Điều khiển bao hàm thức vi phân bằng phương pháp quét không lồi và ứng dụng

Hàm đa trị đo được với giá trị trong các tập con đầy đủ của một không gian metric khả li... Nghiệm lơi hóa của bao hàm thức vi phân phiếm hàm 31 2.1 Tính chất định tính của một lớp phươn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

Trường Đại học Bách Khoa - ĐHQG - HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại Trường Đại học Bách Khoa, ĐHQG Tp HCM ngày tháng năm

Thành phần Hội đồng đánh giá luận văn thạc sĩ gồm: (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị của Hội đồng chấm bảo vệ luận văn thạc sĩ) 1

2

3

4

5

Xác nhận của Chủ tịch Hội đồng đánh giá LV và Trưởng Khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã được sửa chữa (nếu có)

PGS TS Huỳnh Quang Linh

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

——————-NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: HUỲNH MỸ KIM MSHV: 13241376

Ngày, tháng, năm sinh: 26/01/1990 Nơi sinh: TP Hồ Chí Minh

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 60460112

I TÊN ĐỀ TÀI: ĐIỀU KHIỂN BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẰNG PHƯƠNG

PHÁP QUÉT KHÔNG LỒI VÀ ỨNG DỤNG

NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

- Kiến thức chuẩn bị

- Phương trình vi phân đa trị trong không gian Banach Nghiệm lơi hóa của bao hàmthức vi phân phiếm hàm

- Điều khiển bao hàm thức vi phân bằng phương pháp quét không lồi và ứng dụng

II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 19/01/2015

III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 14/06/2015

IV.CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học Trường Đại học Bách KhoaTp.HCM đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành chương trình đào tạo và an tâmhọc tập tại trường.

Cuối cùng tôi xin gửi lời cám ơn đến gia đình, bạn bè, những người đã luôn bêntôi, động viên và khuyến khích tôi trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu củamình

Tôi xin chân thành cảm ơn

Tp.HCM, ngày 14 tháng 06 năm 2015

Học viên thực hiện

Huỳnh Mỹ Kim

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Luận văn bao gồm 3 chương Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản Chương

2 trình bày phương trình vi phân đa trị trong không gian Banach, nghiệm lơi hóa củabao hàm thức vi phân phiếm hàm Chương 3 trình bày điều khiển bao hàm thức viphân bằng phương pháp quét không lồi và ứng dụng

The thesis contains three chapters Chapter 1 presents the basic concept Chapter

2 presents multi-valued equation in Banach space, relaxation of solutions of tional differential inclusions Chapter 3 presents differential inclusions governed by

func-a nonconvex sweeping process func-and func-applicfunc-ations

LỜI CAM ĐOAN

Tôi tên là Huỳnh Mỹ Kim, MSHV: 13241376, học viên cao học chuyên ngànhToán ứng dụng Trường Đại học Bách Khoa TP.HCM khóa 2013 – 2015 Tôi xin camđoan rằng, ngoại trừ các kết quả tham khảo từ các công trình khác như đã ghi rõtrong luận văn, các công việc trình bày trong luận văn này là do chính tôi thực hiện

và chưa có phần nội dung nào của luận văn này được nộp để lấy bằng cấp ở trườngnày hoặc trường khác

Tp.HCM, ngày 14 tháng 06 năm 2015

Học viên thực hiện

Huỳnh Mỹ Kim

Nhiệm vụ luận văn thạc sĩ i

một không gian metric khả li 201.2.3 Định lý chọn Hàm đa trị đo được với giá trị trong các tập

con đầy đủ của một không gian metric khả li 22

1

1.2.4 Hàm đa trị đo được lồi compact 27

1.2.5 Định lý hàm chọn của Von Neumann - Aumann 28

2 Phương trình vi phân đa trị trong không gian Banach Nghiệm lơi hóa của bao hàm thức vi phân phiếm hàm 31 2.1 Tính chất định tính của một lớp phương trình vi phân đa trị trong không gian Banach 31

2.2 Nghiệm lơi hóa của bao hàm thức vi phân phiếm hàm 45

2.2.1 Kí hiệu và mệnh đề của kết quả chính 45

2.2.2 Chứng minh định lý 48

3 Điều khiển bao hàm thức vi phân bằng phương pháp quét không lồi và ứng dụng 55 3.1 Sự nhiễu của phương pháp quét không lồi 55

3.2 Nghiệm tuần hoàn 61

3.3 Ứng dụng 69

3.3.1 Sự tồn tại của điều khiển tối ưu mà không có giả thiết về tính lồi 69 3.3.2 Sự tương đương của bao hàm thức vi phân và hệ điều khiển 78

MỞ ĐẦU

I Lịch sử của vấn đề nghiên cứu

Lý thuyết bao hàm thức vi phân, hay còn gọi là phương trình vi phân đa trị, làlĩnh vực nghiên cứu được phát triển mạnh trong lý thuyết tổng quát về phương trình

vi phân hiện nay Sự xuất hiện ban đầu của lý thuyết bao hàm thức vi phân như sự

mở rộng của khái niệm phương trình vi phân thường, lý thuyết bao hàm thức vi phânngày càng thâm nhập mạnh mẽ vào các lĩnh vực khác nhau của toán học và cácngành khoa học khác nhờ các ứng dụng to lớn của nó

Ta thấy rằng các vấn đề nghiên cứu trong lý thuyết phương trình vi phân thườngđều đặt ra các bài toán tương tự trong lý thuyết bao hàm thức vi phân Các vấn đềđược nghiên cứu là vấn đề tồn tại nghiệm, sự lơi hóa nghiệm, phương pháp điềukhiển bao hàm thức vi phân, v.v

Lịch sử phát triển của lý thuyết bao hàm thức vi phân, trước hết phải kể đến cáccông trình nghiên cứu của Marchaud và Zarmemba từ những năm ba mươi, đã đềcập đến bài toán tồn tại nghiệm Các công trình chủ yếu đặt nền móng cho sự pháttriển mạnh mẽ của lý thuyết bao hàm thức vi phân như lĩnh vực nghiên cứu độc lậpđược công bố tập trung vào những năm 60 bởi các tác giả như Olech, Filippov, Plis,Wazewski và được ứng dụng vào việc nghiên cứu phương trình vi phân với vế phải làhàm gián đoạn Lý thuyết này tiếp tục được đẩy mạnh nghiên cứu trong những năm70-80, trong hàng loạt các công trình của tác giả như Castaing, Valadier, Aubin,Callina, Tolstonogov, và các tác giả khác

Những người Việt Nam đầu tiên đi sâu nghiên cứu lý thuyết bao hàm thức vi phân

là Giáo sư Phạm Hữu Sách (với những công trình về ánh xạ đa trị lồi, đạo hàm củaánh xạ đa trị và ứng dụng trong lý thuyết tối ưu và điều khiển) và cố Giáo sư PhanVăn Chương (với những công trình về ánh xạ đa trị đo được, lý thuyết bao hàm thức

vi phân), và nhiều tác giả khác

Khi mới xuất hiện, cùng với sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điều khiển vàgiải tích đa trị, lý thuyết bao hàm thức vi phân đã trở thành một trong những hướng

nghiên cứu chính của lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân Cho đến nay, lýthuyết này đã đạt được nhiều kết quả rất phong phú, đặc biệt là trong các bài toántồn tại nghiệm và lý thuyết định tính bao hàm thức vi phân Đồng thời cũng đã đạtđược nhiều kết quả về sự ứng dụng của lý thuyết này trong bài toán điều khiển tối

