một số phép biến đổi trong toán ứng dụng

Khi hàm F là hàm tuần hoàn, có chu kì L, và thoả điều kiện liên tục nhất định, ta có sự phân tích thích hợp hàm F qua chuỗi Fourier 1 L t L n Phép biến đổi Fourier nhanh là một thuật toá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

GVHD: T S NGUYỄN VĂN ĐÔNG

SVTD: HUỲNH LÊ THANH TÙNG

MSSV: K33101256 KHÓA HỌC: 2007-2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

MSSV: K33101256 KHÓA HỌC: 2007-2012

TP.HCM, THÁNG 5 NĂM 2012

PHẦN MỞ ĐẦU

Nhiều bài toán trong thực tiễn cuối cùng được dựa trên sự phản hồi của một hệ thống đối với tín hiệu nhập là hàm hình sin Điều thuận tiện nằm ở chỗ là khi hệ tuyến tính được điều khiển bởi một hàm i t

Aeω sự phản hồi của nó có cùng dạng Điều này cho phép chúng ta biểu diễn một hàm biến thực F(t) đã cho như một chồng chất các hàm hình sin Giải tích Fourrier, thể hiện qua chuỗi Fourrier và phép biến đổi Fourrier, nghiên cứu sự phân tích một hàm thành các hàm hình sin này

Khi hàm F là hàm tuần hoàn, có chu kì L, và thoả điều kiện liên tục nhất định, ta có sự phân tích thích hợp hàm F qua chuỗi Fourier

1

L

t L n

Phép biến đổi Fourier nhanh là một thuật toán có hiệu quả dùng để xấp xỉ các hệ số này

Nếu F là không tuần hoàn nhưng |F| là khả tích (và các điều kiện liên tục được thỏa) thì sự phân tích có dạng

Các phép biến đổi khác, đặc biệt là phép biến đổi Laplace, phép z- biến đổi- được phát triển với cùng một đối tượng: sự phân tích các hàm tùy ý thành chồng chất các dạng cơ bản nhằm có sự thuận tiện cho một công việc phân tích đặc biệt

Khi xử lý điều kiện ban đầu và các tình huống nhất thời thật tiện lợi nếu ta dùng phép

biến đổi Laplace của F

“bật lên” tại t = 0 [ nghĩa là, F(t)=0 khi t<0], với iω được thay thế bởi s Tác dụng của điều

kiện ban đầu được thể hiện trong công thức các đạo hàm ( )

nên phép biến đổi Laplace là công cụ thích hợp cho việc giải bài toán giá trị ban đầu Một

tiện ích khác của phép biến đổi Laplace là khả năng của nó trong việc xử lý những hàm không khả tích nhất định Có công thức nghịch đảo để phục hồi F(t) từ L{F}(s), nhưng dùng các bảng biến đổi Laplace thường tiện lợi hơn

Phép z-biến đổi là công cụ đóng vai trò của phép biến đổi Fourier/Laplace trong các trường hợp mà tập dữ liệu là rời rạc Nó có liên hệ với lý thuyết về chuỗi Laurent, mà nhiều tính chất của nó được suy ra từ lý thuyết này

Một phép biến đổi, tên là phép biến đổi Hilbert, liên hệ mật thiết với các phép biến đổi khác cả về lý thuyết lẫn ứng dụng mặc dù nó không nhằm vào đối tượng đặc biệt nào của

sự phân tích hàm

Khi các điểm bất thường của các tích phân Cauchy xuyên qua chu tuyến của chúng, dáng điệu của các tích phân này bị gián đoạn với những bước nhảy được dự đoán bởi các công thức Sokhotskyi-Plemelj Trong trường hợp chu tuyến là đường thẳng thực ta có công thức biến đổi Hilbert, liên kết phần thực và phần ảo của hàm dưới dấu tích phân

