khảo sát mômen quán tính một số vật đĩa tròn trong bài thí nghiệm con quay hồi chuyển, đĩa tròn có trục quay vuông góc với mặt phẳng đĩa, đĩa tròn có trục quay nằm trong mặt phẳng đĩa với dụng cụ hãng pasco

LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian làm đề tài luận văn “KHẢO SÁT MÔMEN QUÁN TÍNH MỘT SỐ VẬT ĐĨA TRÒN TRONG BÀI THÍ NGHIỆM CON QUAY HỒI CHUYỂN, ĐĨA TRÒN CÓ TRỤC QUAY VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

CÓ TRỤC QUAY VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG ĐĨA, ĐĨA TRÒN

CÓ TRỤC QUAY NẰM TRONG MẶT PHẲNG ĐĨA VỚI DỤNG CỤ

HÃNG PASCO

Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SƢ PHẠM VẬT LÝ – TIN HỌC

Mã số SV: 1117569 Lớp: Sƣ phạm Vật lí – Tin học Khóa: 37

Cần Thơ, năm 2015

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt thời gian làm đề tài luận văn “KHẢO SÁT MÔMEN QUÁN TÍNH MỘT SỐ VẬT (ĐĨA TRÒN TRONG BÀI THÍ NGHIỆM CON QUAY HỒI CHUYỂN, ĐĨA TRÒN CÓ TRỤC QUAY VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG ĐĨA, ĐĨA TRÒN CÓ TRỤC QUAY NẰM TRONG MẶT PHẲNG ĐĨA) VỚI DỤNG CỤ HÃNG PASCO”,

em đã gặp không ít khó khăn Nhưng nhờ sự hướng dẫn tận tâm của Thầy Lê Văn Nhạn, thầy đã cung cấp tài liệu và hướng dẫn em rất nhiệt tình trong suốt thời gian qua, em xin chân thành cảm ơn thầy đã giúp em hoàn thành đề tài đúng tiến độ

Em xin chân thành cảm ơn Thầy Trương Hữu Thành đã sắp xếp phòng thí nghiệm cho em thực hành, giúp em có những số liệu thật quý báo, góp phần hoàn chỉnh thêm cho luận văn

Cuối cùng em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô và các bạn trong Bộ môn Sư phạm Vật lí đã hết lòng quan tâm và góp ý trong suốt thời gian em thực hiện đề tài này

Do còn hạn chế về chuyên môn cũng như thời gian thực hiện nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Em rất mong nhận được đóng góp của thầy cô và các bạn sinh viên

để đề tài ngày càng hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn Sinh viên thực hiện

Hồ Thị Cẩm Tua

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đề tài luận văn “KHẢO SÁT MÔMEN QUÁN TÍNH MỘT SỐ VẬT (ĐĨA TRÒN TRONG BÀI THÍ NGHIỆM CON QUAY HỒI CHUYỂN, ĐĨA TRÒN CÓ TRỤC QUAY VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG ĐĨA, ĐĨA TRÒN CÓ TRỤC QUAY NẰM TRONG MẶT PHẲNG ĐĨA) VỚI DỤNG CỤ HÃNG PASCO” là công trình nghiên cứu do chính tôi thực hiện Các số liệu, kết quả phân tích trong luận văn là hoàn toàntrung thực và chưa từng được công bố trong bất kì công trình nghiên cứu nào trước đây

Mọi tham khảo, trích dẫn đều được ghi rõ trong danh mục tài liệu tham khảo của luận văn

Cần thơ, ngày 23 tháng 05 năm 2015

Tác giả

Hồ Thị Cẩm Tua

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 1

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1

4 GIỚI HẠN NGHIÊN CỨU 1

PHẦN NỘI DUNG 2

CHƯƠNG 1.ĐỘNG HỌC VẬT RẮN 2

1 KHÁI NIỆM VẬT RẮN 2

2 BẬC TỰ DO 2

3 CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN 2

4.CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN 3

4.1 Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục 3

4.2 Chuyển động quay đều 5

4.3 Vận tốc và gia tốc của một điểm trên vật rắn 5

4.4 Chuyển động quay và trượt 6

5.CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG HAY CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG 7

