NW359 360 DẠNG 16 TÍNH TÍCH PHÂN dựa vào TÍNH CHẤT GV

DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính giá trị của tích phân dựa vào tính chất.. HƯỚNG GIẢI: B1: Nhận xét mối quan hệ giữa các tích phân đã cho và tích phân cần tìm: hàm, cận.. B2: Áp dụng tí

Trang 1

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 Định nghĩa:

Cho hàm số f liên tục trên K và a b, là hai số bất kỳ thuộc K Nếu F là một nguyên hàm của f trên

K thì hiệu số F b( )F a( ) được gọi là tích phân của f từ a đến bvà kí hiệu là ( )

b

a

f x dx

�

Trong trường

hợp a b , ta gọi ( )

b

a

f x dx

�

là tích phân của f trên đoạn  a b;

Người ta dùng kí hiệu ( )

b a

F x

để chỉ hiệu số F b( )F a( ) Như vậy Nếu F x 

là một nguyên hàm của

 

f x trên K thì ( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dx F x F b F a

�

 Tính chất:

Giả sử f g, liên tục trên K và a b c, , là ba số bất kì thuộc K Khi đó ta có

1) ( ) 0

a

f x dx

�

;

2) ( ) ( )

f x dx  f x dx

;

3) ( ) ( ) ( )

f x dx f x dx f x dx

 

4) ( ) ( ) ( ) ( )

f x g x dx f x dx g x dx

;

5) ( ) ( )

kf x dx k f x dx

với k R� . Chú ý là nếu F x�( ) f x( ) với mọi x K� thì F x( )�f x dx( )

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2020-2021)Nếu 2  

1

f x x

�

và 3  

2

f x x 

�

thì 3  

1

d

f x x

�

bằng

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tính giá trị của tích phân dựa vào tính chất

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Nhận xét mối quan hệ giữa các tích phân đã cho và tích phân cần tìm: hàm, cận

B2: Áp dụng tính chất 3 để tính

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải DẠNG TOÁN 16: TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO TÍNH CHẤT

Trang 2

Chọn A

f x x f x x f x x   

� � �

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

Câu 1 Biết 2  

1

f x x

�

và 2  

1

g x x

�

, khi đó 2    

1

d

f x g x x

�

bằng

Lời giải Chọn B

f x g x x f x x g x x   

Câu 2 Biết tích phân 1  

0

3



�f x dx

và 1  

0

4

 

�g x dx

Khi đó 1    

0



�f x g x dx

bằng

Lời giải Chọn C

Ta có

f x g x dx f x dx g x dx    

Câu 3 Cho 1  

0

f x x

�

và 1  

0

g x x

�

, khi 1    

0

f x  g x x

�

bằng

Lời giải Chọn A

�f x g x x �f x x �g x x

Câu 4 Cho 2  

2

f x x





�

, 4  

2

f t t



 

�

Tính 4  

2

d

f y y

�

Lời giải Chọn D

Ta có: 4   4  

f t t f x x



� �

, 4   4  

f y y f x x

� �

Khi đó: 2   4   4  

f x x f x x f x x

     

f x x f x x f x x

Vậy 4  

2

f y y 

�

Trang 3

Câu 5 Cho

1

0

( )

f x

�

dx  ; 1

3

0

( )

f x

�

dx5 Tính

3 1

( )

f x

�

dx

Ta có

3

0

( )

f x

�

dx =

1

0

( )

f x

�

dx +

3 1

( )

f x

�

dx

3 1

( )

f x

dx =

3

0

( )

f x

�

dx

1

0

( )

f x

dx = 5+ 1= 6 Vậy

3 1

( )

f x

�

dx = 6

Câu 6 Cho 2  

1

f x x 

�

và 3  

2

f x x

�

Khi đó 3  

1

d

f x x

�

bằng

 

3

1

d

f x x

� 2   3  

f x x f x x

Câu 7 Cho 0   3  

f x dx f x dx



� �

Tích phân 3  

1

f x dx

�

bằng

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

Câu 8 Cho hàm số f x 

liên tục trên � và 4  

0

d 10

f x x

�

, 4  

3

d 4

f x x

�

0

d

f x x

�

bằng

Theo tính chất của tích phân, ta có: 3   4   4  

f x x f x x f x x

Suy ra: 3  

0

d

f x x

� 4   4  

f x x f x x

� �  10 4 6



Vậy 3  

0

d 6

f x x

�

Câu 9 Cho hàm số f x( )

liên tục trên � thoả mãn 8  

1

f x x

�

, 12  

4

f x x

�

, 8  

4

f x x

�

Tính

 

12 1

d

I �f x x

Trang 4

A I=17 B I = 1 C I= 11 D I =7.

