Điểm bất động chung cho sáu xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất

37 3 Điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất 413.1 Quan hệ ẩn.. Đó là sự mở rộng “xác suất” của khái niệm metric thông thường: thaycho việc

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng

Qua đây, cho phép tôi bày tỏ lời cảm ơn chân thành đến

TS Hà Đức Vượng – người đã giúp đỡ, chỉ bảo tận tình để tôi hoànthành Luận văn này

Tôi bày tỏ lòng biết ơn đối với Ban giám hiệu, Phòng sauĐại học và các thầy cô giáo đã tận tình quan tâm giảng dạy trongsuốt quá trình học tập tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Hà Nội, tháng 10 năm 2012

Tác giảLại Thị Thanh Huệ

Tôi xin cam đoan Luận văn này do tôi tự làm dưới sự hướngdẫn của TS Hà Đức Vượng.

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành Luận văn, tôi đã

kế thừa những thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng vàbiết ơn Các kết quả trích dẫn trong luận văn là trung thực và đãđược chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 10 năm 2012

Tác giảLại Thị Thanh Huệ

2 Không gian metric xác suất và điểm bất động 212.1 Không gian metric xác suất 222.2 Không gian metric xác suất Menger 312.3 Nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian metric

xác suất 37

3 Điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với quan

hệ ẩn trong không gian metric xác suất 413.1 Quan hệ ẩn 413.2 Điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với quan hệ

ẩn trong không gian metric xác suất 44

Kết luận 58

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Cho M là một tập hợp bất kì, T là một ánh xạ đi từ M vàochính nó Điểm x ∈ M thỏa mãn phương trình T x = x được gọi làđiểm bất động của ánh xạ T trên tập hợp M

Việc nghiên cứu về điểm bất động của một ánh xạ đã thuhút nhiều nhà toán học quan tâm và các kết quả về lĩnh vực này hìnhthành nên: “Lý thuyết điểm bất động”

Năm 1922, một kết quả kinh điển về điểm bất động đượccông bố, đó là nguyên lý ánh xạ co Banach

Năm 1942, Menger đã đưa ra khái niệm “metric xác suất”

Đó là sự mở rộng “xác suất” của khái niệm metric thông thường: thaycho việc xét khoảng cách d (x, y), người ta xét hàm phân bố Fx,y(t)

biểu diễn xác suất để cho d (x, y) < t, với t là một số thực nào đó.Khái niệm này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, đặcbiệt là Schweizer và Sklar đã xây dựng thành lý thuyết về không gianmetric xác suất và viết thành sách chuyên khảo xuất bản năm 1983.Nguyên lý ánh xạ co Banach đã được mở rộng sang lớp không giannày

Năm 1993, Singh giới thiệu khái niệm các ánh xạ giao hoányếu trong không gian metric xác suất qua bài báo “Fixed points ofweakly commuting mappings on Menger spaces”.

Sử dụng khái niệm các ánh xạ R-giao hoán yếu từng điểm(pointwise R-weakly commuting) và các ánh xạ liên tục nghịch đảo(reciprocally continuous), Kumar và Chugh đã công bố một số kếtquả về điểm bất động chung cho các ánh xạ này trong không gianmetric

Năm 2005, Mihet đã có kết quả mở rộng về điểm bất độngcho lớp ánh xạ co xác suất, công bố trong bài báo: “A generalization

of a contraction principle in probabilistic metric spaces, Part II”

Năm 2010, một kết quả về điểm bất động chung cho sáu ánh

xạ co xác suất với quan hệ ẩn của các tác giả thuộc trường Đại họcDelhi của Ấn Độ: J K Kohli, Sachin Vashistha và Durgesh Kumarđược công bố trong bài báo: “A Common Fixed Point Theorem forSix Mappings in Probabilistic Metric Spaces Satisfying Contrac-tive Type Implicit Relations”

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sựhướng dẫn tận tình của TS Hà Đức Vượng, tôi mạnh dạn chọn đềtài nghiên cứu:

“Điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co với quan hệ

ẩn trong không gian metric xác suất”.Luận văn được trình bày với 3 chương nội dung và một danhmục tài liệu tham khảo

Chương 1: trình bày về không gian metric, không gian metric đầy

đủ và nguyên lý ánh xạ co Banach

Chương 2: trình bày về không gian metric xác suất, không gianmetric xác suất Menger và sự mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banachtrong lớp không gian này

