∫ f x x=∫ f x x+∫ f x x
Câu 10 Cho hàm số f x( )
liên tục trên [0;10]
thỏa mãn
( )
10
0
7
f x dx=
∫
,
( )
6 2
3
f x dx=
∫
Tính
P=∫ f x dx+∫ f x dx
A P=10
B P=4
C P=7
D P= −6
Lời giải Chọn B
Ta có
f x dx= f x dx+ f x dx+ f x dx
Suy ra
7 3 4
f x dx+ f x dx= f x dx− f x dx= − =
Mức độ 2
Trang 5Câu 1 Cho f , g
là hai hàm liên tục trên đoạn [ ]1;3
thoả:
( ) ( )
3 1
f x + g x x=
∫
,
( ) ( )
3
1
2f x −g x dx=6
∫
Tính
( ) ( )
3
1
d
f x +g x x
∫
Lời giải Chọn B
( ) ( )
3
1
f x + g x x=
f x x+ g x x=
( ) ( )
3
1
2f x −g x dx=6
2∫ f x xd −∫g x xd =6 ( )2
Đặt
( )
3
1
d
X =∫ f x x
,
( )
3
1
d
Y =∫g x x
Từ ( )1
và ( )2
ta có hệ phương trình:
3 10
X Y
4 2
X Y
=
=
Do đó ta được:
( )
3 1
d 4
f x x=
∫
và
( )
3 1
d 2
g x x=
∫
Vậy
( ) ( )
3
1
d 4 2 6
f x +g x x= + =
∫
Câu 2 Cho
( )
2 0
d 5
f x x
π
=
∫
Tính
( )
2 0
2sin d 5
π
=∫ + =
A I =7
5 2
I = +π
C I =3
D I = +5 π
Lời giải Chọn A
Ta có:
2sin d d +2 sin d
π
2
2 0 0
d 2cos 5 2 0 1 7
π
π
Câu 3 Cho
( )
2 1
d 2
f x x
−
=
∫
và
( )
2 1
g x x
−
= −
∫
Tính
( ) ( )
2 1
−
= ∫ + −
Trang 6
A
17 2
I =
5 2
I =
7 2
I =
11 2
I =
Lời giải Chọn A
Ta có:
( ) ( )
2 1
−
2
1
2
x
−
+ ∫ − ∫ = 3 2.2 3 1( )
2+ − −
=
17 2
Câu 4 Cho hai tích phân
( )
5 2
d 8
−
=
∫ f x x
và
( )
2
5
d 3
−
=
∫g x x
Tính
( ) ( )
5 2
−
= ∫ − −
Lời giải Chọn A
( ) ( )
5 2
−
= ∫ − −
= ∫ f x x− ∫ g x x−∫ x
−
= ∫ f x x+ ∫ g x x−∫ x 5
8 4.3
2
−
x
8 4.3 7
= + − =13
Câu 5 Cho
( )
2 1
4f x −2x dx=1
∫
Khi đó
( )
2 1
f x dx
∫
bằng:
Lời giải Chọn A
2
2
x
Câu 6 Cho
6
0
( )d =12
∫ f x x
Tính
2
0
(3 )d
=∫
I f x x
A I =5
B I =36
C I =4
D I =6
Lời giải Chọn C
6
0
(3 )d (3 )d3 ( )d 12 4
I f x x f x x f t t
Câu 7 Cho biết
( )
5
1
d 15
f x x
−
=
∫
Tính giá trị của
2
0
5 3 7 d
P=∫f − x + x
A P=15
B P=37
C P=27
D P=19
Trang 7
Lời giải Chọn D
Đặt t= −5 3x ⇒dt= −3dx
1
d = d 3
Đổi cận: x=0
thì t=5
; x=2
thì t= −1
Ta có:
2
0
5 3 7 d
P=∫f − x + x 2 ( ) 2
5 3 d + 7d
0 5
d 7 3
t
f t x
−
−
1
1
d 14
3− f t t
1
.15 14 19 3
Câu 8 Cho
( )
4
0
2020
d =
∫ f x x
Tính tích phân
2
0
I =∫f x + f − x x
A I =0
B I =2020
C I =4040
D I =1010
Lời giải Chọn B
Ta có
I =∫ f x x+∫ f − x x H K= +
Tính
( )
2
0
2
K =∫ f x dx
Đặt t=2x⇒ =dt 2dx
; đổi cận: x= ⇒ =0 t 2;x= ⇒ =2 t 4
Nên
( )
4
0
1
1010
K f t t
Tính
2
0
d
4 2
H =∫ f − x x
,
