Cận trên của số các giá trị riêng của toán tử Schrodinger từ tính trong không gian hai chiều

Vấn đề được quan tâm là số các giá trị riêng không âm của toán tửSchr¨odinger từ tính trong không gian hai chiều bị chặn bởi các điện thếtương ứng, các ước lượng này không còn đúng nếu k

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Tạ Ngọc Trí, người đã địnhhướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luậnvăn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôitrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Quỳnh Trang

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Tạ Ngọc Trí, luậnvăn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Cận trên của sốcác giá trị riêng của toán tử Schr¨odinger từ tính trong khônggian hai chiều" được hoàn thành theo quan điểm riêng của cá nhântôi

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Quỳnh Trang

Mục lục

Mở đầu 4

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Các không gian 7

1.1.1 Không gian Banach 7

1.1.2 Không gian Lp 8

1.1.3 Không gian Sobolev 11

1.1.4 Không gian Hilbert 12

1.2 Các toán tử 14

1.2.1 Toán tử tuyến tính bị chặn 14

1.2.2 Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert 19

1.3 Phổ của toán tử 20

Chương 2 Toán tử Schr¨odinger 23

2.1 Một số định nghĩa và tính chất 24

2.2 Phổ của một số dạng toán tử Schr¨odinger 30

2.2.1 Toán tử Schr¨ odinger dạng H 0 + V 30

2.2.2 Toán tử Schr¨ odinger dạng −∆ − λ |x| . 31

2.2.3 Toán tử Schr¨ odinger dạng − N P j=1 ∆ j + N P j<k Vj,k(x j − xk) 35

Chương 3 Cận trên của số các giá trị riêng của toán tử Schr¨odinger từ tính trong không gian hai chiều 45

3.1 Cận của các giá trị riêng từ tính tổng quát 45

3.2 Cận của các giá trị riêng trong trường xuyên tâm 48

3.3 Chứng minh những kết quả chính: từ trường tổng quát 52

3.3.1 Chứng minh Định lý 3.1 55

3.3.2 Chứng minh Định lý 3.2 56

3.3.3 Chứng minh Hệ quả 3.1 57

3.4 Bất đẳng thức Hardy 58

3.5 Chứng minh những kết quả chính: trường xuyên tâm 61

3.5.1 Chứng minh Định lý 3.3 62

3.5.2 Chứng minh Định lý 3.4 68

3.5.3 Chứng minh Mệnh đề 3.1 71

Tài liệu tham khảo 74

tự liên hợp trong L2(Rn) khi xác định trên một miền thích hợp (Khônggian Sobolev H2) Nó tương ứng với một chất điểm tự do di chuyểntrong không gian Dùng hàm sóng φ(x, t) ∈ L2(Rn) ta có thể mô tả được

vị trí của chất điểm và xác suất để tìm nó trong miền Ω tại thời điểm

t = RΩ|φ(x, t)|2dx Dùng phép biến đổi Fourier và phương pháp pha ổnđịnh ta thu được các đánh giá cần thiết

Vấn đề được quan tâm là số các giá trị riêng không âm của toán tửSchr¨odinger từ tính trong không gian hai chiều bị chặn bởi các điện thếtương ứng, các ước lượng này không còn đúng nếu không có từ trường.Cận trên tương ứng phụ thuộc vào tính chất của từ trường như thế nào

và sự liên hệ với bất đẳng thức Hardy ra sao Để làm rõ vấn đề này ta

sẽ đi nghiên cứu về nó

Với mong muốn hiểu biết sâu về cận trên của số các giá trị riêng củatoán tử Schr¨odinger từ tính trong không gian hai chiều và ứng dụng của

nó cùng với sự giúp đỡ tận tình của người hướng dẫn em đã chọn đề tài:

“Cận trên của số các giá trị riêng của toán tử Schrodinger từtính trong không gian hai chiều” nghiên cứu.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Trình bày các định nghĩa, định lý, các ví dụ cụ thể về toán từSchr¨odinger từ tính

+ Cận trên của số các giá trị riêng của toán tử Schr¨odinger từ tínhtrong không gian hai chiều

+ Nêu các ứng dụng của toán tử Schr¨odinger từ tính trong khônggian hai chiều

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Toán tử Schr¨odinger từ tính, Cận trên của

số các giá trị riêng của toán tử Schr¨odinger trong không gian hai chiều.+ Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, các bài báo liên quan tới toán

tử Schr¨odinger từ tính, cận trên của số các giá trị riêng của toán tửSchr¨odinger từ tính trong không gian hai chiều