5.1 Định nghĩa 7

5.2 Phân tích chuyển động 9

5.3 Quỹ đạo và vận tốc của một điểm trên vật rắn 9

5.4 Định lí về hình chiếu của vận tốc hai điểm 11

5.5 Tâm quay 11

6.CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH 13

6.1 Định lí Ơ-le-Đa-lăm-be 13

6.2 Vận tốc của một điểm trên vật rắn 14

7 CHUYỂN ĐỘNG TỔNG QUÁT CỦA VẬT RẮN 15

CHƯƠNG 2 ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 17

1 KHỐI TÂM, TÂM QUÁN TÍNH HAY TRỌNG TÂM 17

2 MOMENT QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT TRỤC BÁN KÍNH QUÁN TÍNH 18

3 XÁC ĐỊNH KHỐI TÂM CỦA MỘT VÀI VẬT ĐỒNG TÍNH 19

3.1 Khối tâm của một cung tròn 19

3.2 Khối tâm của một hình quạt tròn 20

3.3.Khối tâm của một hình chỏm cầu 21

3.4.Khối tâm của một hình quạt cầu 22

4 ĐỊNH LÍ HUY-GHEN 23

5 ĐỊNH LÍ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM 24

5.1.Định lí 24

5.2.Hệ quả 25

5.3.Định lí về động lượng của khối tâm 26

6 CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN 26

6.1 Định lí bảo toàn chuyển động khối tâm 27

6.2 Định lí bảo toàn động lượng 27

6.3.Định lí bảo toàn mômen động lượng 28

6.4.Định lí mômen động lượng trong chuyển động tương đối quanh khối tâm 29

Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco

7 ĐỊNH LÍ BẢO TOÀN NĂNG LƯỢNG 31

7.1 Động năng của một cơ hệ 31

7.2 Hệ vật rắn 32

7.3.Định luật bảo toàn cơ năng 33

7.4.Động năng của một vật rắn 33

8 HIỆU ỨNG HỒI CHUYỂN 35

8.1 Chuyển động của một vật rắn quanh một điểm cố định 35

8.2 Chuyển động của một vật nặng, tròn xoay quanh một điểm cố định 35

8.3.Con quay hồi chuyển 36

8.4.Khảo sát chuyển động của con quay bằng thực nghiệm 36

8.4.1.Con quay hồi chuyển tự do 36

8.4.2.Hiệu ứng hồi chuyển 37

8.4.3.Lý thuyết sơ cấp về hiệu ứng hồi chuyển 37

8.4.4.Ứng dụng về hiệu ứng hồi chuyển 39

CHƯƠNG 3 MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ VẬT 41

1.MÔMENQUÁN TÍNH I CỦA MỘT THANH 41

2 MÔMENQUÁN TÍNH I CỦA VÀNH TRÒN 42

3.MÔMENQUÁN TÍNH I CỦA ĐĨA TRÒN 42

4 MÔMEN QUÁN TÍNH I CỦA TRỤ RỖNG 43

5 MÔMEN QUÁN TÍNH I CỦA KHỐI CẦU 44

5.1 Mômen quán tính của khối cầu đặc 45

5.1 Mômen quán tính của khối cầu rỗng 46

CHƯƠNG 4 THỰC NGHIỆM ĐO MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ VẬT VỚI DỤNG CỤ CỦA HÃNG PASCO 47

1 PHƯƠNG PHÁP ĐO MOMEN QUÁN TÍNH CỦ CON QUAY HỒI CHUYỂN 47

1.1 Cơ sở l‎í thuyết 47

1.2.Các bước thực hành 48

2 ĐO MOMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ VẬT BẰNG DỤNG CỤNG HÃNG PASCO 49

2.1 Đo momen quán tính của đĩa tròn trong bài thí nghiệm con quay hồi chuyển 49

2.1.1 Khảo sát mômen quán tính của đĩa tròn bằng lí thuyết 49

2.2 1Khảo sát mômen quán tính của đĩa tròn bằng thực nghiệm 50

2.2 Đo momen quán tính của đĩa tròn có trục quay vuông góc với mặt phẳng đĩa 51

2.2.1 Khảo sát mômen quán tính của đĩa tròn bằng lí thuyết 51

2.2.2 Khảo sát mômen quán tính của đĩa tròn bằng thực nghiệm 52

2.3 Đo momen quán tính của đĩa tròn có trục quay nằm trong mặt phẳng đĩa 53

2.3.1 Khảo sát mômen quán tính của đĩa tròn bằng lí thuyết 53

2.3.2 Khảo sát mômen quán tính của đĩa tròn bằng thực nghiệm 53

PHẦN KẾT LUẬN 55

1 KẾT LUẬN 55

2 BÀI HỌC KINH NGHIỆM 55

3 KIẾN NGHỊ 55

PHỤ LỤC

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHẦN MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Vật lí là một ngành khoa học tự nhiên tập trung nghiên cứu vật chất và chuyển động của nó trong không gian và thời gian, giúp ta có một cách nhìn tổng quát hơn về thế giới khách quan Mặc dù, Vật lí bao hàm rất nhiều hiện tượng trong tự nhiên, nhưng bằng con đường thực nghiệm các nhà khoa học đã kiểm chứng được tính đúng đắn của các định luật Vật lí không những trong phạm vi nhất định, mà còn mang lại nhiều ứng dụng cho xã hội Chính vì thế, Vật lí là một trong những bộ môn khoa học

cơ bản làm nền tảng cung cấp cơ sở lý thuyết cho một số môn khoa học ứng dụng Đối với khoa học kĩ thuật ngày càng tiến bộ như hiện nay thì phương pháp thực nghiệm ngày càng cũng phát triển Nhưng đối với sinh viên chúng ta còn nhiều hạn chế, mà việc thực nghiệm với các thí nghiệm để làm sáng tỏ và hiểu sâu hơn về lý thuyết đã học là rất cần thiết Cho nên, em chọn đề tài “ KHẢO SÁT MÔMEN QUÁN TÍNH MỘT SỐ VẬT (ĐĨA TRÒN TRONG BÀI THÍ NGHIỆM CON QUAY HỒI CHUYỂN, ĐĨA TRÒN CÓ TRỤC QUAY VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG ĐĨA, ĐĨA TRÒN CÓ TRỤC QUAY NẰM TRONG MẶT PHẲNG ĐĨA) VỚI DỤNG CỤ HÃNG PASCO ” với mục đích giúp bổ sung kiến thức và hiểu rõ hơn về mômen quán tính

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI

Dùng dụng cụ của hãng Pasco để đo mômen quán tính của một số vật bằng phương pháp thực nghiệm nhằm mục đích quan sát, nêu giả thiết và kiểm nghiệm lý thuyết về mômen quán tính của các vật bằng thực nghiệm

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu về lý thuyết động học vật rắn và động lực học vật rắn

- Chứng minh công thức mômen quán tính của một số vật

- Thực nghiệm đo kiểm chứng mômen quán tính của một số vật

4 GIỚI HẠN ĐỀ TÀI

Do giới hạn về mặt thời gian và kiến thức, cũng như hạn chế về dụng cụ thí nghiệm, nên đề tài chỉ xoay quanh đo mômen quán tính của một số mẫu vật như: đĩa tròn trong bài thí nghiệm con quay hồi chuyển, đĩa tròn có trục quay vuông góc với mặt phẳng đĩa, đĩa tròn có trục quay nằm trong mặt phẳng đĩa

Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco

- Vật rắn là một hệ chất điểm phân bố liên tục (theo góc độ vĩ mô ) trong một miền không gian nào đấy mà khoảng cách giữa hai chất điểm bất kì không thay đổi

