Điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian Metric mờ

Chauhan đã công bố kết quả về điểm bất độngcho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric mờ quabài báo “Fixed points in fuzzy metric spaces for weakly... Hà Đức Vượng, tôi mạnh

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm HàNội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng.

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới

TS Hà Đức Vượng, người thầy đã luôn quan tâm, động viên và tậntình hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệutrường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy côgiáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngànhToán giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình họctập và nghiên cứu

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã độngviên và tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 10 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Huyền

Tôi xin cam đoan luận văn là kết quả nghiên cứu của riêngtôi dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng.

Quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng và kế thừa thành quảcủa các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 10 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Huyền

trong không gian metric 171.4 Điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu

trong không gian metric 26

2.1 Định nghĩa và ví dụ 322.2 Sự hội tụ trong không gian metric mờ 442.3 Mối quan hệ giữa không gian metric và

không gian metric mờ 47

3 Điểm bất động

cho các ánh xạ tương thích yếu

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cho G là một tập hợp khác rỗng và ánh xạ T : G → G.Điểm x ∈ G thỏa mãn phương trình T x = x được gọi là điểm bấtđộng của ánh xạ T trên tập G

Việc nghiên cứu về điểm bất động có ý nghĩa rất lớn cả về lýthuyết và ứng dụng trong toán học nói riêng và khoa học kỹ thuậtnói chung, do đó đã thu hút nhiều nhà toán học quan tâm Các kếtquả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hình thành nên “ Lý thuyết điểmbất động”

Năm 1965, Zadeh là người đầu tiên đưa ra khái niệm “tập mờ”,

đó là các ánh xạ đi từ tập X vào đoạn [0 ; 1] Sau đó có rất nhiềunhà toán học nghiên cứu vấn đề này như: Erceg, Kaleva, Derg, và

“không gian metric mờ” đã được xây dựng

Năm 1986, Jungck đưa ra khái niệm các ánh xạ tương thích.Nhiều nhà toán học đã có kết quả về điểm bất động chung cho cácánh xạ loại này

Năm 2010, các tác giả người Ấn Độ : V S Chouhan, V H.Badshah và M S Chauhan đã công bố kết quả về điểm bất độngcho các ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric mờ quabài báo “Fixed points in fuzzy metric spaces for weakly

compatible maps ”.

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, được sự giúp

đỡ và hướng dẫn tận tình của TS Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn

đề tài nghiên cứu:

“Điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếu trong

không gian metric mờ”

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống lại các kết quả về điểm bất động cho các ánh xạtương thích yếu trong không gian metric mờ Công trình nghiên cứudựa trên kết quả của các nhà toán học V S Chouhan, V H Badshah

và M S Chauhan trong bài báo “Fixed points in fuzzy metricspaces for weakly compatible maps ”

(xem [6])

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về không gian metric mờ, các ánh xạ tương thíchyếu và điểm bất động của chúng trong lớp không gian này

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về điểm bất động cho các ánh xạ tương thích yếutrong không gian metric mờ

5 Phương pháp nghiên cứu

Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu và tổng hợp, phân tích, vậndụng kiến thức cho mục đích nghiên cứu

6 Dự kiến đóng góp

Đây là bài tổng quan về điểm bất động cho các ánh xạ tươngthích yếu trong không gian metric mờ Đề tài này giúp người đọchiểu được những khái niệm cơ bản về không gian metric mờ, các ánh

xạ tương thích yếu và kết quả về điểm bất động của chúng trong lớpkhông gian này

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản vềkhông gian metric, không gian metric đầy đủ, các ánh xạ tương thích,tương thích yếu trong không gian metric và mối quan hệ giữa hai loạiánh xạ này Đồng thời chúng tôi cũng trình bày kết quả về điểm bấtđộng của các ánh xạ tương thích yếu trong không gian metric và các

ví dụ minh họa

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 [1] Không gian metric là một cặp (X, d) trong

đó X là một tập hợp khác rỗng, d là một ánh xạ từ tích Descartes

X × X vào tập hợp số thực R thỏa mãn các điều kiện sau:

1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, d (x, y) = 0 ⇔ x = y

2) d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X

3) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) , ∀x, y, z ∈ X.