5 Phương pháp nghiên cứu

+ Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề.+ Sử dụng các kiến thức trong lý thuyết phổ, lý thuyết toán tử, toán

tử tự liên hợp, toán tử trong không gian Hilbert

6 Dự kiến đóng góp

+ Hệ thống một số dạng của toán tử và kết luận cận trên của số cácgiá trị riêng của toán tử Schr¨odinger từ tính trong không gian hai chiều.+ Nêu được vai trò, áp dụng của toán tử Schr¨odinger trong vật lý

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Các không gian

1.1.1 Không gian Banach

Định nghĩa 1.1 Cho X là một không gian vectơ trên trường số K (Rhoặc C) Một ánh xạ p : X → R được gọi là một chuẩn trên X nếu nóthỏa mãn các điều kiện sau:

(i) p(x) ≥ 0 với mọi x ∈ X;

p(x) = 0 ⇔ x = θ (θ là kí hiệu phần tử không trong X);

(ii) p(λx) = |λ| p(x) với mọi số λ ∈ K và mọi x ∈ X;

(iii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y) với mọi x, y ∈ X

Số p(x) được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ p(x), thông thường

ta kí hiệu kxk thay cho p(x)

Không gian vectơ X cùng với chuẩn k·k trong nó được gọi là mộtkhông gian định chuẩn, kí hiệu (X, k·k)

Mệnh đề 1.1 Giả sử X là không gian định chuẩn Với mọi x, y ∈ X,đặt

ρ(x, y) = k(x − y)k

Khi đó, ρ là một metric trên X.

Định nghĩa 1.2 Dãy (xn) trong không gian định chuẩn X được gọi làhội tụ đến x0 ∈ X nếu

(b) Nếu (An) là họ đếm được các phần tử rời nhau của S, thì

∀a ∈ R : {x ∈ A : f(x) < a} ∈ S

Trong trường hợp X = Rn và S là những tập hợp đo được theo nghĩaLebesgue thì ta nói tắt f (x) là hàm đo được Khi đó tích phân Lebesguecủa hàm f (x) trên tập đo được A được kí hiệu là

µ{x ∈ X : f (x) 6= g(x)} = 0

Định nghĩa 1.6 Cho (X, S, µ) là một không gian đo được Kí hiệu

L1(X, µ) (hoặc L1) là không gian các hàm khả tích trên X với

Cho p ∈ R với 1 < p < ∞, kí hiệu, Lp là không gian các hàm số f (x)

có lũy thừa bậc p khả tích trên X, nghĩa là |f (x)|p ∈ L1 với

kf kL∞ = kf kp = inf{C : |f (x)| ≤ C hầu khắp nơi trên X}

Định nghĩa 1.7 (Không gian Lp) Cho (X, S, µ) là một không gian đođược Họ tất cả các hàm số f (x) có lũy thừa bậc p (1 ≤ p < ∞) củamodun khả tích trên X, tức là sao cho

kf kp =



Z

gọi là không gian Lp(X, µ)

Khi đó Lp(X, µ) là tập các lớp tương đương (nghĩa là bằng nhau hầukhắp nơi) Khi X là một tập đo được Lebesgue trong Rk, µ là độ đoLebesgue thì ta viết Lp(X) Nếu X = [a, b] ⊂ R1, µ là độ đo Lebesguethì ta viết Lp(a, b) hoặc Lp[a,b] và nếu X = [0, 1] thì viết đơn giản Lp.Định lý 1.1 Các không gian Lp với chuẩn cho bởi kf kLp như trongđịnh nghĩa trên là những không gian Banach

1.1.3 Không gian Sobolev

Cho Ω là một tập mở con của Rn có biên là ∂Ω

Định nghĩa 1.8 Cho số nguyên m > 0 và 1 ≤ p ≤ ∞ Không gianSobolev được định nghĩa như sau:

Wm,p(Ω) là một không gian vectơ

Trên Wm,p(Ω) ta trang bị một chuẩn k·km,p,Ω như sau:

Hm(Ω), khi đó

1.1.4 Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.9 Cho H là một không gian vectơ trên trường số C (gọitắt là không gian vectơ phức)

Ánh xạ

H × H → C(x, y) 7→ hx, yiđược gọi là một tích vô hướng trên H nếu nó thỏa mãn các điều kiệnsau:

(i) hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H;

hx, xi = 0 ⇔ x = θ ( θ là kí hiệu phần tử không trong H );

(ii) hy, xi = hx, yi với mọi x, y ∈ H;

(iii) hx + x0, yi = hx, yi + hx0, yi với mọi x, x0, y ∈ H

(iv) hλx, yi = λ hx, yi với mọi x ∈ H, mọi số λ ∈ C

Các phần tử x, x0, y gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số hx, yi gọi

là tích vô hướng của hai nhân tử x và y

Định nghĩa 1.10 Cho H là một không gian vectơ trên trường số C Ánh

xạ B : H × H → C được gọi là một dạng tuyến tính rưỡi (sesqiulinearform) nếu B(x0, ·) là tuyến tính, B(·, y0) là liên hợp tuyến tính:

