Tính chất tập nghiệm của một dạng bao hàm thức vi phân và ứng dụng

Đối với các bao hàm thức vi phân nửa liên tục trên trong không gian Banach với phần lồi phải compắc yếu chứa tham số, tập hợp các nghiệm được chỉ ra là một tập compắc yếu khác rỗng phụ t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA – ĐHQG – TP.HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Đình Huy

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:

Luận văn Thạc sĩ được bảo vệ tại Trường đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp.HCM ngày……….tháng ……….năm 2014 Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn Thạc sĩ gồm: 1

2

3

4

5

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Ngày, tháng, năm sinh: 20/05/1984 Nơi sinh: Kiên Giang

I TÊN ĐỀ TÀI:

TÍNH CHẤT TẬP NGHIỆM CỦA MỘT DẠNG BAO HÀM THỨC VI PHÂN

VÀ ỨNG DỤNG

II NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

 Chương 1 Các khái niệm cơ bản giải tích đa trị và bao hàm thức vi phân

 Chương 2 Tính chất tập nghiệm của một số dạng bao hàm thức vi phân

 Chương 3 Ứng dụng vào bài toán điều khiển tối ưu

III NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 10/02/2014

IV NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 20/06/2014

V CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS Nguyễn Đình Huy

Tp.HCM, ngày…… tháng………năm 2014

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM NGÀNH ĐÀO TẠO

TRƯỞNG KHOA

Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM Để hoàn thành được luận văn này tôi đã nhận được rất nhiều sự động viên, giúp đỡ của quý thầy cô và gia đình

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy PGS TS Nguyễn Đình

Huy đã hết lòng hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy cô giáo bộ môn Toán Ứng Dụng khoa Khoa học Ứng Dụng, những người đã đem lại cho tôi nhiều kiến thức mới và niềm đam mê nghiên cứu khoa học

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học Trường Đại học Bách Khoa Tp.HCM đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành chương trình đào tạo và an tâm học tập tại trường

Cuối cùng tôi xin gửi lời cám ơn đến gia đình, bạn bè, những người đã luôn bên tôi, động viên và khuyến khích tôi trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu của mình

Tôi xin chân thành cảm ơn

Tp.HCM, ngày 20 tháng 06 năm 2014

Học viên thực hiện

Nguyễn Văn Mừng

Tôi tên là Nguyễn Văn Mừng, MSHV: 12240576, học viên cao học chuyên ngành Toán ứng dụng Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM khóa 2012 – 2014 Tôi xin cam đoan rằng, ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các công trình khác như đã ghi rõ trong luận văn, các công việc trình bày trong luận văn này là do chính tôi thực hiện và chưa có phần nội dung nào của luận văn này được nộp để lấy bằng cấp ở trường này hoặc trường khác

HỌC VIÊN CAO HỌC

NGUYỄN VĂN MỪNG

Lý thuyết bao hàm thức vi phân, hay còn gọi là phương trình vi phân đa trị, là một trong những hướng nghiên cứu rất mạnh trong lý thuyết tổng quát về phương trình

vi phân hiện nay Sự xuất hiện ban đầu của lý thuyết bao hàm thức vi phân như sự mở rộng của khái niệm phương trình vi phân thường, lý thuyết này ngày càng thâm nhập mạnh mẽ vào các lĩnh vực khác nhau của toán học và các ngành khoa học khác nhờ các ứng dụng to lớn của nó

Đối với các bao hàm thức vi phân nửa liên tục trên trong không gian Banach với phần lồi phải compắc yếu chứa tham số, tập hợp các nghiệm được chỉ ra là một tập compắc yếu khác rỗng phụ thuộc vào tính nửa liên tục trên trong hàm ban đầu và các tham số Để ứng dụng kết quả này, bài toán kiểm soát tối ưu đối với một hệ thống các phương trình vi phân được nghiên cứu Sự tồn tại của nghiệm tối ưu và liên tục của hàm biên Bellman được chứng minh

