Sự tồn tại và dáng tiệm cận nghiệm đối với bao hàm thức vi phân điều kiện không cục bộ (LV01758)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2BÙI THẾ KỶ SỰ TỒN TẠI VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM ĐỐI VỚI BAO HÀM THỨC VI PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN KHÔNG CỤC BỘ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THẾ KỶ

SỰ TỒN TẠI VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM ĐỐI VỚI BAO HÀM THỨC VI PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN

KHÔNG CỤC BỘ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BÙI THẾ KỶ

SỰ TỒN TẠI VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM ĐỐI VỚI BAO HÀM THỨC VI PHÂN VỚI ĐIỀU KIỆN

KHÔNG CỤC BỘ

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN THÀNH ANH

HÀ NỘI, 2015

Lời Cảm Ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin gửi lờicảm ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thành Anh người thầy đã luôn tận tìnhhướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn.Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy, cô phòng sau đạihọc và thầy cô giảng dậy lớp K17 toán giải tích đợt 2 trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình họctập tại trường

Qua đây, tác giả xin chân thành cảm ơn tới bạn bè và người thân tronggia đình đã luôn động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả về mọi mặt trongsuốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Mặc dù tác giả đã rất cố gắng trong quá trình thực hiện luận văn, tuynhiên khó tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong được sự đóng góp

ý kiến của các quý thầy cô, để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, ngày 1 tháng 12 năm 2015

Học viên

Bùi Thế Kỷ

Lời Cam Đoan

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này

là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin camđoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm

ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Tác giả

Bùi Thế Kỷ

Mục lục

Lời cảm ơn 1

Lời cam đoan 2

Mục lục 3

Mở đầu 4 1 Một số kiến thức chuẩn bị 7 1.1 Một số tính chất hình học của không gian Banach 7

1.2 Độ đo không-compact 8

1.3 Lý thuyết nửa nhóm 10

1.4 Lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị nén 11

1.5 Toán tử m-tiêu tán 13

1.6 Một số kết quả đối với bài toán với điều kiện ban đầu cục bộ 14 2 Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm đối với bao hàm thức vi phân với điều kiện không cục bộ 16 2.1 Phát biểu bài toán 16

2.2 Sự tồn tại nghiệm trong trường hợp S(t) đồng liên tục 17

2.3 Sự tồn tại nghiệm trong trường hợp S(t) không compact, không đồng liên tục 22

2.4 Dáng điệu tiệm cận nghiệm 25

2.5 Ví dụ áp dụng 28

Tài liệu tham khảo 32

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết bao hàm thức vi phân, hay còn gọi là phương trình vi phân

đa trị là lĩnh vực nghiên cứu được phát triển rất mạnh trong lý thuyếttổng quát về phương trình vi phân hiện nay Như chúng ta đã biết, mọilĩnh vực mới trong toán học đều xuất hiện và phát triển, hoặc là do mụcđích phát triển tự nhiên của toán học hướng đến các khái niệm và kết quảngày càng tổng quát hơn, hoặc là do nhu cầu ứng dụng đòi hỏi Lý thuyếtbao hàm thức vi phân không phải là trường hợp ngoại lệ của qui luật này.Xuất hiện ban đầu như là sự mở rộng của khái niệm phương trình viphân thường, lý thuyết bao hàm thức vi phân ngày càng thâm nhập mạnh

mẽ vào các lĩnh vực khác nhau của toán học và các ngành khoa học khácnhiều ứng dụng to lớn của nó

Trong lịch sử phát triển của lý thuyết bao hàm thức vi phân trướchết phải kể đến các công trình nghiên cứu của Marchaud và Zaremba từnhững năm 30 đã đề cập đến bài toán tồn tại nghiệm và các tính chấttập nghiệm của bao hàm thức vi phân trong không gian hữu hạn chiều.Các công trình chủ yếu đặt nền móng cho sự phát triển mạnh mẽ của lýthuyết bao hàm thức vi phân như một lĩnh vực nghiên cứu độc lập đượccông bố tập trung vào những năm 60 bởi các tác giả như Filippov, Plis,Wazewsk Lý thuyết này tiếp tục được đẩy mạnh nghiên cứu vào nhữngnăm 70, 80 trong hàng loạt các công trình nghiên cứu của các tác giả nhưCastaing, Valadier, Aubin, Tolstonogov