- Như vậy, vật rắn luôn có hình dạng, kích thước và thể tích nhất định Trên thực tế, không có vật rắn tuyệt đối Bởi lẽ, dưới ảnh hưởng của các điều kiện bên ngoài như: nhiệt

độ, áp suất, lực tác dụng,…thì khoảng cách giữa các phân tử trong vật có thay đổi đôi chút Tuy nhiên, trong phạm vi khảo sát, nếu một vật có sự thay đổi không đáng kể trong quá trình chuyển động, thì khi nghiên cứu chuyển động của nó ta coi vật đó là vật rắn.[1]

2 BẬC TỰ DO

- Khi mô tả chuyển động của một vật rắn, ta phải xác định chuyển động của bất kỳ điểm nào trên vật rắn Để xác định vị trí của một vật rắn, chỉ cần biết vị trí của ba điểm tùy ý, không thẳng hàng trên vật rắn Nghĩa là, chỉ cần biết vị trí của một tam giác bất kỳ, gắn liền với vật rắn

- Để xác định vị trí của một điểm trong không gian, cần ba tọa độ Vị trí của ba điểm bất kỳ được xác định nhờ chín tọa độ Nhưng nếu ba điểm ấy ở ba đỉnh của một tam giác không đổi, thì độ dài không đổi của ba cạnh tam giác được xác định một cách đơn trị nhờ tọa độ của ba đỉnh Vậy chín tọa độ của ba đỉnh tam giác không độc lập đối với nhau,

mà liên hệ với nhau bằng ba phương trình, vì thế chỉ có sáu tọa độ là độc lập Do đó, để xác định vị trí của tam giác, tức là xác định vị trí của vật rắn, chỉ cần sáu đại lượng (hay sáu tham số ) độc lập

- Số tham số độc lập cần phải biết để xác định hoàn toàn vị trí của vật rắn, gọi là số bậc tự do của vật rắn

 Vật rắn hoàn toàn tự do có sáu bậc tự do

 Nếu vật rắn không hoàn toàn tự do thì số bậc tự do của nó giảm xuống

Ví dụ:

Nếu vật rắn có một điểm cố định thì ba tọa độ cuả điểm cố định là hoàn toàn xác định

và vật rắn chỉ còn ba bậc tự do Vật rắn có hai điểm cố định thì vật rắn chỉ có thể quay quanh đường thẳng qua 2 điểm ấy Trong sáu tham số độc lập, thì năm tọa độ có khoảng cách không đổi, đã hoàn toàn xác định và chỉ cần một tham số để xác định vị trí của vật rắn, tham số ấy là góc do mặt phẳng gắn với vật rắn và đi qua hai điểm cố định, với mặt phẳng cố định cũng đi qua hai điểm ấy Vậy vật rắn có hai điểm cố định chỉ có một bậc tự do.[2]

3 CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN CỦA VẬT RẮN

Định nghĩa: Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động mà mỗi đoạn thẳng

thuộc vật rắn luôn luôn song song với vị trí ban đầu của nó

Tính chất: Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, quỹ đạo của mọi điểm của vật rắn là

những đường cong bằng nhau, mọi điểm của vật rắn đều có cùng một vận tốc và gia tốc

Ta có thể chứng minh sau:

Giả sử A, B và , là vị trí của hai điểm ấy ở các thời điểm t và t’.(Hình 1.1)

Các véctơ định vị của chúng thỏa mãn điều kiện:

Đối với vật rắn bất kì véctơ luôn có độ lớn không đổi

Với chuyển động tịnh tiến luôn có hướng không đổi

4 CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN

4.1 Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục Δ

Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco

- Ta chọn quy ước chiều dương quay quanh trục Dựng mặt phẳng P gắn với vật rắn

và đi qua  và mặt phẳng cố định đi qua 

- Vị trí của vật rắn được xác định bằng một góc  tạo bởi  và P1 gọi là góc quay của vật rắn

- Khi vật quay, góc  thay đổi theo thời gian:

Chú ý: Góc quay θ có thể âm hay dương tùy thuộc vào chiều quay dương đã chọn

Thông thường, người ta quy ước góc quay θ được xem là dương nếu vật quay ngược chiều kim đồng hồ, xem là âm nếu vật quay cùng chiều kim đồng hồ Đơn vị góc quay θ

là radian (rad).[1]

 Vận tốc góc của vật:

- Vận tốc góc trong chuyển động quay của một vật rắn là đại lượng đặc trưng sự nhanh, chậm của chuyển động và về trị số, bằng góc quay của vật rắn trong một đơn vị thời gian

- Vận tốc góc ω trong chuyển động quay của một vật rắn bằng đạo hàm theo thời gian của góc quay θ

- Như vậy, vận tóc gốc là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của góc quay

- Dấu θ cho biết chiều quay của vật quanh trục:

 Nếu ω > 0 thì θ tăng theo thời gian và vật rắn quay theo chiều dương

 Nếu ω < 0 vật rắn quay theo chiều âm

 Đơn vị vận tốc góc là rađian trên giây (rad/s)

 Gia tốc gốc của vật:

- Gia tốc góc trong chuyển động quay của một vật rắn là đại lượng đặc trưng sự thay đổi về độ lớn của vận tốc góc và về trị số, bằng độ biến thiên của vận tốc góc trong đơn vị thời gian

- Gia tốc góc ε trong chuyển động quay của một vật rắn bằng đạo hàm theo thời gian của vận tốc góc ω, hay đạo hàm bậc hai theo thời gian của góc quay 

Trong đó:

 Khi ε = 0 thì ω = const: Vật rắn quay đều

 Khi ω.ε > 0: Vật rắn quay nhanh dần

 Khi ω.ε < 0: Vật rắn quay chậm dần

 Gia tốc góc ε bằng radian trên giây bình phương (rad/s2

)

4.2 Chuyển động quay đều

- Chuyển động quay của vật rắn là đều nếu vận tốc góc ω không đổi theo thời gian Theo công thức (1.4), ta có:

Tích phân theo t, ta được:

(1.5)

Với 0 là góc quay của vật rắn ở thời điểm t = 0

- Công thức (1.5) cho thấy rằng, trong chuyển động quay đều, vận tốc góc ω có thể tính theo công thức:

- Chuyển động quay đều còn được đặc trưng bằng tần số N (là số vòng quay trong một đơn vị thời gian ), hoặc bằng chu kỳ (là thời gian cần thiết để vật rắn quay được một vòng)

- Giữa ba số ω, N, T có các hệ thức:

- Tần số  được đo bằng héc (ký hiệu Hz) Héc là tần số trong chuyển động quay đều của một vật rắn, quay được một vòng trong một giây.[1]

4.3 Vận tốc và gia tốc của một điểm trên vật rắn

- Ta xét một điểm M trên vật rắn (Hình 1.2) Quỹ đạo của M là đường tròn C, nằm trên mặt phẳng R vuông góc với  và có tâm O trên  Véctơ vận tốc của M ở thời điểm t hướng theo tiếp tuyến tại M với C và có độ dài ω.r, r là khoảng cách OM ở từ Mđến trục quayΔ

Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco

- Dùng cách biểu diễn véctơ, ta làm như sau: Lấy trên trục  một véctơ có môđun

bằng ω và có chiều tam diện OM, v

và  là thuận (đó chính là chiều phù hợp với chiều quay dương trong mặt phẳng R)

- Véctơ v có độ dài ω.r, ba véctơ HM

, v

và  từng đôi một vuông góc với nhau,

vậy ta có thể coi v là tích véctơ của hai véctơ MO

và , nghĩa là coi v là mômen đối với  của :

= (  ) (1.7)

- Quy ước gọi véctơ xác định như trên, là véctơ vận tốc góc, ta có thể phát biểu: Trong chuyển động quay của một vật rắn, vận tốc của một điểm bất kỳ trên vật rắn, vận tốc của một điểm bất kỳ trên vật rắn là mômen đối với điểm ấy của véctơ vận tốc góc

- Vì mọi điểm của vật rắn đều có cùng vận tốc góc , vận tốc dài của một điểm tăng tỷ lệ với khoảng cách từ điểm ấy đến trục quay, mũi của véctơ vận tốc của những điểm nằm cùng trên một đường thẳng qua Δvà vuông góc với Δ đều ở cùng trên một đường thẳng.(Hình 1.3)

- Điểm M chuyển động tròn, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến của 

- Do đó véctơ vận tốc của  là tổng hai véctơ: véctơ vận tốc tương ứng với chuyển động quay – véctơ này là mômen của  đối với c - véctơ vận tốc v0

ứng với chuyển động tịnh tiến -v0

0

hv T (1.9)

Độ dài không đổi h gọi là bước đinh ốc.[1]

5 CHUYỂN ĐỘNG PHẲNG HAY CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG 5.1 Định nghĩa

- Chuyển động phẳng của một vật rắn là chuyển động trong đó quỹ đạo mọi điểm của vật rắn đều nằm trong những mặt phẳng song song với một mặt phẳng cố định 

- Khi vật rắn S chuyển động phẳng, mọi điểm trên đường MM’ vuông góc với 

đều chuyển động giống nhau (Hình 1.5)

M Hình 1.4[1]

O

Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco

- Vì vậy, khi nghiên cứu chuyển động chỉ cần nghiên cứu chuyển động của một tiết diện S bất kỳ của vật rắn, trên một mặt phẳng bất kỳ song song với P Từ đây trở xuống,

ta lấy mặt phẳng của hình vẽ làm mặt phẳng chứa tiết diện S, và chỉ vẽ tiết diện S

- Vị trí của S trong mặt phẳng được hoàn toàn xác định, nếu ta biết vị trí một điểm

A của S, tức là biết hai tọa độ , của A, nếu ta biết góc do đường thẳng của

S làm với trục x(Hình 1.6) Khi vật rắn chuyển động cả ba số , và đều biến thiên

- Muốn mô tả chuyển động của vật rắn, phải biết quy luật biến thiên theo thời gian của ba đại lại , và , tức là phải biết ba hàm:

5.2 Phân tích chuyển động

- Ta xét hai vị trí S và S’ của tiết diện S ở hai thời điểm t và 't   t t (Hình 1.7)

- Có thể coi như S và cả vật rắn đã liên tiếp thực hiện hai chuyển động sau đây:

 Chuyển động tịnh tiến, trong đó điểm A đi theo quỹ đạo của nó đưa điểm Atới A’, và đưa đoạn AB tới A’B1

 Chuyển động quay quanh điểm A’với góc quay Δφ1 , đưa đoạn A’B1 tới A’B’

- Chuyển động tiếp theo của vật rắn, từ vị trí S’tới vị trí S’’ cũng có thể phân tích như vậy thành một chuyển động tịnh tiến theo quỹ đạo của điểm A và một chuyển động quay quanh điểm A Và cứ thế tiếp tục mãi

- Cho Δ→0 ta thấy rằng hai chuyển động tịnh tiến và quay nối tiếp nhau một cách liên tục

- Do đó: Bất kỳ chuyển động phẳng nào cũng có thể phân tích thành hai chuyển động là chuyển động tịnh tiến trong đó mọi điểm của vật rắn đều có chuyển động giống nhau như điểm A và chuyển động quay quanh điểm A

- Chuyển động tịnh tiến được biểu diễn bằng hai phương trình đầu, còn chuyển động quay bằng phương trình thứ ba, trong nhóm ba phương trình (1.10)

- Điểm A là điểm tùy ý chọn, nếu ta lấy một điểm ' khác trên S, thì vận tốc và gia tốc trong chuyển động tịnh tiến sẽ có trị số khác

- Nhưng vận tốc góc và gia tốc góc trong chuyển động quay không hề thay dổi Ta

có thể đưa vật từ vị trí S sang vị trí S’ bằng phép tịnh tiến BB’ và bằng phép quay tiếp theo quanh điểm B’