Trong toán học việc áp dụng các phép biến đổi vào các họ những hàm số khác nhau mang lại những thuận lợi về mặt tính toán Lĩnh vực áp dụng của các phép biến đổi ta nghiên cứu ở đây có thể vượt ra ngoài lớp các hàm chỉnh hình nhưng chúng ta tự hạn chế trong lớp hàm này vì nó sẽ giúp ta đưa ra các tính chất chủ yếu rõ ràng hơn Một số kết quả khác được phát biểu bỏ qua chứng minh vì chúng vượt quá giới hạn này

Nội dung chính của luận văn trình bày một số đặc điểm của các phép biến đổi nêu trên bao gồm 5 chương

Chương 0: Các kiến thức chuẩn bị

Chương 1: Phép biến đổi Fourier

Chương 2 Phép biến đổi Laplace

Chương 3 Phép z- biến đổi

Chương 4 Tích phân Cauchy và phép biến đổi Hilbert

Kỳ bảo vệ khóa luận tốt nghiệp này là bước đi cuối trên con đường đại học, để đạt được thành quả như ngày hôm nay, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa toán tin trường đại học sư phạm TP.HCM đã tận tình truyền đạt cho em những kiến thức trong suốt khóa học Qua hơn 4 năm theo học, thầy cô đã tận tình truyền đạt cho em những kiến thức thiết thực làm hành trang cho em vững tin hơn khi bước vào nghề

Em xin bày tỏ chân thành đến thầy Nguyễn Văn Đông đã nhiệt tình hướng dẫn, tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp của mình

Qua thời gian dịch thuật tài liệu toán bằng tiếng anh đã giúp em tăng cường thêm vốn từ vựng chuyên ngành toán vốn còn thiếu sót của mình, từ đó giúp em tích lũy thêm những kiến thức mới có tính thời đại của toán học, để có được điều đó là nhờ sự tận tình hướng dẫn của thầy Nguyễn Văn Đông đã hướng dẫn em tận tình, bố cục lại một bài luận văn cho em để làm sao chi tiết súc tích hơn ngắn gọn hơn

Trong quá trình làm khóa luận tốt nghiệp này mặc dù em đã cố gắng rất nhiều nhưng

do bước đầu làm quen với phương pháp làm khóa luận nên chắc hẳn không tránh khỏi thiếu sót, em rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của quý thầy cô ở Khoa để em nhận thức được một cách sâu sắc hơn về bài luận văn và giúp em hàn gắn những những kiến thức còn thiếu sót, trang bị thêm cho em những kiến thức mới để giúp em hiểu về những ứng dụng của

4 π

−

Imz= 1

Imz= −10

Tổng quát hơn f z( +nω)= f z( ) với mọi z∈G, mọi n∈

Định lý 0.4 Với mọi hàm chỉnh hình 1- 1 tuần hoàn f trên G=T a b1( , )có đúng một hàm chỉnh hình F trên hình vành khăn A:= A e−b,e−a(0) sao cho 2

( ) ( iz)

f z =F e π với mọi

0.2 Định lý khai triển Laurent

Cho r R, ∈ ∪ ∞ { }với 0≤ <r R Tập con mở

Định lý 0.5 (Định lý khai triển Laurent) Nếu f là hàm chỉnh hình trong hình vành

khăn A= A r R, ( )z0 thì f được khai triển trong A thành chuỗi duy nhất có dạng

z hay chuỗi Laurent tại z 0

Lưu ý rằng khi f chỉnh hình trên đĩa z−z0 < thì các hệ số R b k cho bởi (0.2) bằng 0

nên khi đó ta có (0.1)là khai triển Taylor của f

Định lý 0.6 Nếu các hệ số c n của chuỗi k( o)k

n n

thì chuỗi (0.3) hội tụ chuẩn tắc trong hình vành khăn A= A r R, ( )z0 về hàm f là hàm chỉnh

hình trong hình vành khăn A Các hệ số của chuỗi (0.3) này được xác định bởi công thức

với r< <ρ R Chuỗi (0.3) không hội tụ tại bất kỳ điểm nào thuộc \ A

0.3 Hàm điều hòa - Bài toán Dirichlet trên đĩa

Định nghĩa 0.7 Cho U là tập con mở của  Hàm f U: →  được gọi là hàm điều

rỗng D của  thì u v, là những hàm điều hòa

Khi đó u, v được gọi là liên hợp điều hòa của nhau

Định lý 0.9 Cho G là một miền đơn liên Nếu u điều hòa trên G thì tồn tại f chỉnh

hình trên G sao cho u = Ref Hơn nữa, các hàm f như vậy chỉ sai khác nhau một hằng số

