Điểm bất động trong không gian Metric xác suất có kỳ vọng toán học (LV00330)

Điểm bất động trong không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học.. Khônggian metric xác suất có kỳ vọng toán học được định nghĩa với metric làtích phân suy rộng: và không gian metric x

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LÊ THỊ THANH HOA

ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC XÁC SUẤT CÓ KÌ VỌNG TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 604601

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn: TS Hà Đức Vượng

Hà Nội - 2010

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới TS Hà ĐứcVượng, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệmquí báu trong học tập và nghiên cứu khoa học Thầy luôn quan tâm, độngviên, khích lệ và tận tình hướng dẫn để tác giả vươn lên trong học tập vàvượt qua những khó khăn trong quá trình hoàn thành luận văn Tác giảxin bày tỏ lòng kính trọng, lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đếnthầy

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu trườngĐại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhàtrường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích đãtạo điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu.Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên

và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng 9 năm 2010

Tác giả

Lê Thị Thanh Hoa

Tác giả xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tácgiả dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng.

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biếtơn

Hà Nội, tháng 9 năm 2010

Tác giả

Lê Thị Thanh Hoa

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Mục lục iii

Mở đầu 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Không gian metric xác suất 6

1.1.1 Hàm phân bố 6

1.1.2 Chuẩn tam giác 9

1.1.3 Một số chuẩn tam giác cơ bản 9

1.1.4 Không gian metric xác suất 10

1.2 Không gian định chuẩn xác suất 23

Chương 2 Điểm bất động trong không gian metric cầu 30 2.1 Không gian metric 30

2.1.1 Không gian metric 30

2.1.2 Ánh xạ co và điểm bất động trong không gian metric 45 2.1.3 Một số ví dụ ứng dụng 48

2.2 Không gian metric cầu 53

Chương 3 Điểm bất động trong không gian metric xác suất

3.1 Không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học 593.2 Điểm bất động trong không gian metric xác suất có kỳ vọng

toán học 64Kết luận 68Tài liệu tham khảo 69

1 Lý do chọn đề tài

Trong khoa học cũng như trong kỹ thuật nhiều bài toán dẫn tới việcnghiên cứu vấn đề sau:

Với không gian X bất kỳ, M là một tập hợp con của X, A : M −→ M

là ánh xạ từ M vào chính nó Xét phương trình Ax = x, với các điều kiện

cụ thể ta khẳng định sự tồn tại nghiệm của nó Khi đó, điểm x ∈ M thỏamãn phương trình Ax = x được gọi là điểm bất động của ánh xạ A trêntập hợp M Việc nghiên cứu về điểm bất động đã thu hút đông đảo cácnhà toán học quan tâm Các kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này đã hìnhthành nên “Lý thuyết điểm bất động”

Sự phát triển của “Lý thuyết điểm bất động” gắn liền với tên tuổi của cácnhà toán học lớn trên thế giới như: Banach, Brouwer, Schauder, Tykhonov,Kakutani, Ky Fan, Một trong những định lý nổi tiếng trong lý thuyếtnày là định lý điểm bất động Banach hay chính là Nguyên lý ánh xạ coBanach

Theo dòng lịch sử, Lý thuyết điểm bất động được nghiên cứu theo haihướng chính:

Hướng thứ nhất nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ liên tục,

mở đầu là Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912)

Hướng thứ hai nghiên cứu về điểm bất động của các ánh xạ dạng co,

mở đầu là Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922)