I �f x x�f x x�f x x

f x x f x x f x x

liên tục trên 0;10

thỏa mãn 10  

0

7

f x dx

�

, 6  

2

3

f x dx

�

Tính

P�f x dx�f x dx

Ta có 10   2   6   10  

f x dx f x dx f x dx f x dx

Suy ra 2   10   10   6  

7 3 4

f x dx f x dx f x dx f x dx  

 Mức độ 2

Câu 1 Cho f , g là hai hàm liên tục trên đoạn  1;3

thoả: 3    

1

f x  g x x

�

,

   

3

1

2f x g x dx6

�

Tính 3    

1

d

f x g x x

�

   

3

1

f x  g x x

� � 3   3  

f x x g x x

� �  1

   

3

1

2f x g x dx6

� � 3   3  

2�f x xd �g x xd 6  2

Đặt 3  

1

d

X �f x x

, 3  

1

d

Y �g x x

Từ  1

và  2

ta có hệ phương trình:

X Y

�

�  

4 2

X Y



�

� 

Do đó ta được:3  

1

f x x

�

và3  

1

g x x

�

Vậy 3    

1

f x g x x  

�

Câu 2 Cho 2  

0

f x x





�

Tính 2  

0



Trang 5

A I 7. B I 5 2



 

I f x x x f x x x x



   

2

2 0 0

f x x x



Câu 3 Cho 2  

1

f x x





�

và 2  

1

g x x



 

�

1

I x f x g x x



A

17 2

I 

5 2

I 

7 2

I 

11 2

I 

1

I x f x g x x



2

1

2

x

f x x g x x



 3 2.2 3 1 

2  



17

2 .

Câu 4 Cho hai tích phân 5  

2





�f x x

và 2  

5

d 3





�g x x

2



I f x g x x

   

5 2



I f x g x x 5   5   5

 �f x x�g x x�x 5   5   5

 �f x x �g x x�x



 �f x x �g x x�x 5

8 4.3

2



x

8 4.3 7

    13

Câu 5 Cho 2  

1

4f x 2x dx1

�

Khi đó 2  

1

f x dx

�

bằng:

2

x

f x x dx f x dx xdx f x dx

f x dx f x dx

Câu 6 Cho

6

0

( )d 12

�f x x

Tính

2

0

(3 )d

�

I f x x

Trang 6

Ta có: 0 0

6

0

(3 )d (3 )d3 ( )d 12 4

I f x x f x x f t t

Câu 7 Cho biết 5  

1

f x x





�

Tính giá trị của 2  

0

5 3 7 d

P��f  x  ��x

Đặt t 5 3x �dt 3dx

1

d = d 3

x  t

�

Đổi cận: x0thì t5; x2thì t 1.

0

5 3 7 d

P��f  x  ��x 2   2

5 3 d + 7d

0 5

d 7 3

t

f t x



1

d 14

3 f t t

1

.15 14 19 3

Câu 8 Cho 4  

0

2020

d 

�f x x

0

I ��f x  f  x ��x

A I  0 B I 2020. C I 4040. D I 1010.

I �f x x�f  x x H K 

0

2

K �f x dx

Đặt t2x�dt 2dx; đổi cận: x0�t 2;x2�t4 Nên 4  

0

1

1010

K f t t

0

d

4 2

H �f  x x

,

Đặt t 4 2x�dt  2dx; đổi cận: x0�t 4;x2�t0 Nên 4  

0

1

1010

H f t t

Suy ra I   K H 2020.

Câu 9 Cho y f x  là hàm số chẵn, liên tục trên 6;6 Biết rằng 2  

1

f x x





�

; 3  

1

f  x x

�

Giá trị của 6  

1

d

I f x x



là

Trang 7

Ta có y f x  là hàm số chẵn, suy ra f 2x  f  2x Khi đó:

f  x x f x x

Xét tích phân: 1 3  

1

2 d

I �f x x

Đặt

1

2

t x� t x� t x

Đổi cận: x1�t2; x3�t6.