Đặt t= −4 2x⇒ = −dt 2dx
; đổi cận:
x= ⇒ =t x= ⇒ =t
Nên
( )
4
0
1
1010
H f t t
Suy ra I = + =K H 2020
Câu 9 Cho y= f x( )
là hàm số chẵn, liên tục trên [−6;6]
Biết rằng
( )
2 1
d 8
f x x
−
=
∫
;
( )
3 1
2 d 3
f − x x=
∫
Giá trị của
( )
6 1
d
−
=∫
là
A I =5
C I =14
D I =11
Lời giải Chọn C
Trang 8Ta có y= f x( )
là hàm số chẵn, suy ra f (−2x) = f ( )2x
Khi đó:
f − x x= f x x=
Xét tích phân:
( )
3 1 1
2 d
I =∫ f x x
Đặt
1
2
t= x⇒ =t x⇔ t= x
Đổi cận: x= ⇒ =1 t 2
; x= ⇒ =3 t 6
I =∫ f t t= ∫ f t t= ⇒∫ f t t= 6 ( )
2
d 6
f x x
Vậy
Câu 10 Cho f x( )
, g x( )
là hai hàm số liên tục trên đoạn [−1;1]
và f x( )
là hàm số chẵn, g x( )
là
hàm số lẻ Biết
( )
1 0
d 5
f x x=
∫
;
( )
1 0
d 7
g x x=
∫
Mệnh đề nào sau đây là sai?
A.
( )
1 1
d 10
f x x
−
=
∫
( ) ( )
1 1
d 10
f x g x x
−
∫
C.
( ) ( )
1 1
d 10
f x g x x
−
∫
( )
1 1
d 14
g x x
−
=
∫
Lời giải Chọn D
Vì f x( )
là hàm số chẵn nên
d 2 d 2.5 10
−
Vì g x( )
là hàm số lẻ nên
( )
1 1
d 0
g x x
−
=
∫
⇒ 1 ( ) ( )
1
d 10
f x g x x
−
∫
và
( ) ( )
1 1
d 10
f x g x x
−
∫
Mức độ 3
Câu 1 Cho hàm số y= f x( )
liên tục trên đoạn [−1;3]
thỏa mãn
( )
1
0
d 2
f x x=
∫
và
( )
3 1
d 4
f x x=
∫
Tính
( )
3 1
d
−∫
Trang 9
A 6 B 4 C 8 D 2.
Lời giải Chọn C
Vì f x( )
là hàm chẵn nên
f x x f x x f x x
−
Ta có:
2 f x xd f x xd 4 4 8
Câu 2. Biết
( )
2
0
d 6
f x +x x=
∫
và
2
0
3f x −g x dx=10
∫
Tính
2
0
I = ∫ f x g x x
A I =12
B I =16
C I =10
D I =14
Lời giải Chọn D
Ta có
2
x
3f x −g x dx=10⇔ 3f x xd − g x xd =10⇒ g x xd = 3f x xd −10 2=
2
0
2 +3 d 2.4 3.2 14
I =∫ f x g x x= + =
Vậy I =14
Câu 3 Cho f g, là hai hàm số liên tục trên [ ]1;3
thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
3 1
3 dx=10
f x + g x
∫
đồng
thời
( ) ( )
3 1
2f x −g x dx=6
∫
Tính
3 1
4 dx
f −x
∫
+2
2 1
2 1 dx
g x−
∫
Lời giải Chọn B
Ta có:
( ) ( )
3 1
3 dx=10
f x + g x
dx+3 dx=10
( ) ( )
3
1
2f x −g x dx=6
2 f x dx- g x dx=6
Đặt
dx; v = dx
u=∫ f x ∫g x
Trang 10
Ta được hệ phương trình:
3 10
u v
+ =
− =
4 2
u v
=
⇔ =
( ) ( )
3
1 3 1
dx=4 dx=2
f x
g x
⇒
∫
∫ + Tính
3 1
4 dx
f −x
∫
Đặt t= − ⇒ = −4 x dt dx;x= ⇒ =1 t 3;x= ⇒ =3 t 1
+ Tính
2 1
2 1 dx
g x−
∫
Đặt z=2x− ⇒1 dz 2dx;= x= ⇒ =1 z 1;x= ⇒ =2 z 3
Vậy
3 1
4 dx
f −x
∫
+2
2 1
2 1 dx = 6
g x−
∫
Câu 4 Cho hàm số f x( )
liên tục trên ¡
thỏa
