Phép biến đổi tuyến tính trong mặt phẳng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN ———————o0o——————– KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH TRONG MẶT PHẲNG Chuyên ngành: HÌNH HỌC Giảng viên hướng dẫn: Th.S Đinh Thị Kim Th

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

———————o0o——————–

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

TRONG MẶT PHẲNG

Chuyên ngành: HÌNH HỌC

Giảng viên hướng dẫn: Th.S Đinh Thị Kim Thúy

Sinh viên: Phạm Thị Ngọc YếnLớp: K36CN Toán

HÀ NỘI, 5/2014

Trang 2

Bài khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tìnhcủa cô giáo Th.S Đinh Thị Kim Thúy Qua đây em xin gửi lờicảm ơn sâu sắc tới các thầy cô trong tổ Hình học và các thầy cô trongkhoa Toán trường ĐHSP Hà Nội 2 đã giúp đỡ em trong quá trìnhhọc tập để thuận lợi cho việc nghiên cứu Đặc biệt, em xin gửi lờicảm ơn chân thành tới cô giáo Th.S Đinh Thị Kim Thúy người

đã dành cho em sự hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo và chỉ bảo cho emtrong suốt quá trình học tập nghiên cứu và thực hiện khóa luận

Dù đã hết sức cố gắng, nhưng do đây là lần đầu tiên làm quen vớiviệc nghiên cứu khoa học và do năng lực còn hạn chế nên khó tránhkhỏi những sai sót Em mong muốn nhận được sự chỉ bảo, đóng gópcủa quí thầy cô để cho bài khóa luận được tốt hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Phạm Thị Ngọc Yến

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng, nỗ lực của bản thâncùng sự hướng dẫn nhiệt tình chỉ bảo của cô giáo Th.S Đinh ThịKim Thúy em đã hoàn thành bài khóa luận của mình

Em xin cam đoan bài khóa luận là do bản thân nghiên cứu cùngvới sự hướng dẫn của cô giáo Th.S Đinh Thị Kim Thúy không hềtrùng với bất cứ đề tài nào

Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2014

Sinh viên

Phạm Thị Ngọc Yến

Trang 4

Lời cảm ơn i

1 Đại cương về phép biến đổi hình học 1

1.1 Định nghĩa về phép biến đổi hình học 1

1.1.1 Thế nào là hình 1

1.1.2 Phép biến đổi hình học 2

1.1.3 Sự xác định phép biến đổi hình học 3

1.1.4 Phép biến đổi đồng nhất 4

1.1.5 Điểm bất động của một phép biến đổi 4

1.2 Phép biến đổi 1-1 4

1.3 Phép biến đổi ngược 5

1.4 Tích của hai (hay nhiều) phép biến đổi 6

1.5 Ảnh của một hình 7

2 Phép biến đổi tuyến tính 8 2.1 Phép biến đổi tuyến tính 8

2.1.1 Định nghĩa 8

2.1.2 Tính chất 8

2.2 Ứng dụng của phép biến đổi tuyến tính 16

2.2.1 Bài toán chứng minh 16

2.2.2 Bài toán tính toán 21

2.2.3 Bài toán cực trị 24

2.2.4 Bài toán quỹ tích 28

2.3 Bài tập đề nghị 33

Trang 5

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Đinh Thị Kim Thúy

Phạm Thị Ngọc Yến iv K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2

Trang 6

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là một bộ phận cấu thành Toán học Hình học luôn làmôn học khó đối với học sinh bởi đây là môn học có tính chặt chẽ tínhlogic và tính trừu tượng cao hơn các ngành khác của toán học.Trongviệc giải bài toán hình học, việc lựa chon một công cụ thích hợp làmột việc làm cần thiết giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian côngsức và đạt được hiệu quả cao Em thấy rằng các phép biến đổi tuyếntính chính là một công cụ đắc lực giúp học sinh giải các bài toán hìnhhọc phẳng một cách rõ ràng ngắn gọn Với mong muốn tìm hiểu vànghiên cứu sâu hơn về mảng kiến thức này em chọn đề tài "Phépbiến đổi tuyến tính trong mặt phẳng" làm đề tài khóa luận tốtnghiệp Đại học cho mình

2 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng: Phép biến đổi tuyến tính trong mặt phẳng

Phạm vi: Những kiến thức liên quan đến phép biến đổi tuyến tínhtrong mặt phẳng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về phép biến đổi tuyến tính trong mặt phẳng

4 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu để cung cấp kiến thức cơ bản cho việc vận dụng phépbiến đổi tuyến tính vào việc giải toán hình học

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách tham khảo, internet và các tàiliệu có liên quan

Trang 7

Nội dung chính của khóa luận gồm chương:

Chương 1: Đại cương về phép biến hình trong mặt phẳng

Chương này nhằm trang bị những kiến thức cơ bản về phép biến hình

Chương 2: Phép biến đổi tuyến tính

2.1 Phép biến đổi tuyến tính: (Định nghĩa, tính chất)

2.2 Ứng dụng của phép biến đổi tuyến tính:

Đề xuất các dạng toán và phương pháp giải

Ví dụ

2.3.Bài tập đề nghị: Đề xuất các bài toán và có hướng dẫn

Phạm Thị Ngọc Yến vi K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2

Trang 8

Đại cương về phép biến đổi hình học

1.1 Định nghĩa về phép biến đổi hình học

1.1.1 Thế nào là hình

Trước khi nghiên cứu về phép biến đổi hình học chúng ta cần đưa

ra khái niệm "hình" hiểu theo định nghĩa toán học Các môn toánhọc thường được xây dựng dựa trên lý thuyết tập hợp; vì vậy kháiniệm hình cũng được hiểu với nghĩa là một "tập hợp điểm" Như vậytoàn thể không gian hay toàn thể mặt phẳng cũng là một hình Ngoài

ra tập hợp chỉ có một phần tử là một điểm và tập hợp không có phần

tử nào (gọi là tập hợp rỗng) cũng là một hình Các kiểu "hình" theonghĩa trên đây cũng chứa đựng nội dung của "hình" theo nghĩa thôngthường như hình tam giác, hình tứ giác, hình tròn v.v

Việc hiểu hình theo nghĩa tập hợp còn giúp ta hiểu thêm một sốkhái niệm khác có liên quan đến lý thuyết tập hợp như giao của haihình hay nhiều hình, hợp của các hình, một điểm A thuộc một hình

H, tập hợp A là một tập con của tập hợp B hay là một bộ phận củatập B Do dó trong lập luận chúng ta có thể dùng các kí hiệu của lýthuyết tập hợp ví dụ:

• Điểm A thuộc đường thẳng d kí hiệu A ∈ d

• Điểm M là giao điểm của hai đường thẳng a và b: M = a ∩ bv.v

Trang 9

Việc hiểu "hình" là một tập hợp điểm đã giúp chúng ta trừu tượnghóa, khái quát hóa được khái niệm này và đã mang lại nhiều thuậntiện trong việc nghiên cứu hình học bằng phép biến hình vì chúng ta

có điều kiện sử dụng các công cụ của lý thuyết tập hợp để lập luận

f, M được gọi là tạo ảnh của M0 hoặc là nghịch ảnh của M0 và được

• Nếu quy tắcf được xác định cho mọi điểm trong mặt phẳng, thì

f được gọi là một phép biến đổi hình học trong mặt phẳng đó.Nói một cách ngắn gọn hơn f là một phép biến đổi trong mặtphẳng

Ví dụ 1

Trong mặt phẳng cho đường thẳng ∆ Phép biến hình biến mỗiđiểm M thành điểm M0 đối xứng với M qua ∆ được gọi là phép đốixứng trục Đường thẳng ∆ được gọi là trục đối xứng

Phép đối xứng trục với trục ∆ thường được kí hiệu là Z∆

Ta có:Z∆ : M 7→ M0

Phạm Thị Ngọc Yến 2 K36CNT - ĐHSP Hà Nội 2

Trang 10

Ví dụ 2.

Trong mặt phẳng cho véctơ −→v cố định Phép biến hình biến mỗiđiểm M thành điểm M0 sao cho −−−→

M M0 = −→v được gọi là phép tịnhtiến theo véctơ −→v Véctơ −→v là véctơ tịnh tiến.

Phép tịnh tiến véctơ −→v thường được kí hiệu là T−→

• Quy tắc f còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ(x, y) của điểm M với tọa độ (x0, y0) của điểm M0 đối với hệ tọa

độ Oxy cho trước nào đó

Ví dụ phép biến đổi f cho bởi hệ thức:

(

x0 = −x

y0 = −yPhép biến hình này gọi là phép đối xứng qua tâm O của hệ tọa độOxy nói trên

Trang 11

1.1.5 Điểm bất động của một phép biến đổi

Điểm M trong mặt phẳng được gọi là điểm bất động của một phépbiến đổi f,nếu f : M 7→ M Như vậy điểm M là điểm bất động đốivới phép biến đổi f nếu điểm M đó biến thành chính nó qua phépbiến đổi f

Ví dụ 3

1 Đối với phép đối xứng trụcZ∆, mọi điểm nằm trên trục đối xứngđều là điểm bất động, các điểm còn lại của mặt phẳng đều khôngphải là điểm bất động

2 Đối với phép đối xứng tâm ZO chỉ có tâm đối xứng O là điểmbất động duy nhất

3 Đối với phép tịnh tiến T− →v mà −→v 6=−→0 , không có điểm bất độngnào Nếu −→v = −→0, mọi điểm trong mặt phẳng đều bất động đốivới phép T− →v và khi đó ta có T− →v là phép đồng nhất

4 Đối với phép đồng nhất e : P → P, mọi điểm trong mặt phẳngđều là điểm bất động

1.2 Phép biến đổi 1-1

Từ định nghĩa về phép biến đổi hình học ta thấy mỗi ảnh của điểm

M trong phép biến đổi f có thể có nhiều tạo ảnh Nếu mỗi ảnh củamột điểm M bất kì trong mặt phẳng ứng với một tạo ảnh duy nhất

là M, thì ta nói f là phép biến đổi 1-1

Trang 12

1.3 Phép biến đổi ngược

Trong mặt phẳng cho phép biến đổi f : M 7→ M0 Khi đó phépbiến đổi biến điểmM0 thành điểm M được gọi là phép biến đổi ngượccủa phép biến đổi f và f là phép biến đổi có ngược

Ta kí hiệu phép biến đổi ngược của f là f−1 và ta có f−1 : M0 7→

M Rõ ràng mỗi phép biến đổif có duy nhất một phép biến đổi ngược

Trang 13

1.4 Tích của hai (hay nhiều) phép biến đổi

Trong mặt phẳng cho hai phép biến đổi f và g Với mỗi điểm M,

f : M 7→ M0, g : M0 7→ M ” Phép biến đổi biến M 7→ M ” được gọi

là tích của hai phép biến đổi đã cho

Tích của hai phép biến đổi được kí hiệu g ◦ f : M 7→ M ” hoặcg(f ) : M 7→ M ”

Theo định nghĩa, thứ tự thực hiện các phép biến đổi phải đượctôn trọng Nếu thay đổi thứ tự của chúng, thì ta nhận được một phépbiến đổi khác

Tóm lại, tích của hai phép biến đổi trong mặt phẳng là một phépbiến đổi nhận được từ việc thực hiện liên tiếp theo một thứ tự xácđịnh của hai phép biến đổi đó

Cho n phép biến đổi f1, f2, f3, , fn Tích của n phép biến đổi đãcho là một phép biến đổi được thực hiện một các liên tiếp theo mộtthứ tự xác định và được kí hiệu F = fn ◦ fn−1◦ ◦ f3 ◦ f2 ◦ f1

Trang 14

1.5 Ảnh của một hình

Trong mặt phẳng cho một phép biến đổi f và một hình H Tậphợp ảnh của mọi điểm thuộc H trong phép biến đổi đó lập thành mộthình H0 được gọi là ảnh của H và được kí hiệu f : H 7→ H0 (đọc là

f biến H thành H0) hoặc H0 = {M0/f : M 7→ M0, ∀M ∈ H}

Trang 15

Chương 2

Phép biến đổi tuyến tính

2.1 Phép biến đổi tuyến tính

Giả sử F là phép biến đổi 1-1 trong mặt phẳng biến các điểm Athành A0, B thành B0 Ta sẽ viết F (A) = A0, F (B) = B0 thay chocách viết F : A 7→ A0, B 7→ B0; F (−→

Trong mặt phẳng cho một phép biến đổi F thỏa mãn đồng thời cácđiều kiện sau:

i) F là phép biến đổi 1-1

ii) Với mọi véc tơ −→a và −→b , F (−→a + −→b ) = F (−→a ) + F (−→b ).

iii) Với véc tơ −→a và số thực k bất kì, F (k−→a ) = kF (−→a ).

Khi đó F là một phép biến đổi tuyến tính trong mặt phẳng.2.1.2 Tính chất

Tính chất 2.1.1 F (−→

0 ) =−→

0Chứng minh

Từ điều kiện iii) Với véc tơ −→a và số thực k bất kì,

F (k−→a ) = kF (−→a ).

Cho k = 0 ta suy ra, F (−→

0 ) = 0.F (−→a ) = −→0.

8

Trang 16

A, C, thì F (A) = A0, F (B) = B0, F (C) = C0 cũng thẳng hàng và B0nằm giữa hai điểm A0, C0.

= k , thì B0 cũngchia đoạn thẳng A0C0 theo tỉ số k, nghĩa là

Trang 17

Chứng minh

i) Ta kí hiệu d là đường thẳng nào đó, d0 là ảnh của d Trên d talấy hai điểm phân biệt A, B và A0, B0 là ảnh của A, B trong phépbiến đổi F, khi đó A0, B0 thuộc d0 Nếu C là điểm bất kì thuộc dthì tồn tại duy nhất số k sao cho −→

AC = k−→

AB Gọi C0 là ảnh của

C và C0 thuộc d0 Để chứng minh d0 là một đường thẳng, ta chỉ

ra tồn tại số k0 sao cho −−→

A0C0 = k0−−→

A0B0 và k0 = k.Ngược lại nếu C0 là điểm bất kì thuộc d0 thì tồn tại số k sao cho

BC = k và B nằm giữa A và C hay

−→

AB

−→BC

= k (k > 0).Phép biến đổi tuyến tính F biến điểm B thành điểm B0, biếnđoạn AC thành đoạn A0C0

Không mất tổng quát, giả sử F (A) = A0, F (C) = C0,ta có:

F (−→

AB)

F (−→BC)

Chứng minh

Trang 18

• F tồn tại.

Trước hết F (A) = A0, F (B) = B0, F (C) = C0 Giả sử M làđiểm bất kì khác các đỉnh của tam giác ABC, khi đó tồn tại duynhất một cặp số thực x, y sao cho −−→

• F là phép biến đổi 1-1 Thật vậy:

Vậy F là phép biến đổi tuyến tính

• F là phép biến đổi tuyến tính duy nhất

Giả sử F0 là một phép biến đổi khác F Với mỗi điểm M bất kì

ta xác định M0 theo công thức: −−−→

A0M0 = x−−→

A0B0+ y−−→

A0C0Khi đó F và F0 có ảnh trùng nhau với mọi điểm M

Vì vậy F = F0

Trang 19

Hệ quả

Tồn tại duy nhất phép biến đổi tuyến tính F biến một tam giácbất kì thành một tam giác đều hoặc tam giác vuông cân

Chứng minh

Thật vậy, nếu tam giác ABC là một tam giác bất kì và A0B0C0

là một tam giác đều (hoặc tam giác vuông cân),theo tính chất 2.1.5tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính F biến tam giác ABCthành tam giác A0B0C0

Tính chất 2.1.6 Tích của hai hoặc nhiều phép biến đổi tuyến tính

là một phép biến đổi tuyến tính

Chứng minh

Cho hai phép biến đổi tuyến tính F1 và F2 Với mọi vectơ −→

U ,−→V

Trang 20

Cho một đường thẳng d và một số k > 0 Với mỗi điểm M bất kìkhông thuộc d ta dựng điểm M0 sao cho −−−→

HM0 = k−−→

HM, trong đó H

là chân đường vuông góc hạ từ M xuống d, khi đó M0 được gọi làảnh của M trong phép co (dãn) về trục d với hệ số k và được kí hiệuΓ(d, k) : M 7→ M0

Đường thẳng d được gọi là trục co, số k > 0 được gọi là hệ số co(dãn)

HM0 = k−−−→

HM2.khi đó ta có M1, M2, M, H thẳng hàng (H là chân đường vuônggóc hạ từ M1 xuống d)

Trang 21

A0B0C0 Ta biết rằng các phép co (dãn) và phép đồng dạng là nhữngphép biến đổi tuyến tính, bởi vậy F là một phép biến đổi tuyến tính

Hệ quả

Cho tam giác A0B0C0 và F là một phép biến đổi tuyến tính biếntam giác ABC thành tam giác A0B0C0, khi đó F được biểu diễn dướidạng : F : V ◦ Γ2 ◦ Γ1

Trong đó:

Γ2 ◦ Γ1 là tích của hai phép co (dãn) biến tam giác ABC thànhtam giác vuông cân (tam giác đều) A1B1C1 đồng dạng với tam giác

Trang 22

Phép đồng dạng V biến tam giác A1B1C1 thành tam giác A0B0C0.Tính chất 2.1.9 Cho hai tam giác A1B1C1 và A2B2C2 có diện tíchtương ứng là S1 và S2 Phép biến đổi tuyến tính F biến tam giác

A1B1C1 thành tam giác A01B10C10, A2B2C2 thành A02B20C20 có diện tíchtương ứng S10 và S20, khi đó:

S1

S2 =

S10

S20.Chứng minh

Ta kí hiệu Γ1(k1) ◦ Γ2(k2) là tích hai phép co (dãn) với các hệ số k1

và k2 biến tam giác A1B1C1 thành tam giác M N P đồng dạng vớitam giác A01B10C10

Khi đó ta có S(M N P ) = k1k2S1, ta kí hiệu λ là tỉ số đồng dạng củahai tam giác M N P và A01B10C10, ta có : S10 = λ2S(M N P ) = λ2k1k2S1.Tương tự ta có S20 = λ2k1k2S2

Từ các kết quả đó ta suy ra S1

S2 =

S10

S20.

Trang 23

2.2 Ứng dụng của phép biến đổi tuyến tính

Ứng dụng của phép biến đổi tuyến tính trong việc giải một số lớpbài toán hình học là quá trình sử dụng phép biến đổi tuyến tính vàoviệc giải các bài toán hình học ở các dạng cụ thể (bài toán chứngminh, bài toán tính toán, bài toán cực trị, bài toán quỹ tích), nhằmgiúp cho người đọc thấy được sự tiện lợi và tính ưu việt của phép biếnhình nói chung và phép biến đổi tuyến tính nói riêng trong việc giảitoán

Trong các ví dụ ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác nhưsau:

S∆0 2

2.2.1 Bài toán chứng minh

Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề là đúng, trong

đó mệnh đề A là giả thiết, mệnh đề B là kết luận Để giải bài toánchứng minh, ta xuất phát từ giả thiết A và những mệnh đề đúng đãbiết, bằng những lập luận chặt chẽ và những lập luận hợp logic, dựavào các định nghĩa, các tính chất các định lý của đối tượng toán học

đi đến kết luận

Bài toán chứng minh bằng phép biến hình gồm 3 bước:

Bước 1: Lựa chọn phép biến hình

Bước 2: Thực hiện phép biến hình

Bước 3: Rút ra kết luận

Trang 24

Ví dụ 9 Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác đó.Trên các cạnhAB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho:

Giải:

Tồn tại một phép biến đổi tuyến tính F

Biến ∆ABC thành ∆A0B0C0 đều

Biến trọng tâm G của ∆ABC thành G0 của ∆A0B0C0

•Ta chứng minh G0 là trọng tâm của tam giác ∆A0B0C0

Thật vậy, từ giả thiết −→

Trang 25

Ví dụ 10 Bên trong một tam giác ABC lấy điểm P Qua P kẻđường thẳng x song song với AB và cắt BC tại A1; đường thẳng ysong song với BC và cắt AC tại B1; đường thẳng z song song với AC

Tồn tại một phép biến đổi tuyến tính F

Trang 26

Ví dụ 11 Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử các đường thẳng AD và

BC cắt nhau tại P, AB và CD cắt nhau tại Q Chứng minh rằng

trung điểm của các đoạn thẳng AC, BD, P Q thẳng hàng

Giải:

Tồn tại một phép biến đổi tuyến tính F.Khi đó:

F : ∆AP Q 7→ ∆A0P0Q0 vuông cân

F : B 7→ B0, C 7→ C0, D 7→ D0

Ta chọn hệ tọa độ Đề-các sao cho A0(0, 0), P0(1, 0), Q0(0, 1), khi đó

B0(0, b), D0(a, 0)

• Tìm tọa độ điểm C0, với C0 = B0P0∩ D0Q0

Phương trình B0P0 cho bởi:

(

P0(1, 0)

V T P T : B0P0(b, 1) là bx + y = b.Phương trình D0Q0 cho bởi:

(

Q0(0, 1)

V T P T : D0Q0(1, a) là x + ay = a.Vậy tọa độ điểm C0 là nghiệm của hệ:

Trang 27

• Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm các đoạn A0C0, B0D0, P0Q0

b − ab2(1 − ab)

J là trung điểm của B0D0 nên ta có tọa độ điểm J =

a

2;

b2

K là trung điểm của P0Q0 nên ta có tọa độ điểm K =

1

2;

12

Định dạng
Số trang	55
Dung lượng	0,97 MB