Đề thi thử thpt môn toánĐề thi thử thpt môn toánĐề thi thử thpt môn toánĐề thi thử thpt môn toánĐề thi thử thpt môn toánĐề thi thử thpt môn toánĐề thi thử thpt môn toánĐề thi thử thpt môn toánĐề thi thử thpt môn toánĐề thi thử thpt môn toánĐề thi thử thpt môn toánĐề thi thử thpt môn toánĐề thi thử thpt môn toánĐề thi thử thpt môn toánĐề thi thử thpt môn toánĐề thi thử thpt môn toánĐề thi thử thpt môn toánĐề thi thử thpt môn toánĐề thi thử thpt môn toánĐề thi thử thpt môn toán
Trang 1SỞ GD và ĐẠO TẠO THANH HÓA KÌ THI KSCL TRƯỚC TUYỂN SINH NĂM 2015
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (4,0 điểm) Cho hàm số y = - x 3 + 3 mx 2 + 3 ( 1 - m 2 ) x + m 3 - m (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị nằm về cùng một phía của đường thẳng y = 1
(không nằm trên đường thẳng).
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình log 4 x + log 4 ( 10 - x ) = 2 .
b) Giải phương trình cos 2 x + ( 1 + 2 cos x )(sin x - cos x ) = 0
Câu 3 (2,0 điểm).
a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = e x ( x 2 - x - 1 ) trên đoạn [0;2].
b) Tính giới hạn
)
1 ln(
1
2 lim sin
x
L
x
+
-
=
Câu 4 (2,0 điểm).
a) Cho n là số tự nhiên thỏa mãn 2 C n 2 + 3 A n 2 + 2 = 326 . Tìm hệ số của 6
x trong khai triển nhị thức
Niutơn của 2 2 3 ÷ , > 0
ø
ö
ç
è
æ
x
x
n
.
b) Có 40 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 40. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất để trong
10 tấm thẻ được chọn ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một
tấm thẻ mang số chia hết cho 10.
Câu 5 (2,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A ( - 1 ; 1 ; 2 ) ,
B(1; 1; 3), C(0; 2; 1). Tính diện tích tam giác ABC và tìm tọa độ chân đường cao kẻ từ A của tam
giác ABC.
Câu 6 (2,0 điểm). Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC), gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho MC 2 = SM Biết AB= a , BC= a 3 Tính thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách
giữa hai đường thẳng AC và BM.
Câu 7 (2,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (T)
có phương trình ( x - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 = 25 . Các điểm K(1 ; 1), H(2; 5) lần lượt là chân đường cao hạ
từ A, B của tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đỉnh C có hoành độ
dương.
Câu 8 (2,0 điểm) Giải hệ phương trình
ï
ï
í
ì
+ + +
= + +
-
+
-
= +
+
y
xy
x
x
y
y
x
y
y
x
3
1
2
1
7
3
3
2
2
2
2
Câu 9 (2,0 điểm). Cho x , , y z là các số thực thỏa mãn x 2 + y 2 + z 2 = 9 , xyz £ 0 Chứng minh rằng
10 )
(
2 x + y + z - xyz £
***Hết***
Họ và tên thí sinh:. . . Số báo danh:. . . . . . Cảm ơn thầy Đào Trọng Xuân ( trongxuanht@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl
Trang 2TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN I KÌ THI KSCL TRƯỚC TUYỂN SINH NĂM 2015(LẦN 1)
