Về môđun cohen macaulay suy rộng

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ sở và các kết quả cần thiết sử dụng trong luận văn như sự phân tích nguyên sơ của môđun, chiều Krull của môđun

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LỜI NÓI ĐẦU

Khái niệm môđun Cohen-Macaulay suy rộng được đưa ra bởi Nguyễn Tự Cường, NgôViệt Trung và P Schenzel (1978) Gốc rễ của nó là vấn đề của D A Buchsbaum,phỏng đoán rằng hiệu

Dẫn đến [3] nghiên cứu môđun M với tính chất

I(M) := sup I(q;M)<

trong đó q chạy suốt trong các iđêan tham số của M, và đó chính là môđun

Cohen-Macaulay suy rộng

Lý thuyết về môđun Buchsbaum phát triển nhanh bởi sự đóng góp của S Goto, P.Schenzel, J Stuckrad, W Vogel Bên cạnh đó người ta cũng thấy rằng hầu hết cáctính chất của hệ tham số của môđun Buchsbaum cũng đúng với hệ tham số của môđunCohen-Macaulay suy rộng được chứa trong lũy thừa bậc cao của iđêan cực đại Chẳng

hạn, nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng, thì tồn tại số nguyên dương n sao

cho

I(q; M) = I(M)

Mục đích chính của [6] là chứng minh rằng hệ tham số chuẩn tắc có những thông tinquan trọng trong cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Luận văn nghiên cứu và trình bày lại một cách chi tiết trong các vấn đề về môđunCohen Macaulay suy rộng trong tài liệu [6] của Ngô Việt Trung

Luận văn được trình bày trong hai chương:

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ sở và các kết quả cần thiết

sử dụng trong luận văn như sự phân tích nguyên sơ của môđun, chiều Krull của

môđun, độ dài của môđun, hệ tham số, số bội, dãy lọc chính qui (f-dãy), …

Chương 2 MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG

Trong chương này chúng tôi trình bày những vấn đề cơ bản, hệ tham số chuẩn tắc vàiđêan chuẩn tắc trong cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Luận văn được hoàn thành tháng 09 năm 2014 tại Trường Đại học Đồng Tháp dưới sựhướng dẫn của TS Đào Thị Thanh Hà Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đến cô, người đã tận tình hướng dẫn tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.Tôi cũng xin chân thành cám ơn quý thầy cô giáo trong bộ môn, thầy cô giáo trongkhoa toán, khoa đào tạo Sau đại học – Trường Đại học Vinh, đã nhiệt tình giảng dạy,góp ý kiến và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn.Cuối cùng xin chân thành cảm ơn gia đình, tập thể lớp Đại số và Lý thuyết số khóa 20Trường Đại học Vinh, bạn bè đã động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập vàhoàn thành luận văn

Trong quá trình làm luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc chắn khôngtránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô vàcác bạn để luận văn được hoàn thiện hơn xin chân thành cảm ơn

Nghệ An, tháng 09 năm 2014

Tác giả

MỤC LỤC

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Độ dài môđun 3

1.2 Chiều Krull 4

1.3 Hệ tham số Số bội 5

1.4 Dãy chính qui Dãy lọc chính qui 7

1.5 Iđêan nguyên tố liên kết 8

1.6 Môđun đối đồng đều địa phương 9

1.7 Môđun Cohen-Macaulay 11

Chương 2 MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG 13

2.1 Những vấn đề cơ bản về môđun Cohen-Macaulay suy rộng 13

2.2 Hệ tham số chuẩn tắc 18

2.3 Iđêan chuẩn tắc 26

KẾT LUẬN 29

TÀI LIỆU THAM KHẢO 30

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong suốt luận văn, luôn kí hiệu vành là giao hoán, địa phương Noether với iđêan

cực đại m và M là R-môđun hữu hạn sinh.

1.1 Độ dài môđun

1.1.1 Định nghĩa Một R-môđun M khác môđun không được gọi là môđun đơn nếu

M chỉ có đúng hai môđun con là môđun con không và chính nó.

