Về môđun cohen macaulay suy rộng chính tắc và một số quỹ tích không cohen macaulay trên vành noether địa phương

Khi R l th÷ìng cıa mºt v nh Gorenstein àa ph÷ìng, M câ mæ un ch‰nh t›c KM : Ta nâi M l Cohen-Macaulay ch‰nht›c t÷ìng øng Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c n‚u mæ un ch‰nht›c KM cıa M l C

Cho (R; m) l v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng, M l R-mæ un hœuh⁄n sinh câ chi•u Krull dim M = d: Quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa

M, kþ hi»u nCM(M), l t“p c¡c i ¶an nguy¶n tŁ p cıa R sao cho Mp khæng lCohen-Macaulay Khi R l th÷ìng cıa mºt v nh Gorenstein àa

ph÷ìng, M câ mæ un ch‰nh t›c KM : Ta nâi M l Cohen-Macaulay ch‰nht›c (t÷ìng øng Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c) n‚u mæ un ch‰nht›c KM cıa M l Cohen-Macaulay (t÷ìng øng Cohen-Macaulay suy rºng).

Lu“n ¡n nghi¶n cøu v• mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nht›c v mºt sŁ quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay: quÿ t‰ch khængCohen-Macaulay nCM(M); quÿ t‰ch khæng Cohen-MacaulaynCM(KM ); v quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay theo chi•u > s cıa M;

kþ hi»u l nCM>s(M): Trong lu“n ¡n, chóng tæi °c tr÷ng c§u tróc cıa mæ

un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c Chóng tæi l m rª mŁi quan h»giœa quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa mæ un ch‰nh t›c KM vquÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa M: Chóng tæi công nghi¶n cøut“p i ¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t, chi•u v sŁ bºi cıa mæ un Łi çng i•u àaph÷ìng Artin qua chuy”n phflng, tł â ÷a ra cæng thøc t‰nh chi•u cıaquÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay theo chi•u > s:

Lu“n ¡n ÷æc chia th nh 4 ch÷ìng Ch÷ìng 1 nh›c l⁄i mºt sŁ ki‚nthøc cì sð v• mæ un Cohen-Macaulay, mæ un Cohen-Macaulay suyrºng, mæ un Artin, mæ un ch‰nh t›c v mæ un khuy‚t

Trong Ch÷ìng 2, chóng tæi giîi thi»u kh¡i ni»m h» tham sŁ ch‰nht›c, ch¿ ra mŁi quan h» giœa h» tham sŁ ch‰nh t›c v h» tham sŁ chu'n

t›c Chóng tæi thi‚t l“p °c tr÷ng cıa mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch

‰nh t›c thæng qua h» tham sŁ ch‰nh t›c v c£i ti‚n c¡c k‚t qu£ tr÷îc ¥yv• c§u tróc cıa mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c

Trong Ch÷ìng 3, chóng tæi ÷a ra mŁi li¶n h» giœa chi•u cıa quÿ t

‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa mæ un M v chi•u cıa quÿ t‰chkhæng Cohen-Macaulay cıa mæ un ch‰nh t›c KM : °c bi»t hìn, chóngtæi ch¿ ra r‹ng, ngo i mŁi quan h» bao h m nCM(KM ) nCM(M) th… haiquÿ t‰ch n y hƒu nh÷ l ºc l“p vîi nhau

Trong Ch÷ìng 4, chóng tæi l m rª sü thay Œi cıa t“p i ¶an nguy¶n

tŁ g›n k‚t, chi•u v sŁ bºi cıa mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng Artin quachuy”n phflng ’ : Rp ! RbP; trong â P 2 Spec(Rb) v p = P \ R: Sß döngk‚t qu£ n y, chóng tæi ÷a ra cæng thøc t‰nh chi•u cıa quÿ t‰chkhæng Cohen-Macaulay theo chi•u > s:

Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr…nh nghi¶n cøu cıa tæi C¡c k‚t qu£vi‚t chung vîi c¡c t¡c gi£ kh¡c ¢ ÷æc sü nh§t tr‰ cıa çng t¡c gi£ tr÷îc khi

÷a v o lu“n ¡n C¡c k‚t qu£ n¶u trong lu“n ¡n l trung thüc v ch÷a tłng ÷æccæng bŁ trong b§t ký mºt cæng tr…nh n o kh¡c

T¡c gi£

L÷u Ph÷ìng Th£o

Tæi xin b y tä lÆng bi‚t ìn væ h⁄n tîi cæ gi¡o k‰nh y¶u cıa tæi

-GS TS L¶ Thà Thanh Nh n Cæ ¢ t“n t…nh ch¿ b£o, h÷îng d¤n tæi tłnhœng ng y ƒu ti¶n t“p l m nghi¶n cøu khoa håc Vîi t§t c£ ni•m am m¶nghi¶n cøu khoa håc v t¥m huy‚t cıa ng÷íi thƒy, cæ ¢ truy•n thö chotæi khæng ch¿ v• tri thøc to¡n håc m cÆn v• ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu,c¡ch ph¡t hi»n v gi£i quy‚t v§n • Cæ l t§m g÷ìng s¡ng cho lîp håc trÆchóng tæi ph§n §u noi theo v• nhœng nØ lüc v÷æt qua khâ kh«n ” ⁄t tîi

th nh cæng

Tæi công xin b y tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c tîi thƒy gi¡o h÷îng d¤n thøhai cıa tæi - TS Trƒn Nguy¶n An Thƒy ¢ luæn quan t¥m, ºng vi¶n, kh

‰ch l» v hØ træ tæi trong suŁt qu¡ tr…nh håc t“p, nghi¶n cøu

Tæi xin tr¥n trång c£m ìn GS TSKH Nguy„n Tü C÷íng Thƒy lng÷íi ƒu ti¶n gi£ng d⁄y cho tæi nhœng ki‚n thøc v• ⁄i sŁ giao ho¡n tłnhœng ng y tæi cÆn l håc vi¶n cao håc Cho tîi nay, khi tæi håcnghi¶n cøu sinh, thƒy v¤n luæn quan t¥m, gióp ï v ºng vi¶n tæi trongsuŁt qu¡ tr…nh håc t“p

Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban gi¡m hi»u, PhÆng o t⁄o Sau ⁄i håc,Khoa To¡n Tin, Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n ¢ t⁄o måi i•uki»n thu“n læi cho tæi håc t“p

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u tr÷íng ⁄i håc S÷ ph⁄m - ⁄ihåc Th¡i Nguy¶n ¢ cho tæi cì hºi ÷æc i håc t“p v nghi¶n cøu °c bi»t,tæi xin b y tä lÆng bi‚t ìn ‚n Ban chı nhi»m Khoa To¡n, c¡c thƒy cæ gi¡o

v çng nghi»p trong TŒ H…nh håc - ⁄i sŁ, Khoa To¡n, Tr÷íng ⁄i håc S÷ph⁄m ¢ quan t¥m ºng vi¶n v gióp ï nhi•u m°t trong thíi

gian tæi l m nghi¶n cøu sinh.

Tæi xin c£m ìn chà Nguy„n Thà Ki•u Nga, em Trƒn Ø Minh Ch¥ucòng c¡c anh chà em trong nhâm seminar ⁄i sŁ ⁄i håc Th¡i Nguy¶n ¢luæn çng h nh còng tæi, ºng vi¶n, kh‰ch l», chia s· vîi tæi trong håct“p công nh÷ trong cuºc sŁng

Tæi xin b y tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c tîi nhœng ng÷íi th¥n trong gia

…nh cıa m…nh, °c bi»t l BŁ mµ, Chçng v hai Con trai y¶u quþ, ¢ luænºng vi¶n, chia s· khâ kh«n v luæn mong mäi tæi th nh cæng â l nguçnºng vi¶n r§t lîn, gióp tæi v÷æt qua khâ kh«n ” tæi câ th” ho n th nh lu“n

¡n n y

T¡c gi£

L÷u Ph÷ìng Th£o

Möc löc

Mð ƒu 7 Ch÷ìng 1 Ki‚n thøc chu'n bà 18 1.1 Mæ

un Cohen-Macaulay v Cohen-Macaulay suy rºng 18 1.2 Mæ un Artin 21

1.3 Mæ un ch‰nh t›c v mæ un khuy‚t

25 Ch÷ìng 2 Mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c 28 2.1 H»tham sŁ ch‰nh t›c 29

2.2 Mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c 35 Ch÷ìng 3 Quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa mæ un ch‰nh

t›c 46 3.1 Mºt sŁ t‰nh ch§t qua chuy”n phflng 47 3.2 Quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa mæ un ch‰nh t›c 51 Ch÷ìng 4 Łi çng i•u àa ph÷ìng Artin qua chuy”n phflng v quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay theo chi•u > s 58 4.1 I ¶an nguy¶n tŁ

g›n k‚t cıa mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng qua chuy”n phflng 59 4.2 Chi•u v bºi qua chuy”n phflng 64 4.3 Quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay theo chi•u > s qua chuy”n phflng70

K‚t lu“n 77

T i li»u tham kh£o 79

Mð ƒuCho (R; m) l mºt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng vîi m l i ¶ancüc ⁄i duy nh§t, M l R-mæ un hœu h⁄n sinh câ chi•u Krull dim M = d.

