Bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không gian hilbert

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2VŨ THỊ HOÀNG YẾN BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TOÀN PHƯƠNG MÔ TẢ BỞI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ HOÀNG YẾN

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TOÀN PHƯƠNG

MÔ TẢ BỞI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ THỊ HOÀNG YẾN

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU TOÀN PHƯƠNG

MÔ TẢ BỞI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Duy Phượng

Hà Nội – Năm 2015

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Tạ Duy Phượng, ngườithầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoànthành luận văn này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ,động viên để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Vũ Thị Hoàng Yến

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS TS Tạ Duy Phượng, luậnvăn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Bài toán điều khiển tối

ưu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tínhtrong không gian Hilbert được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìmhiểu của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Vũ Thị Hoàng Yến

Mục lục

1.1 Một số kiến thức về giải tích hàm và độ đo 5

1.1.1 Không gian metric 5

1.1.2 Không gian định chuẩn 9

1.1.3 Không gian Hilbert 13

1.1.4 Độ đo và hàm đo được 16

1.2 Một số kiến thức về lý thuyết điều khiển 21

1.2.1 Định lý tồn tại nghiệm suy rộng của phương trình vi phân 21

1.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Rn 23

1.2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển trong không gian hữu hạn chiều 28

1.2.4 Nửa nhóm của các toán tử và định lý Phillips 33

2 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều 38 2.1 Bài toán điều khiển tuyến tính và phương trình toán tử Riccati 38 2.1.1 Hàm giá và phương trình Bellman 38

2.1.2 Bài toán điều khiển hệ tuyến tính và phương trình

toán tử Riccati 40

2.2 Điều khiển tuyến tính và ổn định hóa 45

2.2.1 Nghiệm cực tiểu 45

2.2.2 Ổn định hóa của hệ phương trình tuyến tính 49

2.3 Phương trình Liapunov 55

3 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Hilbert 60 3.1 Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Hilbert 60

3.2 Phương trình toán tử Riccati 65

3.3 Trường hợp khoảng thời gian hữu hạn 68

3.4 Trường hợp khoảng thời gian vô hạn 73

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệphương trình vi phân trong không gian hữu hạn chiều đã được nghiên cứucách đây khoảng 50 năm (xem, thí dụ, [4])

Nhiều bài toán thực tế dẫn tới phải nghiên cứu bài toán điều khiển tối

ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phântrong không gian Hilbert Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêutoàn phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân thường trong không gianHilbert đã được nghiên cứu và trình bày trong một số tài liệu (xem, thí

dụ, [5])

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về một hướng nghiên cứu tương đốithời sự hiện nay là bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả bởi hệphương trình vi phân trong không gian Hilbert, dưới sự hướng dẫn củaPGS TS Tạ Duy Phượng, tôi chọn đề tài Bài toán điều khiển tối ưu toànphương mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không gianHilbert làm luận văn cao học

phương mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không gianHilbert.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về hệ phương trình vi phân thường trong không gian Hilbert.Nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương

mô tả bởi hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Hilbert

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bài toán điều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệphương trình vi phân tuyến tính trong không gian Hilbert

5 Giả thuyết khoa học

Luận văn trình bày các nghiên cứu về một lớp bài toán trong lý thuyết tối

ưu Trình bày chi tiết về phương trình vi phân tuyến tính trong không gianHilbert và bài toán điều khiển tối ưu toàn phương mô tả bởi hệ phươngtrình vi phân tuyến tính trong không gian Hilbert trong các khoảng thờigian hữu hạn và vô hạn

6 Phương pháp nghiên cứu

Thu thập các tài liệu liên quan tới Bài toán điều khiển tối ưu với hàmmục tiêu toàn phương mô tả bởi hệ phương trình thường trong không gianHilbert

Phân tích, tổng hợp và hệ thống các kiến thức liên quan tới Bài toánđiều khiển tối ưu với hàm mục tiêu toàn phương mô tả bởi hệ phươngtrình vi phân thường tuyến tính trong không gian Hilbert

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 [1, trang 1]

Ta gọi không gian metric một tập hợp X 6= ∅ cùng với một ánh xạ d từtích Descartes X × X vào tập hợp các số thực R thỏa mãn các tiên đề sauđây:

(1) ∀x, y ∈ X : d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, (tiên đề đồngnhất);

(2) ∀x, y ∈ X : d(x, y) = d(y, x), (tiên đề đối xứng);