Ngoài mở đầu và phần tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương: Các khái niệm cơ bản về giải tích đa trị và bao hàm thức vi phân, Tính chất tập nghiệp của một

số dạng bao hàm thức vi phân, Ứng dụng vào bài toán điều khiển tối ưu

The theory function differential equation, also known as multi-valued differential equations, is one of the very strong research in the general theory of differential equations now The initial appearance of the theory of differential inclusion

as an extension of the concept of ordinary differential equations, this theory increasingly strong penetration into the different areas of mathematics and other sciences thanks to its wide applications

For a class of upper semicontinuous functional differential inclusions in Banach spaces with weakly compact cover right – hand side containing parameters, the set of solutions is proved to be a nonempty weakly compact set which depends upper semicontinuously on the initial funtion and parameters As an application of the obtained results, an optimal control problem for a system of functional differential equations is studied The existence of optimal solutions and the continuity of the Bellman marginal function are provided

In addition to the Introduction and references, dissertation consists of three chapters: The basic concept of multi-valued calculus and differential inclusion, collective nature of the industry involves several differential equation, Application to optimal control problem

MỤC LỤC

Tờ nhiệm vụ luận văn Thạc sĩ

Lời cám ơn

Tóm tắt luận văn Thạc sĩ

Lời cam đoan của tác giả Luận văn

Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH ĐA TRỊ VÀ BAO

HÀM THỨC VI PHÂN

1.1 Ánh xạ đa trị 8

1.2 Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị 10

1.3 Định lý điểm bất động Ky Fan 15

2 Tích phân của ánh xạ đa trị 16

2.1 Ánh xạ đa trị đo được, lát cắt đo được 16

2.2 Tích phân của ánh xạ đa trị 26

3 Khoảng cách Hausdorff 28

3.1 Không gian của những tập con đóng của không gian metric 28

3.2 Trường hợp của một không gian đều, đồng đều Hausdorff 35

3.3 Không gian các tập lồi đóng của không gian lồi địa phương 38

3.4 Tính liên tục của hàm đa trị lồi 44

Chương 2 TÍNH CHẤT TẬP NGHIỆM CỦA MỘT SỐ DẠNG BAO HÀM THỨC VI PHÂN

1 Giới thiệu 50

2 Sự phụ thuộc của tập nghiệm vào điều kiện ban đầu 51

3 Sự phụ thuộc của tập nghiệm vào tham số 57

Chương 3 ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU 61

Các ký hiệu và chữ viết tắt



¡ tập hợp véctơ với tọa độ không âm trong ¡ n

d x  khoảng cách từ điểm x đến tập 

k

x  x dãy véctơ x k hội tụ đến véc tơ x

theo tôpô yếu (được ký hiệu bởi )

 )

MỞ ĐẦU

Lý thuyết bao hàm thức vi phân, hay còn gọi là phương trình vi phân đa trị,

là một trong những hướng nghiên cứu rất mạnh trong lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân hiện nay Sự xuất hiện ban đầu của lý thuyết bao hàm thức vi phân như sự mở rộng của khái niệm phương trình vi phân thường, lý thuyết này ngày càng thâm nhập mạnh mẽ vào các lĩnh vực khác nhau của toán học và các ngành khoa học khác nhờ các ứng dụng to lớn của nó

Ta thấy rằng các vấn đề nghiên cứu trong lý thuyết phương trình vi phân thường đều đặt ra các bài toán tương tự trong lý thuyết bao hàm thức vi phân Các vấn đề được nghiên cứu nhiều nhất là vấn đề tồn tại nghiệm, các tính chất định tính

và cấu trúc của tập nghiệm, các tính chất phụ thuộc vào tham số và điều kiện ban đầu, v.v…

Lịch sử phát triển của lý thuyết bao hàm thức vi phân, trước hết phải kể đến các công trình nghiên cứu của Marchaud và Zarmemba từ những năm ba mươi, đã