( )
1 0
d 2
f x x=
∫
và
2 0
3 1 d 6
∫
Tính
( )
7 0
d
I =∫ f x x
A I =16
B I =18
C I =8
D I =20
Lời giải Chọn D
( )
1
0
d 2
A=∫ f x x=
,
2
0
3 1 d 6
B=∫ f x+ x=
đặt t=3x+ ⇒1 dt=3dx
Đổi cận :
= ⇒ =
= ⇒ =
Ta có:
1
3
Vậy
I =∫ f x x=∫ f x x+∫ f x x=
Trang 11
Câu 5 Cho hàm số f x( )
liên tục trên ¡
và thỏa mãn
4
2 0
tan x f cos x xd 2
π
=
∫
và
( )
2 ln2
d 2 ln
e
e
x
∫
Tính
( )
2
1 4
2 d
x x
∫
Lời giải Chọn D
*
2
cos 1
tan cos d sin2 d
2 cos
x
Đặt
2
cos x t= ⇒sin 2 dx x= −dt
Đổi cận
4
π
2
Khi đó
( )
1 2 1
1
1
d 2
f t
t
1
1 2
d 4
f t t t
*
Đặt
2
ln x t=
2ln
d d
x
x
Đổi cận
Khi đó
( )
4 2 1
1
d 2
f t
t
1
d 4
f t t t
* Tính
( )
2
1 4
2 d
x
=∫
Đặt 2x t=
1 d 2
Đổi cận
Trang 12t 1
Khi đó
Câu 6 Cho hàm số f x( )
liên tục trên ¡
và thỏa mãn
2
2
1 4
cot x f sin x xd f x dx 1
x
π
π
Tính tích
phân
( )
1
1 8
4 d
x x
∫
A I =3
3 2
I =
C I =2
5 2
I =
Lời giải Chọn D
Đặt
2
2 1
4
cot sin d 1
π
π
,
( )
16 2 1
d 1
x
+ Đặt
2
sin
t= x ⇒dt=2sin cos dx x x =2sin cot d2 x x x =2 cot dt x x
2
2 1
4
cot sin d
π
π
1 2
1 d 2
t
2
1
d 2
f t t t
1 8
4 1
d 4
2 4
x x
1 4
1 8
4 1
d 2
x x
= ∫
Suy ra
( )
1 4
1 1
8
4
∫
+ Đặt t= x ⇒2 dt t =dx
( )
16 2
1
d
x
1
2 d
f t
t t t
1
2 f t dt t
1 4
4
4
x x
4
4
2 f x dx x
= ∫
Trang 13
Suy ra
( )
1
2 1
4
d
∫
Khi đó, ta có:
2
2 2
= + =
Câu 7 Biết
( )
4 1
d =5
∫ f x x
và
( )
5 4
d =20
∫ f x x
Tính
4 −3 −
∫ f x dx ∫ f e x e xdx
A
15 4
I =
B I =15
5 2
I = D I =25
Lời giải Chọn A
Đặt t=4x− ⇒ =3 dt 4dx
thì
∫ f x dx ∫ f t td ∫ f t td ∫ f t td
Đặt
u e du e dx
thì
∫ f e x e xdx ∫ f u ud
Vậy
25 5 15
4 2 4
I = − =
Câu 8 Cho hàm số f x( )
liên tục trên ¡
thỏa mãn f ( )2x =3f x( )
, ∀ ∈x ¡
Biết rằng
( )
1
0
d 1
f x x=
∫
Tính tích phân
( )
2
1
d
I =∫ f x x
A I =5
C I =3
D I =2
Lời giải Chọn A
Ta có:
1
2
Đặt: 2x t= ⇒d 2( )x =dt
, với x= ⇒ =0 t 0
; x= ⇒ =1 t 2
(do hàm số f x( )
liên tục trên ¡
)
Trang 14⇔ 2 ( )
0
d 6,
f x x= ∀ ∈x
( )
2 1
1 f x xd 6, x
( )
2
1
d 5,
Câu 9 Cho hàm số f x( ) liên tục trên ¡
thỏa mãn
8
2
( ) tan (cos )d d 6
π
x
Tính tích
phân
1 2
( ) d
∫ f x x x
Lời giải Chọn C
+) Đặt
Đổi cận x= ⇒ =1 t 1
và x= ⇒ =8 t 2
Khi đó
2 3
d = 3 d =3 d =6
2 1
(t)
d 2
⇒∫ f t=
t
+) Đặt
cos d 2cos sin d d 2cos tan d tan d d
2
t
Đổi cận: x= ⇒ =0 t 1
và
1
π
= ⇒ =
Khi đó
1
1
2
1
4
2
π
+) Đặt