I �f t t �f t t ��f t t 6  

2

f x x

I f x x f x x f x x

Câu 10 Cho f x  , g x  là hai hàm số liên tục trên đoạn 1;1 và f x  là hàm số chẵn, g x  là

hàm số lẻ Biết 1  

0

f x x

�

; 1  

0

g x x

�

Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. 1  

1

d 10

f x x





�

1

d 10

f x g x x



�

C. 1    

1

d 10

f x g x x



�

1

d 14

g x x





�

Vì f x  là hàm số chẵn nên 1   1  

f x x f x x



� �

Vì g x  là hàm số lẻ nên 1  

1

d 0

g x x





�

1

d 10

f x g x x



�

và 1    

1

d 10

f x g x x



�

 Mức độ 3

Câu 1 Cho hàm số y f x  liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn 1  

0

d 2

f x x

�

và 3  

1

f x x

�

Tính 3  

1

d

f x x

Vì f x 

f x x f x x f x x



f x x f x x f x x

� � � 1   3  

2 f x xd f x xd 4 4 8

Trang 8

Câu 2. Biết 2  

0

d 6

f x x x

�

và 2    

0

3f x g x dx10

�

0

I  ��f x g x ��x

2

x

f x x x � f x x  � f x x

3f x g x dx10� 3f x xd  g x xd 10� g x xd  3f x xd 10 2

2

0

2 +3 d 2.4 3.2 14

I ��f x g x ��x  

Vậy I  14.

Câu 3 Cho ,f g là hai hàm số liên tục trên  1;3 thỏa mãn điều kiện 3    

1

f x  g x

�

đồng

thời 3    

1

2f x g x dx=6

�

Tính 3  

1

f x

�

1

2 1 dx

g x

�

Ta có: 3    

1

f x  g x

� 3   3  

f x g x

   

3

1

2f x g x dx=6

� 3   3  

2 f x dx- g x dx=6

u�f x �g x

Ta được hệ phương trình:

u v

 

�

�  

�

4 2

u v



�

� �

�

 

3

1 3

1

dx=4 dx=2

f x

g x

�

� �

�

+ Tính 3  

1

f x

�

Đặt t 4 x�dt dx;x1�t3;x3�t1.

f x x f t   f t  f x 

+ Tính 2  

1

2 1 dx

g x

�

Đặt z2x1�dz 2dx; x1�z1;x2�z3.

Trang 9

     

g x x g z  g x 

Vậy 3  

1

f x

�

1

2 1 dx = 6

g x

�

liên tục trên � thỏa 1  

0

f x x

�

và 2  

0

f x x

�

Tính

 

7 0

d

I �f x x

 

1

0

d 2

A�f x x

0

3 1 d 6

B�f x x

đặt t3x1�dt3dx.

Đổi cận :

1

3

B �f t  ��f t  ��f x x

I �f x x�f x x�f x x

Câu 5 Cho hàm số f x  liên tục trên � và thỏa mãn 4  

2 0

tan x f cos x xd 2





�

và

 

2 ln2

ln

e

f x

x

x x 

�

Tính

 

2

1 4

2 d

f x

x x

�

2

cos 1

tan cos d sin2 d

2 cos

x

Đặt cos x t2  �sin 2 dx x dt.

Đổi cận

4



2

Khi đó

 

1 2 1

1

d 2

f t

t

 

1

1 2

f t t

t 

Trang 10

*

Đặt ln x t2 

2ln

x

x t

x 

�

Đổi cận

Khi đó

 

4 2 1

1

d 2

f t

t

1

f t t

t 

* Tính

 

2

1 4

2 d

f x

x

Đặt 2x t

1 d 2

x dt

�

Đổi cận

Khi đó

f t f t f t

Câu 6 Cho hàm số f x  liên tục trên � và thỏa mãn 2   16  

2

1 4

cot x f sin x xd f x dx 1

x



Tính tích

phân

 

1

1 8

4 d

f x

x x

�

3 2

I 

5 2

I 

Đặt

2

2 1

4



,

 

16 2 1

f x

x

+ Đặt tsin2x �dt2sin cos dx x x 2sin cot d2 x x x 2 cot dt x x.

2

2 1

4

cot sin d



2

1 d 2

f t t t

1 2

1

d 2

f t t t

1 8

4 1

d 4

f x

x x

1 4

1 8

4 1

d 2

f x

x x

Trang 11

Suy ra

 

1 4

1 1

8

4

f x

x I

�

+ Đặt t x �2 dt t dx.

