Bao hàm thức vi phân và ứng dụng

Mọi vấn đề được xét trong phương trình vi phân như: Sự tồn tại nghiệm, tính liên tục của tập nghiệm, sự phụ thuộc vào điềukiện ban đầu và các tham số.. Vì bao hàm thức vi phân luôn có nh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Năng Tâm

Hà Nội-2013

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Năng Tâm

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS TS.Nguyễn Năng Tâm, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình hướngdẫn về phương hướng, nội dung và phương pháp nghiên cứu trong quátrình thực hiện luận văn

Nhân dịp này tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Bangiám hiệu trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyênngành Toán giải tích, Đoàn 871- Bộ Quốc Phòng, Trường sĩ quan Tăngthiết giáp- Bộ tư lệnh Tăng thiết giáp, đã tạo điều kiện thuận lợi trongquá trình tác giả học tập và nghiên cứu

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân đã động viên

và tạo mọi điều kiện để tác giả có thể hoàn thành bản luận văn này

Hà Nội, tháng năm 2013

Tác giả

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôidưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS TS Nguyễn Năng Tâm

Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng năm 2013

Tác giả

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Bao hàm thức vi phân là một khái niệm tổng quát của phương trình

vi phân thường Mọi vấn đề được xét trong phương trình vi phân như:

Sự tồn tại nghiệm, tính liên tục của tập nghiệm, sự phụ thuộc vào điềukiện ban đầu và các tham số Đều được nghiên cứu trong lý thuyết củabao hàm thức vi phân

Vì bao hàm thức vi phân luôn có nhiều nghiệm xuất phát từ mộtđiểm đã cho nên xuất hiện các vấn đề như: Việc nghiên cứu tính chất tô

pô của tập nghiệm, sự lựa chọn nghiệm thỏa mãn các tính chất đã cho,đánh giá tập các khả năng đạt được Để giải quyết các vấn đề trên tacần đến các kỹ thuật toán học đặc biệt

Do đó bao hàm thức vi phân không những là mô hình cho quá trìnhđộng lực mà chúng còn cung cấp những công cụ mạnh cho các nhánhkhác nhau của toán giải tích (Xem [5] và những tài liệu dẫn trong đó).Bao hàm thức vi phân được ứng dụng vào chứng minh sự tồn tại củanhững định lý trong lý thuyết điều khiển tối ưu Chúng được dùng đểdẫn ra điều kiện đủ tối ưu, đóng vai trò cốt yếu trong lý thuyết điềukhiển với những điều kiện bất định và lý thuyết trò chơi vi phân

Bao hàm thức vi phân có rất nhiều ứng dụng trong lý thuyết cũngnhư trong thực tế Nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiêncứu những khía cạnh khác nhau của bao hàm thức vi phân (xem [5])

Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong muốntìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ của chúng vớinhững kiến thức chưa biết và ứng dụng của chúng, được sự động viêncủa các thầy cô giáo, đặc biệt là sự động viên giúp đỡ của thầy NguyễnNăng Tâm, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu: “Bao hàm thức vi phân vàứng dụng”.

2 Mục đích nghiên cứu

• Tìm hiểu về một số kết quả liên quan đến bao hàm thức vi phân,

sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân

• Tìm hiểu về một số bao hàm thức vi phân đặc biệt và tính ổn định

• Tìm hiểu về ứng dụng của bao hàm thức vi phân vào điều khiển tốiưu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Trình bày khái niệm bao hàm thức vi phân

• Chỉ ra và chứng minh một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của baohàm thức vi phân, và một số bao hàm thức vi phân đặc biệt

• Trình bày về tính ổn định của bao hàm thức vi phân

• Ứng dụng của bao hàm thức vi phân vào điều khiển tối ưu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Bao hàm thức vi phân và ứng dụng

• Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại và tính ổn định nghiệm của baohàm thức vi phân, một số bao hàm thức vi phân đặc biệt và ứngdụng của bao hàm thức vi phân

5 Phương pháp nghiên cứu

• Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm, lý thuyếttối ưu

• Tổng hợp kiến thức thu thập được qua những tài liệu liên quan đến

đề tài

6 Dự kiến các đóng góp của luận văn

• Nghiên cứu và làm rõ được sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức viphân, một số bao hàm thức vi phân đặc biệt