d 2 d d 2
2
Đổi cận:
= ⇒ =
và x= 2⇒ =t 2
Khi đó
( ) 1 (t) 1 (t) 1 (t) 2 12
+
Mức độ 4
Trang 15 Mức độ 4
Câu 1. Cho hàm số y = f x( )
liên tục trên đoạn [ ]0; 1
, thỏa mãn
f x x= xf x x=
và ( )
1
2 0
d 4
f x x=
∫
Giá trị của tích phân
( )
1
3 0
d
f x x
∫
bằng
A 1
Lời giải Chọn C
Xét
1
2 0
d
f x + ax b+ x
f x x f x ax b x ax b x
=∫ + ∫ + +∫ +
3
1
3
a xf x x b f x x ax b
a
3
a
a b ab b
Cần xác định a b, để
2
2
3
a
b a b b
Ta có:
3
2 0 3
b
− −
⇒ = ⇒ = −
Khi đó:
1
2 0
f x + − +x x=
Suy ra
f x x= x− x
0
1
24 x
Câu 2. Cho hàm số f x( )
có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f x( ) >0
khi x∈[ ]1, 2
Biết
( )
2 1
f x dx=
∫
và
( ) ( )
2
1
'
ln 2
f x dx
f x =
∫
Tính f ( )2
A f ( )2 = −10
B f( )2 =20
C f ( )2 =10
D f ( )2 = −20
Lời giải Chọn B
Ta có:
2
2 1 1
∫
(gt) ( )
2
2 1 1
1
f x = = − = f =
∫
(gt)
Trang 16Vậy ta có hệ:
( ) ( )
( ) ( )
2 20 2
1
f f
f f
=
=
Câu 3. Cho hàm số f x( )
có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ]4;8
và f ( )0 ≠0
với ∀ ∈x [ ]4;8
Biết
rằng
( ) ( )
2 8
4 4
1
f x
dx
f x
′
∫
và
Tính f ( )6
A
5 8
2 3
3 8
1 3
Lời giải Chọn D
+) Xét
( )
8
f x df x dx
′
+) Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để
( ) ( )
2 8
2 4
0
f x
k dx
f x
∫
Ta có:
( )
2 2
2
4
f x
′
Suy ra:
1 2
k= −
thì
( )
2
0
( )
6 2 4
6
df x
f
Câu 4. Cho hàm số y = f x( )
có đạo hàm f x′( )
liên tục trên đoạn [ ]0;5
và đồ thị hàm số y= f x′( ) trên đoạn [ ]0;5
được cho như hình bên
5
−
3 5
1
x O
y
Tìm mệnh đề đúng
A f ( )0 = f ( )5 < f ( )3
B f ( )3 < f ( )0 = f ( )5
Trang 17
C. f ( )3 < f ( )0 < f ( )5
D f ( )3 < f ( )5 < f( )0
Lời giải Chọn C
Ta có
5
3
f x x′ = f − f >
∫
, do đó f ( )5 > f ( )3
3
0
f x x′ = f − f <
∫
, do đó f ( )3 < f ( )0
5
0
f x x′ = f − f <
∫
, do đó f ( )5 < f( )0
Câu 5. Biết rằng hàm số f x( ) =a x2 + +bx c
thỏa mãn
7
2
f x x = − f x x= −
( )
3
0
13 d 2
f x x=
∫ (a b c, , ∈¡ )
Tính giá trị của biểu thức P a b c= + +
A
3 4
P = −
B
4 3
P = −
3 8
P =
3 4
P =
Lời giải Chọn B
Ta có
f x dx= x + x +cx = d + d +cd
∫
Do đó:
( ) ( ) ( )
1
0
2
0
3
0
7 d 2
13 d 2
f x x
f x x
f x x
= −
∫
∫
∫
7
8
3
16
a b
c
a
c
a b c
Vậy
4 3
P a b c= + + = −
Câu 6. Cho hàm số f x( )
xác định trên
0;
2
π
thỏa mãn
2 2 0
2
π
∫
Tích phân
( ) 2 0 d
f x x
π
∫
bằng
A 4
π
