Vector riêng của toán tử (K,Uo) - lõm chính quy cực trị trong không gian định chuẩn với hai nón

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.GVCC... hông gian Banach thực nửa sắp thứ tự.. Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự.. thực với hai nón.. Ứng dụng u -

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy

HÀNỘI,2013

S 2

VCC yễ ụ y ô y

, ấ PGS VCC yễ ụ y,

ô , ô

y ô , ,

y , ô 2

ô ,

y

H , t n 7 năm 2013

Tác giả

Trần Thanh Tâm

ô ô ô VCC yễ ụ y

Chương 1 : H NG GI N B N CH NỬ SẮP THỨ T 4 1.1.Khái niệm không gian Banach thực 4 1.2 hông gian Banach thực nửa sắp thứ tự 4

1.2.1 Địn n ĩa nón v quan ệ sắp t ứ tự - Ha p ần tử t ôn ước v tập

 0

K u 5 1.2.2 M t số nón đặc b ệt v mố l ên ệ ữa c ún 8

1.4 Một số không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 19

1.4.1 Không gian l 19 2

1.4.2 Không gian M a b 32 [ , ]

Chương 2 : TOÁN TỬ K u, 0- LÕM CH NH QU C C TR TRONG

H NG GI N B N CH TH C VỚI H I NÓN 44 2.1 Các định nghĩa 44 2.2 Một số tính chất đơn giản về toán tử ( ,K u - lõm chính quy cực trị 45 0)

2.3 Toán tử K u - lõm chính quy cực trị trong các không gian , 0

2, [ , ]

l M a b 51 2.3.1 To n tử K u - lõm chính quy trong không gian , 0 M a b 51 [ , ]

2.3.2 To n tử K u -lõm c ín quy cực trị tron k ôn an , 0 l2 53

Chương 3 : S TỒN TẠI VECTOR RIÊNG CỦ TOÁN TỬ ( ,K u -0)

LÕM CH NH QU C C TR TRONG H NG GI N B N CH

TH C VỚI H I NÓN 61

thực với hai nón 61

3.1.1 Địn n ĩa: 61

3.1.2 M t số địn lý 61

3.2 Ứng dụng u - đạo hàm Frese để xét sự tồn tại vector riêng của toán tử 0 K u, 0 - lõm chính quy cực trị trong không gian Banach thực với hai nón 66

3.2.1 Địn n ĩa 66

3.2.2 M t số địn lý 66

ẾT LUẬN 71

TÀI LIỆU TH M HẢO 72

MỞ Đ U

1 Lý do chọn đề tài

ý y ể ấ ử ý y

ó ụ ý y ể ấ e

ổ ổ

: chitz, K e , e, Ay e e , C

xét các toán ử : ử , ử , ử ó

F e e y , ử õ

ổ K ô e toán ử õ ụ ô ó ị (1956), ó ở ử õ ụ ô

ó ị , ó ó ó (1962)

GS - K ử K ,u0- õ ụ

ô ó ị (1975), ó ở

ử K ,u0 - õ ụ ô ó ị ỗ (1984) C ử K e

ó í ấ u0-

1987, - yễ ụ y ở

ử õ ử y ụ ô

ó ị : ử õ í y, ó ô y ử ó í ấ u0-

V ể ử y y,

, y , yễ ụ y ô

: “Vector r ên của to n tử K u - lõm , 0

chính quy cực trị tron k ôn an địn c uẩn vớ a nón”

1.2.1 Địn n ĩa nón v quan ệ sắp t ứ tự - Ha p ần tử t ôn ước v tập

Lúc này, ta nói không gian E là không gian Banach y

  sao cho: x n   v, n N*

ẩ ó trong không gian E

Định lí 1.2.1 ếu K l nón đều t ì K l nón c uẩn tắc

ặ

1 2 1

Định lí 1.3.2 G ả sử K l m t nón tron k ôn an Banac t ực E Khi

n n

V y l2 ù ẩ ị ô ị ẩ +) l l k ôn an Banac t ực: 2

y: ử      2

1

n n

k p k n

0 1

0 1

   