Chương 3: trình bày về điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co vớiquan hệ ẩn trong không gian metric xác suất, các hệ quả và ví dụ

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài là nghiên cứu về điểm bất động chungcho sáu ánh xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất.Công trình nghiên cứu dựa trên kết quả của J K Kohli, SachinVashistha và Durgesh Kumar trong bài báo: “A Common Fixed PointTheorem for Six Mappings in Probabilistic Metric Spaces SatisfyingContractive Type Implicit Relations”, đăng trên tạp chí Int Journal

of Math Analysis, năm 2010

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống các kết quả đã đạt được về điểm bất động chungcho sáu ánh xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về điểm bất động chung cho sáu ánh xạ co vớiquan hệ ẩn trong không gian metric xác suất

5 Phương pháp nghiên cứu

- Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu

- Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu

6 Dự kiến đóng góp

Đây sẽ là một bài tổng quan về điểm bất động chung chosáu ánh xạ co với quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất Giúpngười đọc hiểu những khái niệm và tính chất cơ bản về không gianmetric xác suất, đặc biệt là điểm bất động chung cho sáu ánh xạ covới quan hệ ẩn trong không gian metric xác suất

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Cho M là một tập hợp bất kì, T là một ánh xạ đi từ M vàochính nó Điểm x ∈ M thỏa mãn phương trình T x = x được gọi làđiểm bất động của ánh xạ T trên tập hợp M

Việc tìm điểm bất động của một ánh xạ đã góp phần đắclực cho việc giải quyết hàng loạt bài toán quan trọng trong Toán họcnói riêng, trong khoa học kĩ thuật nói chung

Trong chương này chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức

cơ bản về không gian metric và kết quả kinh điển về điểm bất động,

đó là nguyên lý ánh xạ co Banach

Định nghĩa 1.1.1 [1] Không gian metric là một tập hợp X 6= ∅

cùng với một ánh xạ d từ tích Descartes X × X vào tập hợp số thực

R thỏa mãn các tiên đề sau đây:

1) d (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, d (x, y) = 0 ⇔ x = y

Chứng minh Ta kiểm tra 3 tiên đề metric:

Hiển nhiên ta có |xi − yi| ≥ 0, ∀i = 1, 2, , n

Vậy 3 tiên đề metric được thỏa mãn.

Suy ra d là một metric trên Rn

Ví dụ 1.1.2 Cho tập hợp các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b],

kí hiệu C[a,b], với hai phần tử bất kỳ x (t) , y (t) ∈ C[a,b] ta đặt:

d1 (x, y) = max

a≤t≤b|x (t) − y (t)|

Ta có d1 là một metric trên C[a,b]

Chứng minh Ta kiểm tra 3 tiên đề metric:

Với hai hàm số bất kì x (t) , y (t) ∈ C[a,b], ta có:

|x (t) − y (t)| ≥ 0, ∀t ∈ [a, b]

Suy ra

max

a≤t≤b|x (t) − y (t)| ≥ 0.

Vậy 3 tiên đề metric được thỏa mãn.

Suy ra d1 là một metric trên C[a,b]

Ví dụ 1.1.3 Trong tập hợp C[a,b] nói trên, nếu lấy khoảng cáchgiữa hai phần tử x (t) , y (t) ∈ C[a,b] bằng:

thì d2 cũng là một metric trên C[a,b]

Thật vậy, ta kiểm tra ba tiên đề metric:

Với hai hàm số bất kì x (t) , y (t) ∈ C[a,b], ta có

Vậy 3 tiên đề metric được thỏa mãn.

Như vậy d2 cũng là một metric trên C[a,b]

Tập hơp C[a,b] với metric d2 được kí hiệu là C[a,b]L

Nhận xét 1.1.1 Trên cùng một tập hợp ta có thể xác định đượccác metric khác nhau Chẳng hạn như trong các ví dụ 1.1.2 và ví dụ1.1.3, trên cùng tập hợpC[a,b], có thể xác định các metric khác nhau là

hình cầu mở bán kính r > 0, tâm x là tập hợp

B(x; r) = {y ∈ X : d (x, y) < r}

Họ hình cầu mở này sinh ra một tôpô trên X (tôpô sinh bởi metric).Khi đó X trở thành không gian tôpô

Định nghĩa 1.2.1 [1] Cho không gian metric (X, d), dãy điểm

{xn} ⊂ X, điểm x0 ∈ X Dãy điểm {xn} gọi là hội tụ tới điểm x0

trong không gian metric X khi n → ∞, nếu ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗

sao cho ∀n ≥ n0 ta có d (xn, x) < ε, kí hiệu lim

n→∞xn = x0 hay

xn → x0 khi n → ∞.