ưu, trong lý thuyết trò chơi vi phân, bài toán kinh tế và trong nhiều ứng dụng khác.Các nghiên cứu về vấn đề tồn tại nghiệm và về lý thuyết định tính các bao hàmthức vi phân được phát triển theo hai hướng rõ rệt Đầu tiên, các nghiên cứu tập trungvào dạng bao hàm thức vi phân với vế phải lồi (tức là hàm đa trị ở vế phải có giátrị lồi) với các công trình của Filippov (1959,1960), Plis (1965), Aubin và Cellina(1983), Phan Văn Chương (1985), v.v Một lĩnh vực nữa không kém phần quantrọng trong lý thuyết bao hàm thức vi phân là các nghiên cứu về các tính chất củatập nghiệm, có ý nghĩa quan trọng về phương diện ứng dụng Các kết quả của Aubin

và Clarke (1981), Haddad (1981), Bressan (1982), Tolstonogov (1986), là nhữngđóng góp đáng kể nhất trong lĩnh vực này

Phương pháp quét được giới thiệu đầu tiên bởi J J Moreau năm 1971 Một sốlượng đáng kể các công trình đã được thực hiện sau này bởi một số tác giả khác:Castaing (1995), Colombo và Goncharov (1999), Benabdellah (2000), Aicha Faik

và Aicha Syam (2001) Mục đích của những nghiên cứu này đến từ Cơ học và đã tìmthấy nhiều ứng dụng

Trong luận văn này ta xét bao hàm thức vi phân với hàm đa trị nửa liên tục trêntrong không gian Banach với phần lồi compact yếu chứa tham số, tập nghiệm đượcchỉ ra là một tập compact yếu khác rỗng phụ thuộc nửa liên tục trên với điều kiệnban đầu và các tham số Ta nghiên cứu ở đây những kết quả tồn tại cho điều khiểnbao hàm thức vi phân bởi một lớp của phương pháp quét không lồi đóng Từ đó ứngdụng vào một số bài toán điều khiển tối ưu cụ thể

II Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu tính chất định tính của phương trình vi phân đa trị trong không gianBanach

III Nội dung nghiên cứu

- Tìm hiểu các kiến thức về giải tích đa trị: khoảng cách Hausdorff, tính đo được,liên tục của hàm đa trị

- Tìm hiểu về phương trình vi phân đa trị trong không gian Banach, nghiệm lơihóa của bao hàm thức vi phân phiếm hàm

- Điều khiển bao hàm thức vi phân bằng phương pháp quét không lồi từ đó ứngdụng vào bài toán điều khiển

IV Phương pháp nghiên cứu

Tìm tài liệu, tìm hiểu tổng hợp các kiến thức về các loại phương trình vi phântrong không gian Banach và các ứng dụng của nó

V Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

- Ý nghĩa khoa học: Làm rõ các tính chất định tính của các dạng phương trình viphân đa trị trong không gian Banach

- Ý nghĩa thực tiễn: Làm rõ được việc ứng dụng của bài toán điều khiển củaphương trình vi phân trong không gian Banach Chứng minh được các tính chất địnhtính của phương trình vi phân đa trị trong không gian Banach

VI Cấu trúc luận văn

- Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

- Chương 2: Phương trình vi phân đa trị trong không gian Banach Nghiệm lơihóa của bao hàm thức vi phân phiếm hàm

- Chương 3: Điều khiển bao hàm thức vi phân bằng phương pháp quét không lồi

và ứng dụng

BẢNG KÝ HIỆU

d(x, y) : Khoảng cách giữa x và y

d(x, A) : Khoảng cách từ x đến tập A

e(A, B) : Độ dôi của tập A và B

h(A, B) : Khoảng cách Hausdorff của A và B

(B(xn, r) : Quả cầu mở tâm xncó bán kính là r

Γ−(B) : Nghịch ảnh của tập B

Γ−1 : Ánh xạ đa trị ngược của Γ

P(X) : Tập tất cả các tập con của X

Pf(X) : Tập tất cả các tập con đóng của X

Ptb(X) : Tập tất cả các tập con đóng hoàn toàn bị chặn của X

Pk(X) : Tập tất cả các tập con compact của X

Pck(E) : Không gian của các tập con lồi compact của E

CoA : Bao lồi của A

ClA : Bao đóng của A

(T, T ), Tµ : µ-đầy đủ của T

A : Bao đóng của tập A

A0 : Tập cực của tập A

coA : Bao lồi đóng của tập A

δ(·|A) : Hàm đặc trưng của tập A

δ∗(·|A) : Hàm tựa của tập A

X∗ : Không gian đối ngẫu của không gian vector X

B(X) : σ-đại số Borel nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của không gian topo X

T ⊗ U : σ-đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập A × B(A ∈ T , B ∈ U )

prT : T × U → T : Ánh xạ chiếu lên T

χA(·) : Hàm đặc trưng của tập A

CX[a, b] : Không gian các hàm liên tục từ [a, b] vào X

SΓ : Tập của tất cả hàm chọn đo được của Γ

F(X) : Họ của tất cả tập con đóng khác rỗng của X

L1X[a, b] : Không gian lớp các hàm khả tích từ [a, b] vào X

NC(t) : Nón tiếp tuyến Clarke với tập C(t)

dC(t) : Hàm x → d(x, C(t))

∂dC(t) : Đạo hàm dưới của dC(t)

HS(M ) : Tập các quỹ đạo x(t)

conX : Tập tất cả các tập con lồi compact khác rỗng của X

compX : Tập tất cả các tập con compact khác rỗng hàm x → d(x, C(t)) của XC(T, X) : Không gian Banach của tất cả các ánh xạ liên tục từ T vào X

extco(E) : Tập tất cả các cực trị của tập co(E)

GrUn(t) : Đồ thị của ánh xạ co U (t) trên Tn

Γn(t, x) : Ánh xạ co Γ(t, x) trên GrUn(t)

Do đó tập Pf(X) của tất cả các tập con đóng của X, với khoảng cách Hausdorff trởthành một không gian metric.

Chú ý Trong Pf(X), là điểm cô lập

Định lý 1.1.2 Nếu An → A trong không gian metric Pf(X), khi đó

m≥nAm Cho ε > 0, n ∈ N, x ∈ A Khi đó tồn tại

m ≤ n sao cho h(Am, A) ≤ ε do đó d(x, Am) ≤ ε và tồn tại điểm xm ∈ Am saocho d(x, Am) ≤ 2ε Do đó x ∈ ∪

m≥nAmvới mỗi n Điều này chứng tỏ A ⊂ B.Giả sử x ∈ B, ta chứng minh An → A ∪ x (điều này sẽ chứng tỏ B ⊂ A) Từ

An → A dẫn tới e(An, A ∪ x) → 0 Hơn nữa, ta sẽ chứng minh rằng e(A ∪ x, An) =max(e(A, An), d(x, An)) → 0

Nó thì đủ để chứng minh d(x, An) → 0 Cho p sao cho m, n ≥ p thì h(An, Am) ≤ε

Từ x ∈ B suy ra tồn tại m ≥ p sao cho d(x, Am) ≤ ε Do đó nếu n ≥ p thì

d(x, An) ≤ d(x, Am) + h(Am, An) ≤ 2ε

3) Đẳng thức thứ ba là hiển nhiên vì một cơ sở lân cận là họ Wε= {(x, y)|d(x, y) ≤ε}(ε > 0) và Wε(An) ⊂ B(Am, ε) ⊂ W2(Am).

