ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN
Ngày 21 Tháng 4 Năm 2013
Câu 1 (1,5 điểm)
Cho biểu thức A = 2 3 3 : 2 2 1 (víi 0, 9)
9
x
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A =
1 3
−
Câu 2 (1,5 điểm)
Cho hàm số y x= 2 (P) và y=(m+3)x m− +3 (d)
a) Vẽ đồ thị hàm số (P)
b) Chứng tỏ (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Câu 3 (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình:
2 2
2 2
10
1 20
1
y x
y y x
y
Câu 4 (1,5 điểm)
Cho phương trình: 2
2 1 0
x + mx+ = (1) Tìm mđể X = 2 2 2 2
1 ( 1 2012) 2 ( 2 2012)
giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó (x x1, 2 là hai nghiệm phân biệt của (1))
Câu 5 (3 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB; trên nửa đường tròn lấy điểm C (cung BC nhỏ hơn cung AB), qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn tâm O cắt AB tại D Kẻ CH vuông góc với
AB (H ∈ AB), kẻ BK vuông góc với CD (K ∈ CD); CH cắt BK tại E.
a) Chứng minh: CB là phân giác của góc DCE
b) Chứng minh: BK + BD < EC
c) Chứng minh: BH AD = AH BD
Câu 6 (1 điểm)
Chứng minh rằng: 21 a 1 3 b 1 31
+ + + >
, với a b, 0>
-HẾT -Họ tên thí sinh:……….Số báo danh:………
Trang 2HƯỚNG DẪN ĐỀ SỐ 11
Câu 1: a) Với x≥0, x≠9 ta có:
9
x
:
b) Tìm x để A = 1
3
−
A = 1
3
3
x
Vậy A = 1
3
−
khi x=36
Câu 2: a) Vẽ đồ thị (P): y x= 2
Ta có bảng giá trị:
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
x2 =(m+3)x m− + ⇔3 x2−(m+3)x m+ − =3 0 (1)
a = 1 ; b = − +(m 3) ; c = m−3
(m 3) 4.1.(m 3) m 6m 9 4m 12
∆ = − + − − = + + − + =(m+1)2 +20 0 víi > ∀m
⇒ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇒ (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Câu 3:
2
2
2
2
10
1 (I)
20
1
y x
y
y x
y
Đặt x2 =u ( u≥0) và =
+
2
10 1
y v y
Hệ (I) trở thành: − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
Trang 3Với u= ⇒1 x2 = ⇔ = ±1 x 1
Với
=
2 2
2 10
1
2
y y
y y Thử lại ta thấy hệ (I) đúng với
= ±1; =2 hoÆc = 1
2
x y y Vậy hệ (I) có 4 nghiệm (1 ; 2) ; (1 ; 1
2) ; (-1 ; 2) ; (-1 ;
1
2)
Câu 4: Phương trình: x2+2mx+ =1 0 (1) Ta có: ∆ =' m2−1
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x thì 1, 2 ∆ > ⇔ < −
− > ⇔ >
1
m m
m
Theo Viet ta có: + = −
1 2
2 (I) 1
x x
Theo đề ta có: X = 2 2 − + 2 2− = 4− 2+ 4− 2
1 ( 1 2012) 2 ( 2 2012) 1 2012 1 2 2012 2
= 2+ 2 2− 2 2− 2+ 2 = + 2− 2− 2− + 2−
(x x ) 2x x 2012(x x ) (x x ) 2x x 2(x x ) 2012 (x x ) 2x x
Thay hệ thức (I) vào biểu thức X ta có:
(4m 2) 2012(4m 2) 2 = 2 − 2− 2− + 2− 2−
(4m 2) 2.(4m 2).1006 1006 1006 2 = 2− − 2 − 2 + ≥ 2+
(4m 2) 1006 (1006 2) -(1006 2)
X đạt giá trị nhỏ nhất khi 2− − = ⇔ 2 = ⇔ 2 =
4m 2 1006 0 4m 1008 m 252 =
⇔
= −
6 7
6 7
m
m thỏa điều kiện phương trình có nghiệm
Khi đó minX = -(10062 + 2)
Câu 5:
a) Chứng minh CB là phân giác của góc DCE
DCB CAB (cïng ch¾n BC)=
· ·
BCE CAB (gãc cã c¹nh t ¬ng øng vu«ng gãc)=
Do đó CB là tia phân giác của góc DCE
b) Chứng minh BK + BD < EC
Xét ∆CDE có: EK CD (BK CD) B lµ trùc t©m cña CDE
DH CE (CH AB)
CB DE t¹i F
⇒ ⊥ hay CB là đường cao của ∆CDE Mà CB là tia phân giác của góc DCE nên ∆CDE cân tại C · ·
CED CDE
Mặt khác: ¶ µ
D = E (gãc cã c¹nh t ¬ng øng vu«ng gãc)
Do đó ∆BDE cân tại B ⇒BD = BE ⇒ BD + BK = BE + BK = EK
Trong tam giác CKE vuông tại K có: EK < EC (cạnh huyền lớn nhất)⇒ BK + BD < EC
c) Chứng minh BH AD = AH BD
Xét tam giác ABC có: ·ACB 90 (gãc néi tiÕp ch¾n nöa ® êng trßn)= 0
⇒BH BA = BC2 (hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông)
Ta lại có: BHC BFD (g-g) BH BC BH BD = BC BF
DCB BCE
D E
Trang 4⇒BH.(BA+BD) = BC.(BC + BF)⇔BH AD = BC CF (1)
Mặt khác ta có: AC // DE (cùng vuông góc với CF)
2
0
ACH
mµ AHC DFB 90
⇒ =
~ DBF (g-g)
AH BD = DF AC (2)
⇒
Mặt khác: ABC CDF (g -g) AC CF BC CF = DF AC (3)
Từ (1); (2) và (3) suy ra: BH AD = AH BD
Câu 6: *Ta có: + + + = + + +
21 a 3 b 21a 3b
Với a b, >0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta được:
+ ≥3 × =3
21a 2 21a 6 7
a a (1) 3b+21≥2 3b× =21 6 7
Cộng từng vế của (1) và (2) ta được: × + + × + ≥
21 a 3 b 12 7
Mà: 12 7= 144.7= 1008 ; 31= 312 = 961 ⇒12 7 31>
⇒ × + ÷+ × + ÷
21 a 3 b > 31