Năm 1942, K Menger đã đưa ra khái niệm “metric xác suất ” Đó là

sự mở rộng “xác suất ” của khái niệm metric thông thường: thay cho việcxét khoảng cách d(x, y) giữa hai điểm x, y trong không gian metric (X, d),người ta xét hàm phân bố Fx,y(t) biểu diễn xác suất để cho d (x, y) < t,với t là một số thực Khái niệm này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhàtoán học, đặc biệt là Schweizer và Sklar đã xây dựng lý thuyết về khônggian metric xác suất, viết thành sách chuyên khảo xuất bản năm 1983.Đặc biệt, năm 1972, V M Sehgal và A T Bharucha – Reid đã công

bố kết quả về dạng xác suất của nguyên lý ánh xạ co Banach

Năm 2009, một kết quả rất mới được công bố trong bài báo: matical Expectation of Probabilistic Metric Spaces and Banach Fixed PointTheorem” của hai nhà Toán học: Gao Junyu và Su Yongfu Đó là nguyên

“Mathe-lý ánh xạ co trong không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học Khônggian metric xác suất có kỳ vọng toán học được định nghĩa với metric làtích phân suy rộng:

và không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học, từ đó mở rộng đượcnguyên lý ánh xạ co cho không gian metric xác suất

Với mong muốn được tìm hiểu về lý thuyết điểm bất động và được tiếpcận với những kết quả mới trong lĩnh vực này tác giả chọn đề tài nghiêncứu:

"ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC

XÁC SUẤT CÓ KÌ VỌNG TOÁN HỌC"

Luận văn được trình bày gồm ba chương nội dung và một danh mụctài liệu tham khảo

Chương 1 trình bày các khái niệm về hàm phân bố, chuẩn tam giác để

từ đó xây dựng định nghĩa về không gian metric xác suất và không gianđịnh chuẩn xác suất

Như ta đã biết, “Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922)” là kết quả kinhđiển của “Lý thuyết điểm bất động” Năm 1972, V M Sehgal và A T.Bharucha – Reid mở rộng kết quả về điểm bất động của ánh xạ co Banachtrong không gian metric sang không gian metric xác suất Kết quả đó đượctrình bày trong Định lý 1.1.1

Trong không gian metric xác suất Menger (X, F , ∆), nếu t - chuẩnthỏa mãn điều kiện ∆ (a, a) > a, ∀a ∈ [0; 1) thì (X, F, ∆) chứa một họ giảmetric Đó chính là nội dung Định lý 1.1.2

Phần cuối của chương này, tác giả trình bày về không gian định chuẩnxác suất

Với mỗi không gian định chuẩn xác suất (X, F , min) ta có thể xây dựngđược một không gian lồi địa phương tách {X, pλ : λ ∈ (0; 1)} (với pλlà nửachuẩn trên X) mà tôpô của chúng trùng nhau

Chương 2 nói về điểm bất động trong không gian metric cầu Đầuchương, tác giả trình bày những kiến thức cơ bản về không gian metricnhư: định nghĩa không gian metric, sự hội tụ, dãy Cauchy, không gianmetric đầy đủ

Tiếp đó, tác giả trình bày nguyên lý ánh xạ co Banach và một số ví dụứng dụng của nó

Phần cuối tác giả trình bày một khái niệm mới là không gian metriccầu Không gian metric cầu được định nghĩa gần như tương tự khônggian metric Tuy nhiên ở điều kiện cuối cùng thay vì bất đẳng thức tamgiác thông thường, bất đẳng thức tam giác ở đây xuất hiện một hằng số

K > 1 : dK (x, y) 6 K (dK (x, z) + dK (z, y)) Trong không gian metriccầu, những định nghĩa về hội tụ, dãy Cauchy, tính đầy đủ cũng tương tựnhư trong không gian metric

Nội dung quan trọng của chương này là định lý 2.2.1 về điểm bất độngtrong không gian metric cầu.