đề cập đến bài toán tồn tại nghiệm và các tính chất tập nghiệm của bao hàm thức vi phân trong không gian hữu hạn chiều với vế phải là hàm đa trị có giá trị lồi và đạo hàm được hiểu theo nghĩa đạo hàm tiếp biên hoặc tựa tiếp biên Các công trình chủ yếu đặt nền móng cho sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết bao hàm thức vi phân như lĩnh vực nghiên cứu độc lập được công bố tập trung vào những năm 60 bởi các

tác giả như Olech, Filippov, Plis, Wazewski và được ứng dụng vào việc nghiên cứu phương trình vi phân với vế phải là hàm gián đoạn Lý thuyết này tiếp tục được đẩy mạnh nghiên cứu trong những năm 70-80, trong hàng loạt các công trình của tác giả như Castaing, Valadier, Aubin, Callina, Tolstonogov, và các tác giả khác

Những người Việt Nam đầu tiên đi sâu nghiên cứu lý thuyết bao hàm thức vi phân là Giáo Sư Hoàng Tụy (với những công trình về điểm bất động của ánh xạ đa trị, tính ổn định của hệ bất đẳng thức suy rộng, ánh xạ đa trị lồi, ánh xạ tới hạn), Giáo sư Phạm Hữu Sách (với những công trình về ánh xạ đa trị lồi, đạo hàm của ánh xạ đa trị và ứng dụng trong lý thuyết tối ưu và điều khiển) và cố Giáo sư Phan Văn Chương (với những công trình về ánh xạ đa trị đo được, lý thuyết bao hàm thức vi phân), Phó Giáo Sư Tiến Sĩ Nguyễn Đình Huy (với những công trình về các loại tập nghiệm của bao hàm thức vi phân và ứng dụng) và nhiều tác giả khác Nguyên nhân thúc đẩy sự quan tâm nghiên cứu của tác giả đến các bài toán bao hàm thức vi phân chính là sự liên quan chặt chẽ giữa bao hàm thức vi phân và các hệ điều khiển mô tả bởi phương trình vi phân thường, mối liên hệ này được chỉ

ra bởi định lý hàm ẩn cổ điển của Filippov (1959)

Khi mới xuất hiện, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điều khiển

và giải tích đa trị, lý thuyết bao hàm thức vi phân đã trở thành một trong những hướng nghiên cứu chính của lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân Cho đến nay, lý thuyết này đã đạt được nhiều kết quả rất phong phú, đặc biệt là trong các bài toán tồn tại nghiệm và lý thuyết định tính bao hàm thức vi phân Đồng thời cũng đã đạt được nhiều kết quả đẹp đẽ về sự ứng dụng của lý thuyết này trong bài toán điều khiển tối ưu, trong lý thuyết trò chơi vi phân, bài toán kinh tế và trong nhiều ứng dụng khác

Các nghiên cứu về vấn đề tồn tại nghiệm và về lý thuyết định tính các bao hàm thức vi phân được phát triển theo hai hướng rõ rệt Đầu tiên, các nghiên cứu tập trung vào dạng bao hàm thức vi phân với vế phải lồi (tức là hàm đa trị ở vế phải

có giá trị lồi) với các công trình của Filippov (1959,1960), Plis (1965), Aubin và

Cellina (1983), P.V.Chương (1985), v.v… Một lĩnh vực nữa không kém phần quan trọng trong lý thuyết bao hàm thức vi phân là các nghiên cứu về các tính chất của tập nghiệm, có ý nghĩa quan trọng về phương diện ứng dụng Các kết quả của Aubin và Clarke (1981), Haddad (1981), Bressan (1982), Tolstonogov (1986),… là những đóng góp đáng kể nhất trong lĩnh vực này