1 2 2 0

0 1

,2

n n

0 1

V ỗ n ị y   k 1

n n

n n

0 1

0 1

s k

 y , :

V ỗ n ị y   k 1

n n

 

1

1 1

1

ax

axmin

n

n I

n I n

ử không gian Banac l ử e ó 2 K ị

0

.0

n n

min

min

n n

n

n I

n I n

*) M a b là không gian Banach [ , ]

 ụ trong không gian M a b ụ y [ , ]

D ó y x t n  n1 ụ x t    a b Vì ;

ụ trong không gian M a b ụ [ , ] x m t 

ụ x t khi m   

V y ô [ , ]M a b là không gian Banach

1.4.2.2 ón v tín c ất của nón tron k ôn an [ , ] M a b

Chương 2

TOÁN TỬ K u, 0 - LÕM CHÍNH QUY C C TR

TRONG H NG GI N B N CH TH C VỚI H I NÓN 2.1 Các định nghĩa

ử E ô , K và 0 K ó ị không gian E, KK0 \  , E ở ô ử e nón K, u0 K K0 \  , A E: E ử y ó Kí 

ử ô ô E

Định nghĩa 2.1.1 ử A ó K0 (hay nón K),

AK0 K0 (hay AKK) ử A ặ trên nón K0( hay nón K),  x K0 \  (hay xK \  ) ó

 

0 \

AxK  (hay AxK \  )

Định nghĩa 2.1.2 ử A ó K0(hay nón K),

0

(x y, K :x y Ax)  Ay (hay x y, K x:  y Ax Ay)

iii)  x K0 \  , t (0,1) ó AtxtAx ;

Định lí 2.2.3 ếu A l to n tử K u - lõm c ín quy cực trị t ì , 0 A có không

ơn m t vector riêng trong K u tươn ứn vớ trị r ên 0 0 0

ể ụ ổ :

Bổ đề 2.2.1 Tồn tạ số lớn n ất t0 0,1 sao cho x t y 0 

2.3 Toán tử K u - lõm chính quy cực trị trong các không gian , 0 l M a b2, [ , ]

2.3.1 To n tử K u - lõm chính quy trong không gian , 0 M a b [ , ]

*  * 

2 \ 1 : j 0 , 1 2

I N I  j N u  u u sao cho j 4 I2 +) V jI1 u j 0,x j 0

j j

j n

t max u

ử      *

1,( )

k k

x n

ử    0

1

n n

y n

V y A ử K u - õ í y ị , 0

õ í y ó K ô E ở ô ử theo nón K

3.1 Ứng dụng đạo hàm tiệm cận để xét sự tồn tại vector riêng của toán tử

K u, 0 - lõm chính quy cực trị trong không gian Banach thực với hai nón

n n

x   

K ô ấ í ổ , ó ể 1   

1 2 1 1

Q    Q , , ó ể yể ẩ ô E ở

3.2 Ứng dụng u - đạo hàm Frese để xét sự tồn tại vector riêng của toán 0

tử K u, 0 - lõm chính quy cực trị trong không gian Banach thực với hai nón

Định lý 3.2.1 G ả sử A l to n tử lõm c ín quy ếu to n tử tuyến tín P

là u - đạo m Frese của to n tử 0 A tạ đ ểm k ôn E theo nón K0 thì ta

Định lý 3.2.2 G ả sử A l to n tử lõm c ín quy ếu to n tử tuyến tín P

là u - đạo m Frese của to n tử 0 A tạ đ ểm k ôn E theo nón K0 thì ta

có: To n tử tuyến tín P đơn đ ệu trên nón K 0

ừ (3 10) (3 11) * * * *

1

A x x Ax x

ẾT LUẬN

ở y , : “Vector r ên của to n

- Ch 3: y ị ý ồ e riêng

ử ( ,K u - lõm chính quy ị ô 0)hai nón

Rấ ó ó ý y ô ồ

ể ô

TÀI LIỆU TH M HẢO

A Tài liệu tiếng Việt

[7] ụy (2003), H m t ực v ả tíc m, NXB

B Tài liệu tiếng Nga

[8] Bakhtin M.A (1984), C c n ệm dươn của p ươn trìn p tuyến vớ