Ta luæn câ mŁi li¶n h» giœa hai b§t bi‚n º s¥u v chi•u cıa M ÷æc chobði cæng thøc depth M dim M N‚u depth M = dim M th… M ÷æcgåi l mæ un Cohen-Macaulay Khi R l R-mæ un Cohen-Macaulay, th…

ta nâi R l v nh Cohen-Macaulay Lîp mæ un Cohen-Macaulay v c¡c mðrºng cıa chóng ¢ thu hót sü quan t¥m nghi¶n cøu cıa nhi•u nh to¡n håctr¶n th‚ giîi C§u tróc cıa nhœng lîp mæ un n y ¢ ÷æc °c tr÷ng qua hƒuh‚t lþ thuy‚t quen bi‚t cıa ⁄i sŁ giao ho¡n (sŁ bºi, Łi çng i•u àa ph÷ìng, àaph÷ìng hâa, ƒy ı hâa, ) C¡c mæ un n y xu§t hi»n trong nhi•u l¾nh vückh¡c nhau cıa To¡n håc nh÷ ⁄i sŁ çng i•u, Lþ thuy‚t b§t bi‚n, TŒ hæp vH…nh håc ⁄i sŁ

Lu“n ¡n li¶n quan ‚n hai h÷îng mð rºng lîp mæ un Macaulay sau ¥y Mð rºng thø nh§t l düa theo hi»u sŁ I(x; M) giœa º d i

Cohen-‘(M=xM) v sŁ bºi e(x; M) vîi x l h» tham sŁ cıa M: Chó þ r‹ng

M l Cohen-Macaulay n‚u v ch¿ n‚u I(x; M) = 0 vîi mºt (ho°c vîi måi) h»tham sŁ x Tł â, mºt gi£ thuy‚t ÷æc °t ra bði D A Buchsbaum [11]

n«m 1965 nh÷ sau: I(x; M) := ‘(M=xM) e(x; M) l mºt h‹ng sŁ khæng phöthuºc v o h» tham sŁ x cıa M C¥u tr£ líi phı ành cho gi£ thuy‚t

÷æc W Vogel v J Stuckrad [51] ÷a ra n«m 1973, v hå ¢ nghi¶n cøu lîp v nh v mæ un thäa m¢n i•u ki»n cıa gi£ thuy‚t, ÷æc gåi l v nh

v mæ un Buchsbaum [42] N«m 1978, N T C÷íng, P Schenzel v N V

Trung [48] ¢ giîi thi»u mºt mð rºng cıa lîp mæ un Buchsbaum, â l lîp

mæ un M thäa m¢n i•u ki»n sup I(x; M) < 1, trong â c“n tr¶n l§y theomåi h» tham sŁ x cıa M, v hå gåi chóng l mæ un Cohen-Macaulay suy

rºng Ng y nay, kh¡i ni»m mæ un Buchsbaum v mæ un Cohen-Macaulaysuy rºng ¢ trð n¶n r§t quen bi‚t trong ⁄i sŁ giao ho¡n Ti‚p töc mð rºng theoh÷îng n y, ta ÷æc lîp mæ un Cohen-Macaulay theo chi•u > s;

vîi s 1 l sŁ nguy¶n (xem [45]) Chó þ r‹ng M l Cohen-Macaulay n‚u v ch¿ n‚u nâ l Cohen-Macaulay theo chi•u > 1: Khi R l th÷ìng

cıa v nh Cohen-Macaulay, th… M l Cohen-Macaulay suy rºng n‚u v ch¿ n‚u M l Cohen-Macaulay theo chi•u > 0:

H÷îng mð rºng thø hai cıa lîp mæ un Cohen-Macaulay l düa v o c§u tróc cıa mæ un ch‰nh t›c, trong tr÷íng hæp R l £nh çng c§u cıamºt v nh Gorenstein àa ph÷ìng (R0; m0) chi•u n0: Vîi mØi sŁ nguy¶n

i 0; °t Ki := Extn0 i (M; R0): Khi â Ki l R-mæ un hœu h⁄n sinh

v ÷æc gåi l mæ un khuy‚t thø i cıa M: °c bi»t, vîi i = d ta kþ hi»u

KM := KMd v gåi l mæ un ch‰nh t›c cıa M: Khi KM l

Cohen-Macaulay, ta nâi M l Cohen-Macaulay ch‰nh t›c Chó þ r‹ng n‚u M

th‚, lîp mæ un Cohen-Macaulay ch‰nh t›c l mºt mð rºng cıa lîp mæ unCohen-Macaulay Kh¡i ni»m v nh v mæ un Cohen-Macaulay ch‰nh t›c

xu§t ph¡t tł b i to¡n sau: Gi£ sß (R; m) l mºt mi•n nguy¶n, àa ph÷ìng

Kþ hi»u Q(R) l tr÷íng c¡c th÷ìng cıa R: C¥u häi tü nhi¶n °t ra l tçn t⁄i haykhæng mºt v nh trung gian R B Q(R) sao cho B l R-mæ un hœu h⁄nsinh v B l v nh Cohen-Macaulay? V nh B nh÷ tr¶n (n‚u tçn t⁄i) ÷æc gåi lMacaulay hâa song hœu t cıa R: ¥y l b i to¡n quan trång trong ⁄i sŁ giaoho¡n N«m 2004, P Schenzel [38] ¢ chøng minh r‹ng mºt mi•n nguy¶nNoether àa ph÷ìng R câ Macaulay hâa song hœu t n‚u v ch¿ n‚u R l v

n«m 2012, M Brodmann v L T Nh n [5] ¢ ch¿ ra r‹ng vîi i•u ki»n d 4 v

x l phƒn tß tham sŁ f-ch°t, th… M l Cohen-Macaulay ch‰nh t›c khi vch¿ khi M=xM l Cohen-Macaulay ch‰nh t›c Mºt c¡ch tü nhi¶n, N T H.Loan v L T Nh n [26] ¢ giîi thi»u lîp mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch

‰nh t›c, â l lîp c¡c mæ un M sao cho KM l Cohen-Macaulay suy rºng Hå

¢ °c tr÷ng lîp mæ un n y thæng qua sü tçn t⁄i ch°n •u cho c¡c º d i th°ng d÷cıa c¡c mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng øng vîi c¡c h» tham sŁ l f-d¢y ch°t.Chó þ r‹ng n‚u M l Cohen-Macaulay suy rºng, th… M l Cohen-Macaulaysuy rºng ch‰nh t›c

Lu“n ¡n nghi¶n cøu lîp mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c

v mºt sŁ quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay tr¶n v nh Noether àaph÷ìng Möc ‰ch thø nh§t cıa lu“n ¡n l °c tr÷ng c§u tróc cıa lîp mæ unCohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c khi R l th÷ìng cıa v nh Gorenstein

àa ph÷ìng Möc ‰ch thø hai l l m rª mŁi quan h» giœa quÿ t‰ch

khæng Cohen-Macaulay cıa mæ un ch‰nh t›c KM v quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa M: Möc ‰ch thø ba l nghi¶n cøu t“p i ¶an nguy¶n

tŁ g›n k‚t, chi•u v sŁ bºi cıa mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng Artin d÷îi t¡c ºng cıa chuy”n phflng Rp ! RbP; trong â P 2 Spec(Rb); p = P \ R v R tòy

þ khæng nh§t thi‚t l th÷ìng cıa v nh Gorenstein, tł â ÷a ra cæng thøc t‰nhchi•u cıa quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay theo chi•u > s:

V• ph÷ìng ph¡p nghi¶n cøu, ” °c tr÷ng lîp mæ un Cohen-Macaulaysuy rºng ch‰nh t›c, chóng tæi khai th¡c nhœng t‰nh ch§t °c thò cıa mæ

un Łi çng i•u àa ph÷ìng Artin v sß döng linh ho⁄t c¡c h» tham sŁ l f-d¢y ch°t.V• mŁi quan h» giœa hai quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay nCM(KM )

v nCM(M), chóng tæi cƒn ‚n ành lþ c§u tróc cıa v nh Buchsbaum [19,ành lþ 1.1], ành lþ c§u tróc cıa mæ un ch‰nh t›c qua chuy”n phflng [4,ành lþ 4.1] v cæng thøc chi•u cıa mæ un khuy‚t d÷îi t¡c ºng cıa mð rºngchuØi lôy thła h…nh thøc ” nghi¶n cøu mæ un Łi çng i•u

àa ph÷ìng d÷îi t¡c ºng cıa chuy”n phflng Rp ! RbP; chóng tæi ¡p dönghœu hi»u t‰nh ch§t chuy”n dàch qua àa ph÷ìng hâa v ƒy ı hâa cıa L.