Chương 3 tác giả trình bày về điểm bất động trong không gian metricxác suất có kỳ vọng toán học Trong chương này tác giả trình bày về địnhnghĩa không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học, sau đó trình bàymối quan hệ giữa không gian metric cầu và không gian metric xác suất có

Mục đích của Luận văn là tổng kết, hệ thống lại các kết quả về nguyên

lý ánh xạ co trong không gian metric xác suất, không gian metric cầu vàkhông gian metric xác suất có kỳ vọng toán học Luận văn dựa trên kết quảcủa Gao Junyu và Su Yongfu trong bài báo: “Mathematical Expectation ofProbabilistic Metric Spaces and Banach Fixed Point Theorem”

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các kết quả đã đạt được về điểm bất động không gian metricxác suất, không gian metric cầu và không gian metric xác suất có kỳ vọngtoán học

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về: “Điểm bất động trong không gian metric xác suất

có kỳ vọng toán học”

5 Phương pháp nghiên cứu

- Đọc sách, nghiên cứu tài liệu chuyên khảo

- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.

6 Những đóng góp mới

Trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ bản về nguyên lý ánh xạ

co trong không gian metric xác suất có kỳ vọng toán học

Kiến thức chuẩn bị

Khái niệm “Metric xác suất” được nhà toán học Menger đưa ra vào năm

1942, thay cho việc xét khoảng cách d (x, y), người ta xét hàm phân bố

Fx,y(t) biểu diễn xác suất để d (x, y) < t, với t là một số thực nào đó Kháiniệm này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thếgiới

Chương này tác giả trình bày một số khái niệm cơ bản về không gianmetric xác suất, hàm phân bố, chuẩn tam giác và kết quả về điểm bấtđộng của V M Sehgal và A T Bharucha – Reid Sau đó giới thiệu vềkhông gian định chuẩn xác suất và xây dựng tôpô trong không gian này

1.1.1 Hàm phân bố

Định nghĩa 1.1.1 [2] Cho X và Y là hai không gian tôpô Ánh xạ bất

kỳ T : X → Y được gọi là nửa liên tục trên tại x0 ∈ X nếu với mọi tập

mở G chứa T x0 đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho:

T (U ) ⊂ G

Nếu ánh xạ T nửa liên tục trên tại mọi điểm x ∈ X, thì T là nửa liêntục trên trên X.

Định nghĩa 1.1.2 [2] Cho X và Y là hai không gian tôpô Ánh xạ bất

kỳ T : X → Y được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X nếu với mọi tập

mở G mà G ∩ T x0 đều tồn tại lân cận U của x0 sao cho:

Các tập hợp đó được gọi là các tập mức trên và tập mức dưới của T

Định nghĩa 1.1.3 [22] Một ánh xạ F : R → [0; 1] được gọi là một hàmphân bố (distribution function) nếu nó không giảm, nửa liên tục dưới và

inft∈RF (t) = 0, sup

Tiếp theo, ta chứng minh Fx,y(t) là hàm nửa liên tục dưới.

Do Fx,y(t) là hàm liên tục nên Fx,y(t) là nửa liên tục dưới

t→+∞

d (x, y)

t + d (x, y)

= 1

1.1.2 Chuẩn tam giác

Định nghĩa 1.1.4 [22] Một ánh xạ ∆ : [0; 1] × [0; 1] −→ [0; 1] được gọi làmột chuẩn tam giác (triangular norm) hay viết tắt là t - chuẩn nếu nhữngđiều kiện sau được thỏa mãn:

1 ∆(a, 1) = a, ∀a ∈ [0, 1]

2 ∆(a, b) = ∆(b, a), ∀a, b ∈ [0; 1]

3 ∆(a, b) 6 ∆(c, d) nếu a 6 c, b 6 d và a, b, c, d ∈ [0; 1]

4 ∆ a, ∆(b, c)
= ∆ ∆(a, b), c
, ∀a, b, c ∈ [0; 1]

1.1.3 Một số chuẩn tam giác cơ bản

Ta xét một số chuẩn tam giác cơ bản thường gặp sau đây:

∆1(a, b) = max {a + b − 1, 0}

∆2(a, b) = a.b

∆3(a, b) = min {a, b}

Các t - chuẩn trên có thể được sắp xếp theo thứ tự sau đây:

∆1 6 ∆2 6 ∆3.Thật vậy:

Định nghĩa 1.1.5 [22] Không gian metric xác suất (probabilistic metricspace) là một cặp sắp thứ tự (X, F ) Ở đây X là một tập khác rỗng và họcác hàm phân bố F = {Fx,y(t) : x, y ∈ X} , t ∈ R thỏa mãn các điều kiệnsau:

1 Fx,y(0) = 0, ∀x, y ∈ X

2 Fx,y(t) = 1, ∀t > 0 ⇐⇒ x = y

3 Fx,y(t) = Fy,x(t), ∀t ∈ R, ∀x, y ∈ X

4 Nếu Fx,z(t1) = 1 và Fz,y(t2) = 1 thì Fx,y(t1+ t2) = 1, ∀x, y, z ∈ X

Ví dụ 1.1.2 Cho không gian metric (X, d), xác suất P Với mọi x, y ∈ X,mọi t ∈ R đặt Fx,y(t) = P {d (x, y) < t}

Họ các hàm phân bố F = {Fx,y(·)} , ∀x, y ∈ X là một metric xác suấttrên X

Khi đó ta có (X, F ) là một không gian metric xác suất

Chứng minh

Ta kiểm tra các điều kiện trong Định nghĩa 1.1.5:

1 Do d(x, y)> 0, ∀x, y ∈ X nên

Fx,y(0) = P {d(x, y) < 0} = P (∅) = 0

2 Ta chứng minh Fx,y(t) = 1, ∀t > 0 ⇐⇒ P {d (x, y) < t} = 1, ∀t > 0.Nếu x 6= y =⇒ d (x, y) > 0 Đặt t1 = d (x, y),

do tính trù mật của tập R nên

t1 > 0 =⇒ ∃t2 > 0 với 0 < t2 < t1.Suy ra P {d (x, y) < t2} = 0 mâu thuẫn với giả thiết

Fy,z(s) = P {d(y, z) < s} = 1 ⇐⇒ d(y, z) < s, ∀y, z ∈ X.

Suy ra

d(x, z) 6 d(x, y) + d(y, z) < t + s, ∀x, y, z ∈ X

Khi đó

Fx,z(t + s) = P {d(x, z) < t + s} = 1

Vậy họ F = {Fx,y(·)}, ∀x, y ∈ X là một metric xác suất trên X và (X, F )

Định nghĩa 1.1.6 [22] Không gian metric xác suất Menger (Menger abilistic metric space) là một bộ ba có thứ tự (X, F , ∆) Trong đó (X, F )

prob-là không gian metric xác suất, ∆ prob-là t- chuẩn thỏa mãn các điều kiện sau:

Thật vậy, giả sử Fx,y(t) = 1, Fy,z(s) = 1, ∀t, s ∈ R, với mọi x, y, z ∈ X thì

Fx,z(t + s) > ∆ (Fx,y(t) , Fy,z(t))

= ∆ (1, 1)

= 1

Do định nghĩa của hàm phân bố: sup

t∈R

Fx,y(t) = 1 nên suy ra Fx,z(t + s) = 1.Vậy không gian metric xác suất Menger là trường hợp riêng của khônggian metric xác suất

Nhận xét 1.1.3 Nếu (X, F , ∆) là một không gian metric xác suất Mengerthì nó là một không gian tô pô Hausdorff, tô pô sinh bởi một họ (ε, λ)-lân cận:

Điều này nghĩa là:

Với ε > 0 và λ > 0 tùy ý, ∃N = N (ε, λ) , N ∈ N sao cho Fx n ,x(ε) > 1 − λvới mọi n > N Tức là lim

n→∞Fxn,x(ε) = 1

Định nghĩa 1.1.8 [22] Cho không gian metric xác suất Menger (X, F , ∆) Dãy {xn} ⊂ X được gọi là một dãy Cauchy nếu với ε > 0 và λ > 0 tùy ý,tồn tại một số nguyên dương N = N (ε, λ) sao cho Fxn,xm(ε) > 1 − λ vớimọi n, m > N

Điều này nghĩa là:

Với ε > 0 và λ > 0 tùy ý, ∃N = N (ε, λ) , N ∈ N sao cho Fx n ,x m(ε) > 1 − λvới mọi n, m > N Tức là lim

n,m→∞Fxn,xm(ε) = 1

Định nghĩa 1.1.9 [22] Một không gian metric xác suất Menger (X, F , ∆)được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ đến một điểmthuộc X.