Định nghĩa 1.2.2 [1] Cho không gian metric (X, d) Dãy điểm

{xn} ⊂ X gọi là dãy cơ bản trong X, nếu ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗ saocho ∀n, m ≥ n0 ta có d (xn, xm) < ε Hay lim

m,n→∞d (xn, xm) = 0.

Nhận xét 1.2.1 Cho không gian metric (X, d) Mọi dãy điểm

{xn} ⊂ X hội tụ trong X đều là dãy cơ bản

Định nghĩa 1.2.3 [1] Không gian metric (X, d) gọi là không gianmetric đầy đủ, nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần

tử của X

Ví dụ 1.2.1 Trong không gian Rn xét trong ví dụ 1.1.1, sự hội tụcủa dãy điểm x(m) = nx(m)1 , x(m)2 , , x(m)n o, m = 1, 2, tớiđiểm x = (x1, x2, , xn) có nghĩa là:

max

1≤i≤n

Vậy sự hội tụ trong Rn là sự hội tụ theo tọa độ

Ta có không gian Rn là không gian metric đầy đủ

Thật vậy, giả sử x(m) = nx(m)1 , x(m)2 , , x(m)n o, m = 1, 2, làdãy cơ bản tùy ý trong Rn

Theo định nghĩa dãy cơ bản ∀ε > 0, ∃m0 ∈ N∗, ∀m, p ≥ m0 ta có

d x(m), x(p)
< ε hay

max

1≤i≤n

Các bất đẳng thức (1.1) chứng tỏ, với mỗii = 1, 2, , n dãy nx(m)i o

là dãy số thực cơ bản, nên tồn tại giới hạn

cơ bản x(m) ⊂ Rn đã cho hội tụ tới x trong không gian Rn.

Vậy Rn là không gian metric đầy đủ

Ví dụ 1.2.2 Trong không gian C[a,b]L sự hội tụ của dãy xn(t) tới

[a,b] là không gian metric không đầy đủ

Thật vậy, cho [a, b] = [0, 1] và xét dãy xn(t) như sau:

1 2n < t ≤ 1.

Do d là metric trên Y nên d (f (x) , g (x)) ≥ 0, với mọi f, g ∈ B,

và mọi x thuộc X Khi đó:

Cuối cùng ta xét với mọi f, g, h ∈ B, ∀x ∈ X ta có

Như vậy (B, d0) là không gian metric

Nếu Y là không gian metric đầy đủ, ta chứng minh B cũng là khônggian metric đầy đủ

Thật vậy, giả sử {fn} là dãy cơ bản trong không gian B, khi đó vớimỗi x ∈ X dãy {fn(x)} là dãy cơ bản trong không gian Y Do Y

là không gian đầy đủ nên dãy {fn(x)} hội tụ tới hàm f (x) trong

Như vậy dãy hàm {fn} hội tụ tới hàm f trong B

Vậy mọi dãy cơ bản {fn} trong không gian B đều hội tụ tới hàm f

trong B

Do đó B là không gian metric đầy đủ

1.3 Nguyên lý ánh xạ co Banach

Định nghĩa 1.3.1 [1] Cho hai không gian metric (X, d1) và

(Y, d2) Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là ánh

xạ co nếu tồn tại số k ∈ [0, 1) sao cho:

Chứng minh hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Chứng minh Xét không gian Rn, với metric

Vậy f là ánh xạ co, nên theo nguyên lý ánh xạ co Banach tồn tạiduy nhất điểm bất động của ánh xạ f trong Rn.

