Biến số phụ và mô tả đơn cực từ trong phép biến đổi hurwitz mở rộng

Cụ thể, qua phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel [5] phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa bốn chiều có thể chuyển về phương trình Schrodinger cho nguyên tử đồng dạng hydro tro

LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN

Người hướng dẫn Khoa học

TSKH LÊ VĂN HOÀNG

TP.HỒ CHÍ MINH, NĂM 2009

LỜI CẢM ƠN

Trong khoảng thời gian ba năm học tập tại trường, tôi đã học tập được nhiều kiến thức bổ ích về chuyên ngành của mình dưới sự hướng dẫn rất nhiệt tình của thầy, cô trong bộ môn vật lý lý thuyết và vật lý toán Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô đã dạy tôi trong suốt khóa học qua

Cho tôi bày tỏ lòng biết ơn của mình với thầy Lê Văn Hoàng Trong quá trình học tập và làm luận văn, thầy đã hết sức tận tình chỉ bảo, động viên và cả nhắc nhở để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Cảm ơn các bạn trong khóa 16, các anh chị, các bạn trong nhóm nghiên cứu của thầy Lê Văn Hoàng, các đồng nghiệp - những người luôn bên tôi, hỗ trợ tôi rất nhiều trong suốt khóa học và trong quá trình làm luận văn!

Nguyễn Thành Sơn

MỤC LỤC 3

MỞ ĐẦU 4

Chương 1: BIẾN SỐ PHỤ TRONG PHÉP BIẾN ĐỔI BÌNH PHƯƠNG 9

1.1 Biến số phụ trong phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel 9

1.2 Biến số phụ trong phép biến đổi Hurwitz 12

1.3 Đơn cực từ 15

1.4 Phụ lục chương 1: 17

Phụ lục A1.1: Tính ξk theo các giá trị xλ và φ 17 i Phụ lục A1.2: Tính các đạo hàm riêng của φi theo ξs, ξs* 19

Phụ lục A1.3: Biểu diễn Hamintonian trong không gian ( , )xλ φi 20

Chương 2: PHÉP BIẾN ĐỔI HURWITZ MỞ RỘNG VÀ VAI TRÒ CỦA BIẾN SỐ PHỤ 29

2.1 Giới thiệu phép biến đổi 29

2.2 Dao động tử điều hòa 16 chiều và nguyên tử hydro 9 chiều 33

2.3 Nghiệm vật lý mới của phép biến đổi 34

2.4 Đại số hệ toán tử 37

2.5 Phụ lục chương 2 44

Phụ lục A2.1: Biến đổi ngược 44

Phụ lục A2.2: Tính đạo hàm các góc theo u, v 48

Phụ lục A2.3: Hệ toán tử A, B, C, D 50

Phụ lục A2.4: Chương trình lập bảng giao hoán tử 60

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 75

TÀI LIỆU THAM KHẢO 76

MỞ ĐẦU

Dao động tử điều hòa và nguyên tử hydro là hai bài toán cơ bản nhất,

có lời giải chính xác không những trong cổ điển mà cả trong cơ học lượng tử

[34] Đây cũng là hai trong số rất ít bài toán giải được chính xác trong cơ học

lượng tử Từ rất lâu rồi, người ta đã phát hiện ra giữa hai bài toán kinh điển

này có một mối liên hệ rất đặc biệt [2-4] Cụ thể, qua phép biến đổi

Kustaanheimo-Stiefel [5] phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa

bốn chiều có thể chuyển về phương trình Schrodinger cho nguyên tử đồng

dạng hydro trong không gian ba chiều

Trong nhiều năm mối quan hệ giữa hai bài toán đã thu hút được sự

quan tâm rất lớn của các nhóm nghiên cứu theo hướng ứng dụng cho các tính

toán cụ thể [6-8] Như ta biết được, với bài toán dao động tử điều hòa ngoài

phương pháp giải tích với các biến động lực, nó có thể giải bằng phương

pháp đại số thông qua biểu diễn bằng các toán tử sinh và hủy lượng tử Chính

vì vậy, mối quan hệ có thể giúp xây dựng phương pháp đại số tiện lợi trong

ứng dụng cho bài toán nguyên tử hydro [9-10] trong điện từ trường

Ngoài yếu tố quan trọng trong ứng dụng, mối quan hệ trực tiếp giữa

bài toán hydro ba chiều và dao động tử điều hòa bốn chiều tự thân nó rất thú

vị Xuất hiện câu hỏi tự nhiên là liệu bài toán hydro trong không gian nhiều

chiều khác có liên quan đến dao động tử điều hòa hay không? Nếu tồn tại mối

quan hệ thì tương quan giữa số chiều của nguyên tử hydro và dao động tử

nguyên tử hydro hai chiều và dao động tử điều hòa hai chiều [12] qua phép

biến đổi Levi-Civita [13] Cũng như vậy, qua phép biến đổi Hurwitz [14] mối

liên hệ được xây dựng cho nguyên tử hydro năm chiều với dao động tử điều

hòa tám chiều [15-17]

Trong công trình [11], lý thuyết tổng quát về mối liên hệ nêu trên được

chứng minh và cách xây dựng phép biến đổi kết nối hai bài toán cũng được

đưa ra Cụ thể, nếu gọi N là số chiều của nguyên tử hydro, K là số chiều của

dao động tử điều hòa thì mối liên hệ giữa hai bài toán chỉ tồn tại nếu :

N =2n+ →1 K =2n+1 n=0,1, 2,

Công trình [11] thêm một phép biến đổi cụ thể được xây dựng tường minh

cho nguyên tử hydro 9 chiều và dao động tử điều hòa 16 chiều, gọi là phép

biến đổi Hurwitz mở rộng Các trường hợp cụ thể tồn tại được thể hiện trong

bảng sau:

Tên phép biến đổi

Số chiều nguyên tử hyđrô

Số chiều dao động tử điều hòa

Rất đặc biệt, một vấn đề cơ bản khác lại liên quan đến mối liên hệ này –

đó chính là đơn cực từ Dirac (1931) [18], đơn cực SU(2) của Yang (1978)

[19] Thật vậy, nếu như phép biến đổi Levi-Civita:

chuyển tọa độ từ không gian hai chiều sang không gian hai chiều 2 → 2 thì

phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel:

lại kết nối không gian 3 chiều với không gian 4 chiều 3 → 4 Số dư 1 chiều

được lấp đầy bằng việc đưa ra 1 biến số phụ thêm vào không gian 3 chiều [3]:

φ =arctan (u u2 1)

Chính biến số φ lại liên quan đến đơn cực từ Dirac Thực vậy, phép biến đổi

ngược x x x1, , ,2 3 φ→u u u u1, , ,2 3 4 mang tên Cayley-Klein [3] được xây dựng và

đã chứng minh được rằng phương trình Schrodinger cho dao động tử điều

hòa 4 chiều có thể đưa về phương trình Schrodinger cho nguyên tử hydro với

sự có mặt của đơn cực từ Dirac [6]

Ta có bức tranh tương tự cho trường hợp 5 → 8 Phép biến đổi Hurwitz:

kết nối không gian 5 chiều và 8 chiều Trong công trình [17] lần đầu tiên đưa

ra định nghĩa 3 biến số phụ φ φ φ là các góc Euler [33] và xây dựng phép 1, ,2 3

biến đổi ngược của Hurwitz Công trình [20] (1996) sử dụng ba biến số phụ,

lần đầu tiên xây dựng mối liên hệ giữa bài toán dao động tử điều hòa 8 chiều

đơn cực isospin được Yang tổng quát hóa từ đơn cực từ Dirac [19] Từ năm

1996 đến nay, một loạt bài báo được công bố về hướng nghiên cứu và phát

triển bài toán trên [21-26]

Như vậy, ta thấy mối liên hệ giữa nguyên tử hydro với dao động tử

điều hòa không những có ý nghĩa thực tiễn trong ứng dụng tính toán mà thực

sự là vấn đề lớn liên quan đến đề tài rất cơ bản của vật lý là đơn cực từ Liệu

bức tranh chung, phân tích bên trên có tồn tại cho trường hợp 9 → 16 hay

không? Phép biến đổi Hurwitz mở rộng chỉ mới được nêu ra trong công trình

[11] mà chưa được nghiên cứu cụ thể Liệu chúng ta có thể đưa ra 7 biến số

phụ để cân xứng số chiều trong phép biến đổi? Liệu một loại đơn cực mới có

tồn tại trong không gian 9 chiều không? Sao cho bài toán dao động tử điều

hòa 16 chiều được đưa về bài toán nguyên tử hydro với sự có mặt của đơn

cực này Giải quyết các vấn đề này chính là nội dung chính của luận văn này

Với hướng phát triển như trên, nội dung của luận văn sẽ được trình

bày như sau:

Mở đầu: Giới thiệu tổng quan

Nội dung phần mở đầu là giới thiệu tổng quan các nghiên cứu theo hướng

đề tài Từ đó, định hướng nội dung nghiên cứu trong luận văn này

Chương I: Biến số phụ trong phép biến đổi bình phương

Trong chương này trình bày về biến số phụ trong phép biến đổi

Kustaanheimo-Stiefel cũng như phép biến đổi Hurwitz Đồng thời sử dụng nó

đẩ xây dựng mối liên hệ giữa bài toán dao động tử điều hòa với nguyên tử

hydro với sự có mặt của đơn cựa từ Dirac và Yang Chương này, chủ yếu là

viết tổng quan các kết quả của các tác giả khác Phần đóng góp của tác giả

luận văn là cải tiến về hình thức các phép biến đổi, đồng thới sắp xếp, hệ

thống hóa kiến thức

Chương II: Phép biến đổi Hurwitz mở rộng và vai trò của biến số phụ

Phần này là kết quả mới của tác giả, tổng quát hóa chương I cho trường

hợp 9 → 16 bằng cách xây dựng phép biến đổi và phép biến đổi ngược trong

trường hợp này Trong chương này, lần đầu tiên dạng tường minh của 7 biến

số phụ được đưa ra và mối liên hệ giữa dao động tử điều hòa 16 chiều và

nguyên tử hydro 9 chiều với sự có mặt của đơn cực được thiết lập Biểu thức

tường minh cho đơn cực được đưa ra cũng như đại số của mô hình được

nghiên cứu

Trong luận văn này một số kiến thức, tính toán phức tạp và các

chương trình tính toán bằng Mathematica sẽ được trình bày ở phần phụ lục

sau mỗi chương để logic của vấn đề được liền mạch và người đọc có thể tiện

việc theo dõi

Kết quả của luận văn đã công bố trong một bài báo khoa học tại J

Phys A (2009) [27]

Chương 1:

BIẾN SỐ PHỤ TRONG PHÉP BIẾN ĐỔI BÌNH PHƯƠNG

Quay lại các phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel và Hurwitz, chúng ta thấy đây là các phép biến đổi giữa hai không gian có số chiều khác nhau (3 → 4 và 5 → 8) Như vậy, có sự bất cân đối về chiều trong các phép biến đổi trên Khi thiết lập mối liên hệ giữa bài toán nguyên tử hydro và dao động

tử điều hòa chúng ta cần xây dựng phép biến đổi ngược cho các phép biến đổi

kể trên Chính vì vậy cần thiết phải đưa ra thêm các biến số phụ vào Dành cho phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel người ta đã đưa thêm một biến số phụ và có phép biến đổi ngược Cayley-Klein (1983) [3] Với phép biến đổi Hurwitz thì trong công trình (1991) [17] đưa ra 3 biến số phụ dạng góc Euler Điều đặc biệt là khi sử dụng các biến số phụ này trong hai phép biến đổi trên,

có thể đưa vào bài toán thêm tương tác với các đơn cực từ Trường hợp 3 → 4

ta có đơn cực từ Dirac [3] còn trường hợp 5 → 8 ta có đơn cực từ Yang [20] Trong chương này ta sẽ hệ thống hóa lại và viết tổng quan về các biến số phụ

này cũng như vai trò của nó trong việc đưa vào các đơn cực từ

1.1 Biến số phụ trong phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel:

Đối với phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel (3→4), cần thêm 1 biến

số phụ φ =arctan (u u2 1) [3] Lúc này, phép biến đổi ngược biểu diễn

1, , ,2 3 4

u u u u theo x x x1, , ,2 3 φ Sử dụng phép biến đổi ngược đưa phương trình Schrodinger của dao động tử điều hòa 4 chiều về bài toán nguyên tử hydro 3 chiều

Phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa 4 chiều có dạng như sau:

trong đó, ψ( , )u v , Z là hàm riêng và nghiệm riêng của Hamiltonian Hˆ Trong

hệ đơn vị nguyên tử, Hˆ được viết như sau:

Sử dụng phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel và thêm vào biến số phụ φ như