Ví dụ 1.1.3 Cho không gian metric xác suất Menger (X, F , ∆) và dãy{xn} ⊂ X Giả sử ∆ (a, b) = min {a, b} Nếu tồn tại một hằng số h ∈ (0; 1)sao cho

, ∀t > 0, n = 1, 2, 3, Suy ra



> > Fx 1 ,x 2

t2hn−1

 (1.1)Lấy m bất kỳ Khi đó ta có

Fxn,xn+m(t) = Fxn,xn+m

 t

2 +

t2

4

, Fxn+2,xn+m t

4

, , Fxn+m−1,xn+m

t

2m



, , Fx n+m−1 ,x n+m

t

2mhn−1

.Với h ∈ (0; 1) , t > 0, m bất kỳ ta có

t

2mhn−1 → ∞, khi n → ∞

Vì sup Fx1,x2

t

Định nghĩa 1.1.10 [27] Cho (X, F , ∆) là không gian metric xác suấtMenger Giả sử ∆ (a, b) = min {a, b} Ánh xạ T từ không gian metric xácsuất Menger vào chính nó gọi là ánh xạ co xác suất nếu có một hằng số

k ∈ (0; 1) sao cho

FT x,T y(t) > Fx,y

 tk



Năm 1972, V M Sehgal và A T Bharucha – Reid đã mở rộng kếtquả về điểm bất động của ánh xạ co Banach trong không gian metric sangkhông gian metric xác suất Sau đây tác giả trình bày kết quả này

Định lý 1.1.1 [22] Cho (X, F , ∆) là không gian metric xác suất Mengerđầy đủ, T : X −→ X là một ánh xạ co Giả sử rằng ∆ (a, b) = min {a, b}.Khi đó T có điểm bất động duy nhất.

, ∀t > 0, n = 1, 2, 3,

với k là hằng số, k ∈ (0; 1)

Chứng minh tương tự Ví dụ 1.1.3 ta có {xn} là dãy Cauchy trong (X, F , ∆)

Do đó {xn} hội tụ tới phần tử x∗ thuộc X:

limn→∞xn = x∗, x∗ ∈ X

Theo giả thiết xn = T xn−1 nên

FT x ∗ ,T xn−1

 t2



> Fx ∗ ,xn−1

 t2k

, Fxn,x∗

 t2

, Fx n ,x ∗

 t2

, Fx n ,x ∗

 t2

, Fxn,x∗

 t2



Vì xn → x∗ khi n → ∞ nên ta có

Fxn,x∗

 t2



→ 1 khi n → ∞,

Fx ∗ ,xn−1

 t2k



→ 1 khi n → ∞

Suy ra

FT x ∗ ,x ∗(t) = 1, ∀t > 0 ⇐⇒ T x∗ = x∗.Vậy x∗ là điểm bất động của ánh xạ T

Cuối cùng ta chứng minh x∗ là điểm bất động duy nhất của ánh xạ T Thật vậy giả sử điểm y∗ cũng là điểm bất động của ánh xạ T , thì ta có

Fx∗ ,y ∗ (t) = FT x∗ ,T y ∗(t) > Fx ∗ ,y ∗

 tk



Vì Fx,y(t) là hàm không giảm nên

Fx ∗ ,y ∗

 tk



> Fx ∗ ,y ∗(t) Suy ra

Fx ∗ ,y ∗

 tk

1 d (x, x) = 0, ∀x ∈ X

2 d (x, y) = d (y, x) , ∀x, y ∈ X

3 d (x, z) 6 d (x, y) + d (y, z) , ∀x, y, z ∈ X.