1.1.2 Định nghĩa Một dãy hợp thành của một R-môđun M là một dãy giảm gồm một

số hữu hạn các môđun con

của dãy hợp thành này.

1.1.3 Ví dụ

(a) Một không gian véctơ có dãy hợp thành khi và chỉ khi nó có chiều hữu hạn

(b) Một không gian véctơ có dãy hợp thành với độ dài d khi và chỉ khi nó có chiều d.

1.1.4 Định lý Nếu R-môđun M có một dãy hợp thành với độ dài n, thì tất cả các dãy

hợp thành của M cũng có độ dài n Hơn thế nữa, mỗi dãy tăng hoặc giảm thực sự các môđun con của M đều có độ dài không vượt quá độ dài của dãy hợp thành, và đều có thể mở rộng thành một dãy hợp thành của M.

Từ Định lý 1.1.4 ta có định nghĩa sau

1.1.5 Định nghĩa Độ dài của dãy hợp thành tùy ý của R-môđun M được gọi là độ dài

của môđun M và kí hiệu là lR( )M hoặc đơn giản là l( )M Nếu R-môđun M không có

được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n.

Cho p Spec R∈ ( ) , cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố với p0 = p được

gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht p( ) Nghĩa là

( ) sup

Cho I là một iđêan của R khi đó độ cao của iđêan I được định nghĩa như sau

( ) inf ht p /{ ( ) ( ), }.

ht I = p Spec R p∈ ⊇ I

Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố R được gọi là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dim R hay dimK R.

(Nhớ rằng nếu xem K là K-không gian véctơ thì dim K=1)

với p là số nguyên tố Hơn nữa mọi iđêan p¢ với p nguyên tố là iđêan cực đại Từ đó

xích nguyên tố của ¢ có độ dài lớn nhất có dạng ( )0 ⊂ p¢ ⇒ dim¢¢ = 1)

1.3.2 Chú ý Hệ tham số của môđun M luôn tồn tại.

1.3.3 Mệnh đề Cho (R m, ) là vành địa phương Noether và x1 , ,x d là một hệ

thức này được gọi là đa thức Hilbert-Samuel.

1.3.6 Nhận xét Ta có degP q M, ( )n = dimM =d. Hơn nữa

(i) Số tự nhiên e q M0( , ) trong khai triển (*) của P q M, ( )n được gọi là số bội của

M đối với iđêan tham số q.

(ii) Đặc biệt khi q m= ta kí hiệu là số bội e q M( , ) =e q M0( , ) ( )=e M và gọi là số bội của môđun M.

1.3.8 Ví dụ Số bội của vành đa thức R k x= [ 1 , ,x n] là 1

1.4 Dãy chính qui Dãy lọc chính qui

1.4.1 Định nghĩa Cho M là R-môđun.

1.4.2 Định nghĩa Cho I ⊆R là một iđêan Nếu x1 , ,x t∈I và là dãy chính qui thì dãy

{x1 , ,x t} được gọi là dãy M-chính qui cực đại nếu không tồn tại y I∈ để {x1 , , ,x y t } là

một dãy M-chính qui và t được gọi là độ dài của dãy trên.

qui cực đại nằm trong iđêan I luôn như nhau Vì vậy ta có định nghĩa sau:

1.4.3 Định nghĩa Cho (R m, ) là vành địa phương Noether Khi đó độ dài của dãy

của môđun M.

1.4.4 Chú ý Cho M là R-môđun Ta luôn có depth M ≤ dimM

1.4.5 Định nghĩa Cho x={x1 , ,x d} là một hệ tham số của môđun M x được gọi là

dãy lọc chính qui hay f-dãy nếu

1.5 Iđêan nguyên tố liên kết

1.5.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun Một iđêan nguyên tố p của R được gọi là

iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử x M∈ để

(i) Nếu N là một môđun con của M thì Ass( )N ⊆ Ass( )M ;

(ii) Nếu M là R-môđun Noether thì Ass M( ) là tập hữu hạn.