• Trình bày về tính ổn định của bao hàm thức vi phân

• Trình bày một số ứng dụng của bao hàm thức vi phân

Mục lục

Bảng kí hiệu v

Mở đầu vi

Nội dung 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1

1.1 Giải tích lồi 1

1.2 Giải tích không trơn 6

1.3 Giải tích đa trị 10

1.4 Một số kiến thức về đạo hàm suy rộng 18

Chương 2 Bao hàm thức vi phân 21

2.1 Khái niệm 21

2.2 Sự tồn tại nghiệm 23

2.3 Một số bao hàm thức vi phân đặc biệt 30

2.3.1 Bao hàm thức vi phân Lipschitzian 30

2.3.2 Bao hàm thức vi phân nửa liên tục trên 31

2.4 Tính ổn định 41

2.4.1 Phương pháp Lyapunov trực tiếp 41

2.4.2 Bao hàm thức vi phân chọn tuyến tính 49

2.4.3 Ổn định tiệm cận yếu của quá trình lồi 61

Chương 3 Ứng dụng của bao hàm thức vi phân vào điều khiển

tối ưu 69

3.1 Sự tồn tại nghiệm tối ưu 69

3.2 Nghiên cứu các bài toán điều khiển tối ưu dạng đặc biệt 74

3.2.1 Bài toán điều khiển tối ưu Mayer 74

3.2.2 Bài toán tối ưu thời gian 75

Kết luận 81

Tài liệu tham khảo 82

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này giới thiệu và trình bày các kiến thức cơ bản về giải tíchlồi, giải tích không trơn, giải tích đa trị và một số kiến thức về đạo hàmsuy rộng, được áp dụng cho chương sau Các kết quả trong chương nàyđược lấy từ tài liệu [1],[3],[4], [5]

Định nghĩa 1.1.3 ([1],[3],[5]) Cho C : Rn → Rm là một toán tử tuyếntính Toán tử tuyến tính liên hợp từ Rm vào Rn được ký hiệu bởi C∗.Nếu C là một ma trận thực cấp m × n tương ứng toán tử tuyến tính

C ( ta dùng như ký hiệu), thì ma trận chuyển vị C∗ tương ứng toán tửtuyến tính liên hợp

Toán tử tuyến tính đơn vị từ Rn vào Rn sẽ được ký hiệu là E Nếu

có nguy cơ nhầm lẫn về chiều, ma trận cấp n × n được ký hiệu là En.Quả cầu đơn vị trong Rn được định nghĩa bởi

Bn = {x ∈ Rn||x| ≤ 1}

Định nghĩa 1.1.4 ([1],[3],[5]) Cho A ⊂ Rn Hàm khoảng cách d(., A) :

Rn → R được định nghĩa bởi

d(x, A) = inf {|x − a||a ∈ A}, x ∈ RnCho λ ∈ R Thì

bda = clA \ intAHiển nhiên cl

◦

Bn = Bn, intB =

◦

Bn, và bdBn = {x||x| = 1}

Định nghĩa 1.1.5 ([1],[5]) Một tập A được gọi là lồi nếu λx+(1−λ)y ∈

A, với x, y ∈ A, λ ∈ [0, 1] Bởi định nghĩa nên giao của các tập lồi làtập lồi, và nếu A ⊂ Rn, B ⊂ Rn là lồi, và α, β là các số thực, thì tập

αA + βB là lồi nếu A là lồi thì intA, clA cũng là các tập lồi

Định nghĩa 1.1.6 ([1],[5]) Cho A ⊂ Rn Giao của tất cả các tập lồichứa A được gọi là bao lồi của A và ký hiệu là coA.

Một véc tơ tổng

λ1x1 + + λmxmđược gọi là tổ hợp lồi của x1, , xm nếu λi ≥ 0, i = 1, m, và λ1 + + λm = 1.Hiển nhiên nếu x1, , xm là các véc tơ của A thì bất kỳ tổ hợp lồi nàocủa x1, , xm đều thuộc về coA

Định lí 1.1.1 ([1],[5]) Cho A ⊂ Rn là một tập lồi và x0 ∈ clA Thì tồn/tại một véc tơ x∗ 6= 0 và một số dương ε sao cho

hx, x∗i ≤ hx0, x∗i − ε, ∀x ∈ AĐịnh nghĩa 1.1.7 ([1],[5]) Cho f là một hàm có giá trị thực hoặc +∞