Định nghĩa 1.1.12 [26] Cho tập hợp X khác rỗng, họ ánh xạ {dλ}, với

λ ∈ (0; 1) xác định bởi:

dλ : X × X → R, λ ∈ (0; 1)được gọi là một họ giả metric nếu:

Chứng minh

Với λ ∈ (0; 1) và mọi x, y ∈ X, ta đặt

dλ(x, y) = sup {t : Fx,y(t) 6 1 − λ} Hiển nhiên dλ : X × X → R

Kiểm tra sự thỏa mãn của dλ(x, y) với các tiên đề giả metric

1 dλ(x, x) = 0, ∀x ∈ X

Theo tính chất của hàm phân bố ta có sup Fx,x(t) = 1, ∀t > 0

Suy ra

Fx,x(t) 6 1 − λ, ∀t 6 0

Tiếp theo ta chứng minh bất đẳng thức tam giác bằng phản chứng.Giả sử ∃λ ∈ (0; 1) , ∃x, y, z ∈ X sao cho:

dλ(x, z) > dλ(x, y) + dλ(y, z) , ∀x, y, z ∈ X

Khi đó ∃ t, s ∈ R sao cho

dλ(x, y) < s và dλ(y, z) < t để dλ(x, z) > t + s (1.6)Đặt dλ(x, z) = a, dλ(x, y) = b, dλ(y, z) = c, ta có a − (b + c) = ε > 0.Chọn s = b + ε

4, t = c +

ε

4.Suy ra t + s = b + c + ε

∆ (a, b) = min {a, b} , ∀a, b ∈ [0; 1] Thật vậy, giả sử a > b, theo điều kiện 3 của Định nghĩa 1.1.4 và điều kiện

∆ (a, a) > a, ∀a ∈ [0; 1] ,

ta có:

∆ (a, b) > ∆ (b, b) > b

Mặt khác, theo điều kiện 3 của Định nghĩa 1.1.4 ta có:

∆ (1, b) > ∆ (a, b) Theo điều kiện 1 của Định nghĩa 1.1.4, ta có ∆ (1, b) = b

 Khi đó ∀z ∈ Sλy, ε

Vậy

Sλ



y, ε2



⊂ U

1.2 Không gian định chuẩn xác suất

Định nghĩa 1.2.1 [24] Giả sử X là không gian tuyến tính trên trường

K (thực hoặc phức), một hàm p xác định trên X, có giá trị thực, hữu hạnđược gọi là một nửa chuẩn nếu:

1 p (x) > 0, ∀x ∈ X

2 p (λx) = |λ| p (x) , ∀x ∈ X, ∀λ ∈ K

3 p(x + y)6 p(x) + p(y), ∀x, y ∈ X

Một nửa chuẩn p thỏa mãn: p(x) 6= 0 nếu x 6= 0 được gọi là một chuẩn

Ví dụ 1.2.1 Xét X = C[a;b]∞ Với mỗi m = 1, 2,

Đặt

pm(x) = sup

a6t6b

x(m)(t)

.Khi đó pm(x) là nửa chuẩn

x(m)(t)

6 supa6t6b

x(m)(t)

+ supa6t6b

y(m)(t)

, ∀t ∈ [a, b]

Do đó ta có

pm(x + y) 6 sup

a6t6b

... 1.2.1

3 Ta có

pm(x + y) = sup

a6t6b

(x + y)(m)(t)

, ∀x, y ∈ C[a;b]∞ Mặt khác ta có

(x +... thỏa mãn điều kiện Định nghĩa 1.2.1

2 Với ∀λ ∈ R, ∀x ∈ C[a;b]∞ ta có

pm(λx) = sup

a6t6b

(λx)(m)(t)...

x(m)(t)

.Khi pm(x) nửa chuẩn

x(m)(t)

,xác định hàm số

Ta chứng minh pm(x) thỏa mãn điều kiện Định nghĩa 1.2.1

1