B(x + y, z + w) = B(x, y) + B(x, w) + B(y, z) + B(y, w),

B(ax, bx) = a¯bB(x, y)với mọi x, y, z, w ∈ H, a, b ∈ C

Định nghĩa 1.11 Không gian vectơ phức H được trang bị một dạngtuyến tính rưỡi h·, ·i thỏa mãn hx, xi > 0 với mọi x ∈ H \ {0}, được gọi

là không gian có tích vô hướng (0 kí hiệu là phần tử không trong H).Khi đó, h·, ·i gọi là tích vô hướng trên H Không gian có tích vô hướngcòn gọi là không gian tiền Hilbert

Cho H là không gian tiền Hilbert Với mỗi x ∈ H, ta đặt kxk =phx, xi Khi đó, ta có bất đẳng thức (Cauchy–Schwarz):

|(x, y)| ≤ kxk kyk , ∀x, y ∈ H

Từ bất đẳng thức trên ta suy ra kết quả sau:

Mệnh đề 1.3 Mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian địnhchuẩn, với chuẩn

kxk = phx, xi

Từ đây về sau, nếu không nói khác đi, ta luôn hiểu không gian tiềnHilbert là không gian định chuẩn, với chuẩn kxk =phx, xi

Định nghĩa 1.12 Nếu không gian tiền Hilbert H với metric cho bởiρ(x, y) = k(x, y)k là một không gian metric đủ, thì H được gọi là khônggian Hilbert.

Từ đây trở đi, H sẽ luôn hiểu là không gian Hilbert

Ta nói rằng ánh xạ tuyến tính T là một toán tử tuyến tính bị chặn(bounded linear operator) nếu tồn tại hằng số C sao cho

kT xkY ≤ CkxkXvới mọi x ∈ X

Số T nhỏ nhất được gọi là chuẩn của T , kí hiệu là kT k hoặc kT kX,Y

Do đó,

kT k = sup

kxkX=1

kT xkY.Khi X = Y thì T gọi là toán tử trên X Khi Y = K thì toán tử tuyếntính T được gọi là phiếm hàm tuyến tính

Mệnh đề 1.4 Cho T là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn Xvào không gian định chuẩn Y Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:(i) T bị chặn;

(ii) T liên tục;

(iii) T liên tục tại điểm 0

Định nghĩa 1.14 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Ta kí hiệuL(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian Xvào không gian Y Xét A, B là hai toán tử thuộc L(X, Y ), khi đó ta đưavào L(X, Y ) hai phép toán:

• Tổng của hai toán tử A, B ∈ L(X, Y ) là một toán tử, kí hiệu là

A + B và được xác định bởi biểu thức

(A + B)(x) = Ax + Bx với mọi x ∈ X;

• Tích vô hướng của α ∈ C với toán tử A ∈ L(X, Y ) là một toán tử,

kí hiệu là αA và được xác định bởi biểu thức

(αA)(x) = α(Ax)

Dễ dàng kiểm tra được rằng A + B ∈ L(X, Y ), αA ∈ L(X, Y ) và haiphép toán trên thỏa mãn các tiên đề của không gian vectơ Khi đó, tậpL(X, Y ) trở thành một không gian vectơ trên trường C Trong trườnghợp Y = C thì L(X, C) được gọi là không gian liên hợp của X, kí hiệu

là X∗ Nếu Y = X thì L(X, Y ) được kí hiệu gọn lại là L(X)

Chuẩn T trong L(X, Y ) được xác định bởi

kT k = sup

x6=0

kT xkYkxkX , x ∈ X.

Không gian L(X, Y ) với chuẩn vừa nêu là một không gian định chuẩn

Từ định nghĩa trên dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất:(i) kT xk ≤ kT k kxk với mọi x ∈ X

(ii) Với mọi ε > 0, tồn tại xε ∈ X : kT k − ε < kT xεk

Mệnh đề 1.5 Nếu Y là đầy đủ thì L(X, Y ) là không gian Banach

Từ mệnh đề trên suy ra X∗ luôn là không gian Banach

Định lý 1.2 ([8]) , Kí hiệu L(H) là tập các toán tử bị chặn trên khônggian Hilbert H Cho Tn là một dãy các toán tử bị chặn và giả sử (Tnx, y)hội tụ khi n → ∞ với mọi H Khi đó tồn tại L(H) sao cho Tn −→ Tw(hội tụ yếu)

Nếu một dãy các toán tử Tn trên không gian Hilbert có tính chất Tnxhội tụ với mọi x ∈ H, khi đó tồn tại T ∈ L(H) sao cho Tn

s

−→ T (hội tụmạnh)

