Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABO và vuông góc với AB luôn đi qua một điểm cố định.. Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC.. Gọi ha, hb, hc lần lượt là các đường cao
Trang 1Bài 1:
1 Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24
2 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: xy – 2x – 3y + 1 = 0
Bài 2: Cho các số a, b, c khác không và đôi một khác nhau, thỏa mãn điều kiện a³ + b³ + c³ = 3abc Tính: (b c c a a b)( a b c )
Bài 3:
1 Tìm a để phương trình 3|x| + 2ax = 3a – 1 có nghiệm duy nhất
2 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c thỏa mãn điều kiện |f(x)| ≤ 1 với mọi
x [ 1;1] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = 4a² + 3b²
Bài 4: Cho góc xOy và hai điểm A, B lần lượt trên hai tia Ox, Oy, thỏa mãn OA – OB = m (m là độ dài cho trứơc) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABO và vuông góc với AB luôn đi qua một điểm cố định Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC Gọi ha, hb, hc lần lượt là các đường cao và ma,
mb, mc lần lượt là các đường trung tuyến của các cạnh BC, CA, AB; R và r lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC Chứng minh rằng: a b c
Trang 2Bài 1.
1 Giải hệ phương trình
2 2
x 3 y 3
y 3 x 3
2 Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình x² + 2006x + 1 = 0 và x3, x4 là nghiệm của phương trình x² + 2007x + 1 = 0 Tính giá trị của biểu thức A = (x1 + x3)(x2 +
x3)(x1 – x4)(x2 – x4) – 2006
Bài 2 Cho đường tròn (I) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA,
AB lần lượt tại M, N, P Gọi Q là chân đường vuông góc kẻ từ M xuống NP Chứng minh rằng:
1 QM là tia phân giác của góc BQC
2 Bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn (E, F thứ tự là giao điểm của
BI, CI với NP)
Bài 3 Cho a, b, c là 3 số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn
1 1 1
ab c Chứng minh rằng tổng a + b là số chính phương
Bài 4 Cho x, y, z, t là 4 số thực thỏa mãn x² + y² < 1 Chứng minh (xz + yt – 1)²
≥ (x² + y² – 1)(z² + t² – 1)
Bài 5 Cho hình vuông ABCD Gọi E là trung điểm của AD Qua E vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt DC tại F Tính tỉ số EBEF
Trang 3Câu 1 Cho f(x) = (m² – 8)x³ – (4m² – 9m – 13)x² + 2(8 – 3m)x – m.
1 Tìm m < 0 để f(1) = 0
2 Với giá trị của m tìm được ở câu a, tìm g(x) để f(x) = (x – 1)g(x) và tìm các nghiệm còn lại nếu có của phương trình f(x) = 0
Câu 2
1 Tình giá trị của biểu thức A = x³ + y³ – 3(x + y) + 1967, biết:
x 3 2 2 3 2 2 và 3 3
y 17 12 2 17 12 2
2 Cho
2 x
2 1 1 2 1 1
Tính giá trị của biểu thức: B = (x4 – x³ – x² + 2x – 1)2007
Câu 3 Cho một tam giác có số đo ba cạnh là các số nguyên a, b, c thỏa mãn 2a² + 3b² + 2c² – 4ab + 2ac – 20 = 0 Chứng minh tam giác đó là tam giác đều
Câu 4 Cho tam giác ABC, kẻ AD và AE lần lượt là phân giác trong và ngoài tại đỉnh A Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1 Biết AD = AE Tính AD khi tam giác ABC có diện tích lớn nhất
Câu 5 Cho 8 số nguyên dương tuỳ ý không lớn hơn 20 Chứng minh rằng luôn chọn được ít nhất 3 số trong 8 số đó làm số đo ba cạnh của một tam giác
Câu 5: Cho A 2 1 3 2 25 24
Chứng minh A < 0,4
Câu 6: Cho dãy số x1, x2, x3, , x11 thỏa mãn 1 ≤ x1 < x2 < x3 < < x11 ≤ 1000 Chứng minh rằng tồn tại i {1, 2, 3, , 10} sao cho xi + 1 – xi – 1 < 3
i i 1
3 x x Câu 7: Giải phương trình x 2 3x 4 2 x 4 3 0