về đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin

Tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin ..... Nam… Định nghĩa này mang ý nghĩa đối ngẫu với định nghĩa đối đồng điều suy rộng và là mở điều địa phương suy rộng đã được tì

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2013

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã s ố: 60 46 01 04

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Tr ần Tuấn Nam

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với PGS TS Trần Tuấn Nam, người đã

Minh, lãnh đạo khoa Toán Tin, lãnh đạo và chuyên viên Phòng KHCN- SĐH của trường đã

Đại số và lý thuyết số khóa 22

Huỳnh Nguyễn Ngọc Hạnh

MỤC LỤC

L ỜI CẢM ƠN 1

M ỤC LỤC 2

BẢNG CÁC KÍ HIỆU 3

LỜI NÓI ĐẦU 5

CHƯƠNG 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7

1.1 Môđun noether và môđun artin 7

1.2 Hàm tử Tor 7

1.3 Hàm tử xoắn 8

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng 9

1.5 Đối ngẫu Matlis 9

1.6 Giới hạn ngược và đầy đủ 10

1.7 Môđun đầy đủ I- adic 12

1.8 Độ dài của môđun 13

1.9 Iđêan nguyên tố đối liên kết 14

1.10 Giá của môđun 14

CHƯƠNG 2: ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO MÔĐUN ARTIN16 2.1 Môđun đồng điều địa phương suy rộng 16

2.2 Tính chất đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin 17

K ẾT LUẬN 35

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 36

LỜI NÓI ĐẦU

điều địa phương của A Grothendieck Lý thuyết về đồng điều địa phương suy rộng đã được

Tarrio, A Jeremias Lopez, J Lipman, J Herzog, N T Cuong, T T Nam…

Định nghĩa này mang ý nghĩa đối ngẫu với định nghĩa đối đồng điều suy rộng và là mở

điều địa phương suy rộng đã được tìm ra, bên cạnh đó các nhà toán học vẫn đang nghiên

địa phương suy rộng

N ội dung luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

cũng như tính chất cơ bản nhằm mục đích sử dụng trong các chứng minh ở chương 2 Vì lý

do đó nên trong chương 1 các tính chất, mệnh đề chỉ được thừa nhận mà không chứng minh

Chương 2: Đồng điều địa phương suy rộng cho môđun artin

Mục đích của chương này là nghiên cứu một vài tính chất của môđun đồng điều địa suy

để mô tả chiều rộng của môđun M Bên cạnh đó chúng tôi sẽ dựa vào đối ngẫu để tìm hiểu

Dù đã hết sức cố gắng nhưng vì còn nhiều hạn chế trong nhận thức nên luận văn này

Sau đây là nội dung của luận văn

CHƯƠNG 1:KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Môđun noether và môđun artin

Cho M là m ột môđun trên vành giao hoán R

i) N ếu M là môđun noether thì mọi môđun con và môđun thương của M cũng là

i) Cho dãy khớp các R-môđun 0→M →N→ →L 0 và G là m ột R-môđun khi đó ta

có dãy kh ớp dài sau:

M ệnh đề 1.3.2

Cho M là m ột R- môđun I- xoắn Khi đó tồn tại một phép giải nội xạ của M sao cho mỗi thành viên đều là các R- môđun I- xoắn

= ⊕ là m ột vành giao hoán noether phân bậc, M và N là các R-môđun phân

b ậc hữu hạn sinh, I là một iđêan phân bậc của R và N

J là m ột phép giải nội xạ rút gọn của R- môđun N Khi đó

M ột R-môđun hữu hạn sinh M là I-xoắn khi và chỉ khi tồn tại n∈  sao cho I M n = 0

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng

vào chính nó

1.5 Đối ngẫu Matlis

Định nghĩa 1.5.1

Định nghĩa 1.5.2

Đối với bất kì R- môđun M, Width D M I ( ( ))=Depth M I( )