Cho T ∈ L(X, Y ) Tập các vectơ x ∈ X sao cho T x = 0 được gọi lànhân của T , kí hiệu là Ker(T ) = {x ∈ X| T x = 0} Tập các vectơ y ∈ Ysao cho y = T x với x ∈ X được gọi là miền giá trị của T , kí hiệu làRan(T ) = {y = T x| x ∈ X} Ta có Ker(T ) và Ran(T ) là các không giancon

Định nghĩa 1.15 Cho X và Y là hai không gian Banach, T là toán

tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y Toán tử liên hợp (trong không gian

Banach) của T , kí hiệu là T0, là toán tử tuyến tính bị chặn từ Y∗ tới X∗được cho bởi công thức

(T0`)(x) = `(T x)với ∀` ∈ Y∗, x ∈ X

Định lý 1.3 ([8]) ,Cho X, Y là hai không gian Banach Ánh xạ T → T0

là một phép đẳng cấu đẳng cự của L(X, Y ) vào L(Y∗, X∗)

Đặc biệt, T là phép biến đổi tuyến tính bị chặn từ không gian Hilbert

H vào chính nó Khi đó liên hợp không gian Banach của T là ánh xạ từ

H∗ tới H∗ Cho C : H → H∗ là ánh xạ ứng với mỗi y ∈ H, là phiếm hàmtuyến tính bị chặn (y, ·) trong H∗ Xét C là một phép đẳng cự tuyếntính liên hợp và toàn ánh Chúng ta định nghĩa ánh xạ T∗ bởi công thức

T∗ = C−1T0C

Khi đó T∗ thỏa mãn

(x, T y) = (Cx)(T y) = (C−1T0Cx, y) = (T∗x, y)

T∗ được gọi là liên hợp (trong không gian Hilbert) của T nhưng chúng

ta thường gọi là liên hợp và kí hiệu là T∗ để phân biệt với T0 Chú ýrằng ánh xạ T → T∗ là tuyến tính liên hợp nghĩa là αT → αT∗, do C làtuyến tính liên hợp

Định lý 1.4 ([8]) ,

(a) T → T∗ là phép đẳng cấu đẳng cự tuyến tính liên hợp từ L(H) lênL(H);

(b) (T S)∗ = S∗T∗;

(c) (T∗)∗ = T ;

(d) Nếu T có toán tử ngược bị chặn T−1 thì T∗ có toán tử ngược bịchặn và (T∗)−1 = (T−1)∗;

(e) Ánh xạ T → T∗ luôn liên tục trong tôpô toán tử yếu và đều nhưng

nó chỉ liên tục trong tôpô toán tử mạnh nếu H là hữu hạn chiều;(f) kT∗T k = kT k2

Định nghĩa 1.16 Toán tử bị chặn T trong không gian Hilbert đượcgọi là tự liên hợp nếu T = T∗

Định nghĩa 1.17 Nếu P ∈ L(H) và P2 = P thì P được gọi là mộtphép chiếu Nếu thêm điều kiện thì P = P∗ được gọi là phép chiếu trựcgiao

Định nghĩa 1.18 Cho X là không gian Banach, L(X) tà tập các toán

tử bị chặn trên X Toán tử A ∈ L(X) được gọi là khả nghịch nếu tồntại toán tử B ∈ L(X) sao cho AB = BA = 1 (1 là toán tử đơn vị trongX) Khi đó, toán tử B được gọi là toán tử ngược của A và kí hiệu là

B = A−1

Định lý 1.5 Nếu A ∈ L(X) là một toán tử tuyến tính thỏa mãnkAk < 1, thì toán tử 1 − A là khả nghịch

Định lý 1.6 Nếu toán tử A, B ∈ L(X) là khả nghịch thì tích AB cũngkhả nghịch và

(AB)−1 = B−1A−1

Định lý 1.7 Nếu toán tử A ∈ L(X) khả nghịch và toán tử B ∈ L(X)sao cho

kA − Bk < 1

kA−1kthì toán tử B khả nghịch

Định nghĩa 1.19 Toán tử T được gọi là compact nếu nó liên tục vàbiến mỗi tập bị chặn thành tập compact tương đối, nghĩa là: Nếu M làtập bị chặn thì T (M ) là compact tương đối (T (M ) compact)

Định nghĩa 1.20 Toán tử Hilbert–Schmidt T là toán tử trên H thỏamãn tính chất

∞

X

n=1

kT enk2 < ∞,với e1, , en là một cơ sở trực chuẩn của H

Toán tử Hilbert-Schmidt không chỉ là toán tử bị chặn mà còn compact

1.2.2 Toán tử tự liên hợp trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.21 Cho H và K là các không gian Hilbert trên K, kí hiệuB(H, K) là tập các toán tử bị chặn từ H vào K, toán tử A ∈ B(H, K) Khi

