Chứng minh rằng PQRS là hình bình hành.. Chứng minh rằng nếu cả g0, g–1 đều lẻ thì phương trình gx = 0 không thể có ba nghiệm nguyên.. Lấy cạnh BC làm đáy, dựng ra ngoài tam giác vuông c
Trang 1KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1: So sánh 11112222
2007 1
2007 1
và 22223333
2007 1
2007 1
Câu 2: Cho hình thang ABCD (BC//DA), hai đường chéo cắt nhau tại O, Lấy P trên AB sao cho PO//BC Biết BC = 3, DA = 7 Hãy tính OP
Câu 3: Giải hệ phương trình
2 8 3 10
xy 10 x 10 y
Xét số nguyên dương a và các số thực x, y, z thỏa mãn: 2x + a = y, a + y
= x, x + y = z Tìm giá trị lớn nhất có thể được của tổng x + y + z
Câu 4: Các điểm A, B, C, D lấy trên các cạnh PQ, QR, RS, SP của tứ giác PQRS sao cho ABCD là hình bình hành và AC, BD, PR, QS đồng quy Chứng minh rằng PQRS là hình bình hành
a Cho f(x) = x² + 6x + c, với c là số nguyên Chứng minh rằng f(0) + f(– 1) là số nguyên lẻ
b Cho g(x) = x³ + px² + qx + r; với p, q, r là các số nguyên Chứng minh rằng nếu cả g(0), g(–1) đều lẻ thì phương trình g(x) = 0 không thể có ba nghiệm nguyên
Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD Lấy X trên AB, Y trên BC; SDAX = 5,
SXBY = 4, SYCD = 3 Tính diện tích tam giác DXY
Câu 6: Ký hiệu [x] là số nguyên lớn nhất không vượt quá x Tính tổng
[ 1] [ 2] [ 49] [ 50]
Trang 2Câu 7: Biết AB = 5, BC = 8, CA = 7 Tính BD.
Câu 8: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n số 121n – 25n +
1900n – (–4)n luôn chia hết cho 2000
Câu 9: Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn
a b c 1
1
ab bc ca
Câu 10: Hãy tính giá trị của biểu thức M 1 1 1
1 a ab 1 b bc 1 c ca
Câu 11: Tứ giác lồi ABCD có tính chất AB = CD, ADC DAB 90 o Lấy cạnh BC làm đáy, dựng ra ngoài tam giác vuông cân EBC Chứng minh rằng tam giác EAD cũng vuông cân
Trang 3KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Câu 1: Cho biểu thức P(x) 2x2 x2 1
3x 4x 1
1 Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) xác định Rút rọn P(x)
2 Chứng minh rằng: Nếu x > 1 thì P(x).P(–x) < 0
Câu 2: Tìm giá trị nguyên của x và y trong đẳng thức: 2x³ + xy = 7 Câu 3: Giải hệ phương trình
2
2 2
6x 3xy x 1 y
Câu 4: Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh
BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F Đường tròn tâm O’ nằm trong góc A của tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC và phần kéo dài của các cạnh AB, AC tương ứng tại các điểm P, M, N
1 Chứng minh rằng: BP = CD
2 Trên đường thẳng MN ta lấy các điểm I và K sao cho CK//AB, BI//AC Chứng minh rằng BICE là hình bình hành
3 Gọi (S) là đường tròn đi qua ba điểm I, K, P Chứng minh rằng (S) tiếp xúc với các đường thẳng BC, BI, CK
Câu 5: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
a 3b b 3c c 3a a 2b c b 2c a c 2a b