Hạ AH vuông góc với BC.. Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất.. Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH² + HK² luôn là một đại lượng không đổi.
Trang 1KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Bài 1: (2 điểm)
1 Chứng minh rằng: 2(x² + 6x + 1) = ( x 1) + 4 + ( x 1) − 4 với mọi x không âm;
2 Giải hệ phương trình:
2
x 5x 1 x ( x 1) ( x 1) 0
+ = −
3 Giải phương trình: 10 x − − 2 5 x 2 − 3x 10 3x − + = 0
Bài 2: (2 điểm)
1 Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a, b, c sao cho a² + b² + c² cũng là số nguyên tố?
2 Cho hai số x, y thỏa mãn: x² + 9y² – 4xy = 2xy – |x – 3| Hãy tính giá trị của biểu thức
2
x 8x 16x y y 2
=
3 Tìm các số nguyên a để phương trình x² – (3 + 2a)x – a = 0 có nghiệm nguyên?
Bài 3 (2,5 điểm)
1 Giải phương trình nghiệm nguyên: x² + y² – xy – x – y + 1 = 0;
2 Giải phương trình: x 2 + − + − + + = x 1 x 2 x 1 x 2 − + x 2.
Trang 2Bài 4 (1 điểm): Cho x > 0; y > 0 thỏa mãn x 1
y
+ ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
P 16 2006
Bài 5 (2,5 điểm): Cho đường tròn (O) đường kính BC = 2R và điểm A thay đổi trên (O) (A không trùng với B, C) Đường phân giác trong góc
A của tam giác ABC cắt (O) tại K (K khác A) Hạ AH vuông góc với BC
Đặt AH = x Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH² + HK² luôn là một đại lượng không đổi Tính số đo góc B của tam giác ABC biết AHHK = 53
Trang 3KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1: Chứng minh rằng A 2 2 12n = + 2 + 1 là số chính phương khi A ∈ N
và n ∈ N
Câu 2: Cho đa thức P(x) nguyên và P(x) chia hết cho 3 khi x ∈ {k; k + 1; k + 2} với k ∈ Z Chứng minh rằng: P(m) chia hết cho 3 với ∀m ∈ Z Câu 3:
a) Giải phương trình ( x 1 1)( x 1 3x 10) x 2 − + − + − = −
b) Giải hệ phương trình
6 (x y) 6 (x y)
x y x y a
(a là tham số và a > 0)
Câu 4: Cho hình vuông ABCD ngoại tiếp đường tròn (O; R) và M là một điểm trên đường tròn đó Gọi độ dài MA, MB, MC, MD lần lượt là a, b,
c, d Chứng minh rằng: a²b² + b²d² = 10R4
Câu 5: Cho a, b, c là các số thực dương Tìm giá trị nhỏ nhất của:
2a 2b 2c 2d
S (1 )(1 )(1 )(1 )
3b 3c 3d 3a