đó tồn tại duy nhất toán tử A∗ ∈ B(H, K) sao cho hAh, kiK = hh, A∗kiHvới ∀h ∈ H, k ∈ K

Toán tử A∗ được gọi là toán tử tự liên hợp của toán tử A Trong trườnghợp H = K và A = A∗ ta nói A là toán tử tự liên hợp

1.3 Phổ của toán tử

Định nghĩa 1.22 Cho X là không gian Banach trên trường số C, L(X)

là tập các toán tử tuyến tính bị chặn trên X, toán tử T ∈ L(X) Phổcủa toán tử T kí hiệu là σ(T ) là tập tất cả các số phức λ sao cho khi đó

T − λ1 không khả nghịch (tức là det(T − λ1) = 0, khi X là không gianhữu hạn chiều), trong đó 1 là toán tử đơn vị

Định nghĩa 1.23 Cho T ∈ L(H) Tập hợp giải được của T xác địnhbởi

RT(λ)∗ = ((T − λ)−1)∗ = ((T − λ)∗)−1 = (T∗ − λ∗)−1 = RA∗(λ∗)

Đặc biệt,

ρ(T∗) = ρ(T )∗.Định nghĩa 1.24 Cho T ∈ L(X)

(a) x 6= 0, x ∈ Xthỏa mãn T x = λx với λ ∈ C được gọi là vectơ riêngcủa T , λ tương ứng được gọi là giá trị riêng Nếu λ là một giá trịriêng thì T − λ1 không là đơn ánh do đó λ thuộc phổ của T Tậpcác giá trị riêng được gọi là phổ điểm của T , kí hiệu là σp(T );(b) Nếu Ker(T − λ1) = 0 và nếu Ran(T − λ1) không là giá trị riêng

và nếu Ran(T − λ1) không trù mật thì λ thì được gọi là phổ dư ;(c) Phổ rời rạc , kí hiệu σd(T ) là tập các giá trị riêng bị cô lập với sốbội hữu hạn Khi T là toán tử liên hợp thì

σd(T ) =  λ ∈ σp(T )| rank(PT(λ − ε, λ + ε)) < ∞ với mỗi ε > 0 ;

(d) Phổ thiết yếu σess(T ) = σ(T )\σd(T ), khi T là toán tử tự liên hợpthì

σess(T ) =  λ ∈ R| rank(PT(λ − ε, λ + ε)) = ∞ với mỗi ε > 0

Định lý 1.8 ([9]) Tập giải được ρ(T ) là tập mở và RT : ρ(T ) → L(H)

là hàm giải tích, nghĩa là có khai triển chuỗi lũy thừa hội tụ tuyệt đốiquanh điểm λ0 ∈ ρ(T ) Thêm vào đó

kRT(λ)k ≥ dist(λ, σ(T ))−1.Nếu T bị chặn thì ta có {λ ∈ C| |λ| > kT k} ⊆ ρ(T )

Bổ đề 1.1 ([9]) Ta có λ ∈ σ(T ) nếu tồn tại dãy ψn ∈ D(T ) thỏa mãnk(T − λψn)k → 0 Nếu λ là điểm biên của ρ(T ) thì điều ngược lại vẫnđúng Dãy có tính chất như trên được gọi là dãy Weyl.

Bổ đề 1.2 ([9]) Giả sử T là đơn ánh Khi đó

σ(T−1)\ {0} = (σ(A)\ {0})−1.Ngoài ra ta có T ψ = λψ khi và chỉ khi T−1ψ = λ−1ψ, λ 6= 0

Định lý 1.9 ([9]) Cho T là toán tử đối xứng Khi đó T là toán tử tựliên hợp khi và chỉ khi σ(T ) ⊆ R và (T − X) ≥ 0, X ∈ R khi và chỉkhi σ(T ) ⊆ [X, ∞] Hơn nữa kRT(λ)k ≤ |Im(λ)|−1 nếu (T − E) > 0;

kRT(λ)k ≤ |λ − X|−1 nếu λ < X

Định lý 1.10 ([9]) Cho T là toán tử tự liên hợp Khi đó

inf σ(T ) = inf

ψ∈D(T ),kψk=1hψ, T ψivà

Định lý 1.12 ([9]) Giả sử T là toán tử đối xứng có cơ sở trực chuẩncủa các hàm riêng {ϕj} Khi đó T là toán tử tự liên hợp thiết yếu Đặcbiệt, nó tự liên hợp thiết yếu trên span(ϕ)