T Nh n v P H Quþ [35, ành lþ 1.1] v cæng thøc sŁ bºi li¶n k‚t cho mæ

un Łi çng i•u àa ph÷ìng Artin ÷æc ÷a ra bði M Brodmann v R Y Sharp[9]

Ngo i phƒn mð ƒu, k‚t lu“n v t i li»u tham kh£o, lu“n ¡n ÷æc chia l m

4 ch÷ìng Ch÷ìng 1 nh›c l⁄i mºt sŁ ki‚n thøc cì sð phöc vö cho c¡c ch÷ìngsau, bao gçm c¡c °c tr÷ng cıa mæ un Cohen-Macaulay v mæ un Cohen-Macaulay suy rºng; t“p i ¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t, chi•u v bºi cıa mæ un Artin;

mæ un ch‰nh t›c v mæ un khuy‚t Trong Ch÷ìng 2, chóng tæi tr…nh b yc¡c °c tr÷ng cıa mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c düa theophƒn 2 cıa b i b¡o [1] Ch÷ìng 3 d nh ” ÷a ra mŁi quan h» giœa quÿ t‰ch

v quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa mæ un M düa theo c¡c k‚t qu£trong phƒn 1 cıa b i b¡o [1] Trong Ch÷ìng 4, chóng tæi l m rª sü thay Œicıa t“p i ¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t, chi•u v sŁ bºi cıa mæ un Łi çng i•u

àa ph÷ìng vîi gi¡ cüc ⁄i d÷îi t¡c ºng cıa mð rºng phflng Rp ! RbP vîi P 2Spec(Rb) v p = P \ R: Sß döng k‚t qu£ n y, chóng tæi ÷a ra cæng thøc t

‰nh chi•u cıa quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay theo chi•u > s: C¡ck‚t qu£ cıa Ch÷ìng 4 ÷æc vi‚t düa theo c¡c b i b¡o [31], [43]

Trong suŁt lu“n ¡n, luæn gi£ thi‚t (R; m) l v nh giao ho¡n Noether

àa ph÷ìng, M l R-mæ un hœu h⁄n sinh câ chi•u Krull dim M = d:

Trong Ch÷ìng 2, cho R l th÷ìng cıa mºt v nh Gorenstein àa

ph÷ìng Kþ hi»u KM l mæ un ch‰nh t›c cıa M Chó þ r‹ng KM l

E(R=m) l bao nºi x⁄ cıa tr÷íng th°ng d÷ R=m: Theo N T H Loan

v L T Nh n [26], M ÷æc gåi l mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch

‰nh t›c n‚u KM l Cohen-Macaulay suy rºng Möc ‰ch cıa Ch÷ìng

2 l nghi¶n cøu c§u tróc cıa mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nht›c Tr÷îc h‚t ta chó þ r‹ng M l Cohen-Macaulay suy rºng n‚u v ch¿ n‚u

‘R(Hmi(M)) < 1 vîi måi i < d: °c bi»t, chóng ta câ c¡c °c tr÷ng sau ¥y cıa

mæ un Cohen-Macaulay suy rºng (xem [44], [48]) C¡c ph¡t bi”u sau lt÷ìng ÷ìng:

(a) M l Cohen-Macaulay suy rºng;

(b) Tçn t⁄i h» tham sŁ (x1; : : : ; xd) cıa M sao cho

Mºt °c tr÷ng tham sŁ cıa mæ un Cohen-Macaulay ch‰nh t›c

÷æc ÷a ra trong b i b¡o cıa M Brodmann v L T Nh n [5] nh÷ sau: M lCohen-Macaulay ch‰nh t›c khi v ch¿ khi

Rl Hm2(M=(x1; : : : ; xd 3)M) = 0

vîi mºt (vîi måi) h» tham sŁ (x1; : : : ; xd) çng thíi l f-d¢y ch°t cıa M:

— ¥y, º d i th°ng d÷ Rl(A) cıa mºt R-mæ un Artin A ÷æc ành ngh¾abði R Y Sharp v M Hamieh [41] N‚u s 2 N sao cho mtA = msA vîi måi

t s, th… Rl(A) := ‘R(A=msA) (xem Ti‚t 2.1)

Möc ‰ch ch‰nh cıa Ch÷ìng 2 l thi‚t l“p mºt phi¶n b£n cho mæ unCohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c t÷ìng tü nh÷ c¡c °c tr÷ng tham sŁ(a), (b), (c) ð tr¶n cıa mæ un Cohen-Macaulay suy rºng, trong â vai trÆ

cıa hi»u sŁ I(x1; : : : ; xd; M) ÷æc thay b‹ng vai trÆ cıa º d i th°ng d÷

Rl Hm2(M=(x1; : : : ; xd 3)M) , v vai trÆ cıa h» tham sŁ chu'n t›c ÷æcthay b‹ng vai trÆ cıa h» tham sŁ ch‰nh t›c ành ngh¾a nh÷ sau

ành ngh¾a 2.1.9 Mºt f-d¢y ch°t x = (x1; : : : ; xd) ÷æc gåi l h» tham

sŁ ch‰nh t›c cıa M n‚u

Rl Hm2(M=(x1; : : : ; xd 3)M) = Rl Hm2(M=(x21; : : : ; x2d 3)M) :

N‚u x çng thíi vła l mºt f-d¢y ch°t ho¡n và ÷æc vła l mºt h» tham sŁ ch

‰nh t›c cıa M, th… x ÷æc gåi l h» tham sŁ ch‰nh t›c ho¡n và ÷æc cıaM

ành lþ sau ¥y l k‚t qu£ ch‰nh ƒu ti¶n cıa lu“n ¡n, công l k‚t qu£ch‰nh duy nh§t cıa Ch÷ìng 2, ÷æc tr‰ch «ng trong phƒn 2 cıa b i b¡o[1]

ành lþ 2.2.4 C¡c ph¡t bi”u sau l t÷ìng ÷ìng:

(a) M l Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c

(b) Tçn t⁄i mºt sŁ nguy¶n cM sao cho

Rl Hm2(M=(x1; : : : ; xd 3)M) cM

vîi måi f-d¢y ch°t (x1; : : : ; xd) cıa M

(c) Tçn t⁄i mºt f-d¢y ch°t (x1; : : : ; xd) cıa M sao cho

n 1 ;:::;n d 3 2 N 2(M=(xn 1; : : : ; xn

d 3)M) 1:

(d) Tçn t⁄i mºt h» tham sŁ ch‰nh t›c ho¡n và ÷æc cıa M

Hìn nœa, n‚u (x 1 ; : : : ; x d ) l mºt h» tham sŁ ch‰nh t›c ho¡n và ÷æc

=0

Cho (R; m) l mºt v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng v M l R-mæ

un hœu h⁄n sinh chi•u d Quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa M; kþhi»u bði nCM(M), ÷æc x¡c ành nh÷ sau

nCM(M) = fp 2 Spec(R) j Mp khæng l Cohen-Macaulayg:

Nh…n chung, nCM(M) khæng l t“p con âng trong Spec(R) vîi tæpæ Zariski N«m 1965, A Grothendieck [46, IV2, 6.11.2] ¢ ch¿ ra r‹ng nCM(M) l âng khi R l th÷ìng cıa v nh ch‰nh quy Trong [21], R

Hartshorne ¢ chøng tä nCM(M) l âng n‚u R l th÷ìng cıa v nh Gorenstein

àa ph÷ìng Trong tr÷íng hæp n y, ta câ mæ t£ chi ti‚t t“p nCM(M) (xem [49], [50]) Hìn nœa, nCM(M) công l t“p âng khi R l th÷ìng cıa mºt v nh Cohen-Macaulay àa ph÷ìng (xem [17, H» qu£ 4.2(iv)]) Khi nCM(M) l t“pâng, ta câ th” ành ngh¾a chi•u dim nCM(M) cıa nâ N‚u M l Cohen-Macaulay, th… nCM(M) = ;, trong tr÷íng hæp n y chóng ta quy

÷îc dim nCM(M) = 1 Chó þ r‹ng dim nCM(M) d 1: N‚u M l khæng trºn l¤n (unmixed) th… dim nCM(M) d 2:

Möc ti¶u cıa Ch÷ìng 3 l nghi¶n cøu chi•u cıa quÿ t‰ch khængCohen-Macaulay cıa mæ un M; chi•u cıa quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa mæ un ch‰nh t›c KM v mŁi li¶n h» giœa chóng Þ t÷ðng

n y xu§t ph¡t tł mºt k‚t qu£ cıa Y Aoyama n«m 1980 [3] khi æng nghi¶ncøu v• º s¥u v t‰nh Cohen-Macaulay cıa mæ un ch‰nh t›c ˘ng ¢chøng minh r‹ng, trong tr÷íng hæp R khæng l v nh Cohen-Macaulayth… depth KR v depth R khæng phö thuºc nhau, cö th” l n‚u cho tr÷îcc¡c sŁ nguy¶n 0 r < n v 2 s n; th… luæn tçn t⁄i v nh àa ph÷ìng ƒy ı R saocho dimR = n; depth R= r v depth KR = s:

ành lþ sau ¥y l k‚t qu£ ch‰nh cıa Ch÷ìng 3, ÷æc tr‰ch «ngtrong phƒn 1 cıa b i b¡o [1], trong â chóng tæi ÷a ra mŁi li¶n h» giœachi•u cıa quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa mæ un M v chi•u cıa

quÿ t‰ch khæng Cohen-Macaulay cıa mæ un ch‰nh t›c KM : °c bi»t hìn,chóng tæi ch¿ ra r‹ng, ngo i mŁi quan h» bao h m nCM(KM ) nCM(M);th… hai quÿ t‰ch n y hƒu nh÷ l ºc l“p vîi nhau theo ngh¾a sau.