(3) ∀x, y, z ∈ X : d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), (tiên đề tam giác)

Ánh xạ d được gọi là metric trên X, số d(x, y) được gọi là khoảng cáchgiữa hai phần tửx và y Các phần tử của X được gọi là các điểm; các tiên

đề 1), 2), 3) được gọi là hệ tiên đề metric

Không gian metric xác định trên tập X được ký hiệu là (X, d)

Cho không gian metric (X, d), a ∈ X, số r > 0 Khi ấy

• Tập S(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r} được gọi là hình cầu mở tâm a,bán kính r

• Tập S(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) ≤ r}¯ được gọi là hình cầu đóng tâm

a, bán kính r

Định nghĩa 1.1.5 [1, trang 12]

Cho không gian metric (X, d) Mọi tập chứa hình cầu mở tâm x, bánkính r > 0 được gọi là lân cận của điểm x ∈ X trong không gian (X, d).Cho hai không gian metric (X, dX), (Y, dY), ánh xạ f : X → Y

Định nghĩa 1.1.6 [1, trang 20]

Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x ∈ X¯ , nếu∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈

X mà dX(x, ¯x) < δ thì dY(f (x), f (¯x)) < ε Hay nói cách khác:

Ánh xạ f được gọi là liên tục tại điểm x ∈ X¯ , nếu với lân cận tùy ý chotrước U¯ = S(¯y, ε) ⊂ Y của điểm y = f (¯¯ x) trong (Y, dY), tìm được lâncận Vx¯ = S(¯x, ε) ⊂ X của điểm x¯ trong (X, dX) sao cho f (Vx¯) ⊂ U¯.Định nghĩa 1.1.6 tương đương với định nghĩa sau đây

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀m, n ≥ n0 : d (xn, xm) < ε

Một dãy hội tụ bao giờ cũng là dãy cơ bản, vì nếuxn → xthì theo bất đẳngthức tam giác ta có d (xn, xm) ≤ d (xn, x) + d (x, xm) → 0 (n, m → ∞)

Nhưng ngược lại một dãy cơ bản trong một không gian bất kỳ không nhấtthiết hội tụ Chẳng hạn nếu coi khoảng (0, 1) là một không gian metricthì dãy n1 , là dãy cơ bản, nhưng không hội tụ trong không gian ấy.Định nghĩa 1.1.11 [1, trang 24]

Không gian metric (X, d) được gọi là một không gian đầy (không gianđủ) nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ

Mọi ánh xạ co T ánh xạ không gian metric đầy (X, d) vào chính nó đều

có điểm bất động x¯ duy nhất, nghĩa là x ∈ X¯ thỏa mãn hệ thức T ¯x = ¯x.Định nghĩa 1.1.13 [1, trang 45]

Không gian metric (X, d) được gọi là không gian tách được (separablespace) nếu tập X chứa tập con đếm được trù mật khắp nơi trong khônggian (X, d)

Với mỗi p ≥ 1, kí hiệu Lp(α, β; E) là không gian của tất cả các lớptương đương của hàm khả tích Bochner f từ (α, β) < (−∞, +∞) vào Esao cho

Nếu E là không gian Hilbert và p = 2 thì L2(α, β; E) cũng là một khônggian Hilbert và tích vô hướng cho bởi công thức

1.1.2 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.14 Cho V là một tập khác rỗng mà các phần tử kí hiệu

là ~α, ~β, ~γ, , và K là một trường Giả sử V được trang bị hai phép toánPhép cộng + : V×V → V,



~

α, ~β

7→ ~α + ~β,Phép nhân : K×V → V, (λ, ~α) 7→ λ.~α,

thỏa mãn các tiên đề sau

Khi đó V cùng với hai phép toán đã cho được gọi là không gian tuyếntính (không gian vectơ) trên trường K.