và miền xác định là Rn Miền hữu hiệu của một hàm f , kí hiệu là domf ,

là tập được xác định bởi

domf = {x ∈ Rn|f (x) < +∞}

Định nghĩa 1.1.8 ([1],[5]) Tập

epif = {(x, α) ∈ Rn× R|f(x) ≤ α}

được gọi là trên đồ thị (epigraph) của f

Ta thấy trên đồ thị của f hoàn toàn xác định hàm đó Thật vậy

f (x) = inf {α|(x, α) ∈ epif }

Do đó các hàm định nghĩa trên Rn đều quan hệ đến các tập trong Rn+1,

và sự tương ứng này làm cho nó có thể nghiên cứu các hàm thông qua(via) các tập

Định nghĩa 1.1.9 ([1],[5]) Cho X ⊂ Rn nếu epif là một tập lồi và

f : X → R là một hàm số

Hàm f được gọi là lồi trên X nếu với mọi x1, x2 ∈ X và với mọi

t ∈ [0, 1] ta có

f (λx1 + (1 − λ)x2) ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2) (1.1)Bằng phép quy nạp chúng ta thấy rằng f là lồi nếu và chỉ nếu

f (λ1x1 + + λmxm ≤ λ1f (x1)) + + λmf (xm)

∀x1, , xm ∈ domf, ∀λi ≥ 0, 1, m thỏa mãn λ1+ + λm = 1 Hiển nhiênmiền xác định của một hàm lồi là một tập lồi Dễ dàng chứng minh rằngnếu X là một tập lồi trên Rn thì hàm f lồi trên X nếu và chỉ nếu trên

đồ thị epif của f là một tập lồi trong Rn+1

Ví dụ 1.1.1 ([5]) Chú ý rằng cận trên đúng

f (x) = sup{fi(x)|i ∈ I}

của một họ các hàm lồi là một hàm lồi Thật vậy, epigraph của f là giaocủa các epigraph của các hàm lồi fi là một tập lồi Từ (1.1) ta thấy rằngtổng của hữu hạn các hàm lồi cũng là một hàm lồi

Bây giờ ta xét ví dụ của hàm lồi Cho A ⊂ Rn là một tập lồi Hàm

S(x∗, A) = sup{hx, x∗i|x ∈ A}

được gọi là giá của hàm A Vì giá của hàm là một cận trên đúng củacác hàm tuyến tính, nên nó là hàm lồi

Định lí 1.1.2 ([1],[5]) Cho A là một tập lồi, đóng Thì x ∈ A nếu vàchỉ nếu

hx, x∗i ≤ S(x∗, A)với ∀x∗ ∈ Rn

Mệnh đề 1.1.1 ([5]) Cho A ⊂ Rn là một tập lồi đóng thỏa mãn A ⊂

Định lí 1.1.4 ([5]) Cho A là một tập lồi Thì

d(x, A) = sup{hx, x∗i − S(x∗, A)|x∗ ∈ Bn}

Hệ quả 1.1.1 ([5]) Cho

K = {x|hx∗1, xi ≥ 0, i = 1, N }thì

1.2 Giải tích không trơn

Ta nhắc lại một số khái niệm và kết quả sẽ được sử dụng cho chươngsau

Không gian Banach của các hàm khả tích x : [0, T ] −→ Rn với quytắc

Được kí hiệu bởi L1([0, T ] ; Rn)

Không gian Hilbert của các hàm đo được x : [0, T ] −→ Rn sao cho

được kí hiệu bởi C ([0, T ] , Rn)

Hàm x : [0, T ] −→ Rn được gọi là liên tục tuyệt đối nếu với ε > 0 chotrước, ∃δ > 0 sao cho với mọi tập đếm được của những khoảng con rờinhau t0

Mọi hàm Lipschitzian đều liên tục tuyệt đối Một hàm x : [0, T ] → Rnliên tục tuyệt đối thì khả vi hầu khắp nơi và đạo hàm của nó ˙x (.) làhàm khả tích Lebesgue Hơn nữa công thức Newton- Leibniz luôn đúng.Tức là

xt00− xt0 =

Z t00

t0

˙x (t) dtVới mọi t0, t00 ∈ [0, T ] , t0 < t00 Do đó mọi hàm liên tục tuyệt đối x :[0, T ] −→ Rn có thể biểu diễn dưới dạng

x (t) = x (0) +

Z t 0

˙x (s) dsChúng ta kí hiệu không gian các hàm liên tục tuyệt đối x : [0, T ] −→ Rnvới quy tắc

|x (.)|AC = |x (0)| +

Z T 0

| ˙x (t)| dt

là AC ([0, T ] , Rn) Rõ ràng nó là phép đẳng cấu đẳng cự tới tích Đề các

Rn × L1([0, T ] , Rn), và do dó nó là không gian Banach

Định nghĩa 1.2.1 ([5], tr89) Tập X ⊂ C ([0, T ] , Rn) được gọi là liêntục đồng bậc (equicontinuous) nếu với ε > 0 cho trước ∃δ > 0 sao cho