Ánh xạ d được gọi là metric trên X Các phần tử của X gọi

là các điểm Khi đó, ta có không gian metric (X, d)

Ví dụ 1.1.1 Cho C[a, b] là không gian các hàm số nhận giá trịthực xác định và liên tục trên đoạn [a, b], (−∞ < a < b < +∞).Với hai hàm số bất kỳ x = x (t) , y = y (t) thuộc C [a, b] ta đặt :

d (x, y) = max

a≤t≤b |x (t) − y (t)|

Khi đó (C[a, b] , d) là một không gian metric

Chứng minh Ta có d (x, y) xác định trên C[a, b]

Thật vậy, vì các hàm số x (t) , y (t) liên tục trên đoạn [a, b] nên hàm

số |x (t) − y (t)| cũng liên tục trên đoạn [a, b]

Do đó, hàm số này đạt giá trị lớn nhất trên đoạn [a, b] Suy ra hệ thứccủa d (x, y) xác định một ánh xạ từ tích Descartes C [a, b] × C [a, b]

t∈[a,b] |x (t) − y (t)| ≥ 0 với ∀x (t) , y (t) ∈ C [a, b]

Vậy d (x, y) ≥ 0 với ∀x, y ∈ C [a, b]

Nếu max

a≤t≤b |x (t) − y (t)| = 0 thì ta có

|x (t) − y (t)| = 0, ∀t ∈ [a, b]

Ví dụ 1.1.2 Cho P là tập hợp tất cả các dãy số thực x = {xn}.Đối với hai dãy số bất kỳ x = {xn}, y = {yn} ta đặt :

Vậy (P, d) lập thành một không gian metric.

Định nghĩa 1.1.2 [1] Cho không gian metric (X, d), điểm x0

những điểm của G.

Điểm x0 được gọi là điểm ngoài của tập G nếu tồn tại một lân cậncủa nó nằm trọn ngoài tập G, tức là lân cận đó hoàn toàn khôngchứa điểm nào của tập G

Định nghĩa 1.1.5 [1] Cho không gian metric (X, d), một tập hợp

G ⊂ X

Tập G được gọi là tập mở trong không gian X nếu mọi điểm thuộc

G đều là điểm trong của G

Tập G được gọi là tập đóng trong không gian X nếu mọi điểm khôngthuộc G đều là điểm ngoài của G

Định lí 1.1.1 [1] Cho không gian metric (X, d), = là họ tất cảcác tập mở trong X thì = sinh ra một tôpô trên X

Chứng minh Ta có X và φ là các tập mở nên X ∈ =, φ ∈ =.Giả sử họ (Gα)α∈I ⊂ = với I là tập chỉ số

Vậy = là một tôpô trên X.

Định nghĩa 1.1.6 [1] Họ = tất cả các tập mở trong không gianmetric (X, d) được gọi là tôpô sinh bởi metric d

Ví dụ 1.1.3 Cho X = R với metric thông thườngd Khi đó, họ cáckhoảng trên R là một tôpô trên R và được gọi là tôpô tự nhiên trên R

1.2 Không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.2.1 [1] Dãy {xn} trong không gian metric (X, d)

được gọi là hội tụ tới điểm x0 ∈ X nếu

Điểm x0 được gọi là giới hạn của dãy {xn}

Ví dụ 1.2.1 Sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian C [a, b]

tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên đoạn [a, b].Chứng minh Thật vậy, giả sử dãy hàm {xn(t)} ⊂ C [a, b] hội tụtới hàm x (t) trong không gian C [a, b] Theo định nghĩa sự hội tụcủa dãy hàm ta có:

Ngược lại, giả sử dãy hàm {xn(t)} ⊂ C [a, b] hội tụ đều tới hàm

x (t) trên đoạn [a, b] Khi đó hàm x (t) liên tục trên đoạn [a, b] nên

x (t) ∈ C [a, b]

Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm ta có:

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ sao cho ∀n ≥ n0, ∀t ∈ [a, b] thì

Định nghĩa 1.2.2 [1] Cho không gian metric (X, d), dãy {xn}

trong X được gọi là dãy Cauchy nếu

điểm thuộc X.