Định lý 1.1.3 Nếu X là không gian metric đầy đủ, thì Pf(X) là không gian metric

đầy đủ.

Chứng minh. Giả sử (An) là dãy Cauchy

1) Đầu tiên để ý rằng tồn tại N sao cho n ≤ N, m ≤ N dẫn tới h(An, Am) ≤ 1.Khi đó, hoặc An rỗng với mọi n ≤ N hoặc An khác rỗng với mọi n ≤ N Trongtrường hợp thứ nhất dãy (An) hội tụ về Ta xét trường hợp thứ hai

n ∪

m≥nAm.3) Điểm x thu được ở phần 2) thỏa d(x0, x) ≤ 2ε Do đó với mỗi n0 ≥ N0, x0 ∈

An 0 tồn tại điểm x ∈ A (ở đây A = ∩

Định lý 1.1.4 Cho Ptb(X) là tập hợp tất cả các tập con đóng hoàn toàn bị chặn

của X Khi đó Ptb(X) là tập đóng trong Pf(X).

Chứng minh. Giả sử (An) là dãy trong Ptb(X) hội tụ đến A ∈ Pf(X) Cho ε > 0tồn tại n sao cho e(A, An) và x1, · · · , xp sao cho họ các quả cầu tâm xi, bán kính εphủ An Khi đó họ các quả cầu tâm xi, bán kính 2ε phủ A

Chú ý Chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng nếu X là hoàn toàn bị chặn, thì Pf(X)hoàn toàn bị chặn Thật vậy, nếu ε > 0 cho trước, cho x1, · · · , xnsao cho họ các quảcầu mở tâm xi, bán kính ε phủ X Giả sử A ∈ Pf(X) và I = {i|B(xi, ε) ∩ A 6= }.Khi đó tập B = {xi|i ∈ I} có tính chất h(A, B) ≤ ε Như vậy tập của các tập concủa {x1, · · · , xn} là hữu hạn Điều đó chứng tỏ Pf(X) hoàn toàn bị chặn Do đó nếu

X compact thì Pf(X) cũng compact

Định lý 1.1.5 Nếu X đầy đủ, không gian Pf(X) của tất cả các tập con compact

của X cũng đầy đủ.

Chứng minh. Điều này hiển nhiên theo Định lý 1.1.3 và 1.1.4

Chú ý Định lý 1.1.5 vẫn có giá trị nếu X là không gian đều ( xem trong [13])

Định lý 1.1.6 Topo Hausdorff trên không gian của tất cả các tập con compact

của X, Pk(X), được sinh ra bởi các tập {K ∈ Pk(X)|K ⊂ U } (U mở) và {K ∈

Pk(X)|K ∩ V 6= } (V mở) Một cơ sở lân cận của K0 gồm các tập {K|K ⊂

U, K ∩ V1 6= , · · · , K ∩ Vn6= } (ở đây U, V1, · · · , Vnlà mở) chứa K0.

Chứng minh. 1) Chúng ta sẽ chứng minh rằng θ = {K|K ⊂ U } là mở Giả sử

K0 ∈ θ Do tính compact của K0

ε = inf{d(x, y)|x ∈ K0, y ∈ X − U } > 0Khi đó h(K, K0) < ε ⇒ e(K, K0) < ε ⇒ K ⊂ U nghĩa là K ∈ θ

Ta chứng minh rằng U = {K|K ∩V 6= } là mở Giả sử K0 ∈ U Tồn tại một quảcầu mở tâm x0 ∈ K0∩ V , bán kính ε chứa trong V Khi đó, nếu h(K, K0) < ε, Kgiao với quả cầu Do đó K ∩ V 6= và K ∈ U.

2) Ngược lại, ta sẽ chứng minh rằng nếu K0 ∈ Pk(X) và ε > 0 cho trước, quả cầutâm K0và bán kính ε chứa tập {K|K ⊂ U }∩{K|K ∩V1 6= }∩· · ·∩{K|K ∩Vn 6=} chứa K0 Thật vậy, cho U = {x|d(x, K0) < ε} < ε và V1, · · · , Vn là các quảcầu mở bán kính ε/2 phủ K0 Khi đó nếu K ⊂ U, e(K, K0) < ε, và nếu K giao với

V1, · · · , Vn, e(K, K0) ≤ ε

Chú ý Cho T là không gian topo thì Γ là hàm đa trị từ T vào Pk(X) là liên tụcnếu và chỉ nếu nó nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới

Hệ quả 1.1.7 Nếu X là không gian metric, topo Hausdorff trên không gian tất cả

các tập con compact của X, Pk(X) chỉ phụ thuộc vào topo của X (không phụ thuộc

Hệ quả 1.1.9 Nếu X là một không gian Polish, thì Pk(X) với topo được mô tả trong

Định lý 1.6 là Polish.

Định lý 1.1.10 Nếu X là không gian metric tách, thì σ - đại số Borel trên Pk(X)

(với topo Hausdorff) được sinh bởi các tập {K|K ⊂ U } (U mở) và cũng được sinh bởi các tập {K|K ∩ V 6= } (V mở).

Chứng minh. 1) Xét tập {K|K ∩ V 6= } Chú ý rằng V = ∪

nFn với Fn ={x|d(x, X − V ) ≥ 1

1.2 Hàm đa trị đo được, liên tục

Kiến thức chuẩn bị Một không gian đo được (T, T) là một cặp ở đó T là một tập

và T là σ - đại số của các tập con của T Nhắc lại T là σ - đại số nếu

Nếu U là không gian topo thì σ - đại số Borel B(U ) là σ - đại số nhỏ nhất chứatất cả các tập mở Nếu (T, T) và (U, U) là hai không gian đo được thì tích σ - đại số

T⊗ U trên T × U là σ - đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập A × B(A ∈ T, B ∈ U).Nếu (T, T) và (U, U) là hai không gian đo được, một hàm f : T → U thì đượcgọi là (T, U) - đo được nếu ∀B ∈ U, f−1(B) ∈ T Tính chất này giúp ta có thể mang

độ đo dương hoặc bị chặn trên T vào trong một độ đo trên U Nếu U là không giantopo, một hàm (T, B(U )) - đo được được gọi là hàm Borel Khi T và U đều là khônggian topo, một hàm liên tục là Borel

Nếu (T, T) là không gian đo được và U là không gian metric, ta nói rằng f : T →

U là đo được (mạnh) nếu một trong những tính chất tương đương dưới đây xảy ra:(i) f là (T, B(U )) - đo được và f (T ) tách được

(ii) f là giới hạn từng điểm của dãy những hàm đo được với giả thiết nhận một sốhữu hạn giá trị

(iii) f là giới hạn đều của dãy những hàm đo được với giả thiết nhận một số đếmđược giá trị

Tính chất này bảo đảm rằng nếu U là nhóm topo, và nếu f và g là đo được thì f + g

là đo được

Nếu U là không gian metric, nếu fnlà một dãy của (T, B(U )) (tương ứng mạnh)hàm đo được từ T vào U , và nếu fn → f từng điểm thì f là (T, B(U )) (tương ứngmạnh) đo được