- Khi đó, đoạn thẳng B’A1 sẽ quay một góc Δφ2 từ B’A1 sang B’A’

- Ta thấy ngay rằng (do A1B’ và A’B1 song song và cùng chiều) hai góc Δφ1 và Δφ2bằng nhau và cùng chiều

- Do đó, hai vận tốc góc và cũng phải bằng nhau và hai gia tốc góc cũng bằng nhau.[1]

5.3 Quỹ đạo và vận tốc của một điểm trên vật rắn

- Gọi M là một điểm cố định trên tiết diện S và r’là khoảng cách AM, α là góc giữa

AB và AM, φ là góc do AB làm với trục Ox.(Hình 1.8)

(S)

A

B

Hình 1.7[1]

Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco

- Nếu chuyển động của S được xác định bằng các phương tŕnh (1.10) thì tọa độ x và

- Ta có thể viết phương trình vận tốc của điểm M dưới dạng véctơ Gọi r, rA

- Tương tự như khi tổng hợp chuyển động, đôi khi người ta cũng quy ước gọi vM

là vận tốc tuyệt đối (kí hiệu v ), a vA

là vận tốc theo (kí hiệu v ) và ' e v

là vận tốc tương đối (kí hiệu v ).[1] r

5.4 Định lý về hình chiếu của vận tốc hai điểm

Định lý: Hình chiếu của vận tốc hai điểm cùng ở trên tiết diện S, lên đường thẳng nối

hai điểm ấy là bằng nhau

- A và B là hai điểm bất kỳ trên tiết diện S (Hình 1.9)

Định nghĩa: Tâm quay tức thời I (hay tâm

vận tốc tức thời ) là điểm của tiết diện S có vận

tốc triệt tiêu ở thời điểm t

- Ta chứng minh: Có thể tìm được một

điểm I thỏa mãn định nghĩa trên

- Giả sử và là véctơ vận tốc của hai

điểm bất kỳ A và B trong tiết diện S và không

song song với nhau

- Vẽ hai đường thẳng qua A và B và vuông

góc với ,v v A B

Vì vA

và vBkhông song song với nhau nên hai đường thẳng này gặp nhau ở tại I

(Hình 1.10)

- Nếu vI

là vận tốc của I, thì theo định lý trên, hình chiếu của vA

và vIlên AI phải bằng nhau

- Vì hình chiếu của vA

lên AI triệt tiêu, nên hình chiếu của vI

lên AI cũng triệt tiêu Tương tự, ta thấy hình chiếu của vI

và BI cũng phải tiệt tiêu

A

B (S)

Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco

- Muốn cho hình chiếu của vI

trên hai đường không song song AI và BI đồng thời triệt tiêu , thì vI

IM và có trị số IM

- Khi biết phương của vận tốc của hai điểm M M1, 2 trong tiết diện S, ta xác định dễ dàng tâm quay tức thời I (I là giao điểm của hai đường vuông góc tại M1 và M2 với hai véctơ vận tốc )

- Trường hợp đặc biệt mà hai đường ấy song song với nhau và không vuông góc với thì tâm quay I ở vô cực: hai véctơ vận tốc của M1 và M2 song song với nhau và bằng nhau, chuyển động của S ở thời điểm t là chuyển động tịnh tiến

- Nếu hai đường vuông góc ấy trùng đúng với M1M2 thì I ở trên M1M2 Khi đó, muốn xác định I phải biết cả độ lớn của vận tốc hai điểm ấy

 Trong quá trình chuyển động của S, vị trí của tâm quay tức thời I thay đổi một cách liên tục Quỹ tích các vị trí liên tiếp của I trong mặt phẳng cố định xOy là một đường cong C’.(Hình 1.11)

 Ở thời điểm t hai đường cong C và C’ có một điểm chung I, ở thời điểm

, C đã quay quanh I một góc vô cùng nhỏ , điểm J của đường C bây giờ trùng với điểm của đường và trở thành tâm quay tức thời ở thời điểm t’

 Góc quay dt của C cũng chính là góc quay đưa dây cung IJ đến trùng với

 Vận tốc của I ở thời điểm t lại triệt tiêu, nên C không trượt trên C’

- Vậy, ta có thể mô tả đầy đủ chuyển động của S, bằng cách cho đường cong C, gắn với mặt phẳng P chứa tiết diện S lăn không trượt trên đường cong C’ nằm trong mặt phẳng cố định P1 (chứa hai trục Ox, Oy)

- Vì vậy, chuyển động của S còn gọi là chuyển động của một mặt phẳng trên một mặt phẳng, hay chuyển động song phẳng, đường C gắn với S gọi là đường lăn, đường nằm trong mặt phẳng cố định gọi là đường căn cứ Tiếp điểm I của hai đường ở thời điểm

t chính là tâm quay tức thời ở thời điểm ấy.[1]

6 CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN QUANH MỘT ĐIỂM CỐ ĐỊNH

6.1 Định lý Ơ – le – Đa – lăm – be

- Vật rắn có một điểm cố định chỉ có thể quay quanh điểm ấy và chỉ còn ba bậc tự do: vị trí của vật rắn được hoàn toàn xác định, khi ta biết vị trí của hai điểm bất kỳ khác, không thẳng hàng với điểm cố định

- Giả sử O là điểm cố định, S và là hai vị trí của vật rắn ở hai thời điểm t và '

t   t t (Hình 1.12)

- Ta chứng minh rằng, để đưa vật rắn từ vị trí S sang vị trí 'S , chỉ cần thực hiện một

phép quay độc nhất quanh một trục đi qua O

 Giả sử A là một điểm vật rắn và 'A là vị trí của nó ở thời điểm t’ Gọi B là

điểm của vật rắn mà vào thời điểm t lại ở đúng chỗ , là vị trí của B ở thời điểm

 Như thế nghĩa là khi vật rắn chuyển từ vị trí S sang vị trí thì điểm A đến vị trí do điểm chiếm B ở thờ điểm t, còn điểm B đến vị trí

Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco

 Gọi Δθ là trị số chung của hai góc ấy, ta thấy rằng, muốn đưa vật rắn từ vị trí S sang vị trí , tức là đưa cho A đến 'A và B từ ' A đến B , có thể cho vật rắn quay 'một góc Δθ quanh trục OD.[1]

- Như thế, có nghĩa là vật rắn có thể chuyển từ vị trí S sang vị trí 'S bằng nhiều

cách Tuy nhiên, nếu t khá nhỏ thì hai vị trí S và 'S khá gần nhau, góc  cũng khá

nhỏ và phép quay độc nhất quanh OD càng gần với chuyển động thực tế của vật rắn, ta

có thể thừa nhận rằng, khi  t 0 thì phép quay  quanh OD chính là chuyển động

thực, đã đưa vật rắn từ vị trí S sang vị trí vô cùng gần S

- Ta cũng gọi là vận tốc góc của vật rắn ở thời điểm t và biểu

diễn nó bằng một véctơ , hướng theo trục quay tức thời OD và có chiều theo quy ước

- Trục quay tức thời OD không gắn với vật rắn và thường thay đổi một cách liên

tục trong quá trình chuyển động

- Quỹ tích các vị trí liên tiếp của OD trong vật rắn là một mặt nón N’và trong

không gian cố định là một mặt nón N

- Chuyển động quay của vật rắn quanh điểm cố định O, như vậy có thể mô tả là chuyển động quay của vật rắn chuyển động lăn không trượt của một mặt nón trên một mặt nón khác.[1]

6.2 Vận tốc của một điểm trên vật rắn

- Giả sử M là một điểm trên vật rắn, OD là trục quay tức thời ở thời điểm t, là véctơ vận tốc góc ở thời điểm t

- Gọi H là hình chiếu của M trên OD và v là véctơ vận tốc của M.(Hình 1.13)

- Chuyển động của vật rắn ở thời điểm t là chuyển động quay quanh trục OD, với

Hay là:

Nhưng:

Do đó:

- Hai véctơ  và OH cùng chiều, tích véctơ của chúng triệt tiêu, ta được:

Kết luận: Véctơ vận tốc của một điểm M trên vật rắn, bằng tích của véctơ vận tốc

góc với bán kính véctơ của điểm ấy.[1]

7 CHUYỂN ĐỘNG TỒNG QUÁT CỦA VẬT RẮN

- Gọi A là một điểm cố định trên vật rắn và M là một điểm trên vật rắn, xác định bởi đẳng thức:

- Gọi O là gốc tọa độ, và là hai bán kính véctơ và

 là vận tốc trong chuyển động của điểm M

- Khi A được coi là không chuyển động, tức là vận tốc trong chuyển động quay của vật rắn quanh điểm A

- Gọi là véctơ vận tốc góc ở thời điểm t trong chuyển động quay ấy

Do đó:

- Đẳng thức này cho thấy rằng chuyển động của vật rắn là tổng hợp của hai chuyển động: một chuyển động tịnh tiến với vận tốc và một chuyển động quay với vận tốc góc  quanh điểm A Cũng như trong chuyển động phẳng, vận tốc của chuyển động tịnh tiến phụ thuộc điểm A, còn vận tốc góc  không phụ thuộc điểm A

- Trong trường hợp tổng quát, vA

không song song và không vuông góc với  Ta

có thể phân thành hai thành phần: một thành phần v0

hướng theo và một thành phần v1

Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco

CHƯƠNG 2 ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

1 KHỐI TÂM, TÂM QUÁN TÍNH HAY TRỌNG TÂM

- Ta xét một hệ n chất điểm A1, A2, A3,…An, khối lượng m1, m2, m3,…mn, có tọa độ

… đối với một điểm gốc O, lấy tùy ý

- Lấy đạo hàm đối với thời gian đẳng thức xác định bán kính véctơ của khối tâm G (hay tâm quán tính của hệ) xác định bởi đẳng thức:

Hay là:

M

r m m

r m r

n i i n

i

n i i G

m là khối lượng toàn phần của hệ chất điểm

Ta có:

i G i i

r m

n i i G

- Khi hệ chất điểm đặt trong trọng trường, thì mỗi chất điểm chịu tác dụng một lực thẳng đứng, hướng xuống pi = mig Tổng hợp lực của n lực song song cùng chiều ấy là một lực song song và cùng chiều với chúng, và đặt lại một điểm G1 gọi là trọng tâm, xác định bởi đẳng thức:

i i n

i

n i i G

m g

r m g g m

r g m p

r p r

Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco

- Trong trường hợp tổng quát,  là hàm của tọa độ r

của dv; trong vật rắn, r

biến thiên một cách liên tục, tổng số  trong (2.1) biến thành tích phân thể tích, và khối tâm

vật rắn được định nghĩa là điểm G, xác định bởi đằng thức:

Do đó:

(2.5)

Trong đó: M là khối lượng toàn phần của vật

- Trong đa số các trường hợp thường gặp trong thực tiễn, vật rắn là một khối đồng

tính, khi ấy  có trị số không đổi, có thể cho ra ngoài dấu tích phân, và ta được:

Trong đó: V là thể tích của vật

- Khối tâm G khi đó được xác định đơn thuần do các tính chất hình học của vật.[1]

2 MÔMEN QUÁN TÍNH ĐỐI VỚI MỘT TRỤC QUAY CỐ ĐỊNH

- Vị trí của khối tâm không đủ dặc trưng sự phân bố khối lượng trong cơ hệ một

cách đầy đủ Chẳng hạn, có hai quả nặng A1 và A2 cùng khối lượng m đặt hai đầu một

thanh độ dài l (Hình 2.1)