π
Lời giải
Trang 18Chọn B
Ta có:
2 2 0
4
π
π
0
2
π
π
0
1 sin 2 dx x
π
2 0
1 cos 2 2
π
Do đó:
2 2 0
4
π
π
0
4
π
π
0
π π
2
0
π
∫
2 0
4
π
π
∫
Suy ra
4
f x − x−π =
, hay
( ) 2 sin
4
f x = x−π
Bởi vậy:
( )
4
π
0
4
x
π
π
Câu 7. Cho hai hàm số f x( )
và g x( )
có đạo hàm trên đoạn [ ]1; 4
và thỏa mãn hệ thức
( ) ( )
Tính
( ) ( )
4 1
d
I =∫f x +g x x
A 8ln 2 B 3ln 2 C 6ln 2 D 4ln 2
Lời giải Chọn A
Ta có f x( )+g x( ) = −x f x ′( ) +g x′( ) ( ) ( )
f x g x
f x g x x
+
f x g x
+
∫ ∫ ⇒ln f x( ) +g x( ) = −ln x +C
Theo giả thiết ta có C−ln 1 ln= f ( )1 +g( )1 ⇒ =C ln 4
Suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
4 4
f x g x
x
f x g x
x
, vì f ( )1 +g( )1 =4
nên
( ) ( ) 4
x
Trang 19( ) ( )
4 1
d 8ln 2
⇒ =∫ + =
Câu 8 Cho hàm số y= f x( )
liên tục trên ¡ \ 0; 1{ − }
thỏa mãn điều kiện f ( )1 = −2ln 2
và ( 1 ) ( ) ( ) 2
x x+ f x′ + f x = +x x
Giá trị f ( )2 = +a bln 3
, vớia b, ∈ ¤
Tính
2 2
a +b
A
25 4
9 2
5 2
13 4
Lời giải Chọn B
Từ giả thiết, ta có ( ) ( ) ( ) 2
1
x x+ f x′ + f x = +x x ⇔ ( )
1
( )
.
f x
′
, với ∀ ∈x ¡ \ 0; 1{ − }
Suy ra
( )
1
x
f x
x x x
= +
∫
hay
( )
1
x
f x
x+ = −x ln x+ +1 C
Mặt khác, ta có f ( )1 = −2ln 2
nên C= −1
Do đó
( )
1
x
f x
x+ = −x ln x+ −1 1
Với x=2
thì
( )
2 2 1 ln 3
Suy ra
3 2
=
a
và
3 2
b= −
Vậy
2 2 9
2
a +b =
Câu 9. Cho hàm số f x( )
có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ]0;1
đồng thời thỏa mãn f′( )0 =9
và
9f′′ x +f x′ −x =9
Tính T = f ( )1 − f ( )0
A T = +2 9 ln 2
B T =9
1
9 ln 2 2
T = +
D T = −2 9 ln 2
Lời giải Chọn C
Ta có ( ) ( ) 2
9f′′ x +f x′ −x =9 ( ( ) ) ( ) 2
9 f′′ x 1 f x′ x
( )
1 1 9
f x
′′ −
′ −
Lấy nguyên hàm hai vế
( )
9 '
f x
′′ −
−
′ −
Do f′( )0 =9
nên
1 9
C=
suy ra
x
′ − =
+ f x( ) 91 x
x
′
+
Trang 20Vậy
0
9
1
x
+
∫
1 2
0
9ln 1
2
x x
=9 ln 2+12
Câu 10 Cho hàm số f x( )
có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ]0;1
, f x( )
và f x′( )
đều nhận giá trị dương
trên đoạn [ ]0;1
và thỏa mãn f( )0 =2
,
2
f x f x x f x f x x
Tính ( )
1
3 0
d
f x x
∫
A
15
4
15 2
17 2
19 2
Lời giải Chọn D
Theo giả thiết, ta có
2
f x f x x f x f x x
2
f x f x x f x f x x
1
2 0
f x f x f x f x x
2 1
0
( ) ( ) 1 0
f x f x′
3
f x
x C
Mà
( )0 2 8
3
f = ⇒ =C
Vậy f3( )x =3x+8
Vậy
1
3
x
( ) ( )
4 1
d 8ln 2
I =∫f x +g x x=