Nếu (T, T) là không gian đo được, một độ đo bị chặn (tương ứng dương) trên(T, B(U )) là một ánh xạ µT → R (tương ứng µ : T → [0, ∞]) sao cho mọi An rờinhau từng cặp đếm được trong T, µ(∪An) = P µ(An) Một độ đo dương là σ - hữuhạn nếu T là hợp của dãy các tập đo được có độ đo hữu hạn

Nếu µ là độ đo dương trong (T, T) ta nói rằng tập con N của T là không đáng kểnếu tồn tại A ∈ T sao cho N ⊂ A và µ(A) = 0 µ - đầy đủ của T là σ - đại số đượcsinh ra bởi T và những tập không đáng kể; nó được kí hiệu Tµ Độ đo µ nhận một

mở rộng duy nhất đến Tµ.σ - đại số T được gọi là µ - đầy đủ nếu T = Tµ

Nếu µ là độ đo dương trong (T, T), U là không gian metric và f : T → U ta nói

f đo được (hay µ - đầy đủ) nếu với mọi A ∈ T có độ đo hữu hạn, tồn tại tập khôngđáng kể N sao cho f|A−N là đo được mạnh

Cho T là không gian topo Hausdorff Một độ đo Radon dương µ trên T là một độ

đo dương µ : B(T ) → [0, ∞] sao cho

- ∀t ∈ T , tồn tại một lân cận mở của t có độ đo hữu hạn,

- ∀A ∈ B(T ), µ(A) = sup{µ(K)|Kcompact, K ⊂ A}

Cho T là không gian topo Hausdorff, µ là độ đo Radon dương trên T , U là khônggian topo, và f : T → U Ta nói f là µ - đo được Lusin nếu:

∀K compact, K ⊂ T, ∀ε > 0, ∃L compact, L ⊂ K sao cho µ(K − L) < ε và f|L

là liên tục

Hơn nữa, nếu U là không gian metric thì

f là µ − đo được Lusin ⇔ K compact, f|K là µ − đo được

⇔ f là µ − đo được

Xét không gian đo được (T, T), không gian metric đầy đủ, tách X và Γ là mộthàm đa trị từ T vào tập con đóng không rỗng của X

Định nghĩa 1.2.1 Cho Γ : T → P(X) với P(X) là tập tất cả các tập con của X.

Hàm σ : T → X được gọi là hàm chọn của Γ nếu σ(t) ∈ Γ(t), ∀t ∈ T

(vi) Đồ thị của Γ thuộc T ⊗ B(X).

Ta có thể đặt câu hỏi: liệu 6 tính chất trên có tương đương nhau?

Điều này đúng khi T là σ - đại số đầy đủ: thực sự theo định lý (vi) ⇒ (i) (xemphần 1.2.4)

1.2.1 Tính liên tục của hàm đa trị lồi

Định nghĩa 1.2.2 Cho E là không gian vector và f : E → R = [−∞; +∞] Hàm

cực của f là hàm f∗ : E0 → R được xác định bởi f∗(x0) = sup{hx0, xi − f (x)|x ∈

E} Cho f là hàm đặc trưng của tập A, khi đó

Hàm cực được cho bởi

δ∗(x0|A) = sup{hx0, xi|x ∈ A}

được gọi là hàm tựa của A.

Định lý 1.2.1 Giả sử (T, T) là không gian topo, E là không gian lồi địa phương

Hausdorff và Γ là hàm đa trị từ T vào các tập con khác rỗng của E Giả sử Γ(t0)

compact yếu và lồi Khi đó Γ là nửa liên tục trên yếu tại t0 nếu và chỉ nếu hàm vô hướng δ(x0|Γ(·)) là nửa liên tục trên tại t0.

Chú ý Ta nói rằng Γ là nửa liên tục trên tại t0nếu với bất kì tập mở U chứa Γ(t0),tồn tại một lân cận V của t0 sao cho Γ(t) ⊂ U với mọi t ∈ V

Chứng minh. 1) Nếu Γ là nửa liên tục trên tại t0 và α > δ∗(x0|Γ(t0))(α ∈ R) đặt

U = {x ∈ E|hx0, xi < α} Tồn tại một lân cận V của t0 sao cho Γ(t) ⊂ U với mọi

t ∈ V Do đó δ∗(x0|Γ(t0)) ≤ α

2) Giả sử tất cả δ∗(x0|Γ(·)) là nửa liên tục trên Nếu Γ(t0) = thì δ∗(0|Γ(t0)) =

−∞ và với t sao cho δ∗(0|Γ(t)) < 0, Γ(t) = Do đó Γ là nửa liên tục trên tại t0.Giả sử Γ(t0) 6= Cho x0 ∈ Γ(t0) Xét Γ0(t) = Γ(t) − x0 Ta được δ∗(x0|Γ0(t)) =

−hx0, x0i + δ∗(x0|Γ(t))

Ta giả sử 0 ∈ Γ(t0) Cho U là tập mở yếu chứa Γ(t0) Tồn tại một lân cận lồi đóngcủa 0, V , sao cho Γ(t0) + V ⊂ U Giả sử V là cực của tập hữu hạn của E0

Vì Γ(t0) là compact tồn tại x1, · · · , xn ∈ Γ(t0) sao cho xi + 12V phủ Γ(t0) Cho

A = co{x1, · · · , xn} + V (co là bao lồi) Khi đó A đóng và A ⊂ U Ta giả sử

0 ∈ co{x1, · · · , xn} (vì 0 ∈ Γ(t0) khi đó A0 là tập đa diện lồi hữu hạn chiều chứatrong V0:

Định lý 1.2.2 Giả sử T là không gian topo, E là không gian lồi địa phương

Haus-dorff và Γ là hàm đa trị từ T vào các tập con lồi hoàn toàn bị chặn của E Giả sử

∪

t∈TΓ(t) hoàn toàn bị chặn Khi đó Γ là nửa liên tục dưới tại t0 nếu và chỉ nếu hàm

vô hướng δ∗(x0|Γ(·)) là nửa liên tục dưới tại t0.

Chú ý Ta nói rằng Γ là nửa liên tục dưới tại t0 nếu với bất kì tập mở U ta có

U ∩ Γ(t0) thì tồn tại một lân cận V của t0 sao cho Γ(t) ∩ U 6= với mọi t ∈ V

Chứng minh. 1) Cho Γ là nửa liên tục dưới tại t0 Nếu α < δ∗(x0|Γ(t0))(α ∈ R) thìΓ(t0) ∩ U với tập mở U = {x ∈ E|hx0, xi > α} Nếu t là một lân cận của t0 thìΓ(t) ∩ U và δ∗(x0|Γ(t)) > α Nếu δ∗(x0|Γ(t0)) = −∞ (nghĩa là nếu Γ(t0) 6= ) thì

δ∗(x0|Γ(·)) là nửa liên tục dưới tại t0)