Trong nhiều bài toán điều khiển hệ thống, người ta thường giả thuyết rằng,

hệ đang xét được điều khiển bởi nguyên lý nhân quả, tức là trạng thái tương lai của

hệ đang xét độc lập với trạng thái quá khứ của hệ và chỉ xác định bởi hiện tại, trong trường hợp đó, các mô hình toán học của hệ được mô tả bởi phương trình vi phân thường, hoặc bởi các bao hàm thức vi phân thường Trong thực tế, nhiều vấn đề nếu không xét đến mối quan liên hệ với quá khứ sẽ không có nghĩa, chính vì lẽ đó đã xuất hiện lý thuyết phương trình vi phân với biến số lệch, hay tổng quát hơn, lý thuyết phương trình vi phân phiếm hàm, và sau đó sự ra đời tự nhiên của lý thuyết bao hàm thức vi phân phiếm hàm Lý thuyết bao hàm thức vi phân phiếm hàm là rất tổng quát, nó bao hàm cả lớp bao hàm thức vi phân có chậm và bao hàm thức vi phân thường Tuy nhiên, cho đến những năm gần đây, các kết quả thu được trong lĩnh vực này còn rất ít Tolstonogov và Finogenco (1980) cho một kết quả về bao hàm thức vi phân với vế phải Lipschitz, compact mạnh; Haddad (1981) xét bao hàm thức vi phân với vế phải compact mạnh, lồi trong không gian Hilbert; Haddad và Lasry (1983), Lavakov (1989) nghiên cứu một số tính chất định tính của tập nghiệm của bao hàm thức vi phân dạng này trong R n

Mục đích cơ bản của luận văn này là tập trung nghiên cứu các tính chất tập nghiệm của một dạng bao hàm thức vi phân phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, tham

số và ứng dụng vào bài toán điều khiển tối ưu

Luận văn sử dụng đắc lực các công cụ của giải tích hàm, giải tích đa trị và đặc biệt sử dụng các kết quả mới nhất của lý thuyết ánh xạ đa trị đo được Các định

lý được sử dụng nhiều trong các chứng minh của luận văn là định lý điểm bất động

Kakutani-Ky Fan, định lý Ascoli, định lý Carathéodory, định lý tách Hahn – Banach, hàm tích phân Bochner, các định lý về ánh xạ đa trị đo được v.v…

Ngoài lời nói đầu và tài liệu tham khảo luận văn được chia làm 3 chương, Chương 1 nhắc lại các khái niệm cơ bản của giải tích đa trị và bao hàm thức vi phân, Chương 2 phát biểu và chứng minh tính chất của tập nghiệm của bao hàm thức vi phân phụ thuộc vào điều kiện ban đầu và vế phải, Chương 3 trình bày những kết quả đạt được ở chương 2 ứng dụng vào bài toán điều khiển tối ưu

Chương 1

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH ĐA TRỊ VÀ

BAO HÀM THỨC VI PHÂN

Trước hết, ta đưa ra một số khái niệm cơ bản để dùng vào luận văn này

1 Tính liên tục của ánh xạ đa trị

1.1 Ánh xạ đa trị

Cho X, Y là hai tập hợp bất kỳ Cho F: X ⇉ Y là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm

toàn bộ các tập con của Y (được ký hiệu là2Y ) Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y

Như vậy, với mỗi xX F x,   là một tập hợp con của Y Không loại trừ khả năng

là với một số phần tử xX nào đó ta có F x  là tập rỗng

Ta sẽ thường sử dụng ký hiệu F: X ⇉ Y để chỉ sự kiện F là ánh xạ đa trị từ X

vào Y

Nếu với mỗi xX tập F x  chỉ gồm đúng một phần tử của Y, thì ta nói F

là ánh xạ đơn trị từ X vào Y Khi đó, thay cho ký hiệu F: X ⇉ Y người ta sử dụng ký

hiệu quen thuộc F X: Y.

Định nghĩa 1.1.1: Đồ thị gphF, miền hữu hiệu domF và miền ảnh rgeF của ánh xạ

đa trị F: X ⇉ Y tương ứng được xác định bằng các công thức

Nếu M  X là một tập con cho trước thì hạn chế của F trên M là ánh xạ đa

trị F M: M ⇉ Y được cho bởi

( ) ( )

M

F x F x  x M.