|x t00k
− x t0k
|< ε với mỗi x(.) ∈ X, ∀t0, t00 ∈ [0, T ] và |t00 − t0 |< δ

Định lí 1.2.1 (Arzela- Ascoli) ([5],định lý 4.1, tr89) Nếu một tập X ⊂

C ([0, T ] , Rn) là bị chặn và liên tục đồng bậc thì nó chứa một dãy hội tụđều xi(.) ∈ X, i = 1, 2 Nghĩa là ∃x (.) ∈ C ([0, T ] , Rn) sao cho

|xi(.) − x (.) |C→ 0khi i → ∞

Nói cách khác định lý này suy ra một tập bị chặn của hàm liên tụctuyệt đối X sao cho | ˙x (t)| ≤ b, ∀x (.) ∈ X chứa một dãy con hội tụ đều.Định lí 1.2.2 (Lebesgue) ([5],định lý 4.2, tr89) Giả sử rằng dãy xi(.) ∈

L1([0, T ] , Rn) hội tụ tới một hàm x(.) hầu khắp nơi và |xi(.)| ≤ φ (t) ; t ∈[0, T ] , i = 1, 2 với φ (.) ∈ L1([0, T ] , Rn) thì x(.) ∈ L1([0, T ] , Rn) vàdãy xi(.) hội tụ tới x(.) trong chuẩn L1

Định lí 1.2.3 ([5],định lý 4.3, tr89) Giả sử rằng dãy xi(.) ∈ L1([0, T ] , Rn)hội tụ tới một hàm x(.) ∈ L1([0, T ] , Rn) trong chuẩn L1 thì tồn tại mộtdãy con xip (.) ∞p=1 hội tụ tới x(.) hầu khắp nơi trong [0, T ]

Định lí 1.2.4 (Bất đẳng thức Gronwall) ([5],định lý 4.4, tr89) Nếuα(.) ∈ AC ([0, T ] , R) thỏa mãn

˙

α (t) ≤ l (t) α (t) + ρ (t) , t ∈ [0, T ] ,với l(.) ∈ L1([0, T ] , R) , l(t) ≥ 0 và ρ(.) ∈ L1([0, T ] , R) thì

|α (t)| ≤ eR0tl(s)ds

|α (0)| +

Z t 0

|ρ (s)| eR0tl(τ )dτ − R s

0 l(τ )dτ

ds, t ∈ [0, T ]

Định lí 1.2.5 ([5],định lý 3.3, tr68) Cho ˆx ∈ clA Thì ta có đẳng thứcsau

N (ˆx, A) = lim sup

x→ˆ x x∈clA

N (x, A)

Định lí 1.2.6 ([5],định lý 3.4, tr69) Cho ˆx ∈ clA Thì ta có đẳng thứcsau

N (ˆx, A) = lim sup

x→ˆ x x∈clA

1.3 Giải tích đa trị

Mục này trình bày các khái niệm và các kết quả liên quan đến ánh

xạ đa trị, xấp xỉ Lipschitzian và quá trình lồi

Định nghĩa 1.3.1 ([4],[5]) Cho X và Y là hai không gian định chuẩn.Một ánh xạ đa trị từ X vào Y là một ánh xạ liên kết mỗi x ∈ X mộttập F (x) ⊂ Y Một ánh xạ đa trị được đặc trưng một cách đầy đủ bằng

gọi là miền xác định ( domain) của F

Ảnh (image) của F được định nghĩa bởi imF = {y|∃x ∈ Y : y ∈ F (x)}Ánh xạ ngược F−1 : Y → X được định nghĩa bởi

F−1(y) = {x ∈ X|(x, y) ∈ grF }Bởi F |A ta có hạn chế của F tới một tập A ⊂ X

Ví dụ 1.3.1 ([5]) Cho f : X → Y là một ánh xạ đơn trị Thì ánh xạngược của nó f−1 : Y → X thường là ánh xạ đa trị

Cho V : X → R ∪ {+∞} là một hàm Định nghĩa ánh xạ đa trị

Rõ ràng, miền xác định của V+ trùng với tập các điểm x sao cho V (x) <

∞ và grV+ là epigraph của V

Ánh xạ sau được mở rộng sử dụng trong lý thuyết điều khiển Cho

f : X × U → Y là một ánh xạ đơn trị, với U là một tập các tham số.Thì chúng ta có thể định nghĩa ánh xạ đa trị