Định nghĩa 0.10 Cho miền G⊂ và ϕ: G∂ →  là hàm liên tục Bài toán Dirichlet

đặt ra là tìm một hàm điều hoà f trên G sao cho lim ( ) ( )

ω ϕ ω ω

Định lý 0.11 ( Định lý duy nhất) Với các giả thiết đã cho trong định nghĩa trên và

miền G bị chặn thì có không quá một hàm f thoả mãn bài toán Dirichlet

Định nghĩa 0.12 a) Hàm P B: (0,1)× ∂B(0,1)→  xác định bởi:

2 2

được gọi là nhân Poisson

b) Nếu ∆ =B( , )ω ρ và ϕ:∂∆ →  là hàm liên tục thì ta gọi hàm P∆ϕ:∆ →  xác

Hơn nữa f =P Eϕ là nghiệm bài toán Dirichlet trên E

Định lý 0.14 (Công thức tích phân Poisson đối với nửa mặt phẳng) Nếu

f = +φ ψi là hàm chỉnh hình trên miền chứa trục thực và nửa mặt phẳng trên và f(z) bị chặn trên miền đó thì các giá trị của hàm điều hòa φ trong nửa mặt phẳng trên được cho theo các giá trị của nó trên trục thực bởi

( , 0)( , )x y y d y 0

Xét những đường cong Jordan đóng C C0, 1, ,C pvới các tính chất sau đây

IntC0 ⊃IntC ; j =1, ,pj , IntCj∩IntCk = ∅ nếu j≠k

 được gọi là một compact Jordan xác định bởi C C0, 1, ,C p (xem hình

0.2) Nếu ta chỉ có một đường cong C thì 0 Int C0 cũng được gọi là compact Jordan xác định bởi C 0

Với K là một compact Jordan như trên ta đặt ∂K+ =C0++C1−+ + C p−,

Định lý 0.15 (Định lý thặng dư trên một compact Jordan) Cho f chỉnh hình trên

một lân cận mở Ω của compact Jordan K trừ một số điểm a1, ,a m∈ K Khi đó ta có :

1

m

j K

+

Suy ra với nửa đường tròn định hướng âm S r(hình vẽ 0.4) ta có

Bổ đề 0.18 ( Bổ đề Jordan) Cho f là hàm chỉnh hình trong nửa mặt phẳng trên {Imz

> 0} trừ một số hữu hạn điểm bất thường a1, ,a n Gọi γR ={z=Re ,it t∈[0, ]π } Giả sử

f z dz i res f cπ

+

e e

I dx dx

x x

ρ ρ

0.5 Phép biến đổi Mobius

Định nghĩa 0.20 Ánh xạ xác định bởi ( )z az b, ad-bc 0

b) bảo toàn đường tròn trong  ∞

c) bảo toàn tính đối xứng của các điểm qua đường tròn trong  ∞

Ví dụ 0.22 Tìm ánh xạ Mobius biến hình tròn đơn vị z <1thành hình tròn đơn vị 1

ω < sao cho z= z0 biến thành tâm của hình tròn ω < 1

Giải: Giả sử ω ω= ( )z là phép biến đổi cần tìm, ( ) 0ω z o = với z o < Bởi vì 1 z và o

o o

CHƯƠNG 1 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

Nhiều bài toán về kĩ thuật cuối cùng được dựa trên sự phản hồi (response) của một hệ thống đối với một phần nhập (input) là hàm hình sin Một cách tự nhiên, tất cả những tham số trong tình huống như vậy là thực, và những mô hình có thể được phân tích bằng cách dùng kĩ thuật đối với biến thực Tuy nhiên, việc sử dụng những biến phức có thể làm cho việc tính toán đơn giản hơn nhiều và giúp ta có sự hiểu biết sâu sắc hơn về vai trò của những tham số khác nhau Phần nhập có dạng i t