1.5.3 Định nghĩa Môđun con N của M được gọi là môđun con nguyên sơ nếu

( )

Ass M N chỉ gồm một phần tử Tức là tồn tại một iđêan nguyên tố p sao cho

( ) { }

Ass M N = p Khi đó ta nói N là môđun con p-nguyên sơ.

1.5.4 Định nghĩa Cho N là môđun con của M N được gọi là có phân tích nguyên sơ

nếu N được biểu diễn dưới dạng

trong đó N i là môđun con p i-nguyên sơ, i =1, , r

1.5.5 Định lý Nếu N là một môđun con của môđun Noether M thì N có phân tích

nguyên sơ, và do đó có một phân tích nguyên sơ thu gọn.

1.5.6 Định lý Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R Khi đó nếu

môđun con N của M có phân tích nguyên sơ thu gọn

1

r i i

N N

=

=I , trong đó N i là môđun con p i -nguyên sơ với i = 1, ,r , thì các p i là duy nhất xác định bởi N0 và ta có

1.6 Môđun đối đồng đều địa phương

Khái niệm đối đồng điều địa phương được đưa ra bởi Grothendieck Giả sử R là vành giao hoán địa phương Noether, I là iđêan của R và M là R-môđun Ta có

1.6.2 Định nghĩa Hàm tử Γ = ΓI I ( )g xác định ở trên được gọi là hàm tử I-xoắn.

1.6.3 Định nghĩa Xét dãy nội xạ của môđun M

được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M với giá là iđêan I.

1.6.4 Định nghĩa Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử I-xoắn ΓI được gọi là hàm

tử đối đồng điều địa phương với giá là I và kí hiệu là i( )

H M = ∀ <i r

1.6.6 Hệ quả i( ) 0

I

H M = , ∀ <i depth M( ).

1.6.7 Định lý (Định lý triệt tiêu của Grothendieck) Cho I là iđêan của vành giao

hoán Noether R và M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d Khi đó

( ) 0,

i I

H M = ∀ >i d

(a) Xét vành đa thức n biến R k x= [ 1 , ,x n] Ta có {x1 , ,x n} là một dãy chính qui

của R Hơn nữa ta đã biết dimk x[ 1 , ,x n] =n và depth M ≤ dimM Suy ra {x1 , ,x n} làdãy chính qui cực đại Do đó depth R n= = dimR Vậy k x[ 1 , ,x n] là vành Cohen-Macaulay

x x y x y z

=

I I là k x y z[ , , ]-môđun

Ta có Ass M= x , ,{ ( ) ( ) (x y , , ,x y z) } Suy ra m=(x y z, , )∈ Ass M, vì vậy M không có phần

Cohen-Macaulay

Gọi x=(x1 , ,x d) là một hệ tham số của M, q xR= =(x1 , ,x R d) là một iđêan tham số

Đặt I M( ) =Sup I{ M( )q | q là iđêan tham số} Khi đó ta có mệnh đề sau.

1.7.3 Mệnh đề Các phát biểu sau là tương đương:

(i) M là môđun Cohen-Macaulay;

(ii) Tồn tại một hệ tham số x=( x1 , ,x d) của M để I M( )x = 0;

(iii) Với mọi hệ tham số x=(x1 , ,x d) của M thì I M( )x = 0;

(iv) I M( ) = 0.

Chú ý Tồn tại những môđun mà I M( ) = ∞

Chương 2 MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG

2.1 Những vấn đề cơ bản về môđun Cohen-Macaulay suy rộng

2.1.1 Định nghĩa M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu

(a) Mọi môđun có chiều bằng 1 là môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Chứng minh Do dimM = 1 nên theo Mệnh đề 2.1.2 ta chỉ cần chứng minh

x y I x y z là môđun Cohen-Macaulay suy rộng

(b) Mọi môđun Cohen-Macaulay là môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.7.3 và Định nghĩa 2.1.1

Môđun Cohen-Macaulay suy rộng có thể đặc trưng bằng nhiều phương pháp khácnhau:

2.1.4 Bổ đề [4, (3.3)].Các điều kiện sau là tương đương:

(i) M là môđun C-M suy rộng.

trong đó n1 , ,n d chạy trên tất cả các số nguyên dương.