2) Giả sử tất cả δ∗(x0|Γ(·)) là nửa liên tục dưới Ta giả sử Γ(t0) 6= (nếu Γ(t0) = thì Γ hiển nhiên là nửa liên tục dưới) Cho U là tập mở giao với Γ(t0) Như Định

lý 1.2.1 ta có thể giả sử 0 ∈ Γ(t0) ∩ U Giả sử rằng U là tập mở lồi Nếu Định

lý là sai thì tồn tại một dãy suy rộng (tα) hội tụ đến t0 sao cho Γ(tα) ∩ U = Theo Hahn Banach tồn tại x0α ∈ E0 sao cho x0α nhận giá trị ≤ −1 trên Γ(tα) vànhận giá trị ≥ −1 trên U Do đó x0α ∈ U0 (đặc biệt nếu ta định nghĩa U0 như là{x0|∀x ∈ U, hx0, xi ≥ −1}) và δ∗(x0α|Γ(tα)) ≤ −1 Như vậy U0 là đồng liên tục U0

là compact đối với topo hội tụ đều trên tập hoàn toàn bị chặn của E Cho z0 là điểm

tụ của (x0α) với topo này Từ 0 ∈ Γ(t0) dẫn tới δ∗(z0|Γ(t0)) ≥ 0 Với x0β đủ gần z0, từ

sự thật rằng ∪Γ(t) là hoàn toàn bị chặn ta có

∀t, δ∗(z0|Γ(t)) < δ∗(x0β|Γ(t)) + 1

2.Nhưng với mỗi α tồn tại β ≥ α sao cho x0β thuộc vào một lân cận được cho trướccủa z0

Vì vậy δ∗(z0|Γ(tβ)) < δ∗(x0β|Γ(tβ)) + 12 ≥ −1

2 Điều này là không thể bởi vì

δ∗(z0|Γ(·)) là nửa liên tục dưới tại t0

Hệ quả 1.2.3 Giả sử T là không gian topo, E là không gian lồi địa phương

Haus-dorff, và Γ là ánh xạ từ T đến những tập con lồi compact khác rỗng của E Giả sử rằng mỗi t0 ∈ T có một lân cận V sao cho ∪

t∈VΓ(t) chứa trong một tập compact Khi

đó nếu những hàm tựa δ∗(x0|Γ(·)) liên tục, thì Γ liên tục đối với topo Hausdorff.

Chứng minh. Gọi K là tập compact chứa ∪

t∈VΓ(t) Giả sử U là tập mở Khi đó U ∩ K

là tập mở yếu và theo Định lý 1.2.1, {t ∈ V |Γ(t) ⊂ U } là mở Nếu Θ là một tập mở,theo định lý 1.2.1, thì {t ∈ V |Γ(t) ∩ Θ} Theo chú ý 2 của Định lý 12 (xem [3]) thì

Γ liên tục trên V đối với topo Hausdorff

Hệ quả 1.2.4 Giả sử T là không gian topo, Γ là ánh xạ từ T vào những tập con

lồi compact khác rỗng của Rn Khi đó nếu những hàm tựa δ∗(x0|Γ(·)) liên tục, thì Γ

liên tục.

Chứng minh. Giả sử (e01, · · · , e0n) là cơ sở của (Rn)0 Khi đó nếu t0 ∈ T thì tồn tạimột lân cận của t0, V , sao cho hàm δ∗(e0i|Γ(·)) và δ∗(−e0i|Γ(·))(i ∈ {1, · · · , n}) bịchặn trên V Do đó ∪

t∈VΓ(t) bị chặn Vì vậy ta có thể áp dụng Hệ quả 1.2.3

Hệ quả 1.2.5 Giả sử không gian topo T là compact địa phương hoặc metric hóa

được, E là không gian lồi địa phương Hausdorff, và Γ là ánh xạ từ T vào những tập con lồi compact yếu khác rỗng của E Khi đó nếu những hàm tựa δ∗(x0|Γ(·)) liên

tục, thì Γ liên tục đối với topo Hausdorff tương ứng với σ(E, E0) Ngoài ra nếu E là

Montel, thì Γ là liên tục đối với topo Hausdorff.

Chứng minh. 1) Do Định lý 1.2.1, Γ là nửa liên tục trên đối với topo yếu Nếu T làcompact địa phương ta có thể giả sử T là compact Nếu T là metric hóa được thì nó

là đủ để chứng minh những tính chất liên tục trên những tập như {tn, t|n ∈ N} trong

đó tn → t (vì Γ là nửa liên tục dưới tại t) (tương ứng nửa liên tục dưới)⇔ ∀(tn) hội

tụ đến t và V mở trong U , nếu Γ(t) ∩ U 6= (tương ứng Γ(t) ∈ U ), thì với n đủ lớn

Γ(tn) ∩ U 6= (tương ứng Γ(tn) ∈ U ) Do đó ta luôn có thể giả sử T compact DoĐịnh lý của Berge (Định lý 1.2.6 bên dưới) ∪

t∈TΓ(t) là compact yếu Khi đó do Định

lý 1.2.2, Γ là nửa liên tục dưới Cuối cùng nếu E được trang bị tính đều Hausdorffyếu, thì Γ là liên tục theo chú ý 2 của Định lý 12 (xem [3])

2) Nếu E là không gian Montel, thì tập ∪Γ(t) trong phần thứ nhất là compact đốivới topo mạnh của E Vì vậy Γ là nửa liên tục dưới đối với topo mạnh (vì nếu U mởthì U ∩ (∪Γ(t)) cũng là tập mở yếu) Và Γ là nửa liên tục dưới đối với topo mạnh doĐịnh lý 1.2.2

Định lý 1.2.6 (Berge) Giả sử T là không gian compact, E là không gian Haudorff,

và Γ là hàm đa trị từ T vào những tập con compact của E Khi đó nếu Γ là nửa liên

tục trên thì tập Γ

t∈T(t) là compact.

Chứng minh. Cho (Ui)i∈Ilà họ những tập mở phủ Γ

t∈T(t) Mỗi Γ(t) được phủ bởi mộttập mở, Vt, với Vt là hợp của một họ con hữu hạn của (Ui) Tập Tθ = {t|Γ(t) ⊂ Vθ}chứa θ và mở Do đó (Tθ)θ∈T phủ T Do T compact nên tồn tại θ1, · · · , θn sao cho

T = Tθ1 ∪ · · · ∪ Tθn

Khi đó Γ

t∈T(t) chứa trong V = Vθ 1∪· · ·∪Vθ nvới V là hợp hữu hạn của họ (Ui)i∈I

1.2.2 Hàm đa trị đo được với giá trị trong các tập con compact của một không

gian metric khả li

Cho (T, T) là không gian đo được Giả sử X là không gian khả li metric hóa được

Định nghĩa 1.2.3 Một hàm đa trị Γ từ T đến những tập con compact của X được

gọi là đo được nếu nó là đo được như hàm từ T đến Pk(X) (với topo Hausdorff được

định nghĩa trong phần 1.1).

Định lý 1.2.7 Với những giả thiết của định nghĩa 1.2.3, Γ đo được tương đương với

tất cả các tính chất sau đây.