Một ánh xạ đa trị F được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ X nếu vớibất kỳ y0 ∈ F (x0) và với mọi lân cận Ω(y0) của y0 tồn tại một lân cậnΩ(x0) của x0sao cho

F (x) ∩ Ω(y0) 6= ∅với mọi x ∈ Ω(x0) Một ánh xạ đa trị được gọi là nửa liên tục dưới nếu

nó như vậy tại mọi điểm x0 ∈ X

Một ánh xạ đa trị được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu nó vừa liên tụctrên vừa liên tục dưới tại tại x0 Nó được gọi là liên tục nếu nó liên tụctại mọi điểm x ∈ X

Cho F : X → Y là ánh xạ đa trị Các chuẩn trong X và Y được kíhiệu bởi | |X và | |Y

Định nghĩa 1.3.5 (Lipschitzian) ([5]) Ta nói rằng F là Lipschitzian

nếu tồn tại l ≥ 0sao cho

F (x1) ⊂ F (x2) + l|x1 − x2 |X BY,với mọi x1 ∈ X và x1 ∈ X, với BY = {y ∈ Y ||y |≤ 1} Một ánh xạ đa trịđược gọi là Lipschitzian địa phương nếu với bất kỳ x ∈ X tồn tại ε > 0

và l > 0 sao cho

F (x1) ⊂ F (x2) + l|x1 − x2 |X BY,Với mọi x1, x2 ∈ x + εBX

Mệnh đề 1.3.1 ([4],[5]) Cho F : X → Y là một ánh xạ nửa liên tụctrên với các giá trị đóng Thì grF là đóng

Mệnh đề 1.3.2 ([4],[5]) Giả sử rằng grF là đóng và tập

M = cl{F (x)||x − x0 |< δ},với δ > 0 là compact Thì F là nửa liên tục trên tại x0

Mệnh đề 1.3.3 ([4],[5]) Cho A, B ⊂ Rn và cho α > 0 Giả sử rằng

B ⊂ A + αBn Thì

d(x, A) ≤ d(x, B) + αĐịnh lí 1.3.1 (Lusin) ([5], định lý 2.1, trang 36) Cho A ⊂ Rn là mộttập compact Một hàm f : A → Rn là đo được nếu và chỉ nếu ∀εε > 0tồn tại một tập con compact Aε ⊂ A sao cho meas (Aε\A2ε) ≤ ε và hạnchế của f tới Aε là liên tục

Nếu ánh xạ đa trị F : Rn → Rm có giá trị lồi đóng, thì phép chiếuπ(y, F (x)) bao gồm một điểm duy nhất Định lý sau thiết lập tính chấtcủa sự chọn xạ ảnh

Định lí 1.3.2 ([5], định lý 2.2, trang 36) Cho F : Rn → Rm là một ánh

xạ đa trị liên tục với các giá trị lồi đóng Nếu hàm g : Rn → Rm là liêntục (đo được), thì hàm f (x) = π(g(x), F (x)) là liên tục ( đo được).Tiếp theo là định lý về sự tồn tại của một sự chọn đo được Phát biểunày là một dạng của định lý hàm ẩn

Định lí 1.3.3 (Filippov) ([5], định lý 2.3, trang 36) Cho f : Rn× Rk →

Rm là một hàm liên tục, và cho v : Rn → Rm là một hàm đo được Giả sửrằng U ⊂ Rk là một tập compact sao cho v(x) ∈ f (x, U ) với hầu như mọi

x Thì tồn tại một hàm đo được u : Rn → U thỏa mãn v(x) = f (x, u(x))

v = f (ˆx, ˆu) Thì

T+((ˆx, ˆu), grf (., U )) = T−((ˆx, ˆu), grf (., U )) = {(x, v)|v ∈ Cx + K}

Định nghĩa 1.3.6 (đạo hàm của ánh xạ đa trị) ([4], [5]) Nếu f : R → R

là một hàm trơn, thì đồ thị của đạo hàm theo hướng của nó x → f,(ˆx)xtại một điểm ˆx là một tiếp tuyến của đồ thị của f tại điểm (ˆx, f (ˆx)).Sau sự giải thích này của đạo hàm có hướng, chúng ta có thể định nghĩađạo hàm của một ánh xạ tập giá trị cho trước như các ánh xạ tập giá trị

mà các đồ thị của chúng là các mặt nón xấp xỉ địa phương đồ thị củaánh xạ đó

Cho X , Y là các không gian định chuẩn Xét một ánh xạ đa trị F :