1.6 Giới hạn ngược và đầy đủ

Định nghĩa 1.6.1

Một họ {M t, f rt} gồm các R- môđun M t với t∈V (V là tập định hướng) và các đồng

t

tt M

f =id và f f st rs = f rt với t≤ ≤s r

∏ gồm tất cả các phần tử ( )x t thỏa mãn f rt( )x r =x t với mọi r t, ∈V t, ≤r lập thành

t

t

M

Mittag-Leffler (ML) nếu với mỗi t, tồn tại t0 ≥t sao cho nếu r r, '≥t0 thì f rt(M r)= f r t'(M r')

Định lí 1.6.2

Cho 0→{ } { } { }M t → N t → P t →0 là dãy kh ớp ngắn các hệ ngược của các R- môđun Khi đó:

i) N ếu { }N t th ỏa mãn tiêu chuẩn ML, thì { }P t cũng thỏa ML

ii) N ếu { }M t th ỏa mãn tiêu chuẩn ML, thì dãy sau đây khớp

M ệnh đề 1.6.4

B ất kì hai giới hạn ngược thì giao hoán nhau

M ệnh đề 1.6.5

Cho 0→{ } { } {M't → M t → M''t}→0 là m ột dãy khớp của hệ ngược các R- môđun Nếu

m ỗi M't đều là artin, thì 0 lim ' lim lim '' 0

r+ − ∈r m với mọi n h, ∈  Khi ấy r a t h+ =r a t =r a't =r't h+ a với mọi h∈  Kiểm tra trực

tiếp ta có M có cấu trúc Rˆ-môđun với raˆ =r a t

thì ta thu được cấu trúc R-môđun trên M; và mọi tập con của M là R-môđun con khi và chỉ

1.7 Môđun đầy đủ I- adic

Khi đó các hàm tử đầy đủ I - adic ΛI là hiệp biến, cộng tính trên phạm trù các

R-môđun

t

Khi đó số n được gọi là độ dài của dãy hợp thành này Môđun M có một dãy hợp thành

được gọi là một môđun có dãy hợp thành

Định nghĩa 1.8.2

dài Khi đó độ dài của các dãy hợp thành của M được gọi là độ dài của môđun M và kí hiệu

là R( )M

môđun có độ dài vô hạn

kết của M nếu tồn tại một ảnh đồng cấu đối cyclic L của M sao cho p = Ann L( ) Tập các

ii) M ọi phần tử của Cos M( ) đều thuộc Coass M( )

1.10 Giá của môđun

Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì Supp M( )=V Ann M( ( ) )

Chú ý 1.10.3

(r−r m') =0 hay rm=r m'

/,

CHƯƠNG 2: ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG CHO

MÔĐUN ARTIN

2.1 Môđun đồng điều địa phương suy rộng

Định nghĩa 2.1.1

suy rộng thứ i H i I(M N, ) của M, N đối với I được định nghĩa:

iii) Vì Tor i R(M I M N/ t , ) có cấu trúc tự nhiên như một môđun trên vành R I/ t với mọi t

Cho M, N là các R- môđun Khi đó:

i) Môđun đồng điều địa phương suy rộng H i I(M N, ) là I-tách v ới i≥0 , nghĩa là

s R t i

i t R

i t R

i t i

H M D N Tor M I M D N

D Ext M I M N Hom Ext M I M N E R m Hom Ext M I M N E R m

Hơn nữa, nếu giả sử m⊗nlà phần tử sinh thuộc M⊗N, với m M, n N Lúc đó, sẽ tồn tại

artin

Hoàn toàn tương tự, khi M là R- môđun hữu hạn sinh và N là R- môđun noether ta cũng

Ch ứng minh mệnh đề 2.2.2

dài với mọi t >0

B ổ đề 2.2.4

Cho { }M t là m ột hệ ngược của các R- môđun artin và N là R- môđun hữu hạn sinh Khi

đó ta có đẳng cấu , lim lim ( , )

Cho M là R- môđun artin Khi đó

i) N ếu N là R-môđun hữu hạn sinh thì H i I(M N, ) là R- môđun artin với mọi i≥0

ii) N ếu N là hữu hạn sinh hoặc artin trên vành địa phương (R, m) thì H i m(M N, )có độ dài h ữu hạn với mọi i≥0