Aeω có các công dụng sau

1 Tính cô đọng của ký hiệu: Một biểu thức thực như αcos(ω φt+ +) βsin(ω ψt+ )có thể được biểu diễn đơn giản là Re(Ae i tω )

2 Việc lấy đạo hàm phần nhập này chung quy chỉ là phép nhân với iω

3 Phần phản hồi đều đặn của hệ thống đối với phần nhập này sẽ có cùng dạng, i t

Beω

với B là một hằng số phức

Vì các lý do trên sẽ rất có ích nếu hàm phần nhập tổng quát F t( ) có thể được biểu diễn là một tổng các hàm hình sin Khi đó ta có thể xác định phần xuất bằng cách tìm phần phản hồi đối với mỗi thành phần hình sin (vốn làm cho bài toán dễ dàng hơn), sau đó cộng các phản hồi này lại với nhau ( nhắc lại rằng sự chồng chất nghiệm là được phép đối với hệ tuyến tính)

Giải tích Fourrier, thể hiện thông qua chuỗi Fourrier và phép biến đổi Fourrier, nhằm cho sự phân tích một hàm thành các hàm hình sin này

Mục 1.1 dành trình bày về chuỗi Fourier, mục 1.2 trình bày về phép biến đổi Fourrier

1.1 Chuỗi Fourier (Phép biến đổi Fourier hữu hạn)

Mục tiêu chính của mục này là thiết lập sự biểu diễn một hàm biến thực nhận giá trị phức F(t) như là tổng các hàm hình sin dạng i t

eω , khi F(t) là hàm tuần hoàn có chu kỳ L, nghĩa là ( )F t =F t( +L) với mọi t

Trong phần 1.1.1ta chỉ ra rằng nếu F(t) được biểu diễn ở dạng chuỗi các hàm hình sin

mà sự hội tụ của chuỗi là đều thì chuỗi này phải là chuỗi Fourier

Trong phần 1.1.2 ta xác định một điều kiện đặc biệt mà chuỗi Fourier của F sẽ hội tụ đến F , nêu một kĩ thuật tìm chuỗi Fourier bằng khai triển Laurent, nêu một chứng minh công thức Poisson đối với hàm số điều hòa trên đĩa đơn vị qua cách tiếp cận bằng kĩ thuật chuỗi Fourier

Phần 1.1.3 trích dẫn một vài kết quả về sự hội tụ tổng quát hơn của chuỗi Fourier nằm ngoài lý thuyết hàm chỉnh hình (định lý 1.4, 1.6, 1.7) Vận dụng lý thuyết này chúng ta nêu một số ví dụ cách tìm chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn và sử dụng chuỗi Fourier giải bài toán phương trình vi phân tuyến tính

1.1.1 Giả sử L=2π Chúng ta cần tìm các số phức c sao cho: n

lại hội tụ đều, từ đó ( ) imt

F t e− là hàm liên tục và có thể được lấy tích phân theo từng số hạng

Lấy tích phân (1.2) trên [−π π, ] ta có

c F t e dt

π π

π

−

−

= ∫ (1.4) khi chuỗi (1.1) hội tụ đều

Ta đưa ra khái niệm chuỗi Fourrier của hàm F

Định nghĩa 1.1 Nếu F có chu kì 2π và khả tích trên[−π π, ], chuỗi hình thức

1

( )

L

t L n

Giả sử f(z) là hàm chỉnh hình trên hình vành khăn A chứa đường tròn đơn vị Khi đó

f có thể biểu diễn bởi chuỗi Laurent:

1 1

.2

Chúng ta vừa chỉ ra rằng chuỗi Fourier của một hàm số F hội tụ đều đến F trong những trường hợp mà giá trị của F(t) trùng với giá trị của một hàm chỉnh hình f(z) với it

z=e

Ta nêu và chứng minh sau đây một định lý khái quát hơn

Định lý 1.2 Cho f là hàm chỉnh hình và ω- tuần hoàn trên dải G=T a bω( , ) Khi đó f

có thể được khai triển thành chuỗi Fourier duy nhất

2

( )

i nz n n

f z c e

π ω

∞

=−∞

= ∑ (1.7) hội tụ chuẩn tắc về f trong G (Sự hội tụ là đều trong mọi dải con ( ', ')T a bω của ( , )T a bω với

d d

c f e π ςd n

ω ω

ω

− +

Chứng minh Ta chỉ cần xét trường hợp ω =1 Theo định lý 0.4có duy nhất một hàm chỉnh hình F trên A:={w∈:e−a < w <e−b} sao cho f z( )=F e( 2πiz) Hàm F có khai triển Laurent trong A là

n n

và tính hội tụ chuẩn tắc của chuỗi Laurent (định lý 0.5)

Giả sử đọan [ ;d d+1] được tham số hóa bởi ( ) 1 , [0; 2 ]

Ví dụ sau đây nêu kĩ thuật tìm chuỗi Fourier bằng cách khai triển Laurent

Ví dụ 1: Tìm chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn

−

mà m l− =n Do đó

−

=−∞

= ∑ (1.9) Với it

∞

=−∞

= ∑

phù hợp với việc đạo hàm theo từng số hạng của (1.6)

Như một minh họa khác nói lên sự phong phú của cách tiếp cận này sau đây chúng ta trình bày công thức Poisson đối với hàm số điều hòa trên đĩa đơn vị Vì tính đúng đắn của công thức được khẳng định (xem 0.10-0.13) chúng ta trình bày một cách hình thức mà không

lo lắng về lý luận chặt chẽ của mỗi chi tiết

Cho một hàm số thực U( )θ liên tục có chu kì 2π chúng ta tìm một hàm u(z) điều hòa trong miền z <1 và tiến đến giá trị ( )U θ khi z→e iθ ; Nói một cách khác, chúng ta muốn giải bài toán Dirichlet trên đĩa đơn vị Đầu tiên chúng ta giả sử rằng ( )U θ có một khai triển Fourier

π π

là một chuỗi lũy thừa theo it

z=re Vì chuỗi này hội tụ trong z < và nó xác định một hàm 1chỉnh hình trong đĩa đơn vị, dẫn đến phần thực của nó (chuỗi (1.9)) là một hàm điều hòa Vì

( )

U φ là hàm thực nên ta có g r( , )θ là phần thực của hàm chỉnh hình và vì thế g là một hàm điều hòa theo i

z=reθ khi r < 1 Thay một cách hình thức r = 1 trong (1.12) ta có chuỗi Fourier của U( )θ , do vậy chúng ta nhận được rằng chuỗi (1.12) như là nghiệm của bài toán Dirichlet, nghĩa là, ( )u z =u re( iθ)=g r( , )θ là một hàm điều hòa trong miền z <1 và tiệm cận đến U( )θ khi z → Cuối cùng, bằng cách chứng minh đẳng thức 1

2 1

n

z z

r n

z z

ζζ

biểu diễn một hàm số điều hòa trong đĩa đơn vị theo “ các giá trị biên”của nó.

1.1.3 Như vậy với các giả thiết về tính chỉnh hình đẳng thức sau đúng

int

1( )2

n

π π

= ∫ ∀n (1.16) Tuy nhiên không điều nào trong (1.15) hoặc (1.16) chỉ ra rằng rằng sự cần thiết của tính chỉnh hình của F Thật vậy, các hệ số của (1.16) có thể được tính với mọi hàm khả tích F Vậy chúng ta cần tìm hiểu tại sao tính đúng đắn của (1.15) xoay quanh tính chỉnh hình? Có định lý hội tụ tổng quát hơn nằm ngoài lý thuyết hàm chỉnh hình Chúng ta chỉ trích dẫn một vài kết quả này mà bỏ qua chứng minh

