Về môđun cohen macaulay suy rộng chính tắc và một số quỹ tích không cohen macaulay trên vành noether địa phương tt

LƯU PHƯƠNG THẢOVỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHÍNH TẮC VÀ MỘT SỐ QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019... ĐẠI

LƯU PHƯƠNG THẢO

VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHÍNH TẮC

VÀ MỘT SỐ QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY

TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LƯU PHƯƠNG THẢO

VỀ MÔĐUN COHEN-MACAULAY SUY RỘNG CHÍNH TẮC

VÀ MỘT SỐ QUỸ TÍCH KHÔNG COHEN-MACAULAY

TRÊN VÀNH NOETHER ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới Cấutrúc của những lớp môđun này đã được đặc trưng qua hầu hết lý thuyết quenbiết của Đại số giao hoán (số bội, đối đồng điều địa phương, địa phương hóa,đầy đủ hóa, ) Các môđun này xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau củaToán học như Đại số đồng điều, Lý thuyết bất biến, Tổ hợp và Hình học đạisố.

Luận án liên quan đến hai hướng mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulaysau đây Mở rộng thứ nhất là dựa theo hiệu số I(x; M ) giữa độ dài `(M/xM )

và số bội e(x; M ) với x là hệ tham số của M Chú ý rằng M là Cohen-Macaulaynếu và chỉ nếu I(x; M ) = 0 với một (hoặc với mọi) hệ tham số x Từ đó, mộtgiả thuyết được đặt ra bởi D A Buchsbaum năm 1965 như sau: I(x; M ) :=

`(M/xM ) − e(x; M ) là một hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của

M Câu trả lời phủ định cho giả thuyết được W Vogel và J St¨uckrad đưa ranăm 1973, và họ đã nghiên cứu lớp vành và môđun thỏa mãn điều kiện củagiả thuyết, được gọi là vành và môđun Buchsbaum Năm 1978, N T Cường, P.Schenzel và N V Trung đã giới thiệu một mở rộng của lớp môđun Buchsbaum,

đó là lớp môđun M thỏa mãn điều kiện sup I(x; M ) < ∞, trong đó cận trên lấytheo mọi hệ tham số x của M , và họ gọi chúng là môđun Cohen-Macaulay suyrộng Ngày nay, khái niệm môđun Buchsbaum và môđun Cohen-Macaulay suyrộng đã trở nên rất quen biết trong Đại số giao hoán Tiếp tục mở rộng theohướng này, ta được lớp môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s, với s ≥ −1

là số nguyên Ta nói rằng M là môđun Cohen-Macaulay theo chiều > s nếumọi hệ tham số của M là M -dãy chính quy theo chiều > s Chú ý rằng M là

Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu nó là Cohen-Macaulay theo chiều > −1 Khi R

là thương của vành Cohen-Macaulay, thì M là Cohen-Macaulay suy rộng nếu

và chỉ nếu M là Cohen-Macaulay theo chiều > 0

Hướng mở rộng thứ hai của lớp môđun Cohen-Macaulay là dựa vào cấutrúc của môđun chính tắc, trong trường hợp R là ảnh đồng cấu của một vànhGorenstein địa phương (R0, m0) chiều n0 Với mỗi số nguyên i ≥ 0, đặt KMi :=ExtnR00−i(M, R0) Khi đó KMi là R-môđun hữu hạn sinh và được gọi là môđunkhuyết thứ i của M Đặc biệt, với i = d ta ký hiệu KM := KMd và gọi là môđunchính tắc của M Khi KM là Cohen-Macaulay, ta nói M là Cohen-Macaulaychính tắc Chú ý rằng nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì KM cũng là môđunCohen-Macaulay Vì thế, lớp môđun Cohen-Macaulay chính tắc là một mở rộngcủa lớp môđun Cohen-Macaulay Khái niệm vành và môđun Cohen-Macaulaychính tắc xuất phát từ bài toán sau: Giả sử (R, m) là một miền nguyên, địaphương Ký hiệu Q(R) là trường các thương của R Câu hỏi tự nhiên đặt ra làtồn tại hay không một vành trung gian R ⊆ B ⊆ Q(R) sao cho B là R-môđunhữu hạn sinh và B là vành Cohen-Macaulay? Vành B như trên (nếu tồn tại)được gọi là Macaulay hóa song hữu tỷ của R Đây là bài toán quan trọng trongĐại số giao hoán Năm 2004, P Schenzel đã chứng minh rằng một miền nguyênNoether địa phương R có Macaulay hóa song hữu tỷ nếu và chỉ nếu R là vànhCohen-Macaulay chính tắc Năm 2006, L T Nhàn đã đưa ra một đặc trưngcủa môđun Cohen-Macaulay chính tắc thông qua tính triệt tiêu của độ dàithặng dư của môđun đối đồng điều địa phương ứng với hệ tham số là f-dãychặt giới thiệu bởi N T Cường, M Morales, L T Nhàn Tiếp theo, năm 2012,