( / , ) ( / )

Tor M I M N ≅H M I M⊗ F•

với mọi i≥ , và theo tính ch0 ất 1.3.3 ta có H I i(M N, )≅H i(Hom R(M,ΓI( )J N ) )

Vì vậy H I i(M N, )≅Ext R i (M N, ) với mọi i≥ 0 

B ổ đề 2.2.7

Cho M là môđun hữu hạn sinh và N là môđun artin trên vành địa phương (R, m) Nếu N

là đầy đủ trên tôpô I-adic ( nghĩa là ΛI( )N ≅N ), thì có đẳng cấu

← 

Khi đó, D(N) là R-môđun I- xoắn theo mệnh đề 1.3.4

Vì vậy ta có đẳng cấu Ext M D N R i( , ( ))≅H M D N I i( , ( )) với mọi i≥ 0 theo bổ đề 2.2.6 Theo đối ngẫu Matlis, D Ext M D N( R i( , ( )))≅D H M D N( I i( , ( )))

Mà Tor i R(M D N, ( ) )≅D Ext( R i (M N, ) ) với M hữu hạn sinh theo 1.5.4 và

K =J M J +M với mọi t≥ 0 Khi đó K0 =M JM/ là R J/ - môđun noether theo

K+ T K

=

Khi đó K là R J T T/ [ 1, 2, ,T s]- môđun noether và K cũng là Gr J( )R - môđun noether

Ti ếp theo, ta sẽ chỉ ra tính noether của môđun đồng điều địa phương suy rộng

Định lí 2.2.9

Cho (R, m) là vành địa phương noether và M là môđun hữu hạn sinh Nếu N là môđun artin thì H i m(M N, ) là Rˆ - môđun noether với mọi i≥0

R-Ch ứng minh

n

Do N/K có độ dài hữu hạn và M hữu hạn sinh nên Tor i R(M N K, / ) có độ dài hữu hạn

m

i

H M N K là Rˆ-môđun noether

địa phương suy rộng

1

L xL≅ α ⊆H− M x

t m L t m L

> >

T ừ tính chất noether của môđun đồng điều địa phương suy rộng H i m(M N, ) ta tr ở lại tính ch ất artin của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng H m i(M N, )

Trước tiên, ta xét trường hợp ( , )R m là một vành đầy đủ

Từ mệnh đề 2.2.1, ta có đẳng cấu H i m(M D N, ( ))≅D H( m i (M N, )) với mọi i≥ 0

m R

sao cho Ndim(M m+1/M m)<α với mọi m≥m0

ii) Nếu 0 →M' →M →M'' → 0 là một dãy khớp ngắn các R- môđun thì

Định lí 2.2.11

môđun artin với NdimN=d và pd M( ) = p Khi đó H p d I+ (M N, ) là ΛI( )R - môđun noether

Ch ứng minh

noether (R m, ), nên theo bổ đề 2.2.3, H0I(M N, ) là ΛI( )R - môđun noether

n

K =I N

→H I p d+ (M K, ) →H p d I+ (M N, ) →H I p d+ (M N K, / ) →

adic Theo bổ đề 2.2.7, ta có đẳng cấu Tor p d R+ (M N K, / ) ≅H p d I+ (M N K, / )

Vì ΛI (N K/ )≅N K/ mà ΛI (N K/ ) là ΛI( )R - môđun noether nên N K/ cũng là ΛI( )R

I

p d

H + M N K cũng là ΛI( )R - môđun noether

điều địa phương suy rộng

.

