ứng dụng đạo hàm chứng minh BĐT

Ứng dụng đạo hàm đê chứng minh BĐT

Ví dụ 1: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a+b+c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M=3(a2b2+b2c2+c2a2) +3(ab + bc + ca) + 2 a2b2c2

(Câu V Đề khối B 2010)

Giải :Đặt t = ab + bc + ca, ta có: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca

 1 = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca)  a2 + b2 + c2 = 1 – 2t và 0 t 1

3

 

Theo B.C.S ta có : t2 = (ab + bc + ca)2 ≤ 3(a2b2 + b2c2 + c2a2)

 M ≥ t23t2 1 2t ; với f(t) =t2 +3t +2 1 2t

f ’(t) = 2t 3 2

1 2t

 



f ’’(t) =

3

2 2

(1 2 )t





< 0, t  0,1

3

   f ’(t) là hàm giảm

   > 0  f tăng  f (t) ≥ f(0) = 2, t  0;1

3

 M ≥ 2,  a, b, c không âm thỏa a + b + c = 1

Khi a = b = 0 và c = 1 thì M = 2 Vậy min M = 2

Ví dụ 2: Cho x,y,z >0 và x+y+z ≤1 Tìm GTNN của

P= x+y+z +1

x+

1

y+

1 z Giải: Ta có : 1

x+

1

y+

1

z

9

x y z Khi đó : P  x+y+z + 9

x y z; xét f(t) = t +

9

t và 0 <t  1

Đạo hàm : f ’(t)= 1 92

t =

2 2

t

 f’ (t) = 0 <=> t=  3 ( loại)

Bảng biến thiên : t 3 0 1 3

f ’(t) 0  0

f(t) +

Suy ra : P  f(t)  10

minP =10 khi t=1 <=> x=y=z=1

3

Ví dụ 3: Cho x, y,z là ba số thực dương thay đổi Tìm GTNN của :







( khối B 2007) Giải :Viết lại : P=

2

x

2

y

2

z

yz+ y

zx + z

xy=

2

x

2

y

2

z

xyz

Vì x2 +y2 +z2  xy+yz+zx => P 

2

x

2

y

2

z

xyz

<=> P  (

2

x

x) +(

2

y

y)+(

2

z

2 +1

z) Xét hàm số f(t) =

2

t

2 +1

t với t > 0

Ta có f’(t) = t 12

t ; f’(t) = 0 <=> t=1 Bảng biến thiên : t 0 1 +

f’(t)  0 + f(t) 3/2

CT

Suy ra : f(t)  3/2 với mọi t dương

Vậy P  3

2+3

2+3

2= 9

2 MinP=9

2 khi x=y=z =1

Ví dụ 4: Cho a,b,c là ba số dương và a2 +b2 +c2 =1

Tìm GTLN của M= (a+b+c)2 +a(2bc1) +b(2ca1) +c(2ab1)

Giải : 2bc ≤ b2 +c2 =1a2 <=>2bc 1 ≤ a2 <=> a(2bc1) ≤a3

Tương tự : b(2ca1) ≤ b3 ; c(2ab1) ≤ c3

Suy ra : M ≤ (a+b+c)2 (a3 +b3+c3)

Mặt khác : (a2 +b2+c2)2 =( a 3

c )2

≤ (a+b+c) (a3 +b3 +c3)

=> a3 +b3 +c3 ≥ 1

a b c <=> (a3 +b3 +c3 ) ≤  1

a b c

Và : (a+b+c)2 ≤ 3(a2 +b2 +c2) => a+b+c ≤ 3

Vậy M ≤ (a+b+c)3  1

a b c

Xét hàm số g(t) =t3 1

t với 0 < t ≤ 3 g’(t) =3t2+ 12

t > 0 Bảng biến thiên : t 0 3

g’(t) +

g(t) 8/ 3 ∞

=> g(t) ≤ g( 3 ) = 3 3  1

3= 8 3

Và M ≤ g(t) ≤ 8

3 Vậy GTLN của M bằng 8

3 khi a=b=c = 1

3

Ví dụ 5:Cho hai số thực dương thay đổi x, y thỏa mãn điều kiện 3x + y1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 1 1

  ( đề CĐ2010)

Giải : A = 1 1

x xy 

xxy

Vì 3x+y 1 <=> 0 < x+y  12x => 2

xy

2

1 2x

Với đk : 0 <x 1

2 ( vì 12x  0 ) Suy ra : A 

1

x+ 2