Hệ quả 1.2.8 Nếu T là không gian topo, và Γ là hàm đa trị từ T vào Pf(X), nếu Γ

nửa liên tục trên (hoặc nửa liên tục dưới) thì Γ là đo được (đối với σ - đại số Borel

B(T ))

Chứng minh. Nếu Γ nửa liên tục trên thì với mọi tập đóng F, {t|Γ(t) ⊂ X − F }thì mở, do đó Γ−(F ) thuộc B(T ) Nếu Γ nửa liên tục dưới thì với mọi tập mở

U, {t|Γ(t) ∩ U 6= } mở do đó nó thuộc B(T )

Chú ý Nếu T là không gian topo Hausdorff và µ là độ đo Radon dương trên T ,

và nếu Γ thỏa định nghĩa 1.2.3, thì với mỗi tập khả tích T0 ⊂ T, và với mỗi ε > 0tồn tại tập compact T1 ⊂ T0 sao cho µ(T0 − T1) < ε và Γ liên tục trên T1 Đây làtính chất Lusin

Mệnh đề 1.2.9 Nếu Γ1 và Γ2 là hàm đa trị đo được có giá trị compact thì hàm đa trị t 7→ Γ1(t) ∩ Γ2(t) là đo được Nếu (Γn) là dãy hàm đa trị đo được có giá trị

compact thì t 7→ Γn(t) là đo được, và nếu ∪Γn(t) compact thì t 7→ Γn(t) đo được.

Chứng minh. 1) Ta sẽ chứng minh ánh xạ (K1, K2) 7→ K1 ∩ K2 từ (Pf(X))2 đến

Pf(X) là Borel Cho U là tập mở trong X Ta sẽ chứng minh {(K1, K2)|K1∩ K2 ⊂

Do đó, theo định lý 3.2.2, ∪Γn(·) đo được.

1.2.3 Định lý chọn Hàm đa trị đo được với giá trị trong các tập con đầy đủ

của một không gian metric khả li

Một vấn đề quan trọng là chứng tỏ sự tồn tại của những hàm chọn đo được khi Γ

có giá trị là tập khác rỗng và có một số tính chất của tính đo được Định lý cơ bản

là định lý 1.2.4 bên dưới, và vài hệ quả của nó: các định lý 1.2.10 và 1.2.11 Nhưngđịnh lý tổng quát và hữu ích hơn hết là định lý 1.2.22

Định nghĩa 1.2.4 Giả sử X là không gian metric khả li, (T, T ) là không gian đo

được, Γ là hàm đa trị từ T đến những tập con khác rỗng đầy đủ của X Nếu với mỗi tập mở U trong X,Γ−(U ) = {t|Γ(t) ∩ U 6= } thuộc T thì Γ có một hàm chọn đo

được.

Chứng minh. Giả sử {xn} là tập đếm được trù mật trong X Ta xác định một dãy

những hàm đo được với giả thiết chỉ nhận một số đếm được giá trị, (σp) bởi phéptruy hồi, có những tính chất d(σp(t), Γ(t)) < 2−p, d(σp+1(t), σp(t)) ≤ 2−p+1.

Trước hết ta đặt σ0 = xn nếu n là số nguyên nhỏ nhất sao cho Γ(t) ∩ B(xn, 20) 6= (B(xn, r) là quả cầu mở tâm xncó bán kính là r) Vậy σ0 đo được:

σ0−1(xn) = Γ−(B(xn, 20)) − ∪

m<nΓ−1(B(xm, 20))

Bây giờ giả sử σp được chọn Cho Ti = σp−1(xi) Khi đó nếu t ∈ Ti thì Γ(t) ∩B(xi, 2−p) 6= Ta đặt trên Ti, σp+1(t) = xnnếu n là số nguyên nhỏ nhất sao choΓ(t) ∩ B(xi, 2−p) ∩ B(xn, 2−(p+1)) 6= Do đó σp+1đo được và d(σp+1(t), σp(t)) ≤

2−p+ 2−(p+1) ≤ 2−p+1 Từ bất đẳng thức cuối, suy ra dãy (σp(t)) là một dãy Cauchy.Bởi vì Γ(t) đầy đủ và d(σp(t), Γ(t)) → 0, do đó giới hạn của (σp(t)) đầy đủ trong Xthuộc Γ(t) Giới hạn σ(t) này xác định một hàm chọn đo được của Γ

Định lý 1.2.10 Với những giả thiết như trong định lý 1.2.4, tồn tại một dãy (σn) của

những hàm chọn đo được của Γ sao cho với mỗi t, Γ(t) = {σn(t)|n ∈ N}

Chứng minh. Cho {xn} là tập trù mật trong X Cho (n, i) ∈ N2

Do đó, theo định lý 1.2.4, Γni có một hàm chọn đo được σni

Bây giờ ta chứng minh Γ(t) = {σni(t)} Cho x ∈ Γ(t) và ε > 0 chọn i sao cho 2−i ≤

ε

2 và n sao cho d(xn, x) < 2−i Do đó, t ∈ Γ−(B(xn, 2−i)) và σni(t) ∈ B(xn, 2−i)

Do đó, d(σni(t), x) ≤ d(σni(t), xn) + d(xn, x) ≤ ε

Định lý 1.2.11 1) Cho (T, T ) là không gian đo được, X là không gian Polish, và Γ

là ánh xạ từ T đến những tập con đóng khác rỗng của X Nếu với mọi tập mở U trong

X, Γ−(U ) thì Γ nhận được một dãy hàm chọn đo được (σn) sao cho Γ(t) = {σn(t)}

2) Cho (T, T ) là không gian đo được, X là không gian metric khả li, và Γ là ánh

xạ từ T đến những tập con compact khác rỗng của X Nếu Γ đo được thì Γ nhận được một dãy hàm chọn đo được (σn) sao cho Γ(t) = {σn(t)}

Chứng minh. Nó là một hệ quả của định lý 1.2.10

Định lý 1.2.12 Giả sử (T, T ) là không gian đo được, X là không gian metric khả

li, và Γ là ánh xạ từ T đến những tập con đầy đủ khác rỗng của X Khi đó những tính chất sau đây là tương đương

a) Γ−(U ) ∈ T với mọi tập mở U ,

b) d(x, Γ(·)) là đo được với mọi x ∈ X

c) Γ nhận được hàm chọn đo được (σn) sao cho Γ(t) = {σn(t)}

Chứng minh a ⇒ clà định lý 1.2.10

c ⇒ b bởi vì d(x, Γ(t)) = inf{d(x, σn(t))| ∈ N}

b ⇒ a Để ý rằng {t|d(x, Γ(t)) < r} = Γ−(B(x, r))(r > 0, B(x, r) là quả cầumở) Nhưng bất kì tập mở U là hợp của dãy các quả cầu B(xn, rn) Do đó Γ−(U ) =

Định nghĩa 1.2.5 Nếu (T, T ) là không gian đo được, X là không gian metric khả

li, và Γ là ánh xạ từ T đến những tập con đầy đủ của X, thì Γ được gọi là đo được

nếu T0 = {t|Γ(t) = } thuộc T và nếu trên T − T0 thì Γ có những tính chất của định lý 1.2.12.

Chú ý Do định lý 1.2.11 nên định nghĩa 1.2.3 và 1.2.5 tương đương.