X → Y Cho (ˆx, ˆy) ∈ grF Ánh xạ đa trị D+F (ˆx, ˆy) : X → Y được địnhnghĩa bởi

grD+F (ˆx, ˆy) = T+((ˆx, ˆy), grF )được gọi là đạo hàm của F tại điểm (ˆx, ˆy) Nói cách khác

y ∈ D+F (ˆx, ˆy)(x) ⇔ (x, y) ∈ T+((ˆx, ˆy), grF )Ánh xạ đa trị D−F (ˆx, ˆy) : X → Y được định nghĩa bởi

grD−F (ˆx, ˆy) = T−((ˆx, ˆy), grF )được gọi là đạo hàm contingent của F tại điểm (ˆx, ˆy) Nói cách khác

y ∈ D−F (ˆx, ˆy)(x) nếu và chỉ nếu (x, y) ∈ T−((ˆx, ˆy), grF )

lim

i↓0 infλ−1d (ˆy + λy, F (ˆx + λx)) = 0



Cho U ⊂ Rk, và cho f : Rn × U → Rm là một hàm Giả sử rằng f làkhả vi trong x và tập f (x, U ) là lồi với mọi x ∈ Rn Cho (ˆx, ˆu) ∈ Rn× U

kí hiệu ˆv = f (ˆx, ˆu) và tập

ˆ

v = ∇xf (ˆx, ˆu), K = cone(f (ˆx, U ) − ˆv)Kết quả sau chứa một ước lượng của nón tiếp tuyến tới đồ thị của ánh

1.F (x) ⊂ Fk+1(x) ⊂ Fk(x) ⊂ ⊂ F0(x) ⊂ bBn, ∀x ∈ Rn

2 Cho trước  > 0 và x ∈ Rn, tồn tại một số nguyên dương k(, x)sao cho Fk(x) ⊂ F (x) + Bn bất cứ khi nào k > k(, x)

Định nghĩa 1.3.7 ([4], [5]) Một ánh xạ đa trị A : Rn → Rm được gọi

là một quá trình lồi nếu đồ thị của nó grA là một nón lồi

Một quá trình lồi A : Rn → Rm gọi là đóng nếu đồ thị của nó đóng.Gọi là chặt nếu domA = Rn

Nhận xét 1.3.1 ([5], trang 49) Một quá trình lồi có các tính chất sau:

1.A(λx) = λA(x), ∀λ > 0, x ∈ domA;

2.A(x1) + A(x2) ⊂ A(x1 + x2), ∀x1, x2 ∈ domAĐịnh nghĩa 1.3.8 ([4], [5]) Cho A : Rn → Rm là một quá trình lồi.Quá trình liên hợp A∗ : Rm → Rn được định nghĩa bởi

Định lý sau nói về tính Lipschitzian của quá trình lồi

Định lí 1.3.6 ([5], định lý 2.12, trang 54) Cho A : Rn → Rm là quátrình lồi, đóng chặt Thì

1 A là Lipschitzian với hằng số |A|,

Xét một quá trình lồi đóng chặt A : Rn → Rn nếu A(x) ⊂ X TheoĐịnh lý 1.3.6 hạn chế của A∗ lên không gian con domA∗ ∩ −domA∗ làmột toán tử tuyến tính Ký hiệu J ⊂ domA∗ ∩ −domA∗ là không giancon bất biến cực đại của A∗ Đặt I = J⊥

Bổ đề 1.3.3 ([5], bổ đề 2.12, trang 56) Không gian con I là không giancon bất biến cực tiểu của A

Định lí 1.3.7 ([5], định lý 2.14, trang 57) Giả thiết rằng J = {0} và

λ > λ0(A∗) Thì

L(λ) = RnXét không gian thương Rn/I Một phần tử ˆx của Rn/I là một lớp cácvéc tơ x ∈ Rn sao cho với bất kỳ x1 ∈ ˆx và x2 ∈ ˆx ta có x1− x2 ∈ I Đặcbiệt ˆ0 = I Kí hiệu ánh xạ đa trị A : Rn/I → Rn/I như sau:

A(ˆx) = {ˆv|∃x ∈ ˆx : A(x) ∩ ˆv 6= ∅}

Ta đồng nhất Rn/I và J theo quy tắc sau: ˆx ' x ∈ J

Bổ đề 1.3.4 ([5], bổ đề 2.13, trang 58) Ánh xạ A : Rn/I → Rn/I làmột toán tử tuyến tính Toán tử tuyến tính liên hợp A∗ trùng với hạnchế của A∗ lên không gian con J