Định nghĩa 1.1.2: Cho F: X ⇉ Y là ánh xạ đa trị, X và Y là các không gian tôpô

1 Nếu gphF là tập đóng trong không gian tôpô tích XY , thì F được gọi là

ánh xạ đa trị đóng (hoặc ánh xạ có đồ thị đóng)

2 Nếu X và Y là các không gian tuyến tính tôpô và nếu gphF là tập lồi trong

không gian tíchXY , thì F được gọi là ánh xạ đa trị lồi

3 Nếu F x  là tập đóng với mọixX , thì F được gọi là ánh xạ có giá trị

đóng

4 Nếu Y là không gian tuyến tính tôpô và nếu F x  là tập lồi với mọixX ,

thì F được gọi là ánh xạ có giá trị lồi

Định nghĩa 1.1.3: Cho F: X ⇉ Y và G: Y ⇉ Z là hai ánh xạ đa trị Ánh xạ đa trị

1.2 Tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới của ánh xạ đa trị

Ta nhắc lại rằng một họ các tập con  2X của tập hợp X được gọi là một

tôpô trong X nếu

i) ,X;

ii) Giao của một họ hữu hạn tùy ý các tập thuộc  lại là một tập thuộc ;

iii) Hợp của một họ tùy ý các tập thuộc  là tập thuộc ;

Các tập thuộc  được gọi là các tập mở Phần bù trong X của một tập mở

được gọi là tập đóng Tập X được trang bị một tôpô  được gọi là một không gian

tôpô, và được ký hiệu bởi X, , để đơn giản hơn, nhiều khi ta chỉ viết X, nếu tôpô 

 đã được xác định theo một cách nào đó Nếu X d,  là một không gian metric thì

ta ký hiệu bởi họ các hình cầu mở

 , :  :  ,  ( , 0)

B x   yX d y x  xX  

Xét các tập là giao của một số hữu hạn các tập thuộc và ta ký hiệu bởi 

họ các tập có thể biểu diễn dưới dạng hợp của một họ tùy ý các tập giao như vậy, ta

có  là một tôpô trên X, đó chính là tôpô tương ứng với metric d đã cho trên X

Nếu X, là một không gian tôpô và  M  X là một tập con tùy ý thì

U UM được gọi là vết của U trên M

Ta đã biết rằng nếu f X: Y là ánh xạ đơn trị từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y, thì f được gọi là liên tục tại xX nếu với mỗi tập mở V chứa

Ta nói f là liên tục ở trên X nếu nó là liên tục tại mọi điểm thuộc X Rõ ràng

nếu f là liên tục ở trên X nếu với mỗi tập mở V Y , ảnh ngược

khác nhau: ánh xạ đa trị nửa liên tục trên và ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới Theo Aubin và Frankowska (1990), hai khái niệm này đã được B.Bouligand và K.Kuratowski đưa ra năm 1932 Ngày nay, nhiều khi người ta dùng các cụm từ

“ánh xạ đa trị nửa liên tục trên theo Berge” và “ánh xạ đa trị nửa liên tục dưới theo Berge” để chỉ hai khái niệm này, vì chúng được khảo sát rất kỹ trong cuốn chuyên khảo của C.Berge (1959)

Cho F: X ⇉ Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y

Định nghĩa 1.2.1: Ta nói F là nửa liên tục trên tại xdomF nếu với mọi tập mở

V Y thỏa mãn F x V tồn tại lân cận mở U của x sao cho

 

F x V  x U.

Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc domF, thì F được gọi là nửa liên tục trên ở trong X.

Định nghĩa 1.2.2: Ta nói F là nửa liên tục dưới tại xdomF nếu với mọi tập mở

V Y thỏa mãn F x V   tồn tại lân cận mở U của x sao cho

Nhắc lại rằng hàm  : X¡    xác định trên không gian tôpô X được

gọi là nửa liên tục dưới tại xdom, ở đó

Hàm  được gọi là nửa liên tục trên tại xdom  nếu với mọi  0tồn tại

lân cận mở U của x sao cho

Định lý 1.2.1 (Định lý Weierstrass): Cho X   là không gian tôpô compact Nếu

min  x :xX

Nhắc lại rằng không gian tôpô X được gọi là compact nếu từ mỗi phủ mở

 U   A của X có thể trích ra một phủ con hữu hạn, tức là tồn tại các chỉ số



 U

Giả sử X là không gian compact, X  , : XR là hàm nửa liên tục dưới ở

trong X Ta cần chứng minh (2.2) có nghiệm, tức là tồn tại x sao cho

    (2.4) Giả sử phản chứng: không có x nào thỏa mãn (2.4) Đặt

 