ành lþ 3.2.1 C¡c ph¡t bi”u sau l óng.

(a) dim nCM(KM ) min fd 3; dim nCM(M)g:

(b) Cho c¡c sŁ nguy¶n n; s; r thäa m¢n 1 s n 3 v s r

n 2 Khi â luæn tçn t⁄i mºt v nh Noether àa ph÷ìng, ƒy ı

(R; m) sao cho R l khæng trºn l¤n v dim R = n, dim nCM(R) = r,

dim nCM(KR) = s:

Ch÷ìng 4 ÷æc vi‚t düa theo hai b i b¡o [31] v [43] Tr÷îc h‚t chóngtæi nghi¶n cøu t“p c¡c i ¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t cıa mæ un Łi çng i•u àaph÷ìng qua chuy”n phflng Cho ’ : (S; n) ! (S0; n0) l mºt çng c§u phflnggiœa c¡c v nh Noether àa ph÷ìng Vîi mØi S-mæ un hœu h⁄n sinh L; ta

câ mŁi quan h» giœa c¡c t“p i ¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa S0-mæ un

L S S0 v cıa S-mæ un L nh÷ sau (xem [29, ành lþ 23.2])

àa ph÷ìng Hi+r(L S S0) v Hi (L) l c¡c mæ un Artin t÷ìng øng tr¶n

c¡c v nh S0 v S Do â, mºt c¥u häi ho n to n tü nhi¶n °t ra l c¡c t“p i ¶annguy¶n tŁ g›n k‚t cıa c¡c mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng Artin tr¶n câ quanh» vîi nhau nh÷ th‚ n o? K‚t qu£ ti‚p theo cıa lu“n ¡n tr£ líi mºt phƒn choc¥u häi tr¶n Cho (R; m) l mºt v nh Noether àa

ph÷ìng v M l R-mæ un hœu h⁄n sinh Gi£ sß P 2 Spec(Rb), p = P \ R

v rP = dim(RbP=pRbP); trong â Rb v Mc t÷ìng øng l ƒy ı m-adic cıa R v

M Khi â çng c§u ’ : Rp ! RbP c£m sinh tł çng c§u tü

nhi¶n R ! R l çng c§u phflng àa ph÷ìng v M p R p R = M P: Do â

P chóng tæi quan t¥m ‚n mŁi li¶n h» giœa hai t“p i ¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t

K‚t qu£ ch‰nh thø nh§t cıa Ch÷ìng 4 ch¿ ra mŁi li¶n h» giœa c¡c t“p i

¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t cıa c¡c mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng HpiRp (Mp) v

Hi+rP (M cP) trong tr÷íng hæp v nh thî câ chi•u rP 0 tòy þ.

ành lþ 4.1.3 Cho R l th÷ìng cıa mºt v nh Cohen-Macaulay àaph÷ìng Gi£ sß P 2 Spec(R) v p = P \ R: °t rP = dim RP=pRP :

(a) AttRp HpiRp (Mp) = b i+rP b b

Tł ành lþ 4.1.3, chóng tæi ÷a ra cæng thøc t‰nh chi•u cıa Hi+rP (M c P )

thæng qua chi•u cıa HpiRp (Mp):

ành lþ 4.2.1 Cho R l th÷ìng cıa mºt v nh Cohen-Macaulay àa ph÷ìng.Gi£ sß P 2 Spec(Rb) vîi p = P \ R: °t rP = dim RbP=pRbP Khi â vîi b§t

ký sŁ nguy¶n i 0 ta câ

dim Hi+rP (M c P ) = dimR HiR (Mp) + rP:

Sß döng ành lþ 4.1.3 v cæng thøc bºi li¶n k‚t x¥y düng bði M Brodmann

v R Y Sharp [9], chóng tæi ÷a ra cæng thøc t‰nh sŁ bºi cıa Hi+rP (McP)

thæng qua sŁ bºi cıa HiR (Mp) (xem ành lþ 4.2.3).

PRb P

PRb P

PRb P

4.3(iii)]) Tuy nhi¶n, nCM>s(M) luæn âng vîi ph†p °c bi»t hâa n¶n chóng

ta v¤n câ th” ành ngh¾a chi•u cıa chóng

p döng ành lþ 4.2.1, ta câ hai ành lþ sau ¥y, l c¡c k‚t qu£ ch

‰nh cuŁi còng cıa lu“n ¡n

ành lþ 4.3.4 Cho R l th÷ìng cıa mºt v nh Cohen-Macaulay àa ph÷ìng.Gi£ sß P 2 Spec(Rb) v p = P \ R: °t rP = dim(RbP=pRbP);

s 0 l mºt sŁ nguy¶n Khi â

(a) Mp l Cohen-Macaulay n‚u v ch¿ n‚u McP l Cohen-Macaulay

(b) Mp l Cohen-Macaulay theo chi•u > s n‚u v ch¿ n‚u McP l Macaulay theo chi•u > s+ rP

Cohen-ành lþ 4.3.7 Cho s 1 l mºt sŁ nguy¶n Gi£ sß R

mºt v nh Cohen-Macaulay àa ph÷ìng Cho P 2 Spec(Rb)

(a) nCM>s(Mp) 6= ; n‚u v ch¿ n‚u dim nCM>s(M c P ) rP;

(b) N‚u nCM>s(Mp) 6= ;, th… dim nCM>s(McP) = dim nCM>s(Mp)+rP:

Ch֓ng 1

Ki‚n thøc chu'n bà

Trong ch÷ìng n y chóng tæi tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thøc cì sð v•

mæ un Cohen-Macaulay, mæ un Cohen-Macaulay suy rºng, mæ unArtin, mæ un ch‰nh t›c v mæ un khuy‚t nh‹m phöc vö cho vi»c chøngminh c¡c k‚t qu£ ch‰nh cıa lu“n ¡n ð nhœng ch÷ìng sau Trong suŁtch÷ìng n y, luæn gi£ thi‚t (R; m) l v nh giao ho¡n Noether àa ph÷ìng, M

l R-mæ un hœu h⁄n sinh vîi chi•u Krull dim M = d: Kþ hi»u R;b Mc t÷ìngøng l ƒy ı m-adic cıa R v M; depth M l º s¥u cıa M øng vîi i ¶an cüc ⁄i m:

1.1 Mæ un Cohen-Macaulay v Cohen-Macaulay suy rºng

Mæ un Cohen-Macaulay v mæ un Cohen-Macaulay suy rºng l hai lîp mæ un quen thuºc v quan trång trong ⁄i sŁ giao ho¡n Ti‚t 1.1

d nh ” nh›c l⁄i mºt sŁ k‚t qu£ th÷íng sß döng trong lu“n ¡n v• hai lîp mæ

un n y

ành ngh¾a 1.1.1 [29, Trang 134] M

n‚u M = 0 ho°c M =6 0 v depth M

Macaulay tr¶n ch‰nh nâ th… ta nâi R l

M»nh • 1.1.2 [29, ành lþ 17.3] C¡c m»nh • sau ¥y l óng.