đã nêu Chúng ta có phép biến đổi có sự xuất hiện thêm của φ:

trong đó, E= −ω2 2 được xem như là nghiệm riêng của phương trình trên;

3

1( , ,0)

là vector có dạng thế đơn cực từ Dirac (xem phần 1.3)

Nghiên cứu một cách kỹ lưỡng phương trình (1.3), ta thấy rằng nếu

tìm được hàm sóng Ψ chỉ phụ thuộc vào r, tức là:

0φ

Phương trình này có dạng là phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro

Như vậy, ta có thể tìm hàm riêng của nguyên tử hydro bằng hàm riêng của

dao động tử điều hòa 4 chiều với điều kiện ràng buộc (1.4)

Nếu ta chọn được hàm sóng Ψthỏa điều kiện q

φ

∂Ψ = Ψ

∂ thì (1.3) sẽ có dạng sau:

2 2

Như vậy, sử dụng phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel và thêm vào

biến số phụ, khi đưa phương trình Schrodinger của dao động tử 4 chiều về

dạng phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro với thế tương tác của

đơn cực từ Aλ xuất hiện trong phương trình Phương trình (1.6) có thể xem là

bài toán một điện tử chuyển động trong “charge-dyon” (lưỡng tích gồm cả từ

tích và điện tích) Từ tích sinh ra thế đơn cự từ Aλ còn điện tích sinh ra thế Coulomb −Z r Với phương trình (1.3), ta có thể tìm hàm riêng của bài toán nguyên tử hydro bằng nghiệm riêng của bài toán dao động tử điều hòa với điều kiện ràng buộc (1.4)

1.2 Biến số phụ trong phép biến đổi Hurwitz:

Tương tự như phép biến đổi Kustaanheimo-Stiefel, đối với phép biến đổi Hurwitz (5→8) ta cũng thêm vào biến số phụ, thiết lập phép biến đổi ngược để từ đó xây dựng mối liên hệ giữa bài toán dao động tử 8 chiều vào bài toán điện tử chuyển động trong trường Coulomb (bài toán nguyên tử hydro) 5 chiều Tuy nhiên, muốn cân bằng số biến không gian của phép biến đổi ta cần thêm đến 3 biến số phụ Công trình [17] đã đặt các biến số phụ đầu tiên cho phép biến đổi này như sau:

u iu u iu i

u iu u iu i

Kết hợp phép biến đổi Hurwitz và các biến số phụ được xây dựng như ở trên,

ta được phép biến đổi ngược:

Phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa 8 chiều trong hệ đơn vị

nguyên tử được viết như sau:

, (

ˆ 2

1 ˆ

) ( 2

2

2

φψφψλ

λ

r E r

r

Z Q r Q

r A x

Từ phương trình (1.10) nếu chúng ta tìm được hệ nghiệm ψ sao cho

chúng không chứa các biến số góc nghĩa là chúng thoả mãn các phương trình:

1

Qψ = , Qˆ2ψ = 0, Qˆ3ψ = 0 (1.11)

thì (1.10) chính là phương trình Schrodinger cho nguyên tử hydro trong

không gian 5 chiều Trong trường hợp tổng quát thì phương trình (1.10) mô tả

hạt có spin đồng vị chuyển động trong trường Coulomb và trường thế đơn

cực Yang [20]

Bây giờ chúng ta sẽ nói rõ hơn về A rλk( )r và Qˆ ( )k φ trong phương trình

(1.10) Biểu thức tường minh của hệ toán tử Qˆ ( )k φ được xác định:

2 1

∂

∂+

3

2 1

cosˆ

φ

φφ

φ

φφ

3

2 1

sinˆ

φ

φφ

φ

φφ

1

3 4 1 2 5

x r r

1

1 2 3 4 5

x r r

1

2 1 4 3 5

x r r

kj j

k

x r r

x r A

Các phương trình trên thể hiện nguồn gốc và tính chất của trường điện

từ Phương trình thứ nhất và thứ ba cho chúng ta biết rằng điện trường tĩnh (có đường sức hở) do điện tích gây ra, còn điện trường xoáy (có đường sức kín) do sự biến thiên của từ trường gây ra Phương trình thứ hai và thứ tư cho

ta biết từ trường luôn xoáy (có đường sức là đường cong kín), từ trường được sinh ra do các điện tích chuyển động (dòng điện dẫn) và do sự biến thiên của điện trường (dòng điện dịch) Dựa trên ý nghĩa vật lý cũng như hình thức các phương trình trên ta thấy mặc dù điện trường và từ trường thống nhất với nhau trong trường điện từ và có vai trò như nhau nhưng ở đây ta thấy có sự bất cân xứng giữa điện và từ Trong sự phát triển cao hơn, Dirac đã đưa ra ý tưởng về sự đối xứng giữa điện và từ, có nghĩa là có điện tích sẽ có từ tích, có