M Brodmann và L T Nhàn đã chỉ ra rằng với điều kiện d ≥ 4 và x là phần tửtham số f-chặt, thì M là Cohen-Macaulay chính tắc khi và chỉ khi M/xM làCohen-Macaulay chính tắc Một cách tự nhiên, N T H Loan và L T Nhàn đãgiới thiệu lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc, đó là lớp các môđun

M sao cho KM là Cohen-Macaulay suy rộng Họ đã đặc trưng lớp môđun nàythông qua sự tồn tại chặn đều cho các độ dài thặng dư của các môđun đối đồngđiều địa phương ứng với các hệ tham số là f-dãy chặt Chú ý rằng nếu M làCohen-Macaulay suy rộng, thì M là Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc

Luận án nghiên cứu lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc và

một số quỹ tích không Cohen-Macaulay trên vành Noether địa phương Mụcđích thứ nhất của luận án là đặc trưng cấu trúc của lớp môđun Cohen-Macaulaysuy rộng chính tắc khi R là thương của vành Gorenstein địa phương Mục đíchthứ hai là làm rõ mối quan hệ giữa quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđunchính tắc KM và quỹ tích không Cohen-Macaulay của M Mục đích thứ ba lànghiên cứu tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều và số bội của môđun đối đồngđiều địa phương Artin dưới tác động của chuyển phẳng Rp → bRP, trong đó

P ∈ Spec( bR), p = P ∩ R và R tùy ý không nhất thiết là thương của vànhGorenstein, từ đó đưa ra công thức tính chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay theo chiều > s

Về phương pháp nghiên cứu, để đặc trưng lớp môđun Cohen-Macaulaysuy rộng chính tắc, chúng tôi khai thác những tính chất đặc thù của môđunđối đồng điều địa phương Artin và sử dụng linh hoạt các hệ tham số là f-dãychặt Về mối quan hệ giữa hai quỹ tích không Cohen-Macaulay nCM(KM) vànCM(M ), chúng tôi cần đến Định lý cấu trúc vành Buchsbaum của S Goto,Định lý cấu trúc của môđun chính tắc qua chuyển phẳng được chứng minh bởi

Y Aoyama, S Goto và công thức chiều của môđun khuyết dưới tác động của

mở rộng chuỗi lũy thừa hình thức Để nghiên cứu môđun đối đồng điều địaphương dưới tác động của chuyển phẳng Rp → bRP, chúng tôi áp dụng hữu hiệutính chất chuyển dịch qua địa phương hóa và đầy đủ hóa của L T Nhàn, P

H Quý năm 2014 và công thức số bội liên kết cho môđun đối đồng điều địaphương đưa ra bởi M Brodmann và R Y Sharp năm 2002

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận án được chia làm

4 chương Chương 1 nhắc lại một số kiến thức cơ sở phục vụ cho các chương sau,bao gồm các đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulaysuy rộng; tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều và bội của môđun Artin; môđunchính tắc và môđun khuyết

Trong Chương 2, chúng tôi giới thiệu khái niệm hệ tham số chính tắc,thiết lập mối quan hệ giữa hệ tham số chính tắc và hệ tham số chuẩn tắc.Chúng tôi đưa ra đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắcthông qua hệ tham số chính tắc và cải tiến các kết quả trước đây về cấu trúccủa môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc

Trong Chương 3, chúng tôi đưa ra mối liên hệ giữa chiều của quỹ tíchkhông Cohen-Macaulay của môđun M và chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc KM Đặc biệt hơn, chúng tôi chỉ ra rằng, ngoàimối quan hệ bao hàm nCM(KM) ⊆ nCM(M ) thì hai quỹ tích này hầu như làđộc lập với nhau.

Trong Chương 4, chúng tôi làm rõ sự thay đổi của tập iđêan nguyên tốgắn kết, chiều và số bội của môđun đối đồng điều địa phương Artin qua chuyểnphẳng Rp → bRP, trong đó P ∈ Spec( bR) và p = P ∩ R Sử dụng kết quả này,chúng tôi đưa ra công thức tính chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay theochiều > s

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương 1 dành để chuẩn bị những kiến thức cơ sở cần thiết nhằm phục

vụ cho việc chứng minh các kết quả ở các chương sau Chương này bao gồmcác mục:

1.1 Môđun Cohen-Macaulay và Cohen-Macaulay suy rộng

Trong mục này chúng tôi nhắc lại một số tính chất và đặc trưng quenthuộc của môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng.1.2 Môđun Artin

Chúng tôi trình bày về tập iđêan nguyên tố gắn kết, chiều và số bội củamôđun Artin

1.3 Môđun chính tắc và môđun khuyết

Chúng tôi nhắc lại khái niệm và một số tính chất của môđun chính tắc

và môđun khuyết sẽ sử dụng ở phần sau

Một trong những đặc trưng rất quen thuộc về tính Cohen-Macaulaycủa M là đặc trưng qua tính triệt tiêu của hiệu số I(x; M ) giữa độ dài và

số bội với một (mọi) hệ tham số x của M Năm 2012, M Brodmann và

L T Nhàn đã đưa ra một phiên bản tương tự như thế cho môđun Macaulay chính tắc như sau: M là Cohen-Macaulay chính tắc khi và chỉ khi

Cohen-Rl Hm2(M/(x1, , xd−3)M )
= 0 với một (mọi) hệ tham số (x1, , xd) của Mđồng thời là f-dãy chặt Ở đây Rl(A) là độ dài thặng dư của R-môđun Artin Ađược định nghĩa bởi R Y Sharp và M Hamieh năm 1985 và khái niệm f-dãychặt được giới thiệu bởi N T Cường, M Morales và L T Nhàn năm 2004

Mục đích của Chương 2 là thiết lập một phiên bản cho môđun Macaulay suy rộng chính tắc tương tự như các đặc trưng tham số quen thuộccủa môđun Cohen-Macaulay suy rộng được đưa ra bởi N T Cường, P Schenzel,

Cohen-N V Trung (1978) và Cohen-N V Trung (1986), ở đó hiệu số I(x; M ) được thay bằng

độ dài thặng dư Rl Hm2(M/(x1, , xd−3)M )
và hệ tham số chuẩn tắc đượcthay bằng hệ tham số chính tắc được giới thiệu sau đây

(c) Với mỗi số nguyên t > 0, tồn tại một f-dãy chặt hoán vị được của M độ dài

t Đặc biệt, mỗi f-dãy chặt của M độ dài d là một hệ tham số của M

Cho A là một R-môđun Artin Theo R Y Sharp và M A Hamieh,chỉ số dừng của A, ký hiệu bởi s(A), là số nguyên dương s nhỏ nhất sao cho

mnA = msA với mọi n ≥ s Đặt Rl(A) := `R(A/ms(A)A) thì Rl(A) là hữu hạn

và được gọi là độ dài thặng dư của A

Nhận xét 2.1.4 (i) Rl(A) = 0 nếu và chỉ nếu m /∈ AttRA

(ii) Nếu x /∈ p với mọi p ∈ AttRA \ {m}, thì `R(A/xA) ≤ Rl(A) và trong trườnghợp này `R(A/xnA) = Rl(A) với mọi n ≥ s(A)

(iii) Nếu `R(A) < ∞, thì Rl(A) = `R(A)

Bổ đề sau cho ta một tính chất của f-dãy chặt liên quan đến độ dài thặng

dư và các môđun khuyết

Bổ đề 2.1.6 Cho x ∈ m là một phần tử f-chặt của M Các phát biểu sau là

Chú ý rằng chiều ngược lại của Mệnh đề 2.1.10 không đúng.

2.2 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc

Năm 2013, N T H Loan và L T Nhàn đã giới thiệu khái niệm môđunCohen-Macaulay suy rộng chính tắc, đồng thời cũng đặc trưng lớp môđun nàythông qua sự tồn tại chặn đều cho các độ dài thặng dư của các môđun đối đồngđiều địa phương ứng với các hệ tham số là f-dãy chặt như sau

Định nghĩa 2.2.1 M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắcnếu môđun chính tắc KM của M là Cohen-Macaulay suy rộng

Bổ đề 2.2.3 Các phát biểu sau là tương đương:

(a) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc;

(b) Tồn tại một số c(M ) sao cho

Rl Hmd−k−1(M/(x1, , xk)M )
≤ c(M )với mọi f-dãy chặt x = (x1, , xd) của M và mọi k = 1, , d − 3;

(c) Tồn tại hệ tham số f-dãy chặt x = (x1, , xd) của M và một số c(x, M )sao cho Rl Hmd−k−1(M/(xn1

1 , , xnk

k )M )
≤ c(x, M) với mọi k = 1, , d−

3 và mọi số nguyên dương n1, , nd−3

Hơn nữa, nếu các điều kiện (a), (b), (c) thỏa mãn, thì



`(Hmi+2(KM))với k = 1, , d − 3 Dấu bằng xảy ra khi x1, , xk ∈ m2 k−1 q, trong đó

q = min{t ∈ N | mtHmi(KM) = 0 với mọi i < d}

Định lý sau đây là kết quả chính của Chương 2 và cũng là kết quả đầu tiêncủa luận án, trong đó chúng tôi đưa ra một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc qua hệ tham số f-dãy chặt, đặc biệt là đặc trưngqua hệ tham số chính tắc Đây có thể xem là một cải tiến thực sự cho kết quảtrước đây của N T H Loan và L T Nhàn (Bổ đề 2.2.3), đồng thời là mộtphiên bản cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc tương tự như cácđặc trưng đã biết về môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Định lý 2.2.4 Các phát biểu sau là tương đương:

(a) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc;

(b) Tồn tại một số nguyên cM sao cho

Rl Hm2(M/(x1, , xd−3)M )
≤ cMvới mọi f-dãy chặt (x1, , xd) của M ;

(c) Tồn tại một f-dãy chặt (x1, , xd) của M sao cho

(d) Tồn tại một hệ tham số chính tắc hoán vị được của M

Hơn nữa, nếu (x1, , xd) là một hệ tham số chính tắc hoán vị được của

i = 1, , k

Cho A là R-môđun Artin Đặt dim

b

RA = t Một hệ (x1, , xt) các phần tửtrong m được gọi là một hệ tham số của A nếu độ dài `R(0 :A (x1, , xt)) < ∞.Tính chất sau đây của môđun Artin được sử dụng trong chứng minh một sốkết quả tiếp theo của tiết này

Bổ đề 2.2.7 Cho A là một R-môđun Artin Nếu dim

Đặc biệt, bổ đề tiếp theo dưới đây là một bước quan trọng trong chứngminh Định lý 2.2.4.

Bổ đề 2.2.9 Cho d ≥ 4 Giả sử x = (x1, , xk) là một f-dãy chặt của M ,trong đó 1 ≤ k ≤ d − 3 là một số nguyên Khi đó, tồn tại một số nguyên m(x)sao cho

Rl Hmd−k(M/(x1, , xk−1)M )
≤ Rl Hd−k−1

m (M/(x1, , xk−1, xm(x)k )M )

là Cohen-Macaulay, thì nCM(M ) = ∅, trong trường hợp này chúng ta quy ướcdim nCM(M ) = −1.

Trong toàn bộ Chương 3, luôn giả thiết (R, m) là một vành Noether địaphương và là thương của một vành Gorenstein địa phương, M là R-môđun hữuhạn sinh có chiều dim M = d Mục tiêu của chương này là nghiên cứu chiềucủa quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun M , chiều của quỹ tích khôngCohen-Macaulay của môđun chính tắc KM và mối liên hệ giữa chúng

3.1 Một số tính chất qua chuyển phẳng

Mệnh đề sau đây sẽ được sử dụng trong chứng minh kết quả chính củaChương 3, trong đó chúng tôi chỉ ra tính chất về chiều của các môđun đối đồngđiều địa phương và chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun dướitác động của mở rộng phẳng

Mệnh đề 3.1.4 Cho f : (R, m) → (S, n) là một đồng cấu phẳng địa phươnggiữa các vành Noether địa phương thỏa mãn S/mS là vành Cohen-Macaulay

chiều t Nếu M không là Cohen-Macaulay thì

max

i<d+tdimS Hni(M ⊗R S) = dim(S/mS) + max

i<d dimRHmi (M )

Hơn nữa, nếu M và M ⊗R S là đẳng chiều thì

dim nCM(M ⊗R S) = dim(S/mS) + dim nCM(M )

Tiếp theo chúng tôi quan tâm đến mối liên hệ giữa chiều của các quỹ tíchkhông Cohen-Macaulay của môđun chính tắc qua chuyển phẳng Tuy nhiên,trong trường hợp tổng quát, cho f : (R, m) → (S, n) là đồng cấu phẳng địaphương thì không phải lúc nào KR⊗RS cũng là môđun chính tắc của S Theo

Y Aoyama và S Goto, điều này chỉ đúng khi S/mS là vành Gorenstein

Bổ đề 3.1.5 Cho f : (R, m) → (S, n) là một đồng cấu phẳng địa phương Khi

đó S/mS là một vành Gorenstein nếu và chỉ nếu KR ⊗R S là môđun chính tắccủa S và S/mS là vành Cohen-Macaulay

Cho t > 0 là một số nguyên, cho S = R[[x1, , xt]] là vành các chuỗi lũythừa hình thức t biến trên R Khi đó, ánh xạ tự nhiên R → S là phẳng địaphương và S/mS là vành Gorenstein Trong kết quả tiếp theo sau đây, chúngtôi chỉ ra mối liên hệ giữa các môđun chính tắc (tương ứng các môđun khuyết)của R và S qua đồng cấu phẳng tự nhiên này

Mệnh đề 3.1.6 Cho S = R[[x1, , xt]] là vành các chuỗi lũy thừa hình thứctrên R Khi đó

(a) KSi ∼= Ki−t

R ⊗R S với mọi i ≥ t và KSi = 0 với mọi i < t Đặc biệt, nếu

KRi−t 6= 0 thì dimSKSi = t + dimRKRi−t

(b) KR là Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu KS là Cohen-Macaulay Nếu KRkhông là Cohen-Macaulay thì dim nCM(KS) = t + dim nCM(KR)

3.2 Quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính

tắc

Trong tiết này chúng tôi trình bày kết quả chính của Chương 3 về mốiquan hệ giữa chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của môđun chính tắc

KM và chiều của quỹ tích không Cohen-Macaulay của M Đặc biệt hơn, chúngtôi chỉ ra rằng, ngoài mối quan hệ bao hàm nCM(KM) ⊆ nCM(M ), thì hai quỹtích này hầu như là độc lập với nhau theo nghĩa sau.

Định lý 3.2.1 Các phát biểu sau là đúng

(a) dim nCM(KM) ≤ min {d − 3, dim nCM(M )}

(b) Cho các số nguyên n, s, r thỏa mãn −1 ≤ s ≤ n − 3 và s ≤ r ≤ n − 2 Khi

đó luôn tồn tại một vành Noether địa phương, đầy đủ (R, m) sao cho R làkhông trộn lẫn và dim R = n, dim nCM(R) = r, dim nCM(KR) = s

Để chứng minh Định lý 3.2.1, chúng tôi cần sử dụng các kết quả sau đây,trong đó Định lý cấu trúc vành Buchsbaum của S Goto đóng một vai trò quantrọng

Bổ đề 3.2.2 Cho n > 0 và h0, , hn−1 ≥ 0 là các số nguyên Khi đó, tồn tạivành Buchsbaum địa phương (R, m) thỏa mãn dim R = n, dimR/mHmi(R) = hi

với mọi 0 ≤ i ≤ n − 1 Hơn nữa, nếu h0 = 0 thì R là miền nguyên

Một công cụ quan trọng nữa chúng tôi cần dùng đến là khái niệm vànhiđêan hóa được giới thiệu bởi M Nagata Tích Đềcác R × M cùng với hai phéptoán cộng và nhân xác định bởi:

(r1, m1) + (r2, m2) = (r1 + r2, m1 + m2);

(r1, m1)(r2, m2) = (r1r2, r1m2 + r2m1)

là một vành Vành này được gọi là iđêan hóa của M trên R, và được ký hiệubởi R n M Chú ý rằng R n M là vành giao hoán địa phương Noether với đơn

vị là (1, 0) Iđêan cực đại duy nhất của R n M là m × M Do KR, KM, KRnM

là đẳng chiều nên ta có bổ đề sau

Bổ đề 3.2.3 Các phát biểu sau là đúng

(a) Nếu dim M < dim R thì dim nCM(KRnM) = dim nCM(KR)

(b) Nếu dim M = dim R thì

dim nCM(KRnM) = max{dim nCM(KR), dim nCM(KM)}