Các phần tử của V được gọi là các vectơ, các phần tử của K được gọi làcác vô hướng

Khi K = R (K = C) thì V được gọi là không gian vectơ thực (không gianvectơ phức)

Định nghĩa 1.1.15 [1, trang 57]

Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn)

là không gian tuyến tính X trên trường P (P = R hoặc P = C) cùng vớimột ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là k.k và đọc là chuẩn, thỏamãn các tiên đề sau đây:

(1) ∀x ∈ X : kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = θ (kí hiệu phần tử không là θ );(2) ∀x ∈ X, ∀α ∈ P : kαxk = |α| kxk;

Khi đó d là một metric trên X

Nhờ Định lý 1.1.3, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thànhkhông gian metric với metric (1.1) Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đãđúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn.Định nghĩa 1.1.16 [1, trang 58]

Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản,nếu

lim

m,n→∞kxn− xmk = 0

Định nghĩa 1.1.17 [1, trang 58]

Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy

cơ bản trong X đều hội tụ

kAk = sup

kxk=1

kAxk

n kxnk =

1

n → 0, khi n → ∞ Nghĩa là, yn → θ khi

n → +∞, suy ra yn+ x0 → x0 (n → ∞) Theo giả thiết, ta có

kA(yn+ x0) − A(x0)k → 0 (n → ∞) ⇒ kAynk → 0 (n → ∞)

Nhưng kA(yn)k = kA(xn)k

Ta có kA(xn) − A(x)k = kA(xn − x)k ≤ k kxn− xk → 0

Suy ra d (A(xn), A(x)) = kA(xn) − A(x)k → 0 hay A(xn) → A(x) Do

đó A liên tục Định lý được chứng minh

Định lý 1.1.5 [1, trang 71]

Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X lên không gianđịnh chuẩn Y có toán tử ngược A−1 liên tục khi và chỉ khi tồn tại hằng số

α > 0 sao cho

kAxk ≥ α kxk , ∀x ∈ X

Khi đó A−1 = 1

α.Định nghĩa 1.1.19 [1, trang 81]

Cho họ (At)t∈T gồm các toán tử tuyến tính At ánh xạ không gian địnhchuẩn X vào không gian định chuẩnY, trong đóT là tập chỉ số nào đó Họ(At)t∈T được gọi là bị chặn từng điểm nếu với mỗi x ∈ X tập (At(x))t∈T

bị chặn Họ (At)t∈T được gọi là bị chặn đều nếu tập (kAtk)t∈T bị chặn.Định lý 1.1.6 [1, Nguyên lý bị chặn Banach- Steinhaus, trang 81]

Nếu họ (At)t∈T các toán tử tuyến tính liên tục ánh xạ không gian Banach

X vào không gian định chuẩn Y bị chặn từng điểm, thì họ đó bị chặn đều.1.1.3 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.20 [1, trang 123]

Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P là R hoặc C) Ta gọitích vô hướng trên không gian X là ánh xạ từ tích Descartes X × X vàotrường P, ký hiệu là h., i, thỏa mãn các tiên đề sau:

(1) ∀x ∈ X : hx, xi ≥ 0, hx, xi = 0 nếu x = θ (θ là ký hiệu phần tửkhông);

Cho n → ∞, vế phải của bất đẳng thức trên tiến đến không Hay,lim

n→∞hxn, yni = hx, yi Hệ quả đã được chứng minh

Định nghĩa 1.1.22 [1, trang 125]

Ta gọi một tập H 6= ∅ gồm những phần tử x, y, z, nào đấy là khônggian Hilbert, nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:

(1) H là không gian tuyến tính trên trường P;

(2) H được trang bị một tích vô hướng h., i;

(3) H là không gian Banach với chuẩn kxk = phx, xi, x ∈ H

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H làkhông gian Hilbert con của không gian H

Định nghĩa 1.1.23 [1, trang 144]

Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vàokhông gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian Xđược gọi là toán tử liên hợp với toán tử A nếu

hAx, yi = hx, Byi , ∀x ∈ X, ∀y ∈ Y

Toán tử liên hợp B được kí hiệu là A∗

Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính

nó được gọi là tự liên hợp nếu

hAx, yi = hx, Ayi , ∀x, y ∈ H

Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng

Định lý 1.1.9 [1, trang 146]

Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào chính

nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng hAx, xi là số thực với mọi

x ∈ H Khi đó,

kAk = sup

kxk=1

|hAx, xi|

1.1.4 Độ đo và hàm đo được

Cho tập X 6= ∅ và họ F các tập con của X

F được gọi là một σ− đại số nếu nó thỏa mãn các điều kiện

(i) X, ∅ ∈ F

(ii) A ∈ F ⇒ Ac ∈ F

(iii) Ak ∈ F , k = 1, 2, ⇒ ∞∪

k=1Ak ∈ F

Nếu F là σ− đại số các tập con của X thì cặp (X, F ) được gọi là mộtkhông gian đo được và mỗi tập A ∈ F được gọi là tập đo được (đo đượcvới F hay F − đo được).