(i) N‚u M l Cohen-Macaulay th… dim R=p = dim M vîi måi p 2 AssR M:

(ii) Cho x1; : : : ; xt 2 m l mºt M-d¢y ch‰nh quy Khi â M l

Cohen-Macaulay n‚u v ch¿ n‚u M=(x1; : : : ; xt)M l Cohen-Macaulay

(iii) M l R-mæ un Cohen-Macaulay n‚u v ch¿ n‚u Mp l Rp-mæ un

Cohen-Macaulay, vîi måi p 2SuppR M:

(iv) M l R-mæ un Cohen-Macaulay n‚u v ch¿ n‚u Mc l Rb-mæ un Macaulay

Cohen-Cho q l mºt i ¶an cıa R sao cho ‘R(M=qM) < 1 Khi â ta câ

h m Hilbert-Samuel Hq(n) := ‘R(M=qn+1M) Chó þ r‹ng tçn t⁄i mºt athøc Pq(n) b“c d sao cho vîi n ı lîn ta câ Hq(n) = Pq(n) Hìn nœa, tçn t⁄i c¡c sŁ nguy¶n e0(q; M) > 0; e1(q; M); : : : ; ed(q; M) sao cho

v deg Pq(n) = dim M

Pq(n) = e0(q; M) + e1(q; M)

Nh÷ v“y, vîi d = dim M, luæn tçn t⁄i h» d phƒn tß x1; : : : ; xd 2 m sao cho

‘R(M=(x1; : : : ; xd)M) < 1: H» (x1; : : : ; xd) nh÷ th‚ ÷æc gåi l h» tham

sŁ cıa M: H» sŁ e0(q; M) ÷æc gåi l sŁ bºi cıa M øng vîi i ¶an q Cho

x = (x1; : : : ; xd) l mºt h» tham sŁ cıa M: °tq = (x1; : : : ; xd)R v kþ hi»u

e0(q; M) bði e(x; M): Khi â ta luæn câ 0< e(x; M) ‘(M=xM):

M»nh • 1.1.3 (Xem [29, ành lþ 17.5, ành lþ 17.11]) C¡c i•u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng:

(i) M l Cohen-Macaulay;

(ii) Måi h» tham sŁ cıa M •u l M-d¢y ch‰nh quy;

(iii) Vîi måi h» tham sŁ x cıa M ta câ e(x; M) = ‘(M=xM);

(iv) Tçn t⁄i h» tham sŁ x cıa M sao cho e(x; M) = ‘(M=xM):

Vîi mØi h» tham sŁ x cıa M, °t I(x; M) = ‘(M=xM) e(x; M).

Khi â I(x; M) 0 vîi måi h» tham sŁ x °c bi»t, I(x; M) = 0 n‚u v ch¿ n‚u M lCohen-Macaulay Theo N T C÷íng, P Schenzel v N V Trung [48],n‚u sup I(x; M) < 1; trong â c“n tr¶n l§y theo t§t c£ c¡c h» tham sŁ x cıaM; th… M ÷æc gåi l Cohen-Macaulay suy rºng

Mºt sŁ t‰nh ch§t sau cıa mæ un Cohen-Macaulay suy rºng câth” xem trong [44], [48]

M»nh • 1.1.4 Gi£ sß M l Cohen-Macaulay suy rºng Khi â

(i) M=xM l Cohen-Macaulay suy rºng, vîi x l phƒn tß tham sŁ cıa M:(ii) N‚u (x1; : : : ; xi) l mºt phƒn h» tham sŁ cıa M, th… dim R=p = d ivîi måi p 2 AssR(M=(x1; : : : ; xi)M) n fmg:

(iii) Mp l Cohen-Macaulay v dim Mp + dim R=p = d vîi måi i ¶an nguy¶n

tŁ p 2 SuppR(M) n fmg i•u ng÷æc l⁄i công óng n‚u R l v nh th÷ìng cıa v

nh Cohen-Macaulay

Sau ¥y l mºt °c tr÷ng tham sŁ cıa mæ un Cohen-Macaulay suyrºng (xem [44], [48])

ành lþ 1.1.5 C¡c i•u ki»n sau l t÷ìng ÷ìng:

(i) M l Cohen-Macaulay suy rºng;

(ii) Tçn t⁄i h» tham sŁ x = (x1; : : : ; xd) cıa M sao cho

sup I(xn11 ; : : : ; xndd ; M) < 1;

trong â c“n tr¶n l§y theo måi bº d sŁ nguy¶n d÷ìng n1; : : : ; nd;

(iii) Tçn t⁄i mºt h» tham sŁ chu'n t›c cıa M, tøc l tçn t⁄i h» tham sŁ

x = (x1; : : : ; xd) cıa M sao cho

Kh¡i ni»m mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng ÷æc giîi thi»u bði A.Grothendieck v o nhœng n«m 1960, khði nguçn tł cæng tr…nh cıa J.

P Serre [47] n«m 1955 v• c¡c bâ ⁄i sŁ Cho I l mºt i ¶an cıa R: Vîi mØi

sŁ nguy¶n i; h m tß Łi çng i•u àa ph÷ìng thø i øng vîi gi¡ I, kþ hi»u

l HIi( ), ÷æc ành ngh¾a l h m tß d¤n xu§t ph£i thø i cıa h m tß xo›n I ( ): K‚t qu£ cıa t¡c ºng HIi( ) v o R-mæ un M ÷æc kþ hi»u

I-l HIi(M) v ÷æc gåi l mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng thø i cıa M

øng vîi gi¡ I Ti‚p theo l mºt sŁ °c tr÷ng cıa mæ un Cohen-Macaulay

v mæ un Cohen-Macaulay suy rºng qua Łi çng i•u àa ph÷ìng (xem [8, H» qu£ 6.2.9], [44, BŒ • 1, BŒ • 1.6])

M»nh • 1.1.6 C¡c ph¡t bi”u sau l óng.

(i) M l Cohen-Macaulay n‚u v ch¿ n‚u Hmi(M) = 0 vîi måi i < d:

(ii) M l Cohen-Macaulay suy rºng n‚u v ch¿ n‚u ‘(Hmi(M)) < 1 vîi måi i < d:

mæ un con cıa M: Ta nâi N l nguy¶n sì n‚u M=N 6= 0 v ph†p nh¥n bði x

tr¶n M=N l ìn c§u ho°c lôy linh, vîi måi x 2 R: N‚u N l nguy¶n sì th… p =Rad(AnnR(M=N)) l i ¶an nguy¶n tŁ v ta nâi N l p-nguy¶n sì R§t tü nhi¶n,

I G Macdonald ¢ ành ngh¾a mæ un thø c§p nh÷ sau

ành ngh¾a 1.2.1 Mæ un con B cıa A ÷æc gåi l thø c§p n‚u B 6= 0 vvîi måi x 2 R, ph†p nh¥n bði x tr¶n B l to n c§u ho°c lôy linh N‚u

B l thø c§p, th… p = Rad(AnnR

p-thø c§p

B) l i ¶an nguy¶n tŁ, v ta gåi B l

I G Macdonald [27] ¢ chøng minh r‹ng mØi mæ un Artin A •u

câ bi”u di„n thø c§p tŁi thi”u A = A1 +: : :+At; trong â Ai l pi-thø c§p,

pi 6= pj vîi måi i 6= j v mØi Ai l khæng thła Khi â t“p hæp fp1; : : : ; ptg khæng phö thuºc v o bi”u di„n thø c§p tŁi thi”u cıa A; v ÷æc kþ hi»u

l AttR A: Ta gåi AttR A l t“p c¡c i ¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t cıa A:

Sau ¥y l mºt sŁ t‰nh ch§t cì b£n cıa t“p c¡c i ¶an nguy¶n tŁ g›nk‚t

M»nh • 1.2.2 C¡c ph¡t bi”u sau l óng.

(i) AttR A 6= ; n‚u v ch¿ n‚u A 6= 0:

(ii) min AttR A = min Var(AnnR A):

(iii) AttR A = fmg n‚u v ch¿ n‚u A 6= 0 v ‘R(A) < 1

(iv) N‚u 0 ! A0 ! A ! A00 ! 0 l d¢y khîp c¡c R-mæ un Artin th…

AttR A00 AttR A AttR A0 [ AttR A00:Chó þ r‹ng mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng cıa mæ un hœu h⁄n sinhnh…n chung khæng hœu h⁄n sinh v công khæng Artin Tuy nhi¶n,chóng ta câ c¡c k‚t qu£ quan trång sau ¥y v• t‰nh Artin cıa mæ un Łiçng i•u àa ph÷ìng vîi gi¡ cüc ⁄i v mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng c§p caonh§t (xem [28, M»nh • 2.1], [40, ành lþ 3.3])

ành lþ 1.2.3 C¡c ph¡t bi”u sau l óng.