(iv) Tồn tại một số nguyên dương n sao cho

q M a− ⊆q M m−

với mỗi hệ tham số a1 , ,a d của M và i= 1, , d

Ý nghĩa của Bổ đề 2.1.4 (ii) đã từng được đề cập trong Lời nói đầu Bổ đề 2.1.4 (iii)được sử dụng để kiểm tra một môđun có phải là môđun Cohen-Macaulay suy rộnghay không Để giải thích ý nghĩa của Bổ đề 2.1.4 (iv) ta cần đến khái niệm [1, (2.3)]như sau

2.1.5 Định nghĩa M được gọi là một f-môđun nếu mỗi hệ tham số a1 , ,a d của M là một M-dãy lọc chính qui hay f-dãy.

Từ Bổ đề 2.1.4 (iv), mỗi môđun Cohen-Macaulay suy rộng là một f-môđun Tất nhiên f-môđun cũng có nhiều tính chất thú vị.

2.1.6 Bổ đề [3, (2.5) và (2.11)] Các điều kiện sau là tương đương

(iv) M p là một môđun Cohen-Macaulay với

dimM p = −d dim / ,A p ∀ ∈p Supp M( ) \{ }m

2.1.7 Chú ý Khái niệm rút gọn của hệ tham số được đưa ra bởi M Auslander và D.

kết quả như sau:

2.1.8 Bổ đề [3, (3.8)] Giả sử A là một vành thương của vành Cohen-Macaulay Khi

đó M là một f -môđun khi và chỉ khi M là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng.

Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun Cohen-Macaulay suy rộng:

2.1.9 Bổ đề [3, (3.7)] Giả sử M là một môđun C-M suy rộng Khi đó

1

0

1 ( ) d ( i( )).

m i

i m i

d

H M I M i

2 2 1

Nói đúng hơn, Định lý 2.2.2 là một tiêu chuẩn cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Để chứng minh Định lý 2.2.2 ta sẽ cần đến kết quả sau:

2.2.3 Bổ đề Giả sử a1 , ,a d là một hệ tham số tùy ý của M Khi đó:

với mọi số nguyên dương n1 ≤m1 , ,n d ≤m d .

Chứng minh Theo qui nạp, ta có thể giả thiết rằng n i =m i với i d< Khi đó

Để quá trình được rút gọn ta cần đến các hệ quả sau đây của Định lý 2.2.2

2.2.4 Hệ quả a1 , ,a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M khi và chỉ khi a1 , ,a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M và qM ∩H M m0 ( ) 0 =

Chứng minh Từ H M m0 ( ) có độ dài hữu hạn, ta có e q M( ); =e q M( ; ) Vì vậy

Bây giờ, sử dụng mối quan hệ I M( )=I M( )−l(H M m0( )) của Bổ đề 2.1.10 (ii), ta dễ

2.2.5 Hệ quả Giả sử M là một môđun Cohen-Macaulay suy rộng với d ≥ 2 Khi đó

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng hệ tham số chuẩn tắc có thể được đặc trưng theo đốiđồng điều địa phương

2.2.6 Định lý a1 , ,a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M khi và chi khi

i

qH M q M =

với mọi số nguyên không âm i , j sao cho i+ <j d.

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng M là một môđun

Với d >1, đặt M1 =a M1 / Nếu a1 , ,a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M, khi đó

khi đó theo qui nạp a2 , ,a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M1 và theo Bổ đề 2.1.11

ta có I M( 1 ) =I M( ).

Do đó, từ Hệ quả 2.2.5 ta có a1 , ,a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M.