Định nghĩa 1.1.27 [2, trang 45]

σ− đại số nhỏ nhất bao hàm lớp các tập mở trong không gian metric

X được gọi là σ− đại số Borel của không gian X, và những tập thuộc σ−đại số này được gọi là tập Borel trong không gian X

(ii’) Tồn tại A ∈ F sao cho µ(A) < +∞

Thật vậy,

(ii) ⇒ (ii0) Tồn tại ∅ ∈ F mà µ(∅) = 0 < +∞

(ii0) ⇒ (ii) Với A ∈ F, xét

µ(A) = µ(A ∪ ∅) = µ(A) + µ(∅)

Do µ(A) < +∞ suy ra

µ(∅) = µ(A) − µ(A) = 0

Định nghĩa 1.1.29 [2, trang 103]

Cho không gian X, một σ− đại số F các tập con của X và tập A ∈ F.Hàm số f : X → R được gọi là đo được trên tập A đối với σ− đại số Fnếu

∀a ∈ R : {x ∈ A : f (x) < a} ∈ F (1.3)Thường trên σ− đại số F có một độ đo µ, khi đó f (x) cũng được gọi

là đo được đối với độ đo µ hay µ− đo được

Trong trường hợp X = Rk, F = Lk thì ta nói f (x) là đo được theonghĩa Lebesgue (đo được (L)) Nếu X = Rk, F = Bk (σ− đại số Boreltrong Rk) thì ta nói f (x) là đo được theo nghĩa Borel hay hàm f (x) làhàm số Borel Điều kiện (1.3) có thể thay bằng một trong các điều kiệnsau

∀a ∈ R : {x ∈ A : f (x) > a} ∈ F ,

∀a ∈ R : {x ∈ A : f (x) ≤ a} ∈ F ,

∀a ∈ R : {x ∈ A : f (x) ≥ a} ∈ F Nếu f (x) đo được trên tập A thì nó cũng đo được trên mọi tập con của Athuộc F

Cho không gian đo được X với σ− đại số F trên X và một độ đo µtrên F

Hàm XM(t) là hàm đặc trưng của M, nghĩa là

Định nghĩa 1.1.30 Một hàm f : X → R được gọi là hàm đơn giản nếu

nó đo được và chỉ nhận hữu hạn giá trị

Gọi αi là các giá trị khác nhau của hàm đơn giản f, kí hiệu tập Ai ={t : f (t) = αi} thì các tập Ai là đo được, rời nhau và ta có

cũng là các hàm đo được, không âm và ta có f (t) = f+(t) − f−(t)

Nếu ít nhất một trong các tích phân R

Định nghĩa 1.1.31 Hàm y : (a, b) → Rn được gọi là liên tục tuyệt đốinếu với mỗi ε > 0 tồn tại số δ > 0, với mọi hệ hữu hạn khoảng đôi mộtkhông cắt nhau (ak, bk) ⊂ (a, b), k = 1, 2, , N, sao cho

N

P

k=1

(bk− ak) < δthì

đúng vợi mọi t, τ ∈ (a, b)

Nếu hàm ξ(.) : (a, b) → Rn khả tích trên a, b) và τ ∈ (a, b) thì hàm sốy(t) =

1.2 Một số kiến thức về lý thuyết điều khiển

Trong mục này, chúng ta sẽ nhắc lại lý thuyết về phương trình vi phântuyến tính và một số khái niệm cơ bản của lý thuyết điều khiển

1.2.1 Định lý tồn tại nghiệm suy rộng của phương trình vi

phân

Xét phương trình vi phân

˙

y = u,trong đó u(t) =

y(t0) = y0, t0 ∈ (a, b) , (1.5)trong đó (a, b) ⊆ R; tập D := (a, b) × G ⊆R×Rn, trong đó G là tập mởtrong Rn Hàm f : D → Rn xác định và liên tục trên D

Định nghĩa 1.2.1 Hàm số f : D → Rn được gọi là Lipschitz đối với yđều theo t trên D nếu tồn tại số thực dương L sao cho với mọi (t, y1) ∈