(i) Hmi(M) l Artin vîi måi sŁ tü nhi¶n i

(ii) HId(M) l Artin vîi måi i ¶an I cıa R

°c bi»t, t“p i ¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t cıa mæ un Łi çng i•u àa

ph÷ìng c§p cao nh§t vîi gi¡ cüc ⁄i ÷æc cho bði cæng thøc sau

ành lþ 1.2.4 [28, ành lþ 2.2] Cho M 6= 0: Khi â Hmd(M) 6= 0 v

AttR(Hmd(M)) = fp 2 AssR M j dim(R=p) = dg:

Nh›c l⁄i r‹ng mºt R-mæ un L ÷æc gåi l mæ un phflng n‚u h m tßtenxì L R tr¶n ph⁄m trò c¡c R-mæ un l khîp çng c§u v nh f : R ! S ÷æcgåi l çng c§u phflngn‚u S l R-mæ un phflng Sau ¥y

l mºt k‚t qu£ v• t‰nh Artin v t“p i ¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t cıa mæ un Artin khi chuy”n qua çng c§u phflng

M»nh • 1.2.5 [35, BŒ • 2.3] Cho A l R-mæ un Artin v çng c§u

f : (R; m) ! (S; n) l phflng àa ph÷ìng giœa c¡c v nh Noether àa ph÷ìng

Gi£ sß dim(S=mS) = 0: Khi â A R S l S-mæ un Artin v

:Chó þ r‹ng tçn t⁄i n0 sao cho rn rm 2 mk vîi måi m; n n0:

Suy ra r n u = r n 0 u vîi måi n n 0 : Ta ành ngh¾a t‰ch væ h÷îng cıa r v

b

u l rn0 u: Khi â A câ c§u tróc tü nhi¶n nh÷ Rb-mæ un Vîi c§u tróc n y,mºt mæ un con cıa A x†t nh÷ R-mæ un khi v ch¿ khi nâ l mæ un con cıa

A x†t nh÷ Rb-mæ un Do â A l Rb-mæ un Artin N‚u xem Rb-mæ un A n

y nh÷ l R-mæ un x¡c ành bði çng c§u tü nhi¶n R ! Rb th… ta ÷æc c§utróc R-mæ un ban ƒu cıa A: Ta câ mŁi li¶n h» giœa c¡c t“p i ¶an nguy¶n

tŁ g›n k‚t cıa A tr¶n R v tr¶n Rb nh÷ sau

M»nh • 1.2.6 (Xem [8, 8.2.4 v 8.2.5])

AttR(A) = fP \ R j P 2 AttRb(A)g:

°t dim A := dim(R= AnnR A): N‚u A = 0; th… ta quy ÷îc r‹ng dim

A = : Quy ÷îc n y s‡ ÷æc dòng trong ph¡t bi”u ành lþ 4.2.1 Theo M»nh •1.2.2(ii), ta th§y chi•u cıa mæ un Artin A câ th” ÷æc t‰nh theo chi•u cıac¡c i ¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t nh÷ sau

dimR A = maxfdim(R=p) j p 2 AttR Ag:

Tł â, theo M»nh • 1.2.6 ta suy ra ÷æc r‹ng dimR A dimRb A: D§u flngthøc x£y ra khi R l th÷ìng cıa mºt v nh Cohen-Macaulay àa ph÷ìng v A l

mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng vîi gi¡ cüc ⁄i (xem [32, M»nh • 3.5], [16, H»qu£ 2.5, 3.2]) Chó þ r‹ng, R l th÷ìng cıa mºt v nh Cohen-Macaulay àaph÷ìng n‚u v ch¿ n‚u R l catenary phŒ döng v måi thî h…nh thøc cıa R

l Cohen-Macaulay (xem [22, H» qu£ 1.2])

M»nh • 1.2.7 N‚u R l th÷ìng cıa mºt v nh Cohen-Macaulay àa ph÷ìngth…

dimR(Hmi(M)) = dimRb(Hmi(M)) i vîimåi sŁ nguy¶n i0

Ho n to n t÷ìng tü nh÷ Łi vîi mæ un hœu h⁄n sinh, ta câ a thøcHilbert-Samuel Łi vîi c¡c mæ un Artin nh÷ sau (xem [23, M»nh • 2], [36,ành lþ 6], [16, H» qu£ 2.5])

M»nh • 1.2.8 Cho A l mºt R-mæ un Artin, q l i ¶an m-nguy¶n sì cıa R: Khi â ‘R(0 :A qn+1) l mºt a thøc vîi n 0; v

dim A = deg ‘R(0 :Aqn+1)

R b

= inf r j 9x1; : : : ; xr 2 m sao cho ‘R(0 :A (x1; : : : ; xr)R) < 1 :

°t dimRA = t: Vîi n 0; gi£ sß at l h» sŁ cao nh§t cıa a thøc

‘ R (0 : A q n+1 ): b

Theo M Brodmann v R Y Sharp [9], sŁ bºi cıa A øngvîi i ¶an q; kþ hi»u l e0(q; A); ÷æc x¡c ành nh÷ sau

e0(q; A) := att!:

Hìn nœa, M Brodmann v R Y Sharp [9] công ¢ chøng minh r‹ng n‚u

R l th÷ìng cıa mºt v nh Cohen-Macaulay àa ph÷ìng th…

Hå ÷a ra cæng thøc bºi li¶n k‚t cho c¡c mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng Artin Hmi(M) nh÷ sau.

ành lþ 1.2.9 (Xem [9, ành lþ 2.4]) Cho

Cohen-Macaulay àa ph÷ìng Gi£ sß i 0 l

m-nguy¶n sì cıa R Khi â

1.3 Mæ un ch‰nh t›c v mæ un khuy‚t

Ti‚t n y d nh ” tr…nh b y mºt sŁ t‰nh ch§t cì b£n v• mæ un ch‰nht›c v mæ un khuy‚t Trong suŁt ti‚t n y chóng tæi luæn gi£ thi‚t (R; m)

l mºt v nh àa ph÷ìng v l th÷ìng cıa mºt v nh Gorenstein àa ph÷ìng

0 i(M; R0) Khi â KMi l R-mæ un hœu h⁄n sinh Mæ

un KM := KMd ÷æc gåi l mæ un ch‰nh t›c cıa M: Vîi i 6= d; c¡c mæ un

KMi ÷æc gåi l mæ un khuy‚t thø i cıa M:

Ti‚p theo, chóng tæi nh›c l⁄i ành lþ Łi ng¤u àa ph÷ìng, mºt k‚t qu£r§t quan trång trong lþ thuy‚t mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng,

th÷íng ÷æc sß döng trong lu“n ¡n Kþ hi»u E(R=m) l bao nºi x⁄ cıatr÷íng th°ng d÷ R=m; °t D( ) := HomR( ; E(R=m)) l h m tß Łi

ng¤u Matlis Chó þ r‹ng, n‚u M l R-mæ un hœu h⁄n sinh th… D(M) l

M c¡c R-mæ un Trong

R-mæ un Artin v ta câ flng c§u D(D(M)) =

khi â, D(A) khæng nh§t thi‚t l

R-mæ un hœuc

h⁄n bsinh khi A l A: Khi R = R; th… D(A)

R-mæ un Artin Tuy nhi¶n, ta luæn câ D(D(A)) =

b

lR-mæ un hœu h⁄n sinh Trong tr÷íng hæp A l mæ un Łi çng i•u àaph÷ìng vîi gi¡ cüc ⁄i, ta câ ành lþ sau (xem [8, ành lþ 11.2.6]).

ành lþ 1.3.2 ( ành lþ Łi ng¤u àa ph÷ìng) Gi£ sß (R; m) l th÷ìng

cıa v nh Gorenstein àa ph÷ìng v M l R-mæ un hœu h⁄n sinh Khi â vîimØi sŁ nguy¶n i 0 ta câ

Hi (M) Hom (Ki ; E(R=m)):

Cho k > 0 l mºt sŁ tü nhi¶n Mºt R-mæ un hœu h⁄n sinh M ÷æcgåi l thäa m¢n i•u ki»n Serre (Sk) n‚u depth Mp minfk; dim Mpg; vîi måi

p 2 SuppR M: Nh÷ v“y, M thäa m¢n i•u ki»n Serre (S1) n‚u

v ch¿ n‚u måi i ¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa M •u l tŁi ti”u M l Macaulay n‚u v ch¿ n‚u nâ thäa m¢n i•u ki»n Serre (Sk) vîi måi

Cho T l mºt t“p con tòy þ cıa Spec(R) Vîi mØi i 2 N; °t

(T )i = fp 2 T j dim R=p = ig:

M»nh • sau cho ta mºt sŁ k‚t qu£ li¶n quan ‚n c§u tróc cıa c¡c mæ

un khuy‚t v mæ un ch‰nh t›c

M»nh • 1.3.4 [38, M»nh • 2.3] C¡c ph¡t bi”u sau l óng.(i) dimR KMi i vîi måi 0 i < d v dimR KM = d:

(ii) AssR KM = (AssR M)d:

(iii) (AssR KMi )i = (AssR M)i vîi måi 0 i < d:

(iv) KM thäa m¢n i•u ki»n Serre (S2):

Câ tçn t⁄i hay khæng mºt v nh trung gian B giœa R v tr÷íng c¡c th÷ìng Q(R) cıa R sao cho B l R-mæ un hœu h⁄n sinh v B l v nh Cohen-