Định lý sau đây chỉ đòi hỏi tính khả tích của 2

F , nhưng nó trả giá bằng sự hội tụ yếu hơn nhiều

Định lý 1.4: Nếu tích phân 2

( )

π π

∫ tồn tại, thì chuỗi Fourier xác định bởi (1.15)

và (1.16) tồn tại và hội tụ đến F theo nghĩa

2 int

N n N

n N

F t c e dt

π π

n N

π π

n N

π π

Sau đây ta chỉ hạn chế xét các hàm tuần hoàn F với hữu hạn sự gián đoạn trong một

chu kì Đặc biệt chúng ta giả sử rằng F có chu kì 2π và chia khoảng [−π π, ] thành hữu hạn khoảng nhỏ bởi:

− = < < < < < =

0 -1

1

Hình 1.1 Hàm bậc thang tuần hoàn

2 π

Định lý 1.6 Giả sử F tuần hoàn và trơn từng khúc trong khoảng [−π π, ] Khi đó chuỗi Fourier của F hội tụ đến F(t) tại tất các điểm t mà F liên tục và hội tụ đến

1

2F τj+ +F τj−  tại tất cả các điểm gián đoạn τ j

Ví dụ 2: Tính chuỗi Fourier của hàm bậc thang trong hình 1.1, và khảo sát tính hội tụ của nó

Giải: Hệ số Fourier được cho bởi

t=π 

Khi ta sử dụng giải tích Fourier được sử dụng để giải hệ tuyến tính các phương trình vi phân, câu hỏi tự nhiên xuất hiện là liệu chuỗi Fourier có thể được đạo hàm theo từng số hạng hay không Kết quả sau chứa đựng số lớn các trường hợp mà các kỹ sư quan tâm

Định lý 1.7 Giả sử F có khai triển Fourier int

n n

và khảo sát tính hội tụ của chuỗi này

Giải: Nhận xét rằng F có chu kì 2π Hệ số Fourier được cho bởi

5 int

+ khi t tăng qua 0, 2 , 4 , ± π ± π )

Ví dụ tiếp theo minh hoạ việc sử dụng chuỗi Fourier giải bài toán phương trình vi phân tuyến tính

Ví dụ 4 Tìm một hàm số f thoả mãn phương trình vi phân

2 2

ππ

(−ω +2iω+2)A= 1,Giải phương trình này tìm A, ta tìm được

{( 1)n 1} khi 0

n

n n

{ } int

0,

2 ( 1) 1( )

Công thức (1.14) về hệ số trong chuỗi Fourier đôi khi được xem như là phép biến đổi Fourier hữu hạn (phép biến đổi Fourier vô hạn được xem xét trong mục 1.2) Sự tính toán hiệu quả của phép biến đổi này là rất quan trọng trong ứng dụng kĩ thuật Nhưng trong thực hành người ta thường tính tích phân bằng giá trị số vì những lý do sau:

1 F(t) có thể được biết thông qua dữ liệu được đo - không có công thức

2 Ngay cả khi một công thức được cho đối với F(t), có thể không có biểu thức dạng đóng cho tích phân không xác định

Bây giờ khi n cố định, tổng Rieman xấp xỉ tích phân ( ) int

ở đây − = < < < <π t0 t1 t2 t N = và π t j−1≤τj ≤t j Ta hãy chọn phân hoạch để có N

khoảng bằng nhau, cho j 2

j t

N

ππ

= − + ;và chúng ta hãy chọn điểm τ là đầu mút bên trái của j

khoảng tương ứng ,τj =t j−1 Khi đó tổng có thể viết gọn lại

ở đây : ( 2 )

in j

= − + Khi N tăng, tổng Sn,N hội tụ đến hệ số cn; vì vậy sai số sẽ được kiểm soát khi chọn N lớn Dĩ nhiên, các giá trị lớn hơn của N cũng dẫn đến nhiều nỗ lực tính toán hơn Để đánh giá chỉ một hệ số cn bằng (1.29) đòi hỏi thực hiện N phép nhân, và khi

ta tính phép biến đổi Fourier với N hệ số như thế ta tính tổng cộng N2

phép nhân Trong ứng dụng ta thường muốn lấy N đến nhiều ngàn, và thuật toán của dạng này là quá phức tạp về mặt tính toán Tuy nhiên bằng cách nhóm số hạng một cách khéo léo trong (1.29), công việc

  là hoàn toàn thừa (nhìn trong bảng 1.3)