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM MÔN TOÁN
Khi m = 1, ta có hàm số y = - x 3 + 3x 2
1) Tập xác định : D = R
2) Sự biến thiên:
+¥
® +¥
® -¥
® -¥
® lim ( 3 ) , lim lim ( 3 )
lim y x 3 x 2 y x 3 x 2
x
x
x
x
0,5
* Bảng biến thiên:
y
0,5
Hàm số nghịch biến trên các khoảng (¥; 0) và (2; +¥), đồng biến trên khoảng (0; 2)
Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 4, đạt cực tiểu tại x = 0, yCT =0. 0,5
3. Đồ thị: Đồ thị giao với trục tung tại
O(0; 0), giao với trục hoành tại O(0; 0);
A(3; 0), nhận điểm uốn I(1;2) làm tâm đối
xứng
* Điểm uốn: y’’ = 6x + 6 , y’’ = 0 Û x =1
)
1 (
3
6
3
' x 2 mx m 2
0 )
1 (
3
6
3
0
' = Û - x 2 + mx + - m 2 =
y , ' y có D ' = 9 m 2 + 9 ( 1 - m 2 ) = 9 > 0
Suy ra ' y luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 = m - 1 , x 2 = m + 1
0,5
Khi đó hàm số có hai cực trị là y 1 = y ( x 1 ) = 2 ( m - 1 ) , y 2 = y ( x 2 ) = 2 ( m + 1 ) 0,5 Theo bài ra ta có ( 1 1)( 2 1) 0 (2 3)(2 1) 0 3, 1
y - y - > Û m- m+ > Ûm> m < - 0,5
ø
ö
ç
è
æ +¥
È
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
¥
-
2
3
2
1
;
Điều kiện: 0 < x < 10 .Ta có log 4 x + log 4 ( 10 - x ) = 2 Û log 4 ( 10 x - x 2 ) = 2 0,5
2 ,
8
16
10 - 2 = Û = =
Û x x x x Vậy phương trình có nghiệm x = 2 , x = 8 0,5
( sin cos ) (cos sin 1 ) 0
0 ) cos )(sin
cos
2
1 (
2
ê
ê
ê
ê
ë
é
+
= +
=
+
=
Û
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
Û
ê
ë
é
= +
-
=
- Û
p
p
p
p
p
p
p
p
2 ,
2
2
4
1
4 sin
2
0
4 sin
2
0
1 sin cos
0 cos
sin
k
x
k
x
k
x
x
x
x
x
x
x
0,5
x
y
3
2
O
4
2
1
A
Trang 3Vậy phương trình đ∙ cho có nghiệm:
Ta cú: y ' = e x ( x 2 + x - 2 ) nờn y ' = 0 Û e x ( x 2 + x - 2 ) = 0 Û x = 1 ; x = - 2 ẽ [ ] 0 ; 2 0,5
1 )
0
( = -
y , y ( 1 ) = - e , y ( 2 ) = e 2 . Từ đú ta cú max ( 2 ) 2 ,
]
2
;
0
[
e
y
y = = min y = y ( 1 ) = - e
]
2
;
0 [
x
x
x
x
x
L
x
1
1
1
2 lim
sin
- +
-
-
=
2
ln ) (sin
1 lim
1
2 lim
2
ln ) (sin
0 sin
ỷ
ự
ờ
ở
=
-
đ
x
x
e
x
x
x
x
2
1
1
1
1 lim )
1
1 (
1
1 lim
1
1
lim
0
0
+ +
= + +
- +
=
- +
đ
đ
x
x
x
x
x
x
,
0
ln(1 )
x
x
x
đ
+
= Nờn
2
1
2
ln -
=
326 )
1 )(
2 (
3 )
1 (
326
3
2
2 + A + = Û n n - + n + n + =
0
80
2
2
=
- +
=
-
-
=
-
-
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-
=
ữ
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-
8
0
2
5
32
8
8
8
0
8
2
8
8
2
. )
3 (
2
3 )
2 (
3
2
k
k
k
k
k
k
k
k
k
x
C
x
x
C
x
Số hạng chứa 6
2
5
32
=
Û
=
-
k
k
Vậy hệ số của x là 6 C 8 4 . 2 4 .( - 3 ) 4 = 90720
0,25
Số phần tử của khụng gian mẫu là 10
40
C
=
Cú 20 tấm thẻ mang số lẻ, 4 tấm thẻ mang số chia hết cho 10, 16 tấm thẻ mang số chẵn
Gọi A là biến cố đó cho, suy ra W A = C 20 5 . C 16 4 C 1 4 0,25
Vậy xỏc suất của biến cố A là
12617
1680
)
40
1
4
4
16
5
=
W
W
=
C
C
C
C
A
)
1
;
2
;
2 (-
=
Diện tớch tam giỏc ABC :
2
2
5
4
3
5
2
1 ] , [
2
= + +
=
= AB AC
Gọi H ( a ; b ; c ) là chõn đường cao của tam giỏc kẻ từ A.