M Brodmann gọi dãy b1 , ,b r của phần tử của m là M-dãy m-chuẩn tắc nếu b1 , ,b r là

Do đó, từ Định lý 2.2.6 chính hệ tham số chuẩn tắc là dãy m-chuẩn tắc Đó là lý do tại

sao gọi là "chuẩn tắc"

Từ Định lý 2.2.6 ta có một số hệ quả sau

2.2.7 Hệ quả Giả sử a1 , ,a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M Khi đó

(i) a1 , ,a d là một d-dãy của M, có nghĩa là:

Chứng minh Từ [8, Định lý 1.1 và Hệ quả 1.2 (ii)], điều kiện (i) tới (iv) là tương

đương với nhau và

Đặc biệt, hệ tham số chuẩn tắc có một đặc trưng theo d-dãy như sau.

2.2.8 Mệnh đề a1 , ,a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M khi và chi khi từ mỗi hoán vị 1

Bây giờ hoán vị a1 , ,a d, ta dễ dàng chứng minh được rằng

I a( , , ; ) 12 a M d2 = I q M( ; ). W

2.2.9 Chú ý Có nhiều tiêu chuẩn để a1 , ,a d trở thành một d-dãy của M [8, Định lý

1.1] Một số tiêu chuẩn đơn giản như sau:

với mọi số nguyên không âm i , j sao cho i+ <j d Dấu " = " ở bất đẳng thức trên xảy

ra với mỗi sự hoán vị của a1 , ,a d khi và chỉ khi a1 , ,a d là một hệ tham số chuẩn tắc của M.

Chứng minh Với j = 0: hiển nhiên.

Với j > 0, từ Bổ đề 2.1.8 (i) ta có bất đẳng thức sau

Hơn nữa, từ Bổ đề 2.1.8 với j<d và i= 0, ,d− −j 1 dấu " = "ở bất đẳng thức trên xảy

0

( )

d d

được chứa trong �M là chuẩn tắc.

Chứng minh Giả sử a1 , ,a d là một hệ tham số của M được chứa trong �M Từ Định

đủ để chứng tỏ rằng

a M q M ⊇�M

với mọi số nguyên không âm i, j sao cho i+ <j d.

Với j = 0: hiển nhiên.

2.3 Iđêan chuẩn tắc

của A với l (M /�M) < ∞

2.3.1 Định nghĩa � được gọi là một iđêan M-chuẩn tắc nếu với mỗi hệ tham số của

M được chứa trong � là chuẩn tắc

Khái niệm này mở rộng khái niệm ở [2], ở đó iđêan chuẩn tắc có nghĩa là iđêan sinhbởi hệ tham số chuẩn tắc như Hệ quả 2.3.5 Sự tồn tại của iđêan chuẩn tắc được bảo

đảm bởi Bổ đề 2.1.6 hoặc chi tiết từ Mệnh đề 2.2.11 Đặc biệt, M trở thành môđun Buchbaum đồng nghĩa với m là M-chuẩn tắc.

Đầu tiên, ta sẽ thấy rằng iđêan chuẩn tắc có thể được đặc trưng theo nghĩa của d-dãy

và dãy yếu Và sau đó nó được giới thiệu trong [8] như sau

2.3.2 Định nghĩa Một dãy các phần tử của A được gọi là một M-dãy �-yếu nếu

(b1 , ,b i−1)M b: i ⊆(b1 , ,b i−1)M :�, ∀ =i 1, ,r

Dãy m-yếu ở đây được biết như là một dãy yếu và nó đóng một vai trò quan trọng

trong lý thuyết môđun Buchsbaum [5]

2.3.3 Mệnh đề Các điều kiện sau là tương đương

(i) � là M chuẩn tắc

(ii) Mỗi hệ tham số của M chứa trong � là một M-dãy �-yếu;

(iii) Mỗi hệ của tham số M chứa trong � là một d-dãy của M.

Chứng minh (i)⇒(ii) Giả sử a1 , ,a d là một hệ của tham số tùy ý của M được chứa

trong � Giả sử S là một tập sinh của � sao cho mỗi tập con d phần tử của

{ 1, , d}