Chương 2

Nhiều tác giả đã nghiên cứu toán tử Schr¨odinger dưới những khíacạnh khác nhau Trong chương này, chúng tôi xin đề cập đến ba dạngtoán tử Schr¨odinger đó là

đồng thời cũng đưa ra một số kết quả về phổ của chúng

Để thuận lợi cho việc trình bày những kiến thức ở trên, chúng tôixét một số định nghĩa và tính chất về phép biển đổi Fourier và toán tửSchr¨odinger tự do thông qua toán tử Laplace ∆ =

là phép biến đổi Fourier của hàm f

Bổ đề 2.1 ([9]) Phép biến đổi Fourier ánh xạ không gian Schwartz vàochính nó, F : S(Rn) → S(Rn) Hơn nữa, với mỗi đa chỉ số α ∈ Nn0 vàmỗi f ∈ S (Rn) ta có

(∂αf )∧(p) = (ip)αf (p),ˆ (xαf (x))∧(p) = i|α|∂αf (p).ˆ (2.2)

Chứng minh Theo công thức tích phân từng phần ta có

Tương tự công thức thứ hai suy ra bằng quy nạp, sử dụng

Rn

φ1(z)f (x +√

εz)dnz = f (x)

Ta có điều phải chứng minh

Bổ đề 2.3 ([9]) Cho g(x) là toán tử nhân bởi g và f (x) là toán tử đượccho bởi f (p)ψ(x) = F−1



f (p) ˆψ(p)

(x) Kí hiệu L∞∞(Rn) là các hàmBorel bị chặn, triệt tiêu tại vô cùng Khi đó f (x)g(x) và g(x)f (p) là cáctoán tử compact nếu f, g ∈ L∞∞(Rn) và là các toán tử Hilbert–Schmidt

Nếu f, g bị chặn thì các hàm fR(p) = χ{p|p2 ≤R }(p)f (p) và gR(x) =

χ{p|p2 ≤R }(x)g(x) nằm trong L2 Vậy gR(x)fR(p) compact

Do

kg(x)f (p) − gR(x)fR(p)k ≤ kgk∞kf − fRk∞+ kg − gRk∞kfRk∞tiến đến g(x)f (p) theo chuẩn, từ đó f, g triệt tiêu tại vô cùng

Đặc biệt, từ bổ đề này dẫn đến χΩ(H0 + i)−1 là compact nếu Ω là tập

bị chặn trong Rn Do đó lim

t→∞|χΩe−itH0ψ|2 = 0 với mỗi hàm ψ ∈ L2(Rn)

và Ω bị chặn trong Rn Mặt khác, chất điểm cuối cùng sẽ di chuyển đến

vô cùng từ đó có thể tìm được chất điểm trong mỗi tập bị chặn tiến đến0

Bổ đề 2.4 (Riemann–Lebesgue, [9]) Kí hiệu C∞(Rn) là không gianBanach của tất cả các hàm số liên tục f : Rn → C triệt tiêu tại vô cùngđược trang bị chuẩn sup Khi đó phép biến đổi Fourier là một đơn ánh

bị chặn ánh xạ từ L1(Rn) vào C∞(Rn) thỏa mãn

k ˆf k∞ ≤ (2π)−n/2kf k1 (2.6)Chứng minh Rõ ràng ta có ˆf ∈ C∞(Rn) nếu f ∈ S(Rn) Hơn nữa, từđánh giá

f = 0 Theo Định lý Fubini ta có

0 =

Zϕ(x) ˆf (x)dnx =

Zˆ

ϕ (x) f (x)dnx

với mọi ϕ ∈ S(Rn) Từ đó suy ta f = 0.

Định nghĩa 2.1 Toán tử Schr¨odinger tự do là toán tử có dạng

nó được cho bởi

R

1

r2 − zd˜µψ(r),trong đó

Dùng phép đổi trục tọa độ ta được

dλ,định lý được chứng minh

Cuối cùng ta lưu ý rằng các hàm trơn giá compact là miền lõi của

H0

Bổ đề 2.5 ([9]) Tập

Cc∞(Rn) = {f ∈ S(Rn)| supp(f ) compact}

là miền lõi của H0

Chứng minh Dễ thấy S(Rn) là miền lõi nên điều kiện đủ là chứngminh bao đóng của H0|C∞

c (R n ) chứa H0|S(Rn ).Lấy hàm ϕ(x) ∈ Cc∞(Rn) sao cho hàm ϕ(x) = 1 với |x| ≤ 1 và triệttiêu với |x| ≥ 2 Đặt ϕn(x) = ϕ(n1x), khi đó ψn(x) = ϕn(x)ψ(x) nằmtrong Cc∞(Rn) với mỗi ψ ∈ S(Rn) và ψn → ψ tương ứng với ∆ψn → ∆ψ