Macaulay? V nh B nh÷ v“y (n‚u tçn t⁄i) ÷æc gåi l Macaulay hâa song hœu

t cıa R: Trong [38], P Schenzel ¢ chøng minh r‹ng mºt mi•n nguy¶n Noether àa ph÷ìng R câ Macaulay hâa song hœu t n‚u v ch¿ n‚u R l v nh Cohen-Macaulay ch‰nh t›c

Chó þ r‹ng t‰nh Cohen-Macaulay cıa M ÷æc °c tr÷ng bði t‰nhtri»t ti¶u cıa hi»u sŁ I(x; M) vîi mºt (måi) h» tham sŁ x cıa M: Mºt phi¶nb£n nh÷ th‚ cho mæ un Cohen-Macaulay ch‰nh t›c ÷æc ÷a ra bði M.Brodmann v L T Nh n [5] nh÷ sau: M l Cohen-Macaulay ch‰nh t›c khi

v ch¿ khi Rl Hm2(M=(x1; : : : ; xd 3)M) = 0 vîi mºt (måi) h» tham sŁ (x1; :: : ; xd) cıa M çng thíi l f-d¢y ch°t — ¥y º d i th°ng d÷ Rl(A) cıa R-mæ unArtin A ÷æc ành ngh¾a bði R Y Sharp v M Hamieh

trong [41] v h» tham sŁ f-d¢y ch°t ÷æc giîi thi»u bði N T C÷íng, M.Morales, L T Nh n [15].

R§t tü nhi¶n, n«m 2013, N T H Loan v L T Nh n [26] ¢ giîithi»u lîp mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c, â l lîp c¡c mæ

un M sao cho KM l Cohen-Macaulay suy rºng Hå ¢ °c tr÷ng lîp mæ un n

y thæng qua sü tçn t⁄i ch°n •u cho c¡c º d i th°ng d÷ cıa c¡c mæ un Łi çngi•u àa ph÷ìng øng vîi c¡c h» tham sŁ l f-d¢y ch°t

Möc ‰ch cıa Ch÷ìng 2 l thi‚t l“p mºt phi¶n b£n cho mæ unCohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c t÷ìng tü nh÷ c¡c °c tr÷ng cıa mæ

un Cohen-Macaulay suy rºng trong ành lþ 1.1.5, ð â hi»u sŁ I(x; M)

÷æc thay b‹ng º d i th°ng d÷ Rl Hm2(M=(x1; : : : ; xd 3)M) v h» tham sŁchu'n t›c ÷æc thay b‹ng h» tham sŁ ch‰nh t›c ( ành ngh¾a 2.1.9) C¡ck‚t qu£ tr…nh b y trong ch÷ìng n y ÷æc düa tr¶n phƒn 2 cıa b i b¡o [1]

2.1 H» tham sŁ ch‰nh t›c

Kh¡i ni»m d¢y låc ch‰nh quy giîi thi»u bði N T C÷íng, P Schenzel

v N V Trung trong [48] câ th” xem nh÷ mºt mð rºng cıa kh¡i ni»m d¢ych‰nh quy quen thuºc Nâ âng vai trÆ quan trång trong nghi¶n cøuc§u tróc v nh v mæ un, °c bi»t l c§u tróc cıa lîp v nh v mæ un Cohen-Macaulay suy rºng Mºt phƒn tß x 2 m ÷æc gåi l phƒn tß låc ch‰nh quy

cıa M n‚u x 2= p vîi måi p 2 AssR M n fmg Mºt d¢y (x1; : : : ; xt) c¡cphƒn tß cıa m ÷æc gåi l mºt d¢y låc ch‰nh quy cıa M n‚u xi l phƒn tßlåc ch‰nh quy cıa M=(x1; : : : ; xi 1)M vîi måi 1 i t: Chó þ r‹ng x 2 m lphƒn tß låc ch‰nh quy cıa M n‚u v ch¿ n‚u ‘R(0 :M x) < 1,n‚u v ch¿ n‚u x

l M=Hm0(M)-ch‰nh quy Hìn nœa, mØi d¢y låc ch‰nh quy º d i d l mºth» tham sŁ cıa M T‰nh ch§t sau ¥y cho ta mŁi li¶n h» giœa c¡c mæ un

Łi çng i•u àa ph÷ìng Hmi(M) v Hmi(M=xM); vîi x 2 m l phƒn tß låc ch‰nhquy cıa M:

N«m 2004, ” nghi¶n cøu t‰nh hœu h⁄n cıa t“p c¡c i ¶an nguy¶n

tŁ g›n k‚t cıa c¡c mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng Artin, çng thíi nghi¶n cøu t

‰nh ch§t a thøc cıa h m º d i c¡c th÷ìng suy rºng, N T C÷íng, M.Morales v L T Nh n [15] ¢ giîi thi»u kh¡i ni»m f-d¢y ch°t nh÷ sau

ành ngh¾a 2.1.2 Mºt d¢y c¡c phƒn tß (x1; : : : ; xt) cıa m ÷æc gåi l f-d

¢y ch°t cıa M n‚u xj+1 2= p vîi måi i ¶an nguy¶n tŁ

m i

[

vîi måi j = 0; : : : ; t 1: Mºt f-d¢y ch°t (x1; : : : ; xt) cıa M ÷æc gåi l ho¡n

và ÷æc n‚u måi ho¡n và cıa nâ •u l f-d¢y ch°t cıa M

d [

Chó þ r‹ng AssR M AttR(Hmi(M)) (xem [8, H» qu£ 11.3.3])

i=0

V… th‚, mØi f-d¢y ch°t cıa M l mºt d¢y låc ch‰nh quy cıa M Chi•ung÷æc l⁄i nh…n chung l khæng óng Chflng h⁄n, ta câ th” chån v nh

R = F [[x1; : : : ; xd]] v M = (x1; x2)R; trong â d 3 v F l mºttr÷íng Rª r ng AssR M Ass R = f0g: V… th‚ x1 l mºt phƒn tß M-ch‰nh quy, do â nâ l phƒn tß låc ch‰nh quy cıa M: Tuy nhi¶n x1khæng

l phƒn tß f-ch°t cıa M: Th“t v“y, v… R l Cohen-Macaulay chi•u d n¶ntheo M»nh • 1.1.6(i), Hmi(R) = 0 vîi måi i 6= d: T÷ìng tü, ta công câ

Hmi(R=M) = 0 vîi måi i 6= d 2: Do â tł d¢y khîp d i Łi çng i•u c£m sinh bði d¢y khîp ng›n

0!M!R!R=M!0

ta câ Hmi(M) = 0 vîi måi i 6= d 1 v i 6= d; çng thíi ta công câ

Hd 1(M) Hd 2(R=M); Hd (M) Hd (R):

m

Do AssR(R=M) = f(x1; x2)Rg n¶n theo ành lþ 1.2.4 ta câ

AttR Hmd 1(M) = AttR Hmd 2(R=M) = (AssR(R=M))d 2 = f(x1; x2)Rg:Nh÷ v“y, x1 2 p vîi p = (x1; x2)R 2 AttR(Hmd 1(M)): Suy ra x1 khæng l phƒn tß f-ch°t cıa M:

Sau ¥y l mºt sŁ t‰nh ch§t cıa f-d¢y ch°t th÷íng ÷æc sß döng trong c¡c chøng minh ð phƒn sau

BŒ • 2.1.3 (Xem [15, BŒ • 3.4, 4.2 ], [20, ành lþ 3.5])

(a) Mºt d¢y (x1; : : : ; xt) c¡c phƒn tß trong m l n‚u

v ch¿ n‚u nâ l mºt d¢y låc ch‰nh quy cıa

mºt f-d¢y ch°t cıa M

KMi vîi måi sŁ nguy¶n

i 0:

(b) N‚u (x1; : : : ; xt) l mºt f-d¢y ch°t cıa M th… (xn11 ; : : : ; xntt ) công l

f-d¢y ch°t cıa M; vîi måi sŁ nguy¶n d÷ìng n1; : : : ; nt:

(c) Vîi mØi sŁ nguy¶n t > 0; tçn t⁄i mºt f-d¢y ch°t ho¡n và ÷æc cıa M º

d i t: °c bi»t, mØi f-d¢y ch°t cıa M º d i d l mºt h» tham sŁ cıa M

Cho A l mºt R-mæ un Artin Theo R Y Sharp v M A Hamieh[41], ch¿ sŁ dłng cıa A; kþ hi»u bði s(A); l sŁ nguy¶n d÷ìng s nhä nh§tsao cho mnA = msA vîi måi n s: °t Rl(A) := ‘R(A=ms(A)A): Khi â Rl(A) lmºt sŁ tü nhi¶n v ÷æc gåi lº d i th°ng d÷ cıa A

Nh“n x†t 2.1.4 (i) Rl(A) = 0 n‚u v ch¿ n‚u m 2= AttR A:

(ii) N‚u x 2= p vîi måi p 2 AttR A n fmg; th… ‘R(A=xA) Rl(A) v trongtr÷íng hæp n y ‘R(A=xnA) = Rl(A) vîi måi n s(A):

(iii) N‚u ‘R(A) < 1; th… Rl(A) = ‘R(A):

N«m 2006, L T Nh n [33] ¢ ÷a ra mºt °c tr÷ng cıa mæ unCohen-Macaulay ch‰nh t›c thæng qua t‰nh tri»t ti¶u cıa º d i th°ngd÷ cıa mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng øng vîi h» tham sŁ l f-d¢y ch°t nh÷sau.