inf x :x X

    Nếu    thì ta đặt

 U  Vậy  k k¥là phủ mở của X Do X là không gian compact và do  k

là họ tập lồng nhau, nên  k ¥ :X  k Khi đó ta phải có    k, trái với giả thuyết    Bây giờ ta xét trường hợp ¡ Với mỗi k  ¥ ta đặt

  1:

Rõ ràng  k k¥ là phủ mở của X (do không có xX nào thỏa mãn (2.4))

mà từ đó ta không thể trích ra một phủ con hữu hạn nào Vậy X không là không

gian tôpô compact, trái với giả thuyết Định lý đã được chứng minh xong 

1.3 Định lý điểm bất động Ky Fan

Định nghĩa 1.3.1: Ánh xạ đa trị F: X ⇉ Y từ không gian metric X vào không gian

định chuẩn Y được gọi là hêmi liên tục trên tại xdomF nếu với mỗi *

pY hàm số

 ,.

p

C p là nửa liên tục trên tại x Ta nói F là hêmi liên tục trên ở trong X nếu nó là

hêmi liên tục trên tại mọi điểm thuộc domF

Định nghĩa 1.3.2: Cho F: X ⇉ X, ở đó X là không gian Banach, là ánh xạ có giá trị

đóng (có thể rỗng) Tập lồi K domF được gọi là một miền vững của F nếu

  K 

F x T x    x K

Định lý sau đây là dạng mở rộng của định lý điểm bất động Kakutani (xem Định lý 1.3.2 dưới đây) từ trường hợp các không gian hữu hạn chiều sang trường hợp không gian vô hạn chiều

Định lý 1.3.1 (Định lý điểm bất động Ky Fan, 1972): Cho K là tập lồi, compact,

khác rỗng trong không gian Banach X Cho G: K ⇉ K là ánh xạ đa trị hêmi liên tục

trên ở trong K, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng Khi đó, tồn tại xK sao cho

 .

xG x

Chứng minh

Ta đặt F x G x x Từ các giả thuyết đặt trên G suy ra rằng F : K ⇉ X

là ánh xạ đa trị hêmi liên tục trên, có giá trị lồi, đóng, khác rỗng Ngoài ra, ta có

F x G x  x K x T x (1) Với mọi xK Vì F x    với mọi xK, nên từ (1) suy ra tập lồi K là

miền vững của F Theo định lý 1.3.3, tồn tại xK sao cho 0 F x  Tức là tồn tại

xK sao cho xG x .

Định lý 1.3.2 (Định lý điểm bất động Kakutani, 1941): Cho K  ¡ n là tập lồi,

compact, khác rỗng Cho G: K ⇉ K là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trong K, có

giá trị lồi, đóng, khác rỗng Khi đó, tồn tại xK sao cho xG x 

2 Tích phân của ánh xạ đa trị

Trong phần này trình bày các khái niệm tích phân Aumann (tích phân đa trị) Vì lát cắt đo được là cơ sở để xây dựng tích phân Aumann, nên chúng ta sẽ tìm hiểu kỹ các định lý về sự tồn tại lát cắt đo được của ánh xạ đa trị Các định lý về lát cắt đo được và tích phân Aumann có vai trò quan trọng trong lý thuyết bao hàm thức vi phân (phương trình vi phân đa trị) Mọi người có thể đọc về bao hàm thức vi phân trong Aubin và Frankowska (1990), Aubin và Cellina (1984) Ứng dụng của bao hàm thức vi phân trong các vấn đề về điều khiển tối ưu được trình bày trong Clarke (1983)