Các vấn đề được nghiên cứu trong bao hàm thức vi phân là vấn đề tồntại nghiệm, các tính chất định tính và cấu trúc của tập nghiệm Các tínhchất phụ thuộc liên tục vào tham số và điều kiện ban đầu, các nghiệm tuầnhoàn, lý thuyết rẽ nhánh Trong đó sự tồn tại nghiệm là một trong nhữngvấn đề chính được nhiều nhà khoa học quan tâm Với mong muốn tìm hiểu

sâu về vấn đề này, cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy TS.Nguyễn ThànhAnh tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cậnnghiệm đối với bao hàm thức vi phân với điều kiện không cụcbộ” Luận văn sẽ được hoàn thành dựa chủ yếu vào các kết quả đượccông bố trong bài báo “Existence and asymptotic properties of solutions

of nonlinear multivalued differential inclusions with nonlocal conditions”,

J Math Anal Appl 390 (2012) 523–534, của các tác giả Lanping Zhu,Qianglian Huang, Gang Li

2 Mục đích nghiên cứu

Chứng minh được sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của baohàm thức vi phân

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Tìm hiểu về không gian Banach

+ Tìm hiểu về lý thuyết nửa nhóm, toán tử m-tiêu tán

+ Tìm hiểu lý thuyết về độ đo không compact

+ Tìm hiểu lý thuyết điểm bất động

+ Chứng minh sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của bài toántổng quát

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: bao hàm thức vi phân với điều kiện không cụcbộ

+ Phạm vi nghiên cứu: sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm củabài toán

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ giải tích bao gồm:+ Lý thuyết nửa nhóm

+ Lý thuyết điểm bất động

6 Dự kiến đóng góp

Chứng minh chi tiết và trình bày hệ thống những kết quả trong bài báotrích dẫn trên

X∗ là lồi đều khi và chỉ khi X là trơn đều.

Một số tính chất hình học của không gian Banach X

i) Nếu X là trơn đều, thì J là đơn trị và liên tục đều trên các

tập con bị chặn của X

ii) Nếu X là phản xạ và lồi ngặt, mỗi tập con khác rỗng lồi

đóng K của X là một tập Chebyshev Trong trường hợp

này, chúng ta gọi PK là phép chiếu điểm gần nhất ánh xạ từ

kxn− xk → 0 khi n → +∞ Khi đó X có chuẩn Kadec-Klee

Kí hiệu C([0, T ]; X) là không gian của hàm liên tục từ [0, T ] tới X vớichuẩn

i) đơn điệu nếu Ω0, Ω1 ∈ Pb(X), Ω0 ⊂ Ω1 suy ra

β(Ω0) ≤ β(Ω1);

ii) không suy biến nếu β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với bất kì

a ∈ X, Ω ∈ Pb(X);

iii) bất biến với hợp các tập compact nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω)

với mọi tập compact tương đối K ⊂ X vàΩ ∈ Pb(X);

iv)nửa cộng tính đại số nếu β(Ω0 + Ω1) ≤ β(Ω0 + β)(Ω1) với

mọi Ω0, Ω1 ∈ Pb(X);

v)chính quy nếu β(Ω) = 0 khi và chỉ khi Ω là tập compact

tương đối

Định nghĩa độ đo Hausdorff χ : Pb(X) → R+ bằng

χ = inf{r > 0 : B có thể phủ bởi hữu hạn hình cầu bán kính r}Mệnh đề 1.1 Cho χ là độ đo không-compact Hausdorff trong X và Ω ⊂

X là một tập bị chặn Khi đó, với ∀ > 0, ∃ {xn} ⊂ Ω sao cho

wn(s)ds

o

≤ 2

Z t 0

Sử dụng Mệnh đề 1.1 và 1.2, ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 1.3 ([15]) Cho D ⊂ L1(0, T ; X) sao cho:

1 kξ(t)k ≤ v(t), với mọi ξ ∈ D và với hầu khắp t ∈ [0, T ],

2 χ(D(t)) ≤ q(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ], trong đó v, q ∈ L1(0, T ) Khiđó,

χ

Z t 0

D(s)ds ≤ 4

Z t 0

q(s)ds,trong đó R0tD(s)ds = {R0tξ(s)ds : ξ ∈ D}

Chứng minh Cho  > 0, từ Mệnh đề 1.1 suy ra ∃ {ξn} ⊂ D sao cho:

χ

Z t 0

D(s)ds ≤ 2χ

Z t 0

ξn(s)ds



≤ 2

Z t 0

χξn(s) ds +  ≤ 4

Z t 0

q(s)ds + 

Vì  là bất kì nên suy ra điều phải chứng minh

Bổ đề 1.1 ([7]) Cho Y là một không gian Banach tách được và {Ym}m≥1

là một dãy tăng của không gian con hữu hạn chiều sao cho Y = ∪∞m=1Ym.Khi đó

χ(A) = lim

m→∞lim sup

k→∞

d(xk, Ym),đối với bất kỳ A = {xk : k > 1} ⊂ Y

Bổ đề 1.2 ([7], Bổ đề 2) ChoX là không gian Banach và W ⊂ L1([0, T ]; X)

là khả tích đều Giả sử rằng tồn tại tập compact tương đối yếu C(t) ⊂ Xsao cho f (t) ∈ C(t) hầu khắp nơi trên [0, T ], với mọi f (t) ∈ W Khi đó

W là compact tương đối yếu trong L1([0, T ]), X)

1.3 Lý thuyết nửa nhóm

Định nghĩa 1.2 Cho X là không gian Banach Xét ánh xạ

S : R+ → L(X)

t 7→ S(t)thỏa mãn:

1 S(0) = I,

2 S(t + s) = S(t).S(s), ∀t, s ≥ 0,

3 t 7→ S(t)x liên tục với mỗi x ∈ X

Khi đó, S được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh hay C0-nửa nhóm trên X.Nếu thay (3) bởi (3’): t 7→ S(t) liên tục thì ta nói S là nửa nhóm liên tụcđều

Định nghĩa 1.3 (Phần tử sinh của C0-nửa nhóm)

Giả sử S là C0-nửa nhóm trên X

Khi đó, (A, D(A)) được gọi là phần tử sinh của nửa nhóm S

Định nghĩa 1.4 Giả sử S(t) là một C0-nửa nhóm trên X Khi đó, Sđược gọi là nửa nhóm compact nếu S(t) là toán tử compact với mọi t > 0.Định nghĩa 1.5 C0-nửa nhóm S(t) trên không gian Banach X gọi là conếu

kS(t)k ≤ 1, ∀t ≥ 0

1.4 Lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị nén

Cho A, B ∈ Pbf(X) và cho x ∈ A Khi đó

d(x, B) = inf{d(x, y) : y ∈ B}

và

ρ(A, B) = sup{d(x, B) : x ∈ A}

Hàm H : Pbf(X) × Pbf(X) → R+ định nghĩa bằng

H(A, B) = max{ρ(A, B), ρ(B, A)}

là một metric và được gọi là metric Hausdorff trên X

Định nghĩa 1.6 Cho X, Y là hai tập con bất kì và F : X → 2Y là ánh

xạ từ X vào tập hợp toàn bộ các tập con của Y Khi đó, ta nói F là ánh

xạ đa trị từ X vào Y, tức là với mỗi x ∈ X, F (x) là tập con của Y.Định nghĩa 1.7 ([6]) Một ánh xạ đa trị F : [0, T ] → Pf(X) được gọi là

đo được, nếu d(x, F (.)) là đo được với mọi x ∈ X

Định nghĩa 1.8 Tập con B ⊂ X, B 6= ∅, gọi là khả co nếu tồn tại x0 ∈ B

và hàm liên tục

h : [0, 1] × B → Bsao cho

h(0, x) = x0, h(1, x) = x trên B

Cho Y là một không gian metric

Định nghĩa 1.9 Ánh xạ đa trị F : Y → P(X) được gọi là:

i) nửa liên tục trên nếu F−1(V ) = {y ∈ Y : F (y) ∪ V 6= ∅} là

tập con đóng của Y với mọi tập đóng V ⊂ X;

ii)nửa liên tục trên yếu nếu F−1(V ) là tập con đóng của Y vớimọi tập đóng yếu V ⊂ X;

iii)đóng nếu đồ thị của nó ΓF = {(y, z) : z ∈ F (y)} là tập con

đóng của Y × X;

iv)compact nếu F là compact tương đối trong X;

v) tựa compact nếu hạn chế của F trên A là compact với

A ⊂ Y là tập compact bất kì

Định nghĩa 1.10 ([6]) Một ánh xạ đa trị F : X → Pf(X) gọi là

(1) γ − Lipschitz khi và chỉ khi tồn tại γ > 0 sao cho

H(F (x), F (y)) ≤ γd(x, y),với mỗix, y ∈ X,(2) co nếu và chỉ nếu nó là γ-Lipschitz với γ < 1,

(3) có điểm bất động nếu có x ∈ X sao cho x ∈ F (x) Tập hợp các điểmbất động của ánh xạ đa trị F được kí hiệu bởi F ixF

Bổ đề 1.3 ([7], Bổ đề 1) Cho X là một không gian Banach, ∅ 6= D ⊂ Xcompact lồi và F : D → P (D) nửa liên tục trên với giá trị co đóng Khi