D, (t, y2) ∈ D ta có

kf (t, y1) − f (t, y2)k ≤ L ky1 − y2k Hàm số f : D → Rn được gọi là Lipschitz địa phương đối với y đều theo tnếu với mọi điểm y ∈ G tồn tại lân cận V (y) của y sao cho f là Lipschitzđối với y đều theo t trong lân cận ấy, tức là tồn tại hằng số L sao cho

kf (t, y1) − f (t, y2)k ≤ L ky1 − y2k với mọi y1, y2 ∈ V (y) ∩ G, t ∈ (a, b)

Định nghĩa 1.2.2 Hàm số y = ϕ(t) liên tục tuyệt đối trên khoảng (a, b)thỏa mãn phương trình vi phân (1.4) hầu khắp nơi trên (a, b) được gọi lànghiệm suy rộng của (1.4) trên khoảng (a, b)

Định lý 1.2.1 [Định lý Caratheodory]

Cho hàm f : D → Rn, trong đó

D := {(t, y) : t0 − a ≤ t ≤ t0 + a, ky − y0k ≤ b} Giả sử

1) Hàm f (t, y) liên tục theo y với mỗi t cố định và đo được theo t vớimỗi y cố định

2) Tồn tại hàm khả tích m(t) xác định trên Ta = {t : |t − t0| ≤ a} saocho

kf (t, y)k ≤ m(t), ∀(t, y) ∈ D

Khi ấy, tồn tại một hằng số c > 0 sao cho phương trình vi phân (1.4) cónghiệm suy rông trên Tc = {t : |t − t0| ≤ c} thỏa mãn điều kiện ban đầuy(t0) = y0

1.2.2 Hệ phương trình vi phân tuyến tính trong không gian

Rn

Xét phương trình vi phân thường tuyến tính không thuần nhất dạng

dy

dt = A(t)y(t) + a(t), t ∈ [0, T ], (1.6)với điều kiện ban đầu

Cho x = (ξ1, ξ2, , ξn) , y = (η1, η2, , ηn) ∈ Rn, tích vô hướng hx, yi vàchuẩn kxk được định nghĩa bởi:

Ánh xạ đồng nhất cũng như ma trận đơn vị được kí hiệu là I Ánh xạliên hợp của ánh xạ tuyến tính A cũng như ma trận chuyển vị của A được

kí hiệu là A∗ Ma trận A ∈ M (n, n) được gọi là ma trận đối xứng nếu

A = A∗ Tập tất cả các ma trận đối xứng được sắp thứ tự từng phần theoquan hệ A1 ≥ A2 nếu hA1x, xi ≥ hA2x, xi với mọi x ∈ Rn Nếu A ≥ 0thì ta nói ma trận A là nửa xác định dương (nonnegative definite) và nếu,ngoài ra, hAx, xi > 0 với x 6= 0 thì ma trận A được gọi là xác định dương(positive definite)

Coi x ∈ Rn như một phần tử của M (n, 1), ta có x∗ ∈ M (1, n) Đặc biệt,

ta có thể viết hx, yi = x∗y và kxk2 = x∗x

Ánh xạ ngược của A và ma trận nghịch đảo của A được kí hiệu A−1

Ta có thể chứng minh phương trình (1.6) có duy nhất nghiệm trên(0, T ).Thật vậy, phương trình (1.6) tương đương với phương trình tích phân

t∈[0,T ]ky1(t) − y2(t)k.Công thức

C [0, T ;Rn], nó là nghiệm của phương trình tích phân hay phương trình(1.6) có duy nhất nghiệm Trường hợp

T

R

0

kA(s)k ds ≥ 1 ta có thể giảmxuống nhỏ hơn một bằng cách xét phương trình trên các khoảng ngắn hơnthích hợp Đặc biệt, ta có được sự tồn tại và tính duy nhất của một matrận hàm thỏa mãn (1.6)- (1.7)

Xét phương trình vi phân thường tuyến tính thuần nhất

dy

dt = A(t)y(t), t ∈ [0, T ]. (1.8)Giả sử yk(t), k = 1, 2, , n, t ≥ 0, là nghiệm của phương trình (1.8) thỏamãn điều kiện ban đầu

y1k(0) = 0, , yk−1k (0) = 0, ykk(0) = 1, yk+1k (0) = 0, , ynk(0) = 0,

k = 1, 2, , n.Lập ma trận

S(t) =y1(t), y2(t), , yn(t), k = 1, 2, , n, t ∈ [0, T ]

Ta có S(0) = y1(0), y2(0), , yn(0) = I

Ma trận S(t) (với các cột là các vectơ yk(t)) được gọi là ma trận nghiệm

cơ bản (fundamental solution) của hệ (1.8), chuẩn hóa tại t = 0

Như vậy, S(t) chính là nghiệm của phương trình vi phân

( dS

dt = A(t)S(t)S(0) = I

Ma trận S(t) là ma trận không suy biến với mọi t ∈ [0, T ] Thật vậy, ta

kí hiệu ψ(t), t ∈ [0, T ] là ma trận nghiệm của

d

dtψ(t) = −ψ(t)A(t), ψ(0) = I, t ∈ [0, T ].