- Khối tâm của hệ ở tâm điểm thanh, không phụ thuộc vào chiều dài thanh Cho

thanh quay quanh một trục vuông góc với thanh và đi qua tâm của thanh, ta thấy rằng

thanh càng dài thì quay càng khó mặc dù khối tâm của hệ không đổi Sự phân bố khác

nhau của các khối lượng đối với khối tâm là có ảnh hưởng khác nhau đến chuyển động

của hệ, mặc dù khối lượng toàn phần và khối tâm của hệ không đổi

- Vì vậy, người ta đã đưa ra thêm một đại lượng để đặc trưng sự phân bố khối lượng,

đó là mômen quán tính.[1]

Định nghĩa: Mômen quán tính của một vật đối với một trục Oz là một đại lượng vô

hướng, xác định bởi đẳng thức:

Trong đó: mi là khối lượng và ri là khoảng cách tới Oz của chất điểm ấy trên vật

- Mômen quán tính giữ một nhiệm vụ quan trọng trong chuyển động quay, như khối

tâm trong chuyển động tịnh tiến

Gọi M là khối lượng toàn phần của vật, và đặt:

Hình 2.1

- Trong tọa độ Descartes, mômen quán tính đối với các trục x, y và z là:

3 XÁC ĐỊNH KHỐI TÂM CỦA MỘT VÀI VẬT ĐỒNG TÍNH

3.1 Khối tâm của một cung tròn

- Ta xét cung tròn đồng tính AB, trên

đường tròn tâm O, bán kính R

- Gọi 2 = AOB là góc ở tâm chắn cung

AB và hướng trục Ox theo đường phân giác

của góc AOB (hình 2.2) Ox là trục đối xứng

của cung, vậy khối tâm G phải ở trên Ox Ta

xác định hoành độ x của G G

- Lấy trên AB một cung nguyên tố MM’,

độ dài dl

- Theo hình vẽ, ta có dl Rd và

hoành độ của trung điểm của MM’ trùng với

hoành độ của M là Rcos Gọi là khối

lượng trên đơn vị độ dài thì khối lượng dm

.cos

2 2

1

0

2

R d

R dl

d R

Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco

3.2 Khối tâm của một hình quạt tròn

- Ta xét hình quạt tròn đồng tính AOB tâm O, bán kính R Cũng gọi 2  AOB là góc ở tâm của hình quạt và hướng trục Ox theo đường phân giác cuả góc AOB (Hình

1cos 2sin

322

R

r dr d R x

R rdr d

y

Hình 2.3[1]

3.3 Khối tâm của một hình chỏm cầu

- Ta xét hình chỏm cầu đồng tính tâm O, bán kính R, đáy là một đường tròn tâm C, đỉnh O (Hình 2.4)

- Gọi 2 là góc ở đỉnh của hình tròn đỉnh I, đáy là đường tròn C Vì tính chất đối xứng khối tâm G của chỏm cầu phải ở trên OI Hướng trục Ox theo OI, ta xác định

hoành độ x của G G

- Ta lấy trên chỏm cầu một diện tích nguyên tố ds giới hạn bởi hình chữ nhật cong ABCD đặt tại điểm M

Hoành độ của M là: x M Rcos cos 

- Độ dài hai cạnh AB, AD của ds lần lượt là:

dmdS R   d d

- Thế các giá trị số trên vào công thức (2.6), ta được:

3 2 2

cos cos d

cos

G

x dm R d x

.2

2cos1sin

2

.2cos

.cos

d d

d d

G x

Hình 2.4[1]

Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco

sin (2 sin 2 ) sin 2

3.4 Khối tâm của một hình quạt cầu

- Ta xét hình quạt cầu đồng tính tâm O, bán kính R, đỉnh S, đáy là một đường tròn

C, tâm I (Hình 2.5)

- Ta cũng gọi 2 là góc ở đỉnh của hình nón đỉnh O, đáy C Cũng do tính đối xứng, khối tâm G phải ở trên OI Ta cũng hướng trục Ox theo OI và xác định hoành độ x của G

G

- Ta thấy một nguyên tố thể tích , giới hạn bởi hình hộp chữ nhật, tâm M ở cách

O một khoảng r Độ dài ba cạnh của hình hộp theo tọa độ cực lần lượt là: dr; ;

G

xdm r drd d x

3 sin 22

sin22

2sin4

.cos

.cos

cos

3 4

0 2 0

2 3

R

R

d d dr

r

d d

dr r

 là một trục song song với và cách  một khoảng d, gọi

IG là mômen quán tính của vật đối với, M là khối lượng của

vật Ta tính mômen quán tính I của vật đối với  '

- Gọi Ai là một điểm của vật có khối lượng là mi Từ Ai

I  G  (2.14)

Định lí: Mômen quán tính của một cơ hệ đối với trục Δ’ bất kì, bằng mômen quán

tính của vật đối với một trục Δ đi qua khối tâm và song song với Δ’, cộng với tích khối lượng của vật và bình phương khoảng cách giữa hai trục [3]

Công thức cho thấy rằng mômen quán tính của một vật đối với bất kì trục nào bao giờ cũng lớn hơn mômen quán tính đối với trục song song đi qua khối tâm, nghĩa là trong các trục có cùng một phương, thì đối với trục đi qua khối tâm, mômen quán tính có trị số nhỏ nhất.[1]

H

G Hình 2.6

K

Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco

5 ĐỊNH LÍ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM

- Lấy đạo hàm đẳng thức trên, ta được:

i i

G m a a

Nhận thấy rằng:

G i

i

i m a M a F

   (2.15)

Định lí khối tâm: Khối tâm của vật rắn (hoặc hệ biến dạng) chuyển động như một

chất điểm mang tổng khối lượng M của hệ và chịu tác dụng của tổng véctơ các ngoại lực

phương trình cũng áp dụng được cho vật rắn biến dạng Phương trình này chính là phương trình chuyển động của một chất điểm có khối lượng M, đặt tại khối tâm G và chịu tác dụng của toàn bộ các ngoại lực [3]

- Khối tâm của một cơ hệ cứng rắn hay biến dạng được, chuyển động như một chất điểm có khối lượng toàn phần của hệ, và chịu tác dụng của mọi ngoại lực đặt vào cơ hệ