Ta lưu ý rằng dạng toàn phương của H0 được cho bởi

tử Schr¨odinger hoặc toán tử Hamilton

Về miền xác định của toán tử H và tính liên hợp của nó được khẳngđịnh qua định lý Kato–Rellich, với H0 là toán tử tự liên hợp và giả sử V

là một toán tử đối xứng với D(H0) ⊂ D(V ) sao cho có a < 1 và số b để

kV (φ)k ≤ a kH0φk + b kφkvới mọi φ ∈ D(H0) Khi đó H0+V xác định trên D(H0)∩D(V ) ≡ D(H0)

là tự liên hợp

Toán tử H0 thường được gọi là toán tử động năng, hàm số V thườngđược gọi là toán tử thế năng.

2.2 Phổ của một số dạng toán tử Schr¨ odinger

Bổ đề 2.6 ([9]) Giả sử n ≤ 3 và ψ ∈ H2(R) Khi đó ψ ∈ C∞(Rn) vàvới mỗi a > 0 tồn tại b > 0 thỏa mãn

Chứng minh Ta thấy (p2 + γ2)−1 ∈ L2

(Rn) nếu n ≤ 3 Vì thế từ(p2 + γ2) ˆψ ∈ L2(Rn),

theo bất đẳng thức Cauchy–Schwartz ta có

k ˆψk1 = (p2 + γ2)−1(p2 + γ2) ˆψ(p)

1

≤ (p2 + γ2)−1 (p2 + γ2) ˆψ(p)

Chứng tỏ ˆψ ∈ L1(Rn) Theo Bổ đề Riemann–Lebesgue 2.4, ta có

kψk∞ ≤ (2π)−n/2 (p2 + γ2)−1 p2ψ(p)ˆ + γ2 ψ(p)ˆ 

= (γ/2π)n/2 (p2 + 1)−1 γ−2kH0ψk + kψk

Bổ đề được chứng minh

Định lý 2.3 ([9]) Cho hàm V có giá trị thực, V ∈ L∞∞(Rn) nếu n > 3

và V ∈ L∞∞(Rn) + L2(Rn) nếu n ≤ 3 Khi đó V compact tương đối ứngvới H0 Đặc biệt,

tự liên hợp, bị chặn dưới và

Hơn nữa, Cc∞(Rn) là miền lõi của H

Chứng minh Theo bổ đề nêu ở trên chứng tỏ D(H0) ⊆ D(V ) Hơnnữa từ Bổ đề 2.1 với f (p) = (p2 − z)−1 và g(x) = V (x) (lưu ý rằng

f ∈ L∞∞(Rn) ∩ L2(Rn) với n ≤ 3) chứng tỏ V compact tương đối Do đó

từ Bổ đề 2.5, ta có Cc∞(Rn) là miền lõi của H0, điều này cũng đúng với

thiết là cố định tại điểm gốc) Nếu trong tính toán ta chỉ lấy lực tĩnhđiện thì khi đó V được cho bởi trường thế Coulomb và phương trìnhHamilton tương ứng cho bởi

H(1) = −∆ − λ

(1)) = H2(R3) (2.13)

Nếu trường điện thế là hấp dẫn, nghĩa là γ > 0 khi đó nó mô tả nguyên

tử Hiđro và có thể đây là một mô hình nổi tiếng nhất trong cơ học lượngtử

Chọn miền D(H(1)) = D(H0) ∩ D(|x|1 ) = D(H0) và sử dụng Định lý2.3, ta rút ra H(1) tự liên hợp Hơn nữa cũng theo Định lý 2.3, ta có

và H(1) bị chặn dưới

Nếu γ ≤ 0, ta có H(1) ≥ 0 và do vậy E0 = 0, còn nếu γ > 0 thì ta có

E0 < 0 và có một số giá trị riêng rời rạc dưới phổ thiết yếu

Để nói về các giá trị riêng của H(1) ta sử dụng cả H0 và V(1) = −γ/|x|

có biểu diễn đơn giản theo tỉ xích Xét nhóm giãn (dilation group)

Bây giờ ta khảo sát tác động của U (s) trên H(1)

Định lý 2.4 ([9]) Giả sử H = H0 + V với U (−s)V U (s) = e−sV Khi

đó hàm riêng chuẩn hóa ψ theo giá trị riêng λ thỏa mãn

λ = − hψ, H0ψi = 1

Đặc biệt, tất cả các giá trị riêng âm

Từ kết quả này ta có một số hệ quả cho phổ điểm của H(1)