Có hai tính chất khác của tính đo được mà người ta có thể dùng làm như địnhnghĩa của tính đo được Đó là:

"Γ−(F ) ∈ T với mỗi tập đóng F " và

“đồ thị của Γ (đó là {(t, x) ∈ T × X|x ∈ Γ(t)}) nằm trong T ⊗ B(X)”

Ta xem xét những tính chất đó trong ba mệnh đề dưới đây Đối với một σ-trường

T , tất cả năm tính chất là tương đương

Mệnh đề 1.2.13 Cho (T, T ) là không gian đo được, X là không gian metric và Γ

là ánh xạ từ T đến P(X) Khi đó nếu với mọi tập đóng F thì Γ−(F ) ∈ T với mọi tập

mở U

Chứng minh. Với mọi tập mở U là Fσ: ta đặt Fn = {x ∈ X|d(x, X − U ) ≥ n1}(n ≥1) Khi đó U = ∪Fnvà Γ−(U ) = ∪Γ−(Fn)

Mệnh đề 1.2.14 1) Cho (T, T ) là không gian đo được, X là không gian Polish

compact địa phương, và Γ là ánh xạ từ T đến Pf(X) Nếu Γ−(U ) ∈ T với mọi tập

mở U thì Γ−(F ) ∈ T với mọi tập đóng F

2) Cho (T, T ) là không gian đo được, X là không gian metric hóa được, và Γ là ánh xạ từ T đến Pk(X) Nếu Γ−(U ) ∈ T với mọi tập mở U thì Γ−(F ) ∈ T với mọi

tập đóng F

Chứng minh. 1) Nếu F đóng thì F là hợp của một dãy các tập compact Kn Khi đó

Γ−(F ) = ∪Γ−(Kn) Giả sử K compact và ta sẽ chứng minh Γ−(K) ∈ T Compact

hóa Alexandroff của ˆ X của X là metric hóa được (nghĩa là tương đương cho không

gian compact địa phương để nói nó là Polish) Giả sử d là metric trên ˆ X Khi đó với

n đủ lớn )n ≥ n0)Kn = {x ∈ ˆ X|d(x, K) ≤ n1} chứa trong X, và compact.

Cho (σn) là dãy hàm chọn của Γ như trong định lý 1.2.10

Mệnh đề 1.2.15 Nếu (T, T ) là không gian đo được,X là không gian metric khả li,

và nếu Γ từ T đến những tập con đầy đủ của X là đo được (xem định nghĩa 1.2.5), thì đồ thị của Γ (đó là {(t, x) ∈ T × T |x ∈ Γ(t)}) nằm trong T ⊗ B(X).

Chứng minh. Giả sử Γ(t) khác rỗng với mọi t Đồ thị G của Γ là G = {(t, x)|d(x, Γ(t))

= 0} Nhưng hàm d(x, Γ(·)) đo được (sử dụng tính chất của tính đo được của Γ Tínhđầy đủ của Γ(t) là không cần thiết !), vì vậy, theo bổ đề dưới đây (t, x) 7→ d(x, Γ(t))

đo được, và G ∈ T ⊗ B(X)

Bổ đề 1.2.16 Cho (T, T ) là không gian đo được, X là không gian metric hóa được

khả li, U là không gian metric hóa được và ϕ : T × X → U Giả sử ϕ là đo được (tương ứng (T , B(U )) đo được) theo t và liên tục theo x Khi đó ϕ là đo được (tương ứng (T ⊗ B(X), B(U )) đo được).

Chứng minh. Cho (xn) là dãy trù mật trong X Cho p 6= 1 đặt ϕp(t, x) = ϕ(t, xn)nếu n là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho x nằm trong B(xn,1p) (quả cầu mở tâm xn vàbán kính là 1p) Dễ thấy rằng ϕp(t, x) → ϕ(t, xn) khi p → ∞ Và ϕp đo được (tương

ứng (T ⊗ B(X), B(U )) đo được) vì trên tập

T ∈ [B(xn,1

p) − ∪m<nB(xm,1

p)]

ϕp bằng hàm (t, x) → ϕ(t, xn)

1.2.4 Hàm đa trị đo được lồi compact

Định lý 1.2.17 Cho (T, T ) là không gian đo được, E là không gian vector khả li

metric hóa được lồi địa phương, và Γ là ánh xạ từ T đến Pck(E) (không gian của

các tập con lồi compact của E) Khi đó Γ đo được nếu và chỉ nếu những hàm tựa

δ∗(x0|Γ(·)) là đo được.

Chứng minh. Nếu Γ đo được thì T0 = {t|Γ(t) = } ∈ T Nếu δ∗(x0|Γ(·)) đođược thì T0 = {t|δ∗(0|Γ(t) = −∞} ∈ T Do đó, ta có thể giả sử Γ(t) khác rỗng.Nếu Γ đo được thì do định lý 1.2.10, tồn tại một dãy hàm chọn đo được (σn) sao

cho Γ(t) = {σn(t)} Vì vậy δ∗(x0|Γ(·)) = sup

n

hx0, σn(t)i là hàm đo được theo t.Ngược lại, giả sử δ∗(x0|Γ(·)) đo được Tồn tại dãy tăng các nửa chuẩn (pn) đượcxác định bởi topo của E Giả sử hn là nửa khoảng cách Hausdorff liên kết với pn

Do định lý II.12 (xem [3]) khoảng cách trong Pck(E), H(A, B) =P 2−n h n (A,B)

1+h n (A,B)

xác định cấu trúc đều của Pck(E) Ta sẽ chứng minh điều sau đây: với mọi A ∈

Pck(E), t 7→ H(A, Γ(t)) đo được Theo bổ đề 1.2.18 bên dưới (áp dụng Γ trong

vị trí của f và Pck(E) trong vị trí của Z (xem định lý 1.1.8, đưa đến định lý Tachứng minh tính đo được của hn(A, Γ(·)) là đủ Nhưng do định lý II.18 (xem [3]),

hn(A, B) = sup{δ∗(x∗|A) − δ∗(x∗|B)|x0 ∈ V0

liên tục đối với topo ở trên, ta có

hn(A, B) = sup

n

|δ∗(x0n|A) − δ∗(x0n|Γ(t))|

Vì vậy nó là đo được theo t

Chú ý Khi E là không gian định chuẩn, chỉ cần chứng tỏ rằng ∀x ∈ E, d(x, Γ(·))

đo được (theo định lý 1.2.12)

Bổ đề 1.2.18 Cho (T, T ) là không gian đo được, Z không gian metric khả li và

f : T → Z sao cho với mọi z ∈ Z, d(z, f (·)) đo được Khi đó f đo được.

Chứng minh. Hàm đa trị t 7→ {f (t)} có hàm chọn đo được theo định lý 1.2.12

1.2.5 Định lý hàm chọn của Von Neumann - Aumann

Định nghĩa 1.2.6 Không gian Suslin là một không gian topo Hausdorff sao cho có

một không gian Polish P và một ánh xạ liên tục từ P lên S.

Ta kí hiệu hình chiếu của ánh xạ từ T × U lên T là prT.

Định lý 1.2.19 Cho T là không gian Suslin, X là không gian topo, và Γ là ánh xạ

từ T đến những tập con khác rỗng của X, đồ thị G của Γ là Suslin Kí hiệu TS là

σ -trường trên T sinh bởi những tập con Suslin của T Khi đó tồn tại một dãy (σn)

những hàm chọn của Γ với (TS, B(X)) đo được sao cho với mọi t ∈ T, {σn(t)} trù

mật trong Γ(t) Hơn thế nữa, nếu P là không gian Polish và h : P → G là liên tục

và lên thì có thể chọn được σnsao cho σn = prX ◦ h ◦ ρn trong đó ρn : T → P là

TS đo được Vì vậy mỗi σnlà giới hạn của một dãy của những hàm TS đo được với giả thiết chỉ nhận một số hữu hạn giá trị, và nếu thêm µ là độ đo Radon trên T thì

σnlà µ-đo được Lusin.