Giả sử rằng, tồn tại t ∈ [0, T ) , sao cho det S(t) = 0.

Đặt T0 = min {t ∈ (0, T ) : det S(t) = 0} thì T0 > 0 (vì nếu T0 = 0 suy

ra det S(0) = 0 vậy S(0) 6= I) và với t ∈ [0, T0) có

0 = d

dt S(t)S

−1(t)
=

d

trong đó S(t) là ma trận nghiệm cơ bản của (1.8)

Thật vậy, vì S(0) = I nên ta có y(0) = S(0)x = x

Doa(t) là khả tích địa phương trên[0, T ] nên hàm y(t)xác định theo côngthức (1.9) là khả vi hầu khắp nơi Lấy đạo hàm hai vế của (1.9) ta được

Thật vậy, dodet S(t) 6= 0, với mọi t ∈ [0, T ]nên tồn tại ma trận nghịch đảo

S−1(t) Đầu tiên, ta chứng minh (S−1(t))∗ = (S∗(t))−1 với mọi t ∈ [0, T ].Với mọi t ∈ [0, T ], ta có

1.2.3 Hệ phương trình vi phân tuyến tính có điều khiển trong

không gian hữu hạn chiều

Một trong những bài toán cơ bản của lý thuyết điều khiển là nghiên cứu

hệ tuyến tính mô tả bởi hệ phương trình vi phân

Cho U ⊆ Rm là tập các tham số điều khiển Hàm u : [0, ∞) → Rm là đođược (hoặc liên tục từng khúc theo t), thỏa mãn hạn chế u(t) ∈ U, t ≥ 0,được gọi là điều khiển chấp nhận được Giả sử điều khiển u(.) đã đượcchọn, khi ấy hệ (1.10) có nghiệm tương ứng y(.) Để nhấn mạnh sự phụthuộc vào điều kiện ban đầu x và điều khiển u, nghiệm tương ứng củaphương trình (1.10) được kí hiệu là yx,u(.) Điều kiện (1.12) có thể viết lạilà:

w(t) = Cyx,u(t), t ≥ 0.Giả sử C = I, khi đó

Đạo hàm cấp một và cấp hai của hàm y(t), t ∈ R được kí hiệu lần lượt

Cho A ∈ M (n, n), khi đó chuỗi

+∞

X

k=1

Akk!t

(etA)−1 = e−tA, t ∈ R

Vì vậy, nghiệm của (1.10) có dạng

ma trận (A, B) là điều khiển được

- Hệ (1.14)- (1.15) hay cặp ma trận (A, C) được gọi là quan sát được(observable) [5, trang 25] nếu với x ∈ Rn, x 6= 0 tồn tại t > 0 sao cho

w(t) = Cyx(t) 6= 0

- Hệ (1.14) được gọi là ổn định (stable) [5, trang 28] nếu với mọi x ∈ Rncó

yx(t) → 0, khi t ↑ +∞

Thay vì nói hệ (1.14) ổn định ta thường nói ma trận A là ổn định

- Hệ (1.14)- (1.15) hay cặp ma trận (A, C) được gọi là nhận biết được

(detectable) [5, trang 46] nếu tồn tại ma trận L ∈ M (n, k) sao cho matrận A + LC là ổn định.

