Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L2[a;b]

24 2 Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L2 ii... Trong đó phần lớn các công trình nghiên cứu tìm nghiệm củaphương trình toán tử loại

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy PGS.TS Khuất Văn Ninh,người thầy đã truyền thụ kiến thức và hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luậnvăn này Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầyKhuất Văn Ninh trong suốt quá trình tác giả viết luận văn đã giúp cho tác giả có ýthức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận văn của mình.

Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn các thầy giáo dạycao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học Trường Đạihọc sư phạm Hà Nội 2 đã truyền thụ kiến thức, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tác giảtrong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Học viên

Trần Mạnh Cường

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướngdẫn của PGS.TS Khuất Văn Ninh.

Trong khi nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhàkhoa học với sự trân trọng và biết ơn

Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trongbất kỳ công trình khoa học nào của ai khác

Hà Nội, tháng 6 năm 2013

Học viên

Trần Mạnh Cường

Mục lục

1.1 Không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert, nguyên

lý ánh xạ co 3

1.1.1 Không gian định chuẩn 3

1.1.2 Không gian Banach 4

1.1.3 Không gian Hilbert 7

1.1.4 Nguyên lý ánh xạ co 9

1.2 Toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không gian Banach 10

1.3 Toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không gian Hilbert, L2 [a;b] 13

1.4 Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz 17

1.4.1 Phương trình loại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz 17

1.4.2 Phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai 21

1.4.3 Phương trình tích phân Fredholm phi tuyến loại hai 24

2 Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L2

ii

2.1 Định lý về sự tồn tại nghiệm 27

2.2 Giải xấp xỉ phương trình toán tử loại hai bằng phương pháp thác triển theo tham số 31

2.2.1 Hai bước theo tham số (N = 2) 32

2.2.2 Ba bước theo tham số (N = 3) 33

2.3 Ước lượng tốc độ hội tụ 35

3 Ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai trong không gian L2 [a;b] 39 3.1 Phương trình tích phân Fredholm loại hai trong không gian L2 [a;b] 39

3.1.1 Tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai 39

3.1.2 Tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình tích phân Fredholm phi tuyến loại hai 42

3.2 Ứng dụng phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử loại hai 43

3.2.1 Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai với hạch suy biến 43

3.2.2 Giải phương trình tích phân Fredholm tuyến tính loại hai với hạch không suy biến 62

3.2.3 Giải xấp xỉ bài toán biên phi tuyến 65

C Tập số phức

C[a;b] Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b]

Dk[a;b] Tập tất cả các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục đến cấp

1 Lý do chọn đề tài

Phương pháp thác triển theo tham số giải phương trình toán tử được nhiều nhàkhoa học nghiên cứu Trong đó phần lớn các công trình nghiên cứu tìm nghiệm củaphương trình toán tử loại hai x + Ax = f với toán tử A đơn điệu, liên tục Lipschitztác dụng trong không gian Banach tùy ý X

Phương pháp này sử dụng quá trình lặp, thông qua một số hữu hạn các bước theotham số ε và mỗi bước được thực hiện nhờ phương pháp ánh xạ co Trong các bài toán

cụ thể thì các yếu tố đã biết không thuận lợi cho việc tìm nghiệm chính xác, nên nhiềucông trình tập trung nghiên cứu tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình toán tử loại hai.Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của phương pháp nói trên vào việcgiải gần đúng phương trình toán tử loại hai và dưới sự hướng dẫn của PGS.TS KhuấtVăn Ninh chúng tôi đã chọn đề tài: “Phương pháp thác triển theo tham số giảiphương trình toán tử loại hai trong không gian L2

[a;b]”

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về lý thuyết phương pháp thác triển theo tham số giải phương trìnhtoán tử loại hai và ứng dụng của phương pháp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết phương pháp thác triển theo tham số giải phương trìnhloại hai với toán tử đơn điệu, liên tục Lipschitz trong không gian L2[a;b]

- Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp nói trên để giải phương trình toán tửloại hai trong không gian L2[a;b]

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương pháp thác triển theo tham số và ứng dụng để giải phương trình toán tửloại hai trong không gian L2

[a;b]

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích và tổng hợp các tài liệu đã có từ đó hệ thống một số vấn

đề lý thuyết liên quan đến đề tài, áp dụng lý thuyết vào bài tập

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

không gian Hilbert, nguyên lý ánh xạ co

Định nghĩa 1.1.1 (Không gian định chuẩn)

Một không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là không giantuyến tính X trên trường K (K = R hoặc K = C) cùng với một ánh xạ X → R, đượcgọi là chuẩn và ký hiệu là k.k thỏa mãn các tiên đề sau:

Định nghĩa 1.1.2 (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn)

Dãy điểm {xn} của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới điểm x ∈ Xnếu:

lim

n→∞kxn− xk = 0

3

Ký hiệu lim

n→∞xn= x hay xn→ x (n → ∞)

Định nghĩa 1.1.3 (Dãy cơ bản)

Dãy điểm {xn} trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy cơ bản nếu:

lim

m,n→∞kxn− xm k = 0

Nếu trong X mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là kxn− xmk → 0 (n, m → ∞) kéotheo sự tồn tại x0 ∈ X sao cho xn → x0 Thì X được gọi là không gian đủ

Định nghĩa 1.1.4 (Không gian Banach)

Không gian định chuẩn X được gọi là gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơbản trong X đều hội tụ

Ví dụ 1.1.1 Xét không gian L2[a;b] =

đo được, xác định trên [a; b]

Suy ra kf + gk ≤ kf k + kgk

- L2

[a;b] là một không gian đủ

Giả sử {fn} là một dãy cơ bản trong L2

[a;b]tức là kfn− fmk → 0 khi n, m → ∞ Ta

chọn từ {fn} một dãy con {fnk} hội tụ hầu khắp nơi về một hàm f nào đó.

Vì {fn} là dãy cơ bản, nên khi ta cố định ε > 0 bất kì đối với mọi k và l đủ lớn sẽcó:

lp cùng với chuẩn được định nghĩa bởi kxk =

Thật vậy, lp là một không gian vector với phép cộng các dãy số thực và phép nhândãy số với một số định nghĩa như sau:

|xi|p < ∞ với mọi số α, ta suy ra αx ∈ lp

Dễ dàng thử lại các tiên đề của không gian vector

Ta đi kiểm tra các tiên đề của chuẩn, với chuẩn được định nghĩa bởi:

Rõ ràng là kxk ≥ 0, ∀x ∈ lp

kxk = 0 ⇔ |xi|p = 0 ∀i ⇔ xi = 0 ∀i ⇔ x = θ

Từ điều này suy ra kx + yk ≤ kxk + kyk.

Để chứng minh lp là không gian Banach, ta chứng minh mọi dãy Cauchy trong lp

hội tụ tới một phần tử trong lp

a(n)i − a(m)i

< ε với n, m ≥ N và với mọi i, (1.2)

với mỗi i cố định, từ đẳng thức (1.2) suy ra na(n)i o là một dãy Cauchy các số thực.Theo tiêu chuẩn Cauchy của dãy số thực thì nó hội tụ về ai, nghĩa là:

P

i=1

a(n)i − ai

... 2

Phương pháp thác triển theo tham< /h2>

số giải phương trình tốn tử loại< /h2>

hai không gian L 2 [a;b]

Trong không gian Banach X xét họ phương. .. có: x1 = x2

phương pháp thác triển theo tham số< /h3>

Trong không gian Banach xét phương trình tốn tử loại hai (2.1):