2.1 Ánh xạ đa trị đo được, lát cắt đo được

Khái niệm ánh xạ đa trị đo được mở rộng một cách tự nhiên khái niệm ánh

xạ (đơn trị) đo được trong giải tích hàm Một kết quả quan trọng ở đây là định lý của von Neumann nói rằng ánh xạ đa trị đo được có giá trị khác rỗng có lát cắt đo được

Trong suốt mục này, giả sử Y là một không gian metric đầy đủ, khả li, và

là một  - đại số các tập con của tập hợp X Các tập thuộc được gọi là các tập đo

được Tập X xét với  - đại số (hay cặp (X, )) được gọi là không gian đo được

Ký hiệu  - đại số Borel của không gian metric Y bởi ℬ – tức là ℬ là  - đại số

nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của Y

Nhắc lại rằng họ được gọi là một  - đại số nếu nó thỏa mãn ba tính chất

sau:

(i) X 

(ii) X \A thuộc với mọi A

(iii) Hợp của một họ tùy ý gồm một số đếm được các tập thuộc là một tập

thuộc

Từ (i) - (iii) suy ra rằng   và giao của một họ tùy ý gồm một số đếm

được các tập thuộc là một tập thuộc

Định nghĩa 2.1.1 (Ánh xạ đơn trị đo được): Ánh xạ đơn trị f X: Y được gọi là

đo được nếu ta có 1     

f V  xX f x V là tập thuộc với mỗi tập mở V Y.

(Ảnh ngược của mỗi tập mở là tập đo được.)

Ta thấy rằng hàm số  : X  ¡ là đo được khi và chỉ khi với mọi   ¡ tập hợp

Định nghĩa 2.1.2 (Ánh xạ đa trị đo được): Giả sử F: X ⇉ Y là ánh xạ đa trị có giá trị

đóng Ta nói F là đo được nếu với mỗi tập mở V Y ,

Định nghĩa 2.1.3 (Lát cắt): Ánh xạ đơn trị f : XY thỏa mãn điều kiện

f x F x với mọi xX được gọi là một lát cắt của F Nếu f là ánh xạ đo được, thì ta nói nó là một lát cắt đo được của F Nếu X là tập con đóng trong không gian định chuẩn và nếu f là ánh xạ liên tục hoặc Lipschitz địa phương, thì ta nói nó là một lát cắt liên tục hoặc lát cắt Lipschitz địa phương của F

Định lý 2.1.1 (von Neumann, 1949): Cho (X, ) là không gian đo được, Y là không

gian metric đủ, khả li, và F : X ⇉ Y là ánh xạ đa trị đo được, có giá trị đóng, khác

rỗng Khi đó, tồn tại lát cắt đo được f X: Y của F

Nhận giá trị trong Y0 sao cho f k hội tụ theo điểm đến một lát cắt f của F khi

k   Từ đó suy ra rằng f là lát cắt đo được cần tìm

Với mỗi xX , giả sử i i x   là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho

   i,1

F x B y   (1.1)

(Vì Y0 là trù mật trong Y, với mọi yY và với mọi  0, i ¥ :yB y i,, vậy tập hợp các chỉ số i  ¥ thỏa mãn (1.1) là khác rỗng, hiển nhiên trong tập đó có phần tử nhỏ nhất.) Ta đặt:

Cố định điểm xX và chọn i  ¥ sao cho xS i Ký hiệu bởi j j x  số

tự nhiên nhỏ nhất sao cho

Do (1.6), số tự nhiên j j x  là tồn tại và duy nhất Đặt f m1 x y j Khi

đó, lấy y là một phần tử thuộc tập hợp vế trái của (1.7), ta có

Vậy ta đã xây dựng được ánh xạ đo được f m1:X Y nhận giá trị trong Y0

sao cho (1.4) và (1.5), với m được thế bởi m+1, nghiệm đúng

Từ (1.5) suy ra rằng, với mọi xX, dãy f k x k

¥ là dãy Cauchy Thật vậy, theo (1.5) ta có

Vậy f là lát cắt đo được của F 

Trong chứng minh định lý 2.1.1, các giả thuyết sau đã được sử dụng triệt để:

(i) X là không gian metric khả li, (ii) X là không gian metric đủ, (iii) F là ánh xạ đo được, (iv) F là ánh xạ có giá trị đóng, khác rỗng

C.Castaing đã phát hiện ra rằng nếu các điều kiện (i)-(iv) được thỏa mãn, thì

không những tồn tại một lát cắt đo được nào đó của ánh xạ đa trị F, mà còn tồn tại

một họ đếm được các lát cắt đo được  f k k¥ của F sao cho

F x  f x k¥  x X (1.9) Như vậy, với mỗi xX , tập giá trị f x k ¥ k( ) :  của các lát cắt là trù mật trong tập F x( ) Khi đó tính chất (1.9) nghiệm đúng, thì người ta nói  f k là họ đếm được các lát cắt đo được trù mật;

Định lý sau đây vừa chỉ ra sự tồn tại họ đếm được các lát cắt đo được trù mật của ánh xạ đa trị đo được, vừa khẳng định rằng tính chất đó cũng đặc trưng cho tính

đo được của các ánh xạ đa trị Ở đây cũng sẽ chứng tỏ rằng ta có thể đặc trưng tính

đo được của ánh xạ đa trị thông qua tính đo được họ hàm khoảng cách

 

 ,   

xa d y F x y Y

Định lý 2.1.2 (C.Castaing, 1967): Cho (X, ) là không gian đo được, Y là không

gian metric đủ, khả li, và F: X ⇉ Y là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng Khi

đó, các khẳng định sau là tương đương:

(a) F là ánh xạ đa trị đo được;

(b) Tồn tại một họ đếm được các lát cắt đo được trù mật  f k k

¥ của F;

(c) Với mỗi y Y , hàm số xa d y F x ,    là đo được

Chứng minh

 a  b Giả sử Y0y i i:  ¥ là một tập con đếm được trù mật trong Y

Với mỗi k  ¥ và i  ¥ ta xét ánh xạ đa trị F i k, : X ⇉ Y cho bởi công thức

(Ta thấy rằng F i k, là ánh xạ cắt gọn của F Để ý thêm rằng bán kính của các

i k, 

  ¥ ¥ sao cho f i k,  x B y , (1.11) Chọn k  ¥ sao cho 1

 b  c Giả sử  f k k¥ một họ đếm được các lát cắt đo được trù mật của

F Lấy tùy ý yY Với mỗi k  ¥ , xét hàm số xa d y f , k x  Với mọi   ¡ , tập hợp

 c  a Giả sử rằng với mỗi y Y hàm số xa d y f , k x là đo được Khi

đó, với mỗi   ¡ ta có xX d y F x:  ,    là tập đo được Vì

 

xX d y F x: , 



 U (  j 0, j) Khi đó,

là tập đo được Vậy F là ánh xạ đa trị đo được 

Định nghĩa 2.1.4 (Độ đo; không gian có độ đo; độ đo đủ; độ đo  - hữu hạn):

1 Ánh xạ : 0, được gọi là một độ đo dương trên - đại số

nếu với mọi họ đếm được các tập đôi một không giao nhau  A k k¥, ở đó

k

A  với mọi k  ¥ , ta có

 k  k .

k k

2 Tập X với - đại số và độ đo dương  trên (hay bộ ba (X, ,))

được gọi là không gian có độ đo

3 Ta nói  là  -hữu hạn nếu X là hợp của một họ đếm được các tập có độ

đo hữu hạn

4 Nếu với mọi A  thỏa mãn  A 0 và với mọi A*  A ta có A * ,

thì ta nói rằng - đại số là  - đủ (tức là đủ theo độ đo )

5 Bộ ba (X, ,) được gọi là một không gian có độ đo đủ, -hữu hạn nếu

là độ đo dương -hữu hạn và là  - đủ

Cho (X, ) là không gian đo được, Y là không gian metric Như đã quy ước

từ đầu mục này, ký hiệu  - đại số Borel của Y Ta xét - đại số sinh ra bởi họ

tập

{A B X Y A :  , B  } (1.12)