Nhận xét 1.2 [5, trang 28]

Các khái niệm về sự ổn định không phụ thuộc vào cách chọn các cơ sởtrong Rn Do đó, nếu P là ma trận không suy biến và một ma trận A ổnđịnh thì ma trận P AP−1 là ổn định

Định nghĩa 1.2.4 Ta nói hệ phương trình vi phân (1.10) là ổn định hóađược (stabilizable) [5, trang 43] hay cặp ma trận (A, B) là ổn định hóađược nếu tồn tại một ma trận K ∈ M (m, n) sao cho ma trận A + BK là

ổn định

Hơn nữa, nếu (A, B) là ổn định hóa được và điều khiển liên hệ ngượcu(.) có dạng

u(t) = Ky(t), t ≥ 0,thì tất cả các nghiệm của phương trình

kyx(t)k ≤ M e−ωtkxk Định lý 1.2.2 [5, trang 30]

Giả sử A ∈ M (n, n) Các điều kiện sau là tương đương:

(i) yx(t) → 0, khi t ↑ +∞, với x ∈ Rn tùy ý

(ii) yx(t) → 0, theo hàm mũ t ↑ +∞, với mọi x ∈ Rn

(iii) ω(A) = sup {Reλ; λ ∈ σ(A)} < 0.

ở đó cho trước ma trận đối xứng R ∈ M (n, n) và ma trận A ∈ M (n, n),

ma trận đối xứng Q ∈ M (n, n) là chưa biết Ta có định lý sau

Định lý 1.2.3 [5, trang 40]

(1) Giả sử cặp (A, C) là quan sát được và R = C∗C Nếu tồn tại matrận nửa xác định dương Q thỏa mãn (1.17) thì ma trận A là ổn định.(2) Nếu ma trận A là ổn định thì với ma trận đối xứng R bất kì, phươngtrình (1.17) có duy nhất một nghiệm đối xứng Q Nghiệm này là xác địnhdương (nửa xác định dương) nếu ma trận R là xác định dương (nửa xácđịnh dương)

Chú ý 1.2.1 [5, trang 42]

Cặp ma trận(A, I) là luôn quan sát được Hơn nữa, nếu tồn tại ma trậnnghiệm không âm Q của phương trình

A∗Q + QA = −I,thì A là ma trận ổn định

1.2.4 Nửa nhóm của các toán tử và định lý Phillips

Cho E và U là các không gian tuyến tính hữu hạn chiều và các ánh xạ

A : E → E, B : U → E là các toán tử tuyến tính Khi đó, theo Mục1.2.3, nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

S(t + s) = S(t)S(s), t, s ≥ 0, S(0) = I (1.22)

Từ đó ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.2.5 ([5], trang 177)

ChoE là một không gian Banach Nửa nhóm của các toán tử (semigroup

of operators) là một họ tùy ý các toán tử tuyến tính bị chặn S(t) : E →

E, t ≥ 0, thỏa mãn (1.22) và

lim

t↓0 S(t)x = x, với mọi x ∈ E tùy ý (1.23)Nếu E là không gian hữu hạn chiều thì toán tử A trong (1.20)- (1.21)đồng nhất với đạo hàm của S(.) tại 0:

oper-lim

h↓0

S(h)x − x

và toán tử A được cho bởi công thức

Cho E là không gian Hilbert và S(t), t ≥ 0, là nửa nhóm trên E Khi

đó, các toán tử liên hợp S∗(t), t ≥ 0, cũng tạo thành nửa nhóm trên E.Định lý 1.2.7 [5, Định lý Phillips, trang 188]

Nếu toán tử A sinh một nửa nhóm trong không gian Banach E và K :

E → E là một toán tử tuyến tính bị chặn thì toán tử A + K với miền xácđịnh trùng với D(A) cũng là một toán tử sinh

Ta xét hệ tuyến tính có điều khiển

˙

trên không gian Banach E Giả sử A là toán tử sinh một nửa nhóm toán

tử S(t), t ≥ 0, trên E và B là một toán tử tuyến tính, bị chặn từ mộtkhông gian Banach U vào E Giả sử U = E và phương trình (1.26) đượcthay bởi

˙

với hàm f lấy giá trị trong E

Định nghĩa 1.2.6 [5, trang 202]

Hàm liên tục y : [0, T ] → E bất kì sao cho

(i) y(0) = x, y(t) ∈ D(A), t ∈ [0, T ] ,

(ii) y là hàm khả vi tại mọi t ∈ [0, T ] và

dy

dt(t) = Ay(t) + f (t), t ∈ [0, T ] ,được gọi là nghiệm mạnh (strong solution) của (1.27) trên t ∈ [0, T ].Định lý 1.2.8 [5, trang 202]

Giả sử rằng x ∈ D(A), f (.) là một hàm liên tục trên [0, T ] và y(.) làmột nghiệm mạnh của (1.27) trên [0, T ] Khi ấy,