Ta cú
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
-
=
+
=
+
-
=
Û
ù
ợ
ù
ớ
ỡ
-
=
-
-
=
-
+
= +
ị
=
k
c
k
b
k
a
k
c
k
b
k
a
BC
k
BH
2
3
1
1
)
3
1 (
3
)
1
2 (
1
)
1
0 (
1
)
2
1
;
2
;
2
3
1
0 )
2
1 (
2
2
2
0 BC = Û k - + k + - - k = Û k =
ứ
ử
ỗ
ố
ổ
-
3
7
;
3
4
;
3
2
Gọi H là trung điểm của AB ị SH ^ AB .Do ( SAB ^ ) ( ABC ) nờn SH ^ ( ABC ) 0,25
Do SAB là tam giỏc đều cạnh a nờn
2
3
a
Thể tớch khối chúp S.ABC là
12
6
.
6
1
3
.
a
AC
AB
SH
S
SH
Trang 4Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA tại N Þ AC // MN Þ AC //( BMN )
Ta có AC ^ AB Þ AC ^ (SAB ) mà MN // AC Þ MN ^ ( SAB ) Þ ( SAB ) ^ ( BMN ) 0,25
Từ A kẻ AK ^BN K( Î BN )
0,25
0,25
2
2 cos 60
9
a
7
3
a
BN
7
= S ABN = a
AK
7
= a
d AC BM
0,25
(T) có tâm ( 1 ; 2 ) . Gọi Cx là tiếp tuyến của (T) tại
2
HCx=ABC = Sđ » AC (1) 0,25
90
AHB=AKB = nên AHKB là tứ giác nội tiếp Þ · · ABC= KHC (cùng bù với góc · AHK ) (2)
Từ (1) và (2) ta có · · HCx=KHCÞ HK // Cx .
Mà IC ^ Cx Þ IC ^ HK .
0,25
Do đó IC có vectơ pháp tuyến là KH = ( 3 ; 4 ) , IC
có phương trình 3 x + y 4 - 11 = 0 0,25
Do C là giao của IC và (T) nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ
î
í
ì
=
- +
-
=
- +
25 )
2 ( )
1
(
0
11
4
3
2
2
y
x
y
x
î
í
ì
=
-
=
î
í
ì
-
=
=
Þ
5
3
;
1
5
y
x
y
x
. Do x C > 0 nên C ( - 5 ; 1 ) 0,25
Đường thẳng AC đi qua C và có vectơ chỉ phương là CH = (- 3 ; 6 ) nên AC có phương
Do A là giao của AC và (T) nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
î
í
ì
=
- +
-
=
-
+
25 )
2 ( )
1
(
0
9
2
2
2
y
x
y
x
î
í
ì
-
=
=
î
í
ì
=
=
Þ
1
5
;
7
1
y
x
y
x
(loại). Do đó A ( 1 ; 7 ) 0,25
Đường thẳng BC đi qua C và có vectơ chỉ phương là CK = (- 6 ; 2 ) nên BC có phương
Do B là giao của BC và (T) nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ
î
í
ì
=
- +
-
=
-
+
25 )
2 ( )
1
(
0
2
3
2
2 y
x
y
x
î
í
ì
-
=
=
î
í
ì
=
-
=
Þ
1
5 ,
2
4
y
x
y
x
(loại). Do đó B (- 4 ; 2 ) Vậy A ( 1 ; 7 ) ; B (- 4 ; 2 ) ; C ( - 5 ; 1 ) .