đó F là điểm cố định

Bổ đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra một ánh xạ đa trị lànửa liên tục trên (nửa liên tục dưới)

Bổ đề 1.4 ([14], Định lí 1.1.12) Cho G : Y → P(X) là một ánh xạ đatrị đóng tựa compact với giá trị compact Khi đó, G là nửa liên tục trên

Bổ đề 1.5 ([3], Mệnh đề 2) Cho X là một không gian Banach và Ω làtập con khác rỗng của một không gian Banach khác Giả sử

F : Ω → P(X)

là ánh xạ đa trị có giá trị compact yếu và lồi Khi đó, F là nửa liên tụctrên yếu nếu và chỉ nếu {xn} ⊂ Ω với xn → x0 ∈ Ω và yn ∈ F (xn) suy ra

yn * y0 ∈ F (x0)(theo một dãy con nào đó)

Bây giờ chúng ta đưa ra khái niệm ánh xạ đa trị nén

Định nghĩa 1.11 Ánh xạ đa trị F : Z ⊆ X → P(X) được gọi là nénvới độ đo không-compact β (β-nén) nếu với tập bị chặn bất kì Ω ⊂ Z,

β(Ω) ≤ β(F (Ω))thì Ω là tập compact tương đối

Cho β là độ đo không-compact đơn điệu, không suy biến trong X Lýthuyết về bậc tô-pô đối với định lý ánh xạ nén đưa đến nguyên lý điểmbất động sau đây (xem[1, 11])

Định lý 1.1 ([14], Hệ quả 3.3.1) Cho M là tập con đóng lồi, bị chặn của

X và cho F : M → Kv(M) là nửa liên tục trên và β-nén Khi đó, tậpđiểm bất động F ix(F := {x ∈ F (x)} khác rỗng và compact

Từ đó ta có kết quả sau sẽ được sử dụng cho định lí tồn tại nghiệm

Bổ đề 1.6 ([19]) Cho (X, d) là không gian metric đầy Nếu

Theo [9], nếu A là m−tiêu tán, thì A sinh ra nửa nhóm co

{S(t) : t ≥ 0} trên D(A)

Nửa nhóm {S(t) : t ≥ 0} được gọi là đồng liên tục nếu

{S(.)x : x ∈ A}

là đồng liên tục với bất kì t > 0 với mọi tập con bị chặn A ⊂ X

1.6 Một số kết quả đối với bài toán với điều kiện

ku(t) − xk2 ≤ ku(s) − xk2 +

Z t s

hu(τ ) − x, f (τ ) + yisdτđúng với mọi [x, y] ∈ A (nghĩa là : y ∈ Ax) và 0 ≤ s ≤ t ≤ T

Ở đây hàm

h, is : X × X → Rđược định nghĩa bởi

Bổ đề 1.8 ([17]) Cho X là không gian Banach và cho

kf1(τ ) − f2(τ )kdτ (1.2)

ku(t)−v(t)k2 ≤ ku(s)−v(s)k2+2

Z t s

hu(τ )−v(τ ), f1(τ )−f2(τ )isdτ (1.3)với mọi 0 ≤ s ≤ t ≤ T

Bổ đề 1.9 ([22]) Nếu X là một hàm trơn đều, Y ⊂ X là một không giancon hữu hạn chiều, A thỏa mãn (HA) và B ⊂ L1([0, T ]; Y )là khả tích đều,thì Kx0 ⊂ C([0, T ]; X) là tiền compact

Định nghĩa 1.14 Tập con G ⊂ L1([0, T ); X) được gọi là khả tích đềunếu REkf kdt hội tụ về 0 đều theo f ∈ G khi µ(E) → 0, trong đó µ(E) là

độ đo Lebesgue trên [0, T ]

Bổ đề 1.10 ([23], Định lí 2.1) Nếu A sinh ra nửa nhóm đồng liên tụcS(t), B ∈ L1([0, T ]); X) là khả tích đều và C ⊂ D(A) là compact, thì tập

Π = {u : u là nghiệm tích phân của (1.1) với f ∈ B và u0 ∈ C} là đồngliên tục và bị chặn trong C([0, T ]; X)