Chú ý: Khi áp dụng định lí trên, ta coi các ngoại lực (đặt vào mỗi chất điểm) như đặt

vào khối tâm, nghĩa là coi lực F như được dịch chuyển song song với chính nó, từ chất i

điểm Ai đến G Vì các lực này đều đặt ở cùng một điểm, nên chúng tương đương với một lực độc nhất đặt tại G.[1]

5.2 Hệ quả

- Giả sử: Các ngoại lực tác dụng vào cơ hệ là trọng lực, thì tổng hợp lực của chúng

là trọng lượng M.g của hệ, đặt tại khối tâm G Mặc dù, khi chuyển động hình dạng hay đổi thế nào, khối tâm G vẫn chuyển động như một chất điểm trong trọng trường Nếu không có sức cản của không khí, thì khối tâm vẽ thành một đường parabol Dù viên đạn vừa đi vừa quay, dù nó nổ tan thành nhiều mảnh, thì khối tâm của nó vẫn đi theo đường parabol.[1]

- Ta xét chuyển động của hệ Trái Đất và Mặt Trăng quanh Mặt Trời Lực hấp dẫn

do Mặt Trời tác dụng vào Trái Đất và Mặt Trăng là ngoại lực, còn lực hấp dẫn giữa Trái Đất và Mặt Trăng là nội lực Khối tâm của hệ Trái Đất và Mặt Trăng sẽ chuyển động như một chất điểm chịu tác dụng của tổng hợp lực hai lực hút do Mặt Trời tác dụng vào Trái Đất và Mặt Trăng, vẽ thành một đường elip quanh Mặt Trời Nếu Mặt Trăng đi ra xa, hoặc lại gần Trái Đất, hoặc vỡ thành nhiều mảnh th́ kh ối tâm của hệ vẫn tiếp tục đi theo đường elip cũ.[1]

- Nếu một vật rắn chỉ chịu tác dụng của một ngẫu lực thì tổng véctơ của các lực , khối tâm G của vật rắn chuyển động thẳng đều hoặc đứng yên, vật rắn chỉ quay quanh G.[3]

- Khi một vận động viên nhảy cầu thì khối tâm G của anh ta chỉ chịu tác dụng của trọng lực cơ thể, nên dù anh ta có làm nhiều động tác khác nhau (cuộn người lại, giãn thẳng người, ) thì G vẫn vạch ra quỹ đạo parabol xác định bởi vận tốc ban đầu Các nội lực không ảnh hưởng gì đến chuyển động của khối tâm.[3]

- Chuyển động của vật rắn hoặc hệ trên mặt phẳng nằm ngang, nếu chỉ có trọng lực tác dụng.[3]

 Giả thiết không có ma sát Nếu ban đầu hình chiếu G’ của khối tâm G của một người đứng yên thì G’ sẽ tiếp tục đứng yên, nghĩa là người ấy không thể đi được Lực của các cơ bắp là những nội lực, có thể làm chân tay dịch chuyển đối với nhau, nhưng không thể là G’ dịch chuyển Chỉ khi có ma sát giữa chân và mặt phẳng thì lực ma sát do mặt phẳng tác dụng lên chân mới là ngoại lực đẩy người tiến lên.[3]

 Lực mà động cơ của một xe ô tô sinh ra là nội lực, không thể tự nó làm xe tiến lên Nếu không có ma sát giữa bánh xe và mặt đường thì bánh xe chỉ quay tại chỗ, điều này xảy ra khi xe vào đường bùn lầy Lực ma sát mới là ngoại lực làm xe tiến lên; lực này tỉ lệ với áp lực của bánh xe phát động lên mặt đường, nên người ta thường chế tạo xe sao cho phần lớn trọng lượng của xe phân bố trên các bánh ấy.[3]

 Khi ta hãm xe, lực mà má phanh tác dụng lên bánh dù có lớn đến mấy cũng chỉ là nội lực không thể làm xe dừng lại Nhưng nó làm bánh xe ngừng quay và miết lên mặt đường Chính lực ma sát giữa bánh xe và mặt đường mới là ngoại lực làm xe dừng.[3]

5.3 Định lí về động lượng của khối tâm

- Động lượng của một cơ hệ là một véctơ , bằng tổng động lượng của mọi chất điểm trong hệ.[3]





i i

i v m P

1Theo định nghĩa vận tốc, ta có:

Khảo sát mômen quán tính một số vật với dụng cụ hãng Pasco

Theo định nghĩa khối tâm:

Từ đó, suy ra một số nét tổng quát về chuyển động của toàn hệ Trong trường hợp tổng quát, ta phải tích phân một phương trình, hoặc một hệ phương trình vi phân cấp 2

- Trong nhiều trường hợp gặp trong thực tế, lực tác dụng vào cơ hệ không phải là bất kì, mà có một số tính chất đặc biệt, khiến cho một số đặc trưng của cơ hệ được giữ không đổi, tức là được bảo toàn trong quá trình chuyển động Mỗi đại lượng bảo toàn chỉ phụ thuộc vị trí và vận tốc của hệ chất điểm, mà không phụ thuộc gia tốc, do đó giúp ta bớt được một lần tích phân Trị số không đổi của đại lượng bảo toàn vì vậy được gọi là một tích phân của chuyển động Giải một bài toán động lực học, bao giờ cũng phải cố gắng tìm ra cho hết các tích phân của chuyển động Các định lí bảo toàn trình bày dưới đây sẽ giúp ta giải quyết khó khăn ấy.[1]

6.1 Định lí bảo toàn chuyển động của khối tâm

- Theo chuyển động của khối tâm G của cơ hệ được xác định bởi phương trình:[1]





i i G

F dt

r d M

1 2

2

- Giả sử rằng tổng hợp các lực ngoài tác dụng vào cơ hệ bằng 0 Khi đó, ta có:

Và (tích phân 2 vế đối với t ):