0,25
A
H
K
I
x
S
M
C
N
A
H
B K
Trang 5Ta có hệ phương trình
ï
ï
í
ì
+ + +
= + +
-
+
-
= + +
)
2 (
3
1
2
1
)
1 (
7
3
3
2
2
2
2
y
xy
x
x
y
y
x
y
y
x
Điều kiện: y ³ 1 , x ³ 0 , y 2 ³ 3 x .
0 ) (
)
1
2 (
1 )
2
( Û y - - x + y 2 - y + - x 2 + y 2 - xy - y =
0,25
0 )
1 (
)
1 (
1
=
-
- +
-
- + +
-
-
-
x
y
x
y
0
1
2
1
1 )
1
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
- + +
-
-
-
x
y
x
y
1 +
=
Û y x
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
³
"
³
"
>
+
- + +
- 1 2 1 0 , 1 , 0
1
x
y
0,5
+) Thế y vào (1) ta được x 2 + x + 1 - x 2 - x + 1 = 7 - 3 (3)
Xét f ( x ) = x 2 + x + 1 - x 2 - x + 1 ,
3 )
1
2 (
1
2
3 )
1
2 (
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2 )
(
'
2
2
2
2
+
-
-
- + +
+
= +
-
-
- + +
+
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
0,5
Xét
3
R
t
suy ra g(t) đồng biến trên R
Do 2 x + 1 > 2 x - 1 nên g ( 2 x + 1 ) > g ( 2 x - 1 ) suy ra
'( ) (2 1) (2 1) 0,
f x =g x+ -g x- > " Î R x
0,5
Do đó f (x ) đồng biến trên R , nên ( 3 ) Û f ( x ) = f ( 2 ) Û x = 2 Þ y = 3
Vậy hệ đã cho có nghiệm ( x ; y ) = ( 2 ; 3 ) 0,25
Giả sử x £ y £ z , do xyz £ 0 nên x £ 0
Do x2+y2+z2 =9Þ x2 £9Þ Î - x [ 3; 0]. Ta có
2
2
2
2
2
z
y
z
y
ø
ö
ç
è
æ +
2 ) (
2
2
2 )
(
2
2
2
2
x
z
y
x xyz
z
y
)
9 (
2
2
2
5
2
2
)
9 ( )
9 (
2
2
3
2
x
=
0,5
2
5
2 )
3
x
x
x
x
f = - + - với x Î [- 3 ; 0 ]
2
2
9
2
2
2
5
2
3 ) (
'
x
x
x
x
f
-
-
-
=
Þ
x
x
x
x
x
x
x
9
2
2
2
5
2
3
0
)
(
2
2
-
=
-
-
Û
=
-
-
-
Û
=
2
2
2
2 )( 5 3 ) 32
9
( - x - x = x
Û (Điều kiện 5 - x 3 2 ³ 0 )
3
25 ,
3 ,
1
0
225
327
111
9 6 - 4 + 2 - = Û 2 = 2 = 2 =
Do
3
5
2
£
x nên x 2 = 1 Û x = - 1 , x = 1 (loại).
0,5
2
6 )
0 ( ,
10 )
1 ( ,
6 )
3
( - = - f - = f =
]
0
;
3
Trang 6Như vậy 2 ( x + y + z ) - xyz £ f ( x ) £ 10
Dấu bằng xảy ra khi
2 2
1
1
2
ì = -
ï
= =
î
ï
ï
x
x
Vậy 2 ( x + y + z ) - xyz £ 10 . Đẳng thức xảy ra khi (x; y; z) là một hoán vị của (1; 2; 2)
0,5
***Hết***
Cảm ơn thầy Đào Trọng Xuân ( trongxuanht@gmail.com) đã gửi tới www.laisac.page.tl