Hệ quả 2.1 ([9]) Giả sử γ > 0 Khi đó

hψ(s), H(1)ψ(s)i = e−2shψ, H0ψi + e−shψ, V(−1)ψi

có giá trị âm với s lớn Bây giờ ta chọn dãy sn → ∞ sao cho supp(ψ(sn))∩supp(ψ(s )) = ∅ với n 6= m Khi đó ta có

γ > 0) bằng các giải phương trình đặc trưng tương ứng, nó được cho bởiphương trình đạo hàm riêng

− ∆ψ(x) − γ

Đối với một trường thế tổng quát thì điều này không thể nhưng trongcác trường hợp ta có thể sử dụng phép đối xứng quay của toán tử đưavào phương trình đạo hàm riêng thông thường

Trước hết ta chuyển sang tọa độ cầu (x1, x2, x3) 7→ (r, θ, ϕ)

(x1, x2, x3) 7→ (r, θ, ϕ), x1 = r sin(θ)sin(ϕ), x1 = rcos(θ) (2.24)

nó tương ứng với phép biến đổi đồng nhất

L2(R3) → L2((0, ∞), r2dr) ⊕ L2((0, π), sin(θ)d(θ)) ⊕ L2((0, 2π), dϕ)

(2.25)Trong hệ trục tọa độ mới (r, θ, ϕ) toán tử là

Lấy tích ansatz (tách biến)

Θ(θ) = l(l + 1)Θ(θ)

Ta kí hiệu tọa độ của chất điểm thứ nhất là x1 = (x1,1, x1,2, x1,3), tọa

độ của chất điểm thứ hai là x2 = (x2,1, x2,2, x2,3) Nếu ta giả sử đó làtương tác Coulomb, phương trình Hamilton được cho bởi

khi đó trong hệ tọa độ mới H có dạng

H = (−∆1) + −∆2 − γ

√2

Sử dụng γ(√2 |y2|) có (−∆2) cận 0 trong L2(R3) không khó khăn lắm

để thấy rằng điều này cũng đúng cho (−∆1 − ∆2) cận trong L2(R6) Đặcbiệt H tự liên hợp và nửa bị chặn với mỗi γ ∈ R Hơn nữa γ(√2 |y2|)compact tương đối theo (−∆1 − ∆2) trong L2(R6) từ đó nó compacttương đối theo −∆2 trong L2(R6) Tuy nhiên điều này không đúng, điềunày đưa đến γ(√2 |y2|) không triệt tiêu khi |y| → ∞

Ta cùng nhìn bài toán này theo quan điểm vật lý Nếu λ ∈ σess(H),nghĩa là chuyển động của toàn bộ hệ thống biết không bị chặn Có haikhả năng:

Thứ nhất, cả hai chất điểm rời xa nhau (ta bỏ qua sự tương tác) vànăng lượng tương ứng bằng tổng động năng của hai chất điểm Do cảhai có thể bé bất kì (nhưng dương), ta hy vọng [0, ∞) ⊆ σess(H)

Thứ hai, cả hai chất điểm gần nhau và cùng chuyển động Trong hệtọa độ cuối nó tương ứng với trạng thái bị chặn của toán tử thứ hai Do

đó ta hy vọng [λ0, ∞) ⊆ σess(H), trong đó λ0 = −γ28 là giá trị riêngnhỏ nhất của toán tử thứ hai nếu các lực này hút nhau (γ ≥ 0) và λ0 = 0nếu chúng đẩy nhau (λ ≤ 0)

Không khó để chuyển ý tưởng trực giác vào chứng minh chính xác

Cho ψ1(y1) là dãy Weyl ứng với λ ∈ [0, ∞) thay cho −∆1 và ψ2(y2) làdãy Weyl ứng với λ0 thay cho −∆2 − γ(√2 |y2|) Khi đó, ψ1(y1)ψ2(y2)

là dãy Weyl ứng với λ + λ0 thay cho H và như vậy [λ0, ∞) ⊆ σess(H).Ngược lại, ta có −∆1 ≥ 0 tương ứng với −∆2 − γ √

2 |y2|
≥ λ0 và dovậy H ≥ λ0 Vậy ta thu được

Để tránh rườm ra về kí hiệu, trong trường hợp này ta sẽ hạn chế cómột nguyên tử với electron mà hạt nhân của nó cố định tại điểm gốc.Đặc biệt, điều này dẫn đến chúng ta không phải nói đến tâm của độnglượng mà ta gặp trong ví dụ trên Trong trường hợp này phương trìnhHamilton được cho bởi

trong đó Vne mô tả tương tác của một electron với hạt nhân và Vee mô

tả tương tác của hai electron Rõ ràng ta có

Vj(x) = γj

|x|, γj > 0, j = ne, ee. (2.36)Trước hết ta thiết lập tự liên hợp của H(N ) = H0+ V(N ) Điều này đượcthực hiện nhờ định lí sau: