Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân th à n h tới các thầy, cô phòng sau đại học và thầy cô giảng dậy lớp K17 toán giải tích đợt 2 trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ tác
Trang 1BỘ GIÁO D ỤC VÀ ĐÀO TẠO
TR Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2
B Ù I T H Ế K Ỷ
S ự TỒN TẠI VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM • • • • CẬN NGHIỆM ĐỐI VỚI BAO HÀM THỨC VI PH Â N VỚI ĐIỀU KIỆN
KHÔNG CỤC BỘ
L U Ậ N V Ă N T H Ạ C S Ĩ T O Á N H Ọ C
H À N Ộ I, 2015
Trang 3Lời C ảm ơ n
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Nguyễn T h àn h Anh người thầy đã luôn tậ n tình hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tác giả trong quá trình làm luận văn
Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân th à n h tới các thầy, cô phòng sau đại học và thầy cô giảng dậy lớp K17 toán giải tích đợt 2 trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường
Qua đây, tác giả xin chân th àn h cảm ơn tới bạn bè và người th ân trong gia đình đã luôn động viên, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả về mọi m ặt trong suốt quá trìn h học tập và thực hiện luận văn này
Mặc dù tác giả đã rất cố gắng trong quá trình thực hiện luận văn, tuy nhiên khó trá n h khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong được sự đóng góp
ý kiến của các quý thầy cô, để luận văn được hoàn thiện hơn
X i n t r â n t r ọ n g c ả m ơn!
Hà Nội, ngày ỉ tháng 12 năm 2015
Học viên
B ù i T h ế K ỷ
Trang 4Lời C am Đ oan
Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này
là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đõ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm
ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc
Tác giả
B ù i T h ế K ỷ
2
Trang 5M ụ c lục
Lời cảm ơ n 1
Lời cam đ o a n 2
Mục l ụ c 3
M ở đ ầ u 4 1 M ộ t số k i ế n t h ứ c c h u ẩ n b ị 7 1.1 Một số tính chất hình học của không gian B a n a c h 7
1.2 Độ đo k h ô n g -c o m p a c t 8
1.3 Lý thuyết nửa n h ó m 10
1.4 Lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị n é n 11
1.5 Toán tử m-tiêu t á n 13
1.6 Một số kết quả đối với bài toán với điều kiện ban đầu cục bộ 14 2 S ự t ồ n t ạ i v à d á n g đ i ệ u t i ệ m c ậ n n g h i ệ m đ ố i với b a o h à m t h ứ c v i p h â n với đ i ề u k iệ n k h ô n g c ụ c b ộ 16 2.1 P h á t biểu bài t o á n 16
2.2 Sự tồn tại nghiệm trong trường hợp S(t) đồng liên tục 17
2.3 Sự tồn tại nghiệm trong trường hợp S(t) không compact, không đồng liên t ụ c 22
2.4 Dáng điệu tiệm cận n g h i ệ m 25
2.5 Ví dụ áp d ụ n g 28
Tài liệu tham k h ả o 32
Trang 6M ở đầu
1 Lý do chọn đề tài
Lý thuyết bao hàm thức vi phân, hay còn gọi là phương trình vi phân
đa trị là lĩnh vực nghiên cứu được ph át triển rất m ạnh trong lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân hiện nay Như chúng ta đã biết, mọi lĩnh vực mới trong toán học đều x uất hiện và p hát triển, hoặc là do mục đích ph át triển tự nhiên của toán học hướng đến các khái niệm và kết quả ngày càng tổng quát hơn, hoặc là do nhu cầu ứng dụng đòi hỏi Lý thuyết bao hàm thức vi phân không phải là trường hợp ngoại lệ của qui luật này
X uất hiện ban đầu như là sự mở rộng của khái niệm phương trình vi phân thường, lý thuyết bao hàm thức vi phân ngày càng thâm nhập m ạnh
mẽ vào các lĩnh vực khác nhau của toán học và các ngành khoa học khác nhiều ứng dụng to lớn của nó
Trong lịch sử ph át triển của lý thuyết bao hàm thức vi phân trước hết phải kể đến các công trình nghiên cứu của Marchaud và Zaremba từ những năm 30 đã đề cập đến bài toán tồn tại nghiệm và các tính chất tập nghiệm của bao hàm thức vi phân trong không gian hữu hạn chiều Các công trình chủ yếu đ ặt nền móng cho sự p hát triển m ạnh mẽ của lý thuyết bao hàm thức vi phân như một lĩnh vực nghiên cứu độc lập được công bố tập trung vào những năm 60 bởi các tác giả như Filippov, Plis,
W azew sk Lý thuyết này tiếp tục được đẩy m ạnh nghiên cứu vào những năm 70, 80 trong hàng loạt các công trình nghiên cứu của các tác giả như Castaing, Valadier, Aubin, Tolstonogov
Các vấn đề được nghiên cứu trong bao hàm thức vi phân là vấn đề tồn tại nghiệm, các tính chất định tính và cấu trúc của tập nghiệm Các tính chất phụ thuộc liên tục vào th am số và điều kiện ban đầu, các nghiệm tu ần hoàn, lý thuyết rẽ n h á n h Trong đó sự tồn tại nghiệm là m ột trong những vấn đề chính được nhiều nhà khoa học quan tâm Với mong muốn tìm hiểu
4
Trang 7sâu về vấn đề này, cùng với sự giúp đỡ tậ n tình của thầy TS.Nguyễn T hành Anh tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “S ự t ồ n t ạ i v à d á n g đ i ệ u t i ệ m c ậ n
n g h i ệ m đ ố i với b a o h à m t h ứ c v i p h â n với đ i ề u k iệ n k h ô n g c ụ c
b ộ ” Luận văn sẽ được hoàn th àn h dựa chủ yếu vào các kết quả đượccông bố trong bài báo “Existence and asymptotic properties of solutions
of nonlinear multivalued differential inclusions with nonlocal conditions”,
J M ath Anal Appl 390 (2012) 523-534, của các tác giả Lanping Zhu, Qianglian Huang, Gang Li
2 M ục đích ngh iên cứu
Chứng minh được sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của bao hàm thức vi phân
3 N h iệm vụ n gh iên cứu
+ Tìm hiểu về không gian Banach
+ Tìm hiểu về lý thuyết nửa nhóm, toán tử m-tiêu tán
+ Tìm hiểu lý thuyết về độ đo không compact
+ Tìm hiểu lý thuyết điểm b ất động
+ Chứng minh sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của bài toán tổng quát
4 Đ ối tư ợng và phạm vi n gh iên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: bao hàm thức vi phân với điều kiện không cụcbộ
+ P hạm vi nghiên cứu: sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm của bài toán
5 P h ư ơn g pháp n gh iên cứu
Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ giải tích bao gồm: + Lý thuyết nửa nhóm
+ Lý thuyết điểm bất động
Trang 86 D ự kiến đóng góp
Chứng minh chi tiết và trình bày hệ thống những kết quả trong bài báo trích dẫn trên
6
Trang 9S ( X ) = {x G X : ||x|| = lỊk h ô n g chứa các đoạn không tầm thường nào.
Không gian Banach được gọi là lồi đều khi và chỉ khi cho £ > 0 tồn tại
ố > 0 sao cho Va;, y G S ( x ) mà ||a; — y\\ > £ ta có
Không gian Banach X được gọi là trơn đều nếu
/Oz(0) = lim ^ ^ = 0.
H y ’ t “ 0 t
X * là lồi đều khi và chỉ khi X là trơn đều.
Một số tính chất hình học của không gian Banach X
i) Nếu X là trơn đều, thì J là đơn trị và liên tục đều trên các
tập con bị chặn của X
Trang 10ii) Nếu X là phản xạ và lồi ngặt, mỗi tập con khác rỗng lồi
đóng К của X là m ột tập Chebyshev Trong trường hợp
này, chúng ta gọi Pk là phép chiếu điểm gần nh ất ánh xạ từ
I I — жII —> 0 khi n —> + 0 0 Khi đó X có chuẩn Kadec-Klee
Kí hiệu C ( [ 0 ,T ] ; X ) là không gian của hàm liên tục từ [0,T] tới X với
1.2 Đ ộ đo k h ông-com p act
Cho X là không gian Banach Kí hiệu:
Trang 11г) đơn điệu nếu f ỉ( b ^ i € V b ( x ) , í l о с ÍỈ1 suy ra
ß i ^ o ) < ß f ä i ) ;
ii) không suy biến nếu /3({a} и íỉ) = /3(íỉ) với bất kì
ữ G X , rỉ G 'Pị^X^Ị
in) bất biến với hợp các tập compact nếu ß ( K и íỉ) = /3(fỉ)
với mọi tập compact tương đối к с X và íỉ ẽ V b { x ) ;
iv)nửa cộng tính đại số nếu /3(íỉo + ^ l ) < ß {^0 + ß ) { ^ i ) với
mọi ^ 0 , ^ 1 £ V b{X);
v)chính quy nếu /3(Í2) = 0 khi và chỉ khi Í2 là tập compact
tương đối
Định nghĩa độ đo Hausdorff X : Pb{X) —> M+ bằng
X = in f{ r > 0 : В có thể phủ bởi hữu hạn hình cầu bán kính r}
M ệ n h đ ề 1.1 Cho X là độ đo không-compact H ausdorff trong X và íĩ с
X là một tập bị chặn Khi đó, với Ve > 0, 3 {жп} с íỉ sao cho
M ệ n h đ ề 1.3 ([15]) Cho D с L 1( 0 , T ; X ) sao cho:
1- ||£(í)|| < v {t)> với mọi £ € D và với hầu khắp t ẽ [0,T],
2 x ( D ( t )) < q( t) với hầu khắp t ẽ [0,T], trong đó V, q ẽ L 1(0 ,T ) Khi đó,
x ( Ị D(s)ds) < 4 [ q(s)ds,
trong đó f* D ( s ) d s = { / ^ ( s ^ s : £ G D }
Trang 12B ổ đ ề 1.1 ([7]) Cho Y là một không gian Banach tách được và { Y m} m> 1
là một dãy tăng của không gian con hữu hạn chiều sao cho Y = \J™= 1 Ym Khi đó
x ( A ) = lim lim sup d(xk, Ym),
m->°° k—^00
đối với bất kỳ A — {Xfc : k ^ 1} c Y.
B ổ đ ề 1.2 ([7], B ổ đề 2) Cho X là không gian Banach và w c i-1 ([0, T]; X )
là khả tích đều Giả sử rằng tồn tại tập compact tương đối yếu C ( t ) c X sao cho f ( t ) € C ( t ) hầu khắp nơi trên [0,T], với mọi f ( t ) ẽ w Khi đó
w là compact tương đối yếu trong L 1( [ 0 ,T ] ) ,X )
1.3 Lý th u y ết nửa nhóm
Đ ị n h n g h ĩ a 1.2 Cho X là không gian Banach X é t ánh xạ
s : R + -> C Ụ C )
t !-»■ S ( t ) thỏa mãn:
1 5 (0 ) = I ,
2 S ( t + s) = S ( t ) S ( s ) , Ví, s > 0,
3 t I—>■ S ( t ) x liên tục với mỗi X € X
Khi đó, s được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh hay Co-nửa nhóm trên X Nếu thay (3) bởi ( 3 ’): í K S ( t ) liên tục thì ta nói s là nửa nhóm liên tục đều.
Chứng minh Cho e > 0, từ M ệnh đề 1.1 suy ra 3 {£n} c D sao cho:
10
Trang 13Đ ị n h n g h ĩ a 1.3 (Phần tử sinh của Co-nửa nhóm)
Giả sử s là Cf)-nửa nhóm trên X
Khi đó, ( A : D ( Á ) ) được gọi là phần tử sinh của nửa nhóm s.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.4 Giả sử (S'(í) là một Cũ-nửa nhóm trên X Khi đó, s được gọi là nửa nhóm compact nếu S ( t ) là toán tử compact với mọi t > 0.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.5 Cf)-nửa nhóm S ( t ) trên không gian Banach X gọi là co nếu
||S (t)|| < 1, Ví > 0
1.4 Lý th u y ết điểm bất độn g cho ánh x ạ đa trị nén
Cho A : B € P b f ( x ) và cho X € A Khi đó
là m ột metric và được gọi là metric Hausdorff trên X
Đ ị n h n g h ĩ a 1.6 Cho X , Y ỉà hai tập con bất kì và T : X —> 2y là ánh
xạ từ X vào tập hợp toàn bộ các tập con của Y Khi đó, ta nói T là ánh
xạ đa trị từ X vào Y , tức là với mỗi X G X ì Jr (x) là tập con của Y
Đ ị n h n g h ĩ a 1.7 ([ 6 ]) Một ánh xạ đa trị T : [0,T] —> P f ( X ) được gọi là
đo được, nếu d(x, J 7(.)) là đo được với mọi X € X
Trang 14Đ ị n h n g h ĩ a 1.8 Tập con в с X , в ^ 0, gọi là khả co nếu tồn tại x ữ G в
và hàm liên tục
h : [ 0 , 1 ] X В - > В
sao cho
h ( о, X ) = x 0 , h ( 1, x ) — X t r ê n B
Cho Y là một không gian metric.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.9 Án h xạ đa trị T : Y —> V ( X ) được gọi là:
i) nửa liên tục trên nếu ) = { y € Y : J~(y) и V Ф 0} là
tập con đóng của Y với mọi tập đóng V с X ;
ii)nửa liên tục trên yếu nếu J 7_1( y ) là tập con đóng của Y với mọi tập đóng yếu V с X ;
iii)đóng nếu đồ thị của nó Tjr = { ( y : z) : 2 ẽ là tập con đóng của Y X X ;
iv)compact nếu T là compact tương đối trong X ;
V) tựa compact nếu hạn chế của T trên A là compact với
А С Y là tập compact bất kì.
Đ ị n h n g h ĩ a 1.10 ([ 6 ]) Một ánh xạ đa trị T : X P f ( X ) gọi là
(1) 7 — L i p s c h i t z khi và chỉ khi tồn tại 7 > 0 sao cho
H (J 7 ( x ) , T ( y ) ) < 7d(x, y ), với mỗi x , y G X ,
(2) co nếu và chỉ nếu nó là 7-Lipschitz với 7 < 1 ,
(3) có điểm bất động nếu có X G X sao cho X G Tập hợp các điểm bất động của ánh xạ đa trị T được kí hiệu bởi F ỉ x T
B ổ đ ề 1.3 ([7], B ổ đề 1) Cho X là một không gian Banach, 0 Ф D с X compact lồi và T : D P ( D ) nửa liên tục trên với giá trị co đóng Khi
đó T là điểm cố định.
Bổ đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra một ánh xạ đa trị là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới)
B ổ đ ề 1.4 ([ 14 ], Định lí 1.1.12) Cho G : Y —> V ( X ) là một ánh xạ đa trị đóng tựa compact với giả trị compact Khi đó, G là nửa liên tục trên.
12
Trang 15B ổ đ ề 1.5 ([3], Mệnh đề 2) Cho X là một không gian Banach và íỉ là tập con khác rỗng của một không gian Banach khác Giả sử
T : Q ^ V { X )
là ánh xạ đa trị có giá trị compact yếu và lồi Khi đó, T là nửa liên tục
t r ê n y ế u n ế u v à c hỉ n ế u { x n } с Í2 v ớ i x n —¥ X q € v à y n G J - ( x n ) s u y ra
Уп Уо € ^ ( x ^ f i h e o một dãy con nào đó).
Bây giờ chúng ta đưa ra khái niệm ánh xạ đa trị nén
Đ ị n h n g h ĩ a 1.11 Á nh xạ đa trị T : z ç X —>• V ( X ) được gọi là nén
v ớ i độ đo k h ô n g - c o m p a c t ß (ß- n en ) n ế u v ớ i t ậ p bị chặn bất kì с z ,
ạ ự ì ) < ạ ự m
thì íỉ là tập compact tương đối
Cho ß là độ đo không-compact đơn điệu, không suy biến trong X Lý
thuyết về bậc tô-pô đối với định lý ánh xạ nén đưa đến nguyên lý điểm bất động sau đây (xem[l, 11])
Đ ị n h lý 1.1 ([ 14 ]ĩ Hệ quả 3.3.1) Cho Л4 là tập con đóng lồi, bị chặn của
X và cho T : A4 —> K V(A4) là nửa liên tục trên và ß-nen Khi đó, tập điểm bất động F i x ^ J 7 := {x G khác rỗng và compact.
T ừ đó ta có kết quả sau sẽ được sử dụng cho định lí tồn tại nghiệm
B ổ đ ề 1.6 ([19]) Cho ( X , d ) là không gian metric đầy Nếu
N : X P f { X )
là một ánh xạ đa trị co, thì F i x N ^ 0
1.5 Toán tử m -tiêu tán
Đ ị n h n g h ĩ a 1.12 ([5]) Một ánh xạ đa trị A với miền xác định D ( A )
được gọi là tiêu tán nếu | | a ; i — ж 2 II ^ И Ж 1 — x 2 ~ A (У1 — 2 / 2 ) II với mọi
Л > 0, Xị € D ( A ) , ĩji € A x ị , ỉ = 1,2 Hơn nữa nếu R ự — А ) = X , thì А được gọi là m —tiêu tán.
Trang 16Theo [9], nếu A là r a —tiêu tán, thì A sinh ra nửa nhóm co
{S ( t ) : t > 0} trên D ( A ) Nửa nhóm { S ( t ) : t > 0} được gọi là đồng liên tục nếu
{ S ( ) x : X e A }
là đồng liên tục với bất kì t > 0 với mọi tập con bị chặn A c X
1.6 M ột số kết quả đối với bài to á n với điều kiện
Trang 17B ổ đ ề 1.8 ([17]) Cho X là không gian Banach và cho
Đ ị n h n g h ĩ a 1.14 Tập con G c -^([O, T ) ] X ) được gọi là khả tích đều nếu f E \\f\\dt hội tụ về 0 đều theo f G G khi n ( E ) 0, trong đó n ( E ) là
độ đo Lebesgue trên [0,T].
B ổ đ ề 1.10 ([23], Định lí 2.1) Nếu A sinh ra nửa nhóm đồng liên tục
S ( t ) , B G L 1( [ 0 ,T ] ) ;X ) là khả tích đều và c c D ( A ) là compact, thì tập
n = { u : u là n g h i ệ m t í c h p h ẫ n c ủ a ( 1 1 ) v ớ i f ẽ B v à U q € c } là đ ồ n g
liên tục và bị chặn trong ơ ( [ 0 , T ] ; X )
B ổ đ ề 1.11 ([9], B ổ đề 2.3.2) Cho X là một không gia Banach mà tô
pô đối ngẫu là đều lồi, và cho { u n} , { v jfc} là hai dãy trong C([a,b]’, X ) , và { f n } i { f'kì là hai dãy trong L 1([a: &]) Nếu lim u n = u, lim Vk = V hội