1

→H p d I+ (M K, ) x→H I p d+ (M K, ) α→H I p d+ − (M, 0 :K x) → Theo giả thiết qui nạp, ta có H p d I+ −1 (M, 0 :K x) là ΛI( )R - môđun noether Hơn nữa, từ dãy khớp ta cũng có H I p d+ (M K, ) /xH I p d+ (M K, ) ≅ Imα ⊆H p d I+ −1 (0 :K x)

i) H i I(M N, ) là artin v ới mọi i<s

ii) I⊆Rad Ann H( R( i I(M N, ))) v ới mọi i<s

Ch ứng minh

i⇒ ii

Xét dãy giảm các môđun con của H i I (M N, )

Rad Ann H M N x R n x Ann H M N

( , / ) ( , / )

Tor M N K ≅H M N K với mọi i≥ 0

là artin với mọi i≥ 0

Ta biết I ⊆Rad Ann H( R( i I+1 (M N K, / ))) vì H i I+1(M N, / K)là artin theo chứng minh trên Theo giả thiết ta cũng có I ⊆Rad Ann H( R( i I(M N, )))với mọi i<s

R i

I ⊆Rad Ann H M K với mọi i<s Vì IK =K, nên có một phần tử x∈Isao

đồng điều địa phương suy rộng:

Dẫn đến I⊆Rad Ann H( R( i I−1 (M, 0 :K x r))) với mọi i<s Do đó, H i I−1 (M, 0 :K x r)là artin, và

vì vậy H i I(M K, ) là artin với mọi i<s

Chú ý

B ổ đề 2.2.13

Cho M là R- môđun hữu hạn sinh sao cho Ann M( ) ⊆I và N là R- môđun artin Khi đó

Coass M ⊗ Λ N =Supp M ∩Coass Λ N

Mà Supp R( )M =V Ann M( R ) Thật vậy

P∈ =L P∈SpecR∃ ≠ ∈x M Ann x ⊆P hay Supp R( )M ⊆L

Theo 1.9.4 và 1.9.5, ta cũng có Coass(ΛI( ))N ⊆V I( )⊆V Ann M( ( )) nên

Coass H M N =Coass M ⊗ Λ N =Coass Λ N

Do ΛI( )N ≠0trên vành noether ΛI( )R nên Coass H( 0I(M N, )) ≠ ∅, khi đó H0I(M N, ) ≠ 0.

Định lý 2.2.14

Cho ( , )R m là m ột vành địa phương và M là R- môđun hữu hạn sinh sao cho Ann M( ) ⊆I N ếu N là R- môđun artin, khi đó mọi dãy N- đối chính quy cực đại trên I đều có độ dài như nhau Hơn nữa Width N I( )=inf{i H i I(M N, )≠0}

Ch ứng minh

Vì vậy, H0I(M N, ) ≠ 0 theo bổ đề 2.2.13, nên

Do H n I−1(M, 0 :N x1) ≠ 0nên theo tính chất của dãy khớp, ta có H n I(M N, ) ≠ 0

Kết hợp với 2.2.1(i) ta có Width D N I( ( ))=inf{i D H M N( I i( , ))≠0}

Ta lại có depth N I ( )=Width D N I( ( ) ) (mệnh đề 1.5.8)

KẾT LUẬN

Định nghĩa và đưa ra một vài tính chất của môđun đồng điều địa phương suy rộng như

phương suy rộng từ dãy khớp ngắn các môđun artin

trường hợp M là môđun hữu hạn sinh và chỉ ra tính noether của môđun đồng điều địa

phương suy rộng

môđun đồng điều địa phương suy rộng Mô tả chiều rộng của môđun artin dựa vào môđun đồng điều địa phương suy rộng

để luận văn được hoàn chỉnh thêm

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Addion Wesley Plublising Company, Inc

introduction with geometric applications, Cambrigde University Press

Artinian modules”, Math Proc Cambridge Phil Soc 131, pp 61–72

co-associated primes of local homology modules”, Vietnam J Math 29(4), pp 359–

commutative ring, Symposia Mathematica 11, pp 23–43

6, pp 573–587

commutative rings, Quart J Math Oxford (Ser.2) 26, pp 269–273

New York

University Press, Cambridge

Kyoto Univ 18(1), pp 71–85

13 Tang Z (1994), “Local homology theory for artinian modules”, Comm Algebra

22(5), pp 1675–1684

modules”, Comm Algebra 30(1), pp 327–330