Chứng minh. Giả sử P là Polish và h : P → G liên tục và lên Giả sử π : G → T làánh xạ (t, x) 7→ t Hàm đa trịP = (π ◦ h)−1có đồ thị H đóng trong T × P

Vì vậy, nếu U là tập mở trong P thìP−

Định lý 1.2.20 Giả sử S1 và S2 là các không gian Suslin và ϕ : S1 → S2 là ánh

xạ liên tục lên S2 Khi đó tồn tại ánh xạ σS2 → S1 sao cho ϕ ◦ σ(s) = s với mọi

s ∈ S2, và σ đo được đối với σ -trường TS(S2) sinh bởi những tập con Suslin của S2

và Borel σ -trường trong S1 Hơn thế nữa, σ là giới hạn của một dãy hàm TS(S2) đo

được với giả thiết chỉ nhận một số hữu hạn giá trị, và nếu thêm vào giả thiết µ là độ

đo Radon trên S2 thì σ là µ-đo được Lusin.

Chứng minh. Điều này suy ra từ định lý 1.2.11 với T = S2, X = S1, và Γ = ϕ−1.Thật vậy đồ thị của ϕ−1là đóng (bời vì ϕ liên tục) trong S1× S2, do đó Suslin

Bổ đề 1.2.21 Cho X là không gian topo và Y ⊂ X Khi đó B(Y ) = B(X) ∩ Y (ở

đây ta kí hiệu B(X) ∩ Y = {B ∩ Y |B ∈ B(X)}).

Chứng minh. Ánh xạ nhúng i : Y → X là liên tục, do đó Borel đo được, và nếu

B ∈ B(X), i−1(B) = B ∩ Y thuộc B(Y ) Điều đó chứng tỏ B(X) ∩ Y ⊂ B(Y ) Ngược lại, B(Y ) sinh bởi những tập mở của Y Nhưng với mọi tập mở U trong Y làgiao của Y với một tập mở của X , suy ra U ∈ B(X) ∩ Y

Định nghĩa 1.2.7 Giả sử (T, T ) là không gian đo được Nếu µ là một độ đo dương

trên (T, T ), Tµkí hiệu là µ-đầy đủ của T Và kí hiệu ˆT = ∩Tµvới tất cả các độ đo dương bị chặn µ Những tập thuộc ˆT được gọi là đo được phổ dụng.

Chú ý rằng nếu µ là độ đo σ-hữu hạn thì tồn tại một độ đo bị chặn Cũng chú ý rằng

nếu µ là độ đo σ-hữu hạn trong (T, T ) thì ˆT = Tµ.

Định lý 1.2.22 Cho (T, T ) là không gian đo được và S là không gian Suslin Giả

sử Γ là hàm đa trị từ T đến các tập con khác rỗng của S, đồ thị G của Γ chứa trong

T ⊗ B(S) Khi đó tồn tại dãy (σn) những hàm chọn của Γ sao cho {σn(t)} trù mật

trong Γ(t) với mọi t, và σn đo được đối với T và B(S) Hơn thế nữa, ta có thể chọn

σn sao cho: σn là giới hạn của một dãy hàm đo được với giả thiết chỉ nhận một số hữu hạn giá trị, và nếu thêm vào giả thiết µ là độ đo Radon trong T (nếu T là không gian topo Hausdorff) thì σnlà µ - đo được Lusin.

Phương trình vi phân đa trị trong không gian Banach Nghiệm lơi hóa của bao



· = ddt



trong đó F là hàm đa trị nhận giá trị lồi compact sao cho F (t, ·) là nửa liên tục trên

và F (·, x) ds-đo được, F thỏa tổng quát điều kiện khả tích Caratheodory, X(t) lànghiệm của phương trình vi phân đa trị

Định nghĩa 2.1.1 Cho E là không gian Hausdorff lồi địa phương và CE[0; T ] là

không gian vector của tất cả ánh xạ liên tục từ đoạn [0; T ] của R vào E Ta trang bị cho CE[0; T ] topo hội tụ đều trên [0; T ].

Cho ds là độ đo Lebesgue trên [0; T ] và Γ là ánh xạ ds-khả tích vô hướng từ [0; T ] với giá trị lồi compact khác rỗng trong E.

Kí hiệu SΓlà tập các hàm chọn ds-khả tích vô hướng của Γ và xác định tích phân

31

0

t Γ(s)ds của Γ trên [t; t0] với

Z t0t

Γ(s)ds = {

Z t0t

f (s)ds|f ∈ SΓ}

trong đóRt

0

t f (s)ds là tích phân yếu của hàm f ds-khả tích vô hướng trên [t; t0].

Ta kí hiệu Eσ là không gian vector E được trang bị topo yếu σ(E, E0).

Định nghĩa 2.1.2 Điều kiện Caratheodory

Cho F (t, x) là hàm đa trị Hàm đa trị F (t, x) thỏa điều kiện Caratheodory khi đo được theo biến thứ nhất và liên tục (hoặc Lipchitz) theo biến thứ hai.

Định nghĩa 2.1.3 Điều kiện Filippov

Cho F (t, x) là hàm đa trị Hàm đa trị F (t, x) thỏa điều kiện Filippov khi đo được theo biến thứ nhất và nửa liên tục trên yếu (hoặc Lipchitz) theo biến thứ hai.

Ta có thể phát biểu định lý tồn tại nghiệm sau đây

Định lý 2.1.1 Cho E là không gian Suslin lồi địa phương, cho U là một tập mở của

Eσ và M là tập con lồi compact chứa trong U Cho Γ là hàm đa trị ds-khả tích vô hướng trên [0; T ] nhận giá trị lồi compact khác rỗng trong Eσ và F là hàm đa trị trên [0; T ] × U nhận giá trị lồi compact khác rỗng trong Eσ sao cho

(i) Với mọi t ∈ [0; T ] , mọi x ∈ U, F (t, x) ⊂ Γ(t)

(ii) Với mọi x ∈ E , mọi x0 ∈ E0, δ∗(x0, F (·, x)) là ds-đo được

(iii) Với mọi t ∈ [0; T ] , mọi x0 ∈ E0, δ∗(x0, F (t, ·)) là nửa liên tục trên trên U

Nếu với mọi t, t0 trong [0; T ], tích phân yếuRt

c) Hàm đa trị ξ → Sξ là nửa liên tục trên từ M vào CEσ[0; T0].

Chứng minh. a) Cho V là lân cận của gốc đối với topo yếu σ(E, E0) sao cho M +

V ⊂ U Khi đó, do ta đã chứng minh được rằng hàm đa trị

t →

Z t 0

X0(s)ds, X0 ∈ SΓ}

Do Định lý VI-1 trong [3], X là tập con compact của không gian CE σ[0; T0] và khảmetric do topo của X bằng topo hội tụ theo từng điểm trên một tập con trù mật đếmđược của [0; T0] Với mọi X ∈ X và mọi ξ ∈ M , cho

σ(s)ds, t ∈ [0; T ]chứa trong X cho nên Φ(X) khác rỗng Bây giờ ta phải chứng minh rằng hàm đa trị

Φ xác định trên X là nửa liên tục trên bằng cách áp dụng hợp lý định lý điểm bấtđộng Kakutani-Ky-Fan.(xem ví dụ Berge trong [8])

Cho G là tập con của M × X sao cho X(0) = Y (0) = ξ và Y0(t) ∈ F (t, X(t))hầu khắp nơi Ta chỉ cần chứng minh rằng G là một tập con đóng của M × X Cho