Để tính toán S1,16 thật ra chỉ cần thực hiện 3 phép nhân phức

.383 707 924

-.383i -.707i -.924i -1.000i -.924i -.707i -.383i +.383i +.707i +.924i +1.000i +.924i +.707i +.383i

có dạng 2m, tổng số phép nhân đòi hỏi cho N giá trị của Sn,N là giảm xuống còn

1.2 Phép biến đổi Fourier

Chúng ta tiếp tục tìm hiểu sự phân tích một hàm tùy ý thành các hàm dạng hình sin

Ta đã thấy cách một hàm tuần hoàn có thể được biểu diễn thành chuỗi Fourier, bây giờ ta tìm một sự biểu diễn tương tự cho hàm không tuần hoàn

Phần 1.2.1 nêu một biểu diễn hình sin của F(t) trên khoảng có độ dài L qua phép biến

đổi Fourier, nêu công thức biến đổi ngược(nghịch đảo) Fourier

Phần 1.2.2 nêu một số định lý khẳng định các điều kiện mà phép biến đổi Fourier tồn tại (định lý 1.8) , nêu một số ví dụ về cách tìm phép biến đổi Fourier của các hàm trơn từng khúc trên một khoảng bị chặn

Phần 1.2.3trình bày ví dụ minh họa việc sử dụng các phép biến đổi Fourier trong

việc giải các hệ phương trình vi phân tuyến tính

1.2.1 Giả sử F t( ),−∞ < < ∞t là một hàm không tuần hoàn, khả vi liên tục Nếu ta

Như vậy ta có một biểu diễn hình sin của F(t) trên khoảng có độ dài L Nếu bây giờ cho L→ ∞ , có vẽ hợp lý khi đoán rằng lúc đó ta có biểu diễn hình sin của F(t) với mọi t Chúng ta hãy tìm hiểu điều này

t L

công thức biến đổi ngược(nghịch đảo)Fourier

Các đẳng thức (1.36) và (1.37) là các công thức đóng vai trò cốt yếu của lý thuyết biến đổi Fourier (1.37) được xem như một tổng mở rộng các hàm hình sin tổng quát, được tổng trên một lực lượng continum các chu kì ω Khi đó (1.36) được xem là các hệ số,

4

F t t

=+

là hàm chỉnh hình trong  ngoại trừ tại các cực điểm t= ± Chúng ta sẽ dùng định lý 2i

thặng dư để tính phép biến đổi Fourier, thể hiện tích phân suy rộng qua giá trị chính

1.2.2 Cũng như trong trường hợp chuỗi Fourier có nhiều định lý khẳng định các điều

kiện mà với các điều kiện này các biểu diễn tích phân Fourier (1.36) và (1.37) đúng Một định

lý rất có ích trong ứng dụng là định lý áp dụng với các hàm trơn từng khúc Lưu ý rằng giá trị

chính của tích phân được yêu cầu trong định lý sau để bảo đảm phép biến đổi nghịch đảo hội

tụ tại các điểm gián đoạn

Định lý 1.8 Giả sử F(t) trơn từng khúc trên một khoảng bị chặn và F t dt( )

Theo định lý 1.8 ta có

1, khi sin

0, khi

1 khi 2

1;

2 i iπ iπ

π  − − = Nếu t=π, thì (1.40) trở thành 1 [ ] 1

Giải: Ta có

6

2 6

πωω

(bởi vì các điểm bất thường bỏ được là ω = ± ) 1

Bây giờ tích phân

( )

6

1