 

16 2

1

d

f x

x

1

2 d

f t

t t t

1

2 f t dt t

1 4

4

f x

x x

1 4

4

2 f x dx x

Suy ra

 

1

2 1

4

d

f x

x I

�

Khi đó, ta có:

2

  

Câu 7 Biết 4  

1

d 5

�f x x

và 5  

4

d 20

�f x x

Tính 2   ln 2  2 2

4 3 

�f x dx �f e x e xdx

A

15 4

I 

5 2

I 

Đặt t4x3�dt4d thìx

�f x dx �f t td �f t td �f t td

Đặt u e 2x �du2e2xdx thì

�f e x e xdx �f u ud

Vậy

25 5 15

4 2 4

I   

liên tục trên � thỏa mãn f  2x 3f x  , x �� Biết rằng 1  

0

f x x

�

Tính tích phân 2  

1

d

I �f x x

1

2

f x x f x x f x x f x x x

Đặt: 2x t �d 2 x dt, với x0�t0; x1�t2.

Trang 12

       

2 f x x 2 f t t 2 f x x x

(do hàm số f x 

liên tục trên �)

� 2  

0

f x x  �x

� � 1   2  

f x x f x x x

 

2 1

1 f x xd  6, x

 

2 1

d 5,

f x x x

Câu 9 Cho hàm số ( )f x liên tục trên � thỏa mãn

8

2

( ) tan (cos )d d 6



� x f x x �f x x

phân

1 2

( ) d

�f x x x

+) Đặt t3 x�t3 x�3 dt t2 dx

Đổi cận x1�t1 và x8�t 2.

Khi đó

2 3

d  3 d 3 d 6

�f x x �f t t �f t

2 1

(t)

d 2

t

+) Đặt

2

t

Đổi cận: x0�t1 và

1



Khi đó

1

2

1

4

2



� x f x x �f t �f t

+) Đặt

2

t x t x x t x

Đổi cận:

và x 2�t2 Khi đó



�f x x �f t �f t �f t

 Mức độ 4

Trang 13

Câu 1. Cho hàm số y  f x  liên tục trên đoạn  0; 1

, thỏa mãn 1   1  

f x x xf x x

và

 

1

2 0

d 4

f x x

�

Giá trị của tích phân 1   3

0

d

f x x

�

bằng

0

d

f x  ax b x

f x x f x ax b x ax b x

��  ��  �� � 

3

1

3

a xf x x b f x x ax b

a

3

a

Cần xác định a b, để 2 2  2 2 4 0

3

a

b a b b

3

2 0 3

b

 

b a 

Khi đó: 1     2

0

6 2 d 0

f x   x x

� � f x  6x2

Suy ra 1   3 1 3

d 6 2 d

f x x x x

0

1

6 2 10

24 x

Câu 2. Cho hàm số f x 

có đạo hàm liên tục trên đoạn [1, 2] và thỏa mãn f x  0 khi x� 1, 2

Biết 2  

1

f x dx

�

và

 

2

1

'

ln 2

f x dx

f x 

�

Tính f  2

A f  2  10. B f 2 20. C f  2 10. D f  2  20.

Ta có: 2    2    

1 1

f x dx f x  f  f 

�

(gt)

 

2

2 1 1

1

f x  ��  ��  ��  f 

�

(gt)

Vậy ta có hệ:

 

2 1 10

2 20 2

1

f f

�



�

có đạo hàm và liên tục trên đoạn  4;8

và f  0 �0

với  �x  4;8 Biết rằng

 

2 8

4 4

1

f x

dx

f x

�

và  4 1,  8 1

Tính f  6

Trang 14

A

5

2

3

1

3

+) Xét

 

8

f x df x dx

�

+) Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để

 

2 8

2 4

0

f x

k dx

f x

�

Ta có:

 

2 2

2

4

f x

�

Suy ra:

1 2

k 

thì

 

         

2

 

6 2 4

6

df x

f

Câu 4. Cho hàm số y  f x  có đạo hàm f x� 

liên tục trên đoạn  0;5

và đồ thị hàm số y f x� 

trên đoạn  0;5

được cho như hình bên

5



3 5

1

x O

y

Tìm mệnh đề đúng

A f  0  f  5  f  3 . B f  3  f  0  f  5 .