đơn cực điện (do điện tích gây ra) sẽ có đơn cực từ (do từ tích gây ra) Với ý tưởng trên, hệ phương trình Maxwell được điều chỉnh lại như sau:

Poynting và chúng có mômen tổng cộng tỉ lệ với tích q e q m(tích của điện tích

và từ tích) Theo cơ học lượng tử thì mômen bị lượng tử hóa nên q e q m cũng

bị lượng tử hóa Dirac đã đưa ra được biểu thức như sau:

12

e m

q q

n

hc = (với n là số nguyên) Trong công trình [18], Dirac đưa ra bài toán chuyển động của một điện tích quanh một đơn cực từ Sau đó, dựa trên tính đối xứng giữa điện và từ, bài toán ngược là chuyển động của đơn cực từ quanh điện tích được đưa ra

Theo tính đối xứng giữa điện và từ thì biểu thức cảm ứng từ Br

biểu thức (1.19) là một trong những dạng của thế đơn cực từ Dirac

Trong trường hợp 5 chiều, thế đơn cực từ được Yang đề xuất trong

công trình [20] và được sử dụng ở nhiều bài báo khác:

1.4 Phụ lục chương 1:

PHỤ LỤC A.1.1 : Tính ξk theo x ,λ φ i

Để thuận tiện cho tính toán ta sử dụng ký hiệu phức cho phép biến đổi

Hurwitz như sau:

* 3 3

* 2 4

* 1

2 =ξ ξ +ξ ξ +ξ ξ −ξ ξ

2

* 4 1

* 3 4

* 2 3

* 1

3 iξ ξ iξ ξ iξ ξ iξ ξ

2

* 4 1

* 3 4

* 2 3

* 1

4 =ξ ξ +ξ ξ +ξ ξ +ξ ξ

* 4 3

* 3 2

* 2 1

* 1

5 =ξ ξ +ξ ξ −ξ ξ −ξ ξ

2 1

1 argξ argξ

2 1

2 argξ argξ

2

1 1

* 1 2

* 2

2

* 2 1

* 1

ξ

ξξ

ξξξ

ξξξξ

2

12

2

12

2 1

2

12sin

φ φ

2 1

2

12cos

φ φφ

* 1 1

2 1 2 4 3 1 3

2ξ ξ ξ ξ

ξ ξ

ξ

+

++

+

( ) ( )

* 2

* 1 1

2 1 1 4 3 2 4

ξ ξ

ξ

+

−+

3 2

3 2

1 5 3

2 1 2

1

2

cos2

sin2

x r

4 3 2

3 2

1 5 4

2 1 2

1

2

cos2

sin2

x r

i

PHỤ LỤC A.1.2: TÍNH CÁC ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA φi THEO ξs,ξs*

Tính các đạo hàm riêng của φ1,φ2 theo ξs,ξs*

Sử dụng các biểu thức (9) và (10), ta tính được các kết quả sau:

* 2

* 1

2 1

1 ln

ξ ξ

φ = −i ,

2

* 1

* 2 1

ξ ξ

Lấy đạo hàm của φ1,φ2 theo ξs, ξs*ta được:

1 1

1

2ξξ

1

2ξξ

1

2ξ ξ

1

2ξξ

2

2ξξ

2

2ξξ

2

2ξ ξ

2

2ξξ

* 2 2

* 2 2

* 1 1

1

* 1

3

ξξ

ξ

ξξξξξ

ξξ

* 1 1

* 2 2

* 1 1

2

* 2

3

ξξ

ξ

ξξξξξ

ξξ

PHỤ LỤC A.1.3: BIỂU DIỄN TOÁN TỬ HAMINTON

TRONG KHÔNG GIAN ( , )xλ φi

Toán tử Haminton trong (1.8) được viết:

* 2

*

2

2

12

1ˆ

s s s

i s

x

φ ξ

φ ξ

∂

∂

∂+

i i s s

i s

s s

s s

x x

x

φ ξ ξ

φ φ

ξ ξ

φ ξ

ξ ξ

ξ ξ

k s

i i s s

i s

s s

x x x

x

φ φ ξ

φ ξ

φ φ ξ ξ

φ ξ

ξ ξ

μ λ λ

s

i s

i

x x

φ ξ

ξ

φ ξ

v uv u s

s

x

A λ λ δ δ γλ

ξ ξ

ξ γ

ξ ξ

ξ

( ) ( )

μ λ λ

μ μ

λ

λμ μ

λ λ

γ

ξ

x x

x x

v sv is

* 1 1 3 2

* 3 2

*

2

ξ ξ

φ ξ

ξ

φ ξ

ξ

φ φ

2 3 2 2

2 2 2 1

2 1

∂

∂+

k s

i

3 2

2 6 3 1

2 5 2 1

2

4 φ φ φ φ ∂φ ∂φ

∂+

∂

∂

∂+

D

ξ

φξ

1 1

1

ξ

φξ

φ

* 2

1 2

1ξ

φξ

2φ

D

ξ

φξ

2 1

2

ξ

φξ

φ

* 2

2 2

2

ξ

φξ

D

ξ

φ ξ

3 1

3

ξ

φξ

φ

* 2

3 2

3ξ

φξ

1

φ ξ

2

ξ

φ ξ

32

4cos ( r x )sin

φ φ

2

3

2 5

3 2

3

2

5

2 2

2

3

2 5

2 1

sin)(

2sin

)

(

2

φφφ

φφ

φφφ

∂+

+

∂

∂+

+

∂

∂+

+

∂

∂+

=

x r x

r x

r x

r

D

k

k i

s s

i s

i

x x

E

φφ

ξξ

φξ

φ

λ

λ λ

=

+ [−x3cosφ2 −x4sinφ2]

+ [x1cosφ2 −x2sinφ2]

* 1

* 1 1

−

=

ξ

ξξ

ξξ

ξξ

2

* 1

* 1 1

−

=

ξ

ξ ξ

ξ ξ

ξ ξ

−+

2 2

* 1 1

* 2 2

* 1 1

2

* 2

* 1 1 2

* 2

* 2 2

* 1 1

* 1 1

ξ ξ

ξ

ξ ξ ξ ξ ξ

ξ

ξ ξ

ξ

ξ

ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

* 0

2 2

* 1 1

* 2 2

* 1 1

2

* 2

* 1 1 2

* 2

* 2 2

* 1 1

* 1

ξ

ξ ξ ξ ξ ξ

ξ

ξ ξ

ξ

ξ

ξ ξ ξ ξ ξ

2

3

2 5 3

3 5

2cotan

2

φ φ φ

φ ξ

∂+

+

∂

∂+

r x

r

s

s

2 1

2

3

2 5

3 2

3

2

5

2 2

sin)(

2

φφφ

φφ

φ

∂+

+

∂

∂+

+

∂

∂+

+

x r x

r x

r

3

5)sin(

2 2 4

2

3sin cos

φ φ

x

) (

2 2 3

4 2 3 3

φ φ

φ φ

x x

x x

) (

2 2 4 2

3cos sin

φ φ

x

3

5) sin (

2 2 4 2

3cos sin

φφ

φ

∂

∂

∂+

x x

x

) (

2 2 3 4

2 3 3

φφ

φφ

φ

∂

∂

∂+

+

−

x x

x x

) (

2 2 4

2

3sin cos

φ φ

3

5)sin(

2 2 1 2

2cos sin

φ φ

x

) (

2 4 2 3 1

2 3

2cotan cos cotan sin

φ φ

φ φ

x

) (

25

x

r +

3 3

2 2 2 2

1cos sin

φ φ

3

5)sin(

2 2 2 2

φ φ

x

)(

25

x

r+

2 4

2 3 2 3 2

2 3

φ φ

φ φ

φ

∂

∂

∂+

−

x x x

an x

) (

2 2 2

2

1sin cos

φ φ

φ

∂

∂

∂+

x x

−

3

2 2

2 3 1

3

2 3

1 5

cossin

cotansin

sin)