Bây giờ ta xét không gian thương Rn/J Các phần tử của nó ta sẽ kíhiệu là ˆx∗ Ta đồng nhất Rn/J và I và xét ánh xạ đa trị A0 : Rn/J →

Rn/J được cho bởi

A0(ˆx∗) = {ˆx∗|∃v∗ ∈ ˆv∗ : A∗(v∗) ∩ ˆx∗ 6= ∅}

Bổ đề 1.3.5 ([5], bổ đề 2.14, trang 58) Ánh xạ đa trị A0 là một quátrình lồi trùng với liên hợp của hạn chế của A lên I Nón domA0 khôngchứa không gian con thực sự bất biến bởi A0 Bất kỳ giá trị riêng nàocủa quá trình A0 cũng là một giá trị riêng của A∗.

1.4 Một số kiến thức về đạo hàm suy rộng

Định nghĩa 1.4.1 ([5], trang 24) Cho f : Rn → R là một hàm Đạohàm theo hướng của f tại x theo một véc tơ v được định nghĩa bởi giớihạn

∂f (x) = {x∗|(x∗, −1) ∈ N ((x, f (x)), epif )}

Nếu f là một hàm lồi thì dưới vi phân Mordukhovich trùng với dưới viphân thường của giải tích lồi Dưới vi phân kỳ dị của f tại x được địnhnghĩa bởi

∂sf (x) = {x∗|(x∗, 0) ∈ N ((x, f (x)), epif )}

Định lí 1.4.1 ([5], định lý 3.11, trang 76) Cho f : Rn → R ∪ {±∞} lànửa liên tục dưới, và cho |f (x)| < ∞ Thì có đẳng thức sau

∂f (x) = lim sup

x0→x

f (x0)→f (x)

∂f (x0)

là một hàm và x ∈ domf Thì

epiD−f (x) = T−((x, f (x)), epif )Nếu f là Lipschitzian thì

Định lí 1.4.2 ([5], định lý 5.5, trang 126) Cho C ⊂ Rn là một tậpđóng, và cho F : C → Rn là một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên vớicác giá trị lồi đóng chứa trong một quả cầu bán kính b > 0 Giả sử rằng

V : C → R và W : C → R là các hàm liên tục Thì các điều kiện sau làtương đương

1 Với bất kỳ điểm x0 ∈ C tồn tại một nghiệm x(.) ∈ S[0,∞[(F, x0) thỏamãn

Chương 2 Bao hàm thức vi phân

Trong chương này ta giới thiệu khái niệm nghiệm của bao hàm thức

vi phân ˙x (t) ∈ F (x (t)) và chứng minh của định lý tồn tại

Bên cạnh đó, ta cũng nghiên cứu một số bao hàm thức vi phân đặcbiệt như: bao hàm thức vi phân Lipschitzian và bao hàm thức vi phânnửa liên tục trên Và nghiên cứu về tính ổn định của bao hàm thức viphân Các kiến thức trong chương này được lấy từ tài liệu [2],[5]

2.1 Khái niệm

Định nghĩa 2.1.1 Cho F : Rn → Rn là ánh xạ đa trị Bao hàm thức

có dạng

˙x(t) ∈ F (x(t)), t ∈ [0, T ] (2.1)được gọi là bao hàm thức vi phân

Định nghĩa 2.1.2 Tập các hàm x(.) ∈ AC ([τ, T ] , Rn) với x(τ ) = x0thỏa mãn (2.1) hầu khắp nơi được gọi là tập nghiệm của bao hàm thức

vi phân (2.1) với điều kiện ban đầu x0 Ký hiệu tập nghiệm của (2.1)

là S[τ,T ](F, x0) Nhiều khi ta sẽ bỏ qua ký hiệu [τ, T ] nếu nó không gâynhầm lẫn

Nếu C ⊂ Rn thì ta đặt S (F, C) = S

x∈C

S (F, x)Nếu C = Rn thì ta viết S(F ) = S(F, Rn)

Nếu nghiên cứu với phương trình vi phân thường ˙x (t) = F (x (t)) với

vế phải liên tục thì hiển nhiên là phải xác định các nghiệm là các hàmkhả vi liên tục thỏa mãn phương trình trên tại mọi điểm của khoảngthời gian nào đó Trong một số bài toán ứng dụng ta phải xét bao hàmthức vi phân với vế phải nửa liên tục trên, nhưng lớp hàm khả vi liêntục không đủ rộng để bảo đảm sự tồn tại của nghiệm

