KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCSMÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: 1.. Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH² + HK² luôn là một đại lượng kh
Trang 1KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1:
1 Giải phương trình 2 3 3 − = x 3 − y 3 trên tập hợp các số hữu tỉ
2 Giải hệ phương trinh +x(x y)(1 xy) 42+xy x y 4+ + =+ =
Câu 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(4; 3), cắt trục tung tại điểm có tung độ là một số nguyên dương, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là số nguyên tố
Câu 3:
1 Cho xy = 1 và x > y Chứng minh x2 y2 2 2
x y
+ ≥
−
2 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác sao cho a + b + c = 2 Chứng minh: a² + b² + c² + 2abc < 2
Câu 4: Cho đường tròn (O; R) đường kính BC và điểm A thay đổi trên (O) (A không trùng với B, C) Đường phân giác góc A của tam giác ABC cắt (O) tại K (K khác A) Hai AH vuông góc với BC Đặt AH = x Tính diện tích S của tam giác AHK theo R và x Tìm x sao cho S đạt giá trị lớn nhất Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH² + HK² luôn là một đại lượng không đổi Tính số đo góc B của tam giác ABC biết
AH 3
HK = 5
Câu 5:
Trang 2a Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho
2
2
abc n 1 cba (n 2)
= −
= −
với n là
số nguyên lớn hơn 2
b Tìm các số x, y, z nguyên dương thỏa mãn đẳng thức: 2(y + z) = x(yz – 1)
c Cho số nguyên tố p > 3 Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số pn có đúng 20 chữ số Chứng minh rằng: trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau
Câu 6: Cho x là số thực thỏa mãn 0 ≤ x ≤ 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = x 5 x (3 x) x 2 − + − +
Trang 3KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1:
1 Cho hệ phương trình − =3x y aax y b+ = (a, b là tham số) Xác định b để hệ luôn
có nghiệm với mọi a
2 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; 3), cắt trục hoành và trục tung tại các điểm A(a; 0) và điểm B(0; b) sao cho a, b là các số
nguyên tố
Câu 2: Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F Vẽ DH vuông góc với EF (H
thuộc EF) Chứng minh rằng ABH ACHˆ = ˆ
Câu 3:
1 Chứng minh rằng F(n) = 4n + 15n – 1 luôn chia hết cho 9 với mọi n nguyên dương
2 Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn x³ = y³ + 2y² + 1
Câu 4: Cho a, b, c ≥ –1 và a³ + b³ + c³ = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = a² + b² + c²
Câu 5: Cho tam giác đều ABC cạnh a ngoại tiếp đường tròn (O) Một tiếp tuyến của đường tròn cắt cạnh AB, AC thứ tự ở D, E Đặt AD = x;
AE = y; DE = z Chứng minh rằng:
Trang 4a x² + y² – xy = z² b AD AEDB+EC không đổi khi tiếp tuyến DE thay đổi