Bổ đề 1.11 ([9], Bổ đề 2.3.2) Cho X là một không gia Banach mà tô

pô đối ngẫu là đều lồi, và cho {un}, {vk} là hai dãy trong C([a, b]; X), và{fn}, {fk0} là hai dãy trong L1([a, b]) Nếu lim

hu(s)−v(s), f (s)−f0(s)isds

Chương 2

Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận

nghiệm đối với bao hàm thức vi

phân với điều kiện không cục bộ

2.1 Phát biểu bài toán

Giả sử X là một không gian Banach với chuẩn k.k

Chúng tôi nghiên cứu bài toán sau đây:

ku(t) − xk2 ≤ ku(s) − xk2 +

Z t s

hu(τ ) − x, f (τ ) + yisdτ

đúng với mọi [x, y] ∈ A (nghĩa là : y ∈ Ax) và 0 ≤ s ≤ t ≤ T

Ở đây hàm

h, is : X × X → R

được định nghĩa bởi

2.2 Sự tồn tại nghiệm trong trường hợp S(t) đồng

liên tục

Trong mục này, giả sử X∗ là lồi đều Chúng tôi đưa ra một số giả thiết(HA)ChoAlàm-tiêu tán sao choAsinh ra nửa nhóm liên tục{S (t) : t > 0}trên D (A)

(Hg) g :C([0, T ]; X) → X thỏa mãn:

(1) g là liên tục và compact;

(2) tồn tại hằng số a, b sao cho với u ∈ C([0, T ]; X),

kg(u)k ≤ akuk∞ + b(HF) F : [0, T ] × X → Pf c(X) thỏa mãn:

(1) với x ∈ X, hàm F (., x) là hàm đo được;

(2) t ∈ [0, T ], hàm F (t, ) là hàm nửa liên tục trên yếu;

(3) tồn tại α, η ∈ L1 ([0, T ]; R+) sao cho

|F (t, x)| := sup{kyk : y ∈ F (t, x)} 6 α(t)kxk + η(t)

(4) tồn tại µ ∈ L1([0, T ]; R+) sao cho β(F (t, B))6 µ(t)β(B)

Chú ý 2.1 Dưới điều kiện (HF)(1) − (3), với mọi u ∈ C([0, T ]; X),

Sel(u) := f ∈ L1([0, T ]; X) : f (t) ∈ F (t, u(t))trên [0, T ]

là tập lồi đóng và khác rỗng của L1([0, T ]; X)

Bổ đề 2.1 Nếu X∗ là một hàm lồi đều và A thỏa mãn (HA), thì đối vớibất kỳ dãy khả tích đều {wk}∞k=1 ⊂ L1([0, T ); X), nghĩa là

lim

λ→∞sup

Z

kwk(t)kdt = 0,{kwkk ≥ λ}

và tập compact tương đối {xk}∞k=1 ⊂ D(A), chúng ta có

χ({(Kxkwk) : k ≥ 1}) ≤

Z t 0

χ({wk(s) : k ≥ 1})ds, t ∈ [0, T ]

Chứng minh Vì wk ∈ L1([0, T ]; X) là dãy đo được mạnh với k 6= 1, chúng

ta có thể giả sử x0 = span(∪∞k=1wk([0, T )) là tách được

Do X là phản xạ, theo Định lí V.2.3 trong [11], có một không gian conđóng tách được Y của X chứa X0, và một phép chiếu tuyến tính liên tục

P từ X vào Y với kPk = 1

Với tập bị chặn B ⊂ Y, chúng ta có χ(B) = χY(B) Do Y là tách được,tồn tại một dãy tăng {Ym}∞m=1 các không gian con hữu hạn chiều sao cho

d(wk(s), Ym)ds

d(wk(s)), Ym)ds, k > n

.Cho n, m → ∞, áp dụng Bổ đề 1.1 ta có

Bổ đề đã được chứng minh

Định lý 2.1 Giả sử các giả thiết (HA), (Hg)(1) − (2) và (HF)(1) − (4)được thỏa mãn Khi đó bài toán (2.1) có ít nhất một nghiệm tích phân vớiđiều kiện

a + kαk1 < 1trong đó kαk1 = R0T α(t)dt

Chứng minh Cho G : C([0, T ]; X) → C([0, T ]; X) xác định bởi

G(v) = {u ∈ C([0, T ]; X) :u là nghiệm tích phân của (1.4) với

f ∈ Sel(v) và u(0) = g(v)}

Nghĩa là, G(v) = {Kg(v)f : f ∈ Sel(v)}

Với mọi [x, y] thuộc A cố định và u ∈ G(v), ta có

ku(t)k ≤ akvk + b + 2kxk + T kyk + kηk1 +

Z T 0

α(s)kv(s)kdsvới t ∈ [0, T ] ,khi a + kαk1 < 1, đặt

r = 2kxk + b + T kyk + kηk1

1 − a − kαk1 ,