Ví dụ 2.1.1 Bài toán Cauchy

sự tồn tại của bài toán như bài toán trên, chúng ta định nghĩa nghiệmtrong lớp các hàm liên tục tuyệt đối, cụ thể là, trên lớp các hàm có đạohàm khả tích Lebesgue thỏa mãn

2.2 Sự tồn tại nghiệm

Bổ đề 2.2.1 Giả sử rằng dãy {xi(.)}∞i=1 và {yi(.)}∞i=1 hội tụ trong

L1([0, T ] , Rn) tới x0(.) và y0(.) tương ứng Bên cạnh đó giả sử tồn tại mộthàm b(.) ∈ L1([0, T ] , R) sao cho |wi(t) |≤ b(t), t ∈ [0, T ] , i = 1, 2 với

wi(t) = w(xi(t), yi(t)) − yi(t) và w(x, y) = π(y, f (x)) thì dãy {wi(.)}∞i=1hội tụ tới w0(.) = w(x0(.), y0(.)) − y0(.) trong chuẩn của L1([0, T ] , Rn)Chứng minh Giả sử rằng phát biểu của bổ đề đều không đúng Khi

đó tồn tại dãy con {xik (.)}∞i=1 và {xik(.)}∞i=1 và một số ε > 0 sao cho

|wik (.) − w0(.)|L

1 ≥ ε Không mất tính tổng quát chúng ta giả sử rằngdãy {xik (.)}∞i=1 và {xik (.)}∞i=1 hội tụ hầu khắp nơi (chúng ta chọn một dãycon hội tụ nếu cần) Ánh xạ (x, y) → w(x, y) là liên tục do Định lý 1.2.3

Do đó wik (.) hội tụ tới w0(.) hầu khắp nơi Vì wik (.) ≤ b (t) , t ∈ [0, T ],theo định lý Lebesgue ta có |wik (.) − w0(.)|L

1 → 0 khi k → ∞ Từ đó

ta có mâu thuẫn

Định lí 2.2.1 Cho δ ≥ 0, ρ(.) ∈ L1([0, T ] , R) và M ⊂ AC ([0, T ] , Rn)cho trước Cho r0 : Rn → Rn là một ánh xạ liên tục sao cho |r0(x) − x| ≤ δvới mọi x ∈ Rn Giả sử rằng x(.) ∈ M thỏa mãn

d ( ˙x (t) , F (x (t))) ≤ ρ (t) , t ∈ [0, T ]thì tồn tại một ánh xạ r : M → S(F ) thỏa mãn các điều kiện sau:

1 r là liên tục trong chuẩn của không gian AC ([0, T ] , Rn)

2 r (x (.)) (0) = r0(x (0)) , ∀x (.) ∈ M

3 Nếu x (.) ∈ M ∩ s (F ) và r0(x (0)) = x (0) thì r (x (.)) = x (.)

4 Bất đẳng thức

|x (t) − r (x (.)) (t)| ≤ ξ (t) , t ∈ [0, T ] (2.2)

| ˙x(t) − d

dtr(x(.))(t) |≤ lξ(t) + ρ(t), t ∈ [0, T ] (2.3)với ξ (t) = δel|t| +

= δ(l |t|)

k

k! +

Z t 0

(l |t| − |s|)kk! ρ (s) ds

Và do đó (2.8) được chứng minh Từ (2.6) và (2.8) với k ≥ 1 ta có

Z t 0

(l (|t| − |s|))k−1(k − 1)! ρ (s) ds

... nghiên cứu số bao hàm thức vi phân đặcbiệt như: bao hàm thức vi phân Lipschitzian bao hàm thức vi phânnửa liên tục Và nghiên cứu tính ổn định bao hàm thức viphân Các kiến thức chương lấy từ tài... data-page="31">

Chương Bao hàm thức vi phân< /h2>

Trong chương ta giới thiệu khái niệm nghiệm bao hàm thức

vi phân ˙x (t) ∈ F (x (t)) chứng minh định lý tồn

Bên cạnh đó, ta nghiên cứu số bao hàm. .. xác định nghiệm hàmkhả vi liên tục thỏa mãn phương trình điểm khoảngthời gian Trong số toán ứng dụng ta phải xét bao hàmthức vi phân với vế phải nửa liên tục trên, lớp hàm khả vi liêntục không