(

2

φ

φφ

φφφ

φ

φ

x x x r

∂

∂+

2 2

2 3 1

φ φ

φ φ φ

φ

φ

x x

∂

∂+

∂

∂+

2

1 3

2 2

2 3 1

φ φ

φ φ φ

φ

φ

x

∂+

2 2

2 3 1

φ φ

φ φ φ

∂

∂+

∂

∂+

2

3 3

2 2

2 3 1

φ φ

φ φ φ

φ

φ

x an

∂

∂+

3

2 1

cosˆ

φ

φ φ

φ

φ φ

3

2 1

sinˆ

φ

φ φ

φ

φ φ

r A x

i

2 2

*

ˆ ) (

Trong đó, A k (rr)

λ là hệ vector được xác định như sau :

) 0 , , , , ( ) (

1

3 4 1 2 5

r r r

1

1 2 3 4 5

r r r

+

=

λ

1

2 1 4 3 5

r r r

, (

ˆ 2

1 ˆ

) ( 2

2

2

φψφ

ψλ

λ

r E r

r

Z Q r Q

r A x

Chương 2:

PHÉP BIẾN ĐỔI HURWITZ MỞ RỘNG

VÀ VAI TRÒ CỦA BIẾN SỐ PHỤ

Trong công trình [11] đã đưa ra dạng tường minh của phép biến đổi bình phương từ không gian 16 chiều qua không gian 9 chiều sao cho đẳng thức Euler được thực hiện Phép biến đổi này từ đây về sau ta gọi là phép biến đổi Hurwitz mở rộng Trong chương này, trước tiên ta sẽ viết lại phép biến đổi Hurwitz mở rộng một cách gọn và hoàn chỉnh hơn, sử dụng các ký hiệu ma trận Dirac Ngoài ra, bảy biến số phụ được đưa vào đầu tiên tạo nên phép biến đổi hoàn chỉnh Phép biến đổi ngược của phép biến đổi Hurwitz

mở rộng cũng được xây dựng Từ đây ta xây dựng mối liên hệ giữa dao động

tử điều hòa 16 chiều với bài toán hydro 9 chiều khi mà hàm sóng không phụ thuộc vào các biến số phụ Xa hơn, trong truờng hợp tổng quát, ta chứng minh rằng phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa 16 chiều tương đương với phương trình Schrodinger cho nguyên tử hydro trong trường véc tơ (7-tuyến) dạng đơn cực từ Vai trò của 7 biến số phụ như vậy được làm

rõ, cụ thể nó là ẩn của trường thế véc tơ đơn cực từ Mô hình đơn cực từ trong không gian chín chiều được làm rõ thông qua đại số gồm 28 vi tử (SO(8)) Dạng tường minh của đại số này được xây dựng trong chương này

2.1 Giới thiệu phép biến đổi:

Theo gợi ý từ công trình [11], phép biến đổi Hurwitz mở rộng được xây dựng theo dạng sau:

92( )

x x x và không gian thực 16 chiều u u1, , , , , , ,2 u v v8 1 2 v8 Trong luận văn

này, cụ thể các ma trận Γj được xác định trên cơ sở của các ma trận Dirac

như sau:

1 0

0

ββ

⎡ ⎤

Γ = ⎢ ⎥

⎣ ⎦,

1 3 2

1 3

0 0

3

0 0

αα

1 2

0 0

i i

2 3

0

0

i i

βαβα

1

0 0

αα

β = ⎢⎡ − ⎤⎥

⎣ ⎦,

0 0

k k

k

σα

σ

⎣ ⎦ là các ma trận Dirac, với σk (k=1, 2,3) là các ma trận Pauli Hệ ma trận Γj có các thành phần là thực và là các ma trận

đối xứng hoặc phản xứng Với cách thiết lập như trên, ta có các biểu thức

tường minh của x : j

Từ cách thiết lập như trên, ta thấy phép biến đổi thỏa điều kiện Euler như các

phép biến đổi với số chiều nhỏ hơn trước đây:

Để đảm bảo tính cân đối về số chiều trong phép biến đổi cũng như để có thể

xây dựng phép biến đổi ngược, ta thêm vào 7 biến số φ1,φ2,φ3, α α1, 2 α α3, 4

Việc thêm vào các biến số góc, phép biến đổi trở thành phép biến đổi qua lại

giữa 2 không gian 16 chiều:

1 2 9 1 2 3 1 2 3 4 1 2 8 1 2 8

( , , , , , , , ,x x x φ φ φ α α α α, , )↔( , , , , , , , )u u u v v v

Theo quy luật biến đổi theo (2.3) và (2.5), tiến hành tính các giá trị ( )uv theo

( , , )x φ ϕ , chúng ta có phép biến đổi ngược:

Việc tìm phép biến đổi ngược ở trên đặc biệt có ý nghĩa cho những tính toán

ở phần sau, khi chúng ta dùng phép biến đổi này để xây dựng mối liên hệ

giữa nguyên tử hydro 9 chiều và dao động tử điều hòa 16 chiều

2.2 Mối liên hệ giữa dao động tử điều hòa 16 chiều và nguyên tử hydro 9 chiều:

Phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hòa 16 chiều có dạng như sau:

E= − ω Tiến hành đưa (2.8) về không gian rr, sử dụng phép biến đổi

ta chuyển Hamiltonian về không gian mới:

x r

Theo phương trình (2.9), nếu ta tìm được hàm sóng không phụ thuộc vào biến

số góc, tức hàm sóng thỏa mãn điều kiện:

Khi đó, phương trình (2.9) trở thành phương trình có dạng rất quen thuộc

trong cơ học lượng tử:

2

2 0

Ở đây, các hàm sóng chỉ phụ thuộc vào biến số tọa độ, phương trình (2.9) trở

thành phương trình Schrodinger của nguyên tử hydro trong không gian 9

chiều với thế tương tác Coulomb của điện tử và hạt nhân mang điện tích là

0

1'8

E = − ω xem như là năng lượng của nguyên tử hydro

2.3 Nghiệm vật lý mới của phép biến đổi

Ở phần trên, chúng ta vừa thiết lập một sự kết nối giữa hai phương

trình Schrodinger của dao động tử điều hòa 16 chiều và nguyên tử hydro 9

chiều khi hàm sóng thỏa mãn (2.10) Câu hỏi đặt ra lúc này là: Nếu hàm sóng

không thỏa mãn điều kiện (2.10) thì chúng ta sẽ có gì?

Tiếp tục tính toán cụ thể các đạo hàm bậc 2 trong (2.9), sau đó tiến hành gom lại ta viết lại phương trình này dưới dạng:

x x x x x x x x

r r x i

I φϕ =Iλ% φϕ Iλ φϕ , giá trị này là bằng nhau

ứng với mỗi chỉ số λ Để thuận tiện trong việc tìm mối liên hệ của hệ toán tử này, các toán tử Iˆ ( )kλ% φϕ được biểu diễn theo các toán tử khác ˆ 0

2.4 Đại số hệ toán tử:

Ở phần trên, ta biết rằng khi đưa phương trình Schrodinger của dao động tử điều hòa về dạng (2.11), ta thu được hệ đơn cực từ và hệ các toán tử phụ thuộc góc Iˆkλ% (φ ϕ ) đi kèm Các toán tử Iˆkλ%(φ ϕ ) được biểu diễn qua hệ 28 toán tử ˆ 0

s

J , Jˆs±, Qˆs±,Kˆs± (s=1,2,3,4) Ở phần này, chúng ta sẽ viết dạng tường minh của hệ các toán tử trên và nghiên cứu đại số của chúng Thực ra, việc đưa đến biểu thức (2.11) trải qua 1 quá trình tính toán rất nặng vì ta phải lấy đạo hàm bậc hai của 16 biến theo 16 biến khác Vì vậy, việc tính toán cụ thể sẽ được trình bày trong phần phụ lục với sự trợ giúp của Mathematica Sau khi tính toán cụ thể, ta tiến hành nhóm và tìm cách đặt các toán tử sao cho chúng có những mối quan hệ nhất định Đây là cơ sở để ta xây dựng đại số của hệ toán tử này Ở phần này chúng ta sẽ trực tiếp nghiên cứu hệ toán tử mà không đi vào các tính toán chi tiết

2cos( ) cos( / 2) cos( / 2) sin( / 2) cos( / 2) tan( / 2)

cos( / 2)sin( / 2) cot( / 2)

cot( / 2) cos( / 2)sin( / 2)

2cos( ) sin( / 2)sin( / 2) cos( / 2)sin( / 2) tan( / 2)

sin( / 2) cos( / 2) cot( / 2)

cot( / 2)sin( / 2) cos( / 2)