Suy ra hệ y = Ax + b có nghiệm duy nhất

Trong chương này chúng tôi đã trình bày lại các khái niệm,tính chất cơ bản về không gian metric, không gian metric đầy đủcùng một số ví dụ minh họa và trình bày kết quả kinh điển về điểmbất động đó là nguyên lý ánh xạ co Banach Đây là những kiến thứcnền tảng phục vụ cho việc nghiên cứu về không gian metric xác suất

và sự mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach sang không gian metricxác suất được trình bày ở chương tiếp theo

Chương 2

Không gian metric xác suất và

điểm bất động

Năm 1942, Menger đã đưa ra khái niệm “metric xác suất”

Đó là sự mở rộng “xác suất” của khái niệm metric thông thường: thaycho việc xét khoảng cách d (x, y), người ta xét hàm phân bố Fx,y(t)

biểu diễn xác suất để cho d (x, y) < t, với t là một số thực nào đó.Khái niệm này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, đặcbiệt là Schweizer và Sklar đã xây dựng thành lý thuyết về không gianmetric xác suất, viết thành sách chuyên khảo xuất bản năm 1983.Nguyên lý ánh xạ co Banach đã được mở rộng sang lớp không giannày

Trong chương này chúng tôi hệ thống lại một số khái niệm

và tính chất cơ bản về không gian metric xác suất, và trình bày sự

mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach sang lớp không gian này

2.1 Không gian metric xác suất

Định nghĩa 2.1.1 [11] Giả sử X là không gian tôpô, x0 ∈ X, ánh

xạ F : X → R được gọi là nửa liên tục dưới (lower semicontinuous)

tại x0 nếu với mọi ε > 0, tồn tại lân cận U của x0 sao cho với mọi

Như vậy ∀t1, t2 ∈ R, t1 < t2 ta có H (t1) ≤ H (t2).

Do đó H (t) là hàm không giảm

Tiếp theo ta chứng minh H (t) là hàm nửa liên tục dưới

Do H (t) liên tục trên R\ {0} nên H (t) nửa liên tục dưới trên

R\ {0}

Xét tại t = 0, ta có lim

x→0 −H (t) = 0 = H (0)

Suy ra H (t) nửa liên tục dưới tại t = 0

Vậy H (t) nửa liên tục dưới

Định nghĩa 2.1.3 [11] Cho tập hợp X 6= ∅ và D là kí hiệutập hợp tất cả các hàm phân bố Một không gian metric xác suất(probabilistic metric space) là một cặp sắp thứ tự (X, F ) trong đó

F là ánh xạ từ X × X vào D Giá trị của F tại (x, y) ∈ X × X

được biểu diễn bởi Fx,y, và hàm Fx,y thỏa mãn các điều kiện sau:1) Fx,y(t) = 1, ∀t > 0 ⇔ x = y

2) Fx,y(0) = 0, ∀x, y ∈ X

3) Fx,y(t) = Fy,x(t) , ∀x, y ∈ X

4) Nếu Fx,y (t) = 1 và Fy,z (s) = 1 thì Fx,z(t + s) = 1, ∀x, y, z

thuộc X và t, s ≥ 0

Khi đó F gọi là metric xác suất trên X.

thì (X, F ) là không gian metric xác suất

Chứng minh Trước tiên ta chứng minh Fx,y là hàm phân bố

Với mọi t1, t2 ∈ R, giả sử t1 < t2 ta có

Như vậy Fx,y(t) nửa liên tục dưới.

t∈RFx,y (t) = 0.

Vậy Fx,y là hàm phân bố

Tiếp theo ta kiểm tra các điều kiện của metric xác suất đối với ánh

Như vậy 4 điều kiện về metric xác suất được thỏa mãn.

Do đó (X, F ) là không gian metric xác suất

Nhận xét 2.1.1 Mọi không gian metric đều là không gian metricxác suất

Chứng minh Cho không gian metric (X, d), xác suất P

Với mọi x, y ∈ X, ∀t ∈ R đặt Fx,y(t) = P {d (x, y) < t}

Khi đó (X, F ) là một không gian metric xác suất

Thật vậy, trước tiên ta chứng minh Fx,y là hàm phân bố

Với mọi x, y ∈ X, ∀t ∈ R ta có: 0 ≤ P {d (x, y) < t} ≤ 1 hay

Vậy ta có Fx,y(t1) ≤ Fx,y (t2)

Chứng tỏ Fx,y (t) là hàm không giảm

Tiếp theo ta chứng minh Fx,y(t) là hàm nửa liên tục dưới.