Ví dụ 1.2.2 C[a, b] là một không gian metric đầy đủ

Chứng minh Thật vậy, giả sử {xn(t)} là dãy Cauchy tùy ý trongkhông gian C [a, b] Theo định nghĩa dãy Cauchy:

Ngược lại, giả sử dãy hàm {xn(t)} ⊂ C [a, b] hội tụ đều tới hàm

x (t) trên đoạn [a, b] Khi đó ta có x (t) liên tục trên đoạn [a, b] nên

x (t) ∈ C [a, b] Theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm thì

Ví dụ 1.2.3 Cho không gianX gồm tất cả các hàm sốx (t)liên tụctrên toàn không gian metric R1 sao cho x (t) = 0 ngoài một đoạnnào đó (đoạn này phụ thuộc từng hàm số x (t)) cùng với metric

t2 + 1 − 1

(n + p)2 + 1 khi n < |t| ≤ n + p,

0 khi |t| > n + p.

Vậy {xn} là một dãy Cauchy trong X.

Giả sử X là không gian metric đầy đủ Khi đó tồn tại x ∈ X saocho

trong không gian metric

Định nghĩa 1.3.1 [12] ChoA và S là các ánh xạ đi từ không gianmetric (X, d) vào chính nó Các ánh xạ A và S được gọi là tươngthích (compatible) nếu với mỗi dãy {xn} trong X thỏa mãn

n9

= 0.

Vậy A và S là các ánh xạ tương thích trên R

Định nghĩa 1.3.2 [9] Cho A và S là các ánh xạ đi từ không gianmetric (X, d) vào chính nó Các ánh xạ A và S được gọi là khôngtương thích (noncompatible) nếu tồn tại ít nhất một dãy {xn} trong

Ví dụ 1.3.2 Cho tập số thực R với metric thông thường

d (x, y) = |x − y|

Xét các ánh xạ A, S : R → R xác định bởi:

Ax = x2, ∀x ∈ R.

Sx = 2x, ∀x ∈ R.

Khi đó, A và S là các ánh xạ không tương thích trên R

Chứng minh Thật vậy, ta xét dãy {xn} với:

= lim

n→∞

Định nghĩa 1.3.3 [14] Các ánh xạ A, S : X → X được gọi làgiao hoán (commuting) khi và chỉ khi

Khi đó, A và S là các ánh xạ giao hoán

Chứng minh Thật vậy, với ∀x ∈ R ta có:

ASx = SAx = x + 2012.

Do đó A và S là các ánh xạ giao hoán trên R

Định nghĩa 1.3.4 [3] Cho X là một tập hợp bất kỳ và xét cácánh xạ A, S : X → X Một điểm x trong X được gọi là điểmtrùng (coincidence point) của cặp ánh xạ A, S nếu Ax = Sx

Ví dụ 1.3.4 Cho tập số thực R với metric d (x, y) = |x − y|

Ta xét các ánh xạ A, S : R → R xác định bởi :

Ax = sinx, ∀x ∈ R.

Tức là cặp ánh xạ A, S giao hoán tại mọi điểm trùng của chúng.

Do đó A và S là các ánh xạ tương thích yếu trên đoạn [0; 3]

Ví dụ 1.3.6 Cho tập số thực R với metric d (x, y) = |x − y|.Xét các ánh xạ A, S : R → R được xác định bởi :

Do đó A và S là các ánh xạ không tương thích yếu trên R.

Nhận xét 1.3.1 Mọi cặp ánh xạ tương thích thì đều là các ánh xạtương thích yếu

Chứng minh Thật vậy, giả sử ta xét A và S là các ánh xạ tươngthích đi từ không gian metric (X, d) vào chính nó Theo định nghĩa1.3.1 về các ánh xạ tương thích ta có:

với mỗi dãy {xn} trong X thỏa mãn

Do đó cặp ánh xạ A, S giao hoán tại điểm trùng 0.

Vậy A, S cũng là các ánh xạ tương thích yếu trên R

Nhận xét 1.3.2 Tồn tại các ánh xạ tương thích yếu nhưng không

n .

Suy ra

lim

n→∞Axn = 1.

2 −



1 + 1 n

 ... không gian metric, không gian metric đầy đủ, ánh

xạ tương thích, tương thích yếu khơng gian metric mối quan

hệ hai loại ánh xạ Đồng thời, trình bày kết điểmbất động cho ánh xạ tương. .. S ánh xạ giao hoán điểm trùng chúng.Vậy A S ánh xạ tương thích yếu

1.4 Điểm bất động cho ánh xạ tương thích yếu< /h3>

trong không gian metric< /h3>... S ánh xạ khơng tương thích yếu R.

Nhận xét 1.3.1 Mọi cặp ánh xạ tương thích ánh x? ?tương thích yếu

Chứng minh Thật vậy, giả sử ta xét A S ánh xạ tươngthích