(a) Vîi mØi sŁ nguy¶n i 0, tçn t⁄i mºt sŁ nguy¶n n0 sao cho vîi måi n n0

Nh›c l⁄i r‹ng kh¡i ni»m h» tham sŁ chu'n t›c ÷æc ành ngh¾a trong

[44] cho ta nhœng thæng tin quan trång v• c§u tróc cıa lîp mæ unCohen-Macaulay suy rºng Mºt h» tham sŁ (x1; : : : ; xd) cıa M ÷æc gåi lh» tham sŁ chu'n t›c n‚u

I(x1; : : : ; xd; M) = I(x21; : : : ; x2d; M):

Khi â M l Cohen-Macaulay suy rºng n‚u v ch¿ n‚u tçn t⁄i mºt h» tham sŁchu'n t›c cıa M Hìn nœa, n‚u (x1; : : : ; xd) l mºt h» tham sŁ chu'n t›ccıa M th… (xn11 ; : : : ; xndd ) công l h» tham sŁ chu'n t›c cıa M; vîi måi

BŒ • 2.1.7 [44, ành lþ 2.5] H» tham sŁ (x1; : : : ; xd) cıa M l h» tham

sŁ chu'n t›c n‚u v ch¿ n‚u

(x1; : : : ; xd)Hmi(M=(x1; : : : ; xj)M) = 0vîi måi sŁ nguy¶n i; j 0 thäa m¢n i + j < d:

°c bi»t, ta câ ch°n tr¶n cho c¡c º d i cıa c¡c mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng nh÷ sau

BŒ • 2.1.8 [44, M»nh • 2.9] Cho M l mæ un Cohen-Macaulay suy rºng, (x1; : : : ; xd) l mºt h» tham sŁ cıa M: Khi â

‘(Hmi(M=(x1; : : : ; xj)M))vîi måi sŁ nguy¶n i; j 0 thäa m¢n vîi

måi ho¡n và cıa (x1; : : : ; xd) n‚u v

Nh÷ ¢ tr…nh b y ð tr¶n, kh¡i ni»m h» tham sŁ chu'n t›c âng vai trÆ r§t quan trång trong nghi¶n cøu mæ un Cohen-Macaulay suy rºng Łi vîi lîp mæ

un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c, kh¡i ni»m h» tham sŁ ch‰nh t›c ành ngh¾a sau ¥y công câ vai trÆ quan trång t÷ìng tü nh÷ v“y.

ành ngh¾a 2.1.9 Mºt f-d¢y ch°t x = (x1; : : : ; xd) ÷æc gåi l h» tham

mºt f-d¢y ch°t ho¡n và÷æc vła l mºt h» tham x

÷æc gåi l h» tham sŁ ch‰nh t›c ho¡n và ÷æc

Chó þ r‹ng n‚u d 3; th… måi h» tham sŁ f-d¢y ch°t cıa M •u l h»tham sŁ ch‰nh t›c M»nh • sau ch¿ ra mŁi quan h» giœa h» tham sŁchu'n t›c v h» tham sŁ ch‰nh t›c cıa M:

M»nh • 2.1.10 N‚u (x1; : : : ; xd) l mºt h» tham sŁ chu'n t›c cıa M th…

nâ l h» tham sŁ ch‰nh t›c cıa M:

Chøng minh N‚u d 2 th… k‚t qu£ l hi”n nhi¶n óng Cho d 3: Gi£ sß r‹ng(x1; : : : ; xd) l mºt h» tham sŁ chu'n t›c cıa M: Theo ành lþ 1.1.5 ta câ

M l Cohen-Macaulay suy rºng, suy ra ‘R(KMi ) < 1 vîi måi i < d: Do â(x1; : : : ; xd) l mºt d¢y låc ch‰nh quy cıa KMi vîi måi i Tł BŒ • 2.1.3(a),

ta suy ra ÷æc (x1; : : : ; xd) l mºt f-d¢y ch°t cıa M V… (x1; : : : ; xd) l mºth» tham sŁ chu'n t›c cıa M, n¶n (x21; : : : ; x2d) công l h» tham sŁ chu'nt›c cıa M: Chó þ r‹ng M=(x1; : : : ; xd 3)M l Cohen-Macaulay suy rºng n¶ntheo M»nh • 1.1.6(iii) ta câ

‘R Hm2(M=(x1; : : : ; xd 3)M) < 1:

T÷ìng tü, ta công câ ‘R Hm2(M=(x21; : : : ; x2d 3)M) < 1 Tł Nh“n x†t

Nh“n x†t 2.1.11 Chi•u ng÷æc l⁄i cıa M»nh • 2.1.10 khæng óng Chflngh⁄n, x†t v nh R = k[[x1; x2; x3; x4]] c¡c chuØi lôy thła h…nh thøc tr¶ntr÷íng k; M = R=(x1) \ (x2; x3): Rª r ng ta câ dimR M = 3 n¶n måi h»tham sŁ f-d¢y ch°t x cıa M •u l h» tham sŁ ch‰nh t›c M°t kh¡c, theo

BŒ • 2.1.3(c), h» tham sŁ n y luæn tçn t⁄i Tuy nhi¶n, ta l⁄i câ AssR M =f(x1); (x2; x3)g: V… v“y, theo M»nh • 1.1.4(ii), M khæng l R-mæ unCohen-Macaulay suy rºng Do â, theo ành lþ 1.1.5, ta suy ra x khæng th”

l h» tham sŁ chu'n t›c cıa M:

2.2 Mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c

N«m 2013, N T H Loan v L T Nh n [26] ¢ giîi thi»u kh¡i ni»m

mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c, çng thíi ÷a ra mºt sŁ °ctr÷ng cıa lîp mæ un n y qua h» tham sŁ f-d¢y ch°t

ành ngh¾a 2.2.1 M ÷æc gåi l mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch

‰nh t›c n‚u mæ un ch‰nh t›c KM cıa M l Cohen-Macaulay suy rºng.V‰ dö 2.2.2 (i) N‚u M l Cohen-Macaulay suy rºng th… M l Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c

(ii) N‚u dim M 3; th… M l Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c

rºng ch‰nh t›c

BŒ • sau ¥y l k‚t qu£ ch‰nh cıa [26], cho ta °c tr÷ng cıa mæ unCohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c thæng qua sü tçn t⁄i ch°n •u choc¡c º d i th°ng d÷ cıa c¡c mæ un Łi çng i•u àa ph÷ìng øng vîi c¡c h»tham sŁ l f-d¢y ch°t.

BŒ • 2.2.3 C¡c ph¡t bi”u sau l t÷ìng ÷ìng:

(a) M l mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c;

(b) Tçn t⁄i mºt sŁ c(M) sao cho

Rl Hmd k 1(M=(x1; : : : ; xk)M) c(M)vîi måi f-d¢y ch°t x = (x1; : : : ; xd) cıa M v måi k = 1; : : : ; d 3;(c) Tçn t⁄i mºt h» tham sŁ f-d¢y ch°t x = (x1; : : : ; xd) cıa M v mºt

=0

vîi k = 1; : : : ; d 3 D§u b‹ng x£y ra khi x1; : : : ; xk 2 m2k 1 q; trong â

q = minft 2 N j mtHmi(KM ) = 0 vîi måi i < dg:

Ti‚p töc h÷îng nghi¶n cøu n y, chóng tæi ÷a ra mºt sŁ °c tr÷ng cıa

mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c qua h» tham sŁ f-d¢ych°t, °c bi»t l °c tr÷ng qua h» tham sŁ ch‰nh t›c ¥y câ th” xem l mºtc£i ti‚n thüc sü cho k‚t qu£ ch‰nh cıa [26], çng thíi l mºt phi¶n b£n cho

mæ un Cohen-Macaulay suy rºng ch‰nh t›c t÷ìng tü nh÷ c¡c °c tr÷ng ¢bi‚t v• mæ un Cohen-Macaulay suy rºng trong ành lþ 1.1.5

ành lþ sau ¥y l k‚t qu£ ch‰nh cıa Ch÷ìng 2 v công l mºt trong 6ành lþ ch‰nh cıa lu“n ¡n