Xét tập hợp {t ∈ R : Fx,y (t) ≤ 1 − λ} Để chứng minh Fx,y (t) làhàm nửa liên tục dưới ta sẽ chứng minh {t ∈ R : Fx,y (t) ≤ 1 − λ}

là tập đóng

Thật vậy, ta sẽ chứng minh được inf

t∈RFx,y (t) = 0 ở phần sau Khi đó

Fx,y (t) ≤ 1 − λ, với mọi t ∈ R, ∀λ ∈ (0, 1)

Ta chứng minh F thỏa mãn các điều kiện của metric xác suất.Bây giờ ta chứng minh Fx,y(t) = 1, ∀t > 0.

Hay Fx,z (t + s) = 1, ∀t, s ∈ R, ∀x, z ∈ X.

Vậy F thỏa mãn các điều kiện của metric xác suất trên X

Do đó (X, F ) là một không gian metric xác suất

Như vậy khái miệm không gian metric xác suất là sự mở rộng củakhái niệm không gian metric

Nhận xét 2.1.2 Cho không gian metric (X, d), D là tập hợp tất

Tương tự như ví dụ 2.1.1 ta có Fx,y(t) là hàm phân bố

Ta chứng minh F thỏa mãn các điều kiện của metric xác suất.Nếu Fx,y (t) = 1, ∀t > 0 ⇔ H (t − d (x, y)) = 1, ∀t > 0

Ngược lại nếu x = y, ∀t > 0 ta có

Fx,y (t) = Fx,x(t) = H (t − d (x, x)) = H (t) = 1.

Vậy Fx,y (t) = 1, ∀t > 0 ⇔ x = y

Với mọi x, y ∈ X, Fx,y (0) = H (0 − d (x, y)) = 0

Do d (x, y) = d (y, x) nên H (t − d (x, y)) = H (t − d (y, x)).Suy ra

Vậy 4 điều kiện của metric xác suất được thỏa mãn

Do đó (X, F ) là không gian metric xác suất

Như vậy trên một tập hợp ta cũng có thể xác định được các metricxác suất khác nhau Chẳng hạn như trong nhận xét 2.1.1 và nhận xét2.1.2, trên cùng tập hợpX ta có thể xác định các metric xác suất khácnhau là Fx,y(t) = P {d (x, y) < t} và Fx,y(t) = H (t − d (x, y))

2.2 Không gian metric xác suất Menger

4) ∆ (∆ (a, b) , c) = ∆ (a, ∆ (b, c)) , ∀a, b, c ∈ [0, 1]

Nhận xét 2.2.1 Ta có một số chuẩn tam giác cơ bản thường gặpsau:

∆1 (a, b) = max {a + b − 1; 0}

∆2 (a, b) = ab.

∆3 (a, b) = min {a; b}

Các t-chuẩn có thể được sắp xếp theo thứ tự sau:

và chuẩn tam giác ∆ (a, b) = min {a; b}.

Thì (X, F, min) là không gian metric xác suất Menger

Chứng minh Theo nhận xét 2.1.2 ta có (X, F )là không gian metricxác suất

Với mọi x, y, z ∈ X, ∀t1, t2 ≥ 0 ta có

min {Fx,y (t1) , Fy,z (t2)} ≤ Fx,z(t1 + t2)

Nếu min {Fx,y (t1) , Fy,z(t2)} = 1 thì t1 > d (x, y) , t2 > d (y, z).Khi đó theo bất đẳng thức tam giác ta có:

d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) < t1 + t2.

Suy ra Fx,z(t1 + t2) = 1

Vậy min {Fx,y (t1) , Fy,z (t2)} ≤ Fx,z(t1 + t2)

Như vậy ta có

min (Fx,y (t1) , Fy,z (t2)) ≤ Fx,z(t1 + t2) , ∀x, y, z ∈ X, t1, t2 ≥ 0.

Do đó (X, F, min) là không gian metric xác suất Menger

Nhận xét 2.1.1 Mọi không gian metric không gian metricxác suất

Chứng minh Cho không gian metric (X, d), xác suất P

Với x,... metric xác suất X

Do (X, F ) không gian metric xác suất

Như khái miệm không gian metric xác suất mở rộng củakhái niệm không gian metric

Nhận xét 2.1.2 Cho. .. 2

Không gian metric xác suất và

điểm bất động< /h3>

Năm 1942, Menger đưa khái niệm ? ?metric xác suất? ??

Đó mở rộng ? ?xác suất? ?? khái niệm metric thông thường: thaycho