C. f  3  f  0  f  5 . D f  3  f  5  f 0 .

3

f x x�  f  f 

�

, do đó f  5  f  3 .

3

0

f x x�  f  f 

�

, do đó f  3  f  0 .

5

0

f x x�  f  f 

�

, do đó f  5  f 0 .

Câu 5. Biết rằng hàm số f x  a x2  bx c thỏa mãn 1   2  

7

2

f x x   f x x 

 

3

0

13 d 2

f x x

� a b c, , ��

Tính giá trị của biểu thức P a b c  

Trang 15

A

3 4

P  

4 3

P  

3 8

P 

3 4

P 

f x dx�� x  x cx��  d  d cd

�

Do đó:

 

1

0

2

0

3

0

7 d 2

13 d 2

f x x

�

 

�

 

�

7

8

3

16

a b

c

a

c

a b c

�

� 

�

�    �  

�

Vậy

4 3

P a b c    

xác định trên

0;

2



� �

thỏa mãn 2 2   

0

2



�

0

d

f x x



�

bằng

A 4



Ta có:

2 2 0

4



0

2



0

1 sin 2 dx x



2 0

1 cos 2 2



� � 22

Do đó: 2 2   

0

4



0

4



0

 

2

0



�

2 0

4



�

4

f x  ��x  ��

4

f x  ��x  ��

Bởi vậy: 2   2

0 0

4



0

4

x



  � � 

Trang 16

Câu 7. Cho hai hàm số f x  và g x  có đạo hàm trên đoạn  1; 4 và thỏa mãn hệ thức

   

f g

g x x f x f x x g x

�

1

d

I ��f x g x ��x

Ta có f x g x   x f x��  g x� ��    

f x g x

f x g x x

  

�

�  �

f x g x

�

�  �

� � �ln f x  g x   ln x C

Theo giả thiết ta có Cln 1 ln f  1 g 1 �Cln 4.

Suy ra

   

4 4

f x g x

x

f x g x

x

�

� , vì f  1 g 1 4nên f x  g x  4

x

   

4 1

d 8ln 2

I  f x g x x

Câu 8 Cho hàm số y f x  liên tục trên �\ 0; 1   thỏa mãn điều kiện f  1  2ln 2 và

x x f x�  f x  x x Giá trị f  2  a bln 3, vớia b, �� Tính a2 b2.

A

25

9

5

13

4

Từ giả thiết, ta có       2

1

x x f x�  f x  x x �  

1

 

.

f x

�

� � �  � �  , với x��\ 0; 1  

Suy ra .  

1

x

f x

x x x





1

x

f x

x  x ln x 1 C.

Mặt khác, ta có f  1  2ln 2 nên C  Do đó 1 .  

1

x

f x

x  x ln x 1 1. Với x thì 2 2.  2 1 ln 3

3 f   �  f 2  32 32ln 3

Suy ra

3 2



a

và

3 2

b 

Vậy

2 2 9

2

a b 

Câu 9. Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 đồng thời thỏa mãn f � 0 9 và

9f�x ��f x� x��9

Tính T  f  1  f  0 .

A T  2 9 ln 2. B T  9 C

1

9 ln 2 2

T  

D T  2 9ln 2.

Trang 17

9f�x ��f x� x��9       2

9 f�x   1 f x� x

 

  2

9

f x

f x x

�

Lấy nguyên hàm hai vế

 

  2

9 '

f x

f x x



� �  1 9x C

f x x  

�

Do f � 0 9 nên C19

suy ra f x  x 91

x

 f x  91 x

x

�



0

9

1

x



�

1 2

0

2

x x

1

9 ln 2

2

Câu 10 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 , f x  và f x� 

đều nhận giá trị dương

trên đoạn  0;1

và thỏa mãn f 0 2, 1     2 1    

f x f x x f x f x x

��  �  �

Tính

 

1

3 0

d

f x x

�

A

15

17

19

2

Theo giả thiết, ta có 1     2 1    

��  �  �

2

1

2 0

f x f x f x f x x

2 1

0

f x f x x

    1 0

f x f x�  

3

f x

x C

 

�

3

f  �C

Vậy f3 x 3x8.

Vậy

1

3

x

f x x x x � x�

   

4 1

d 8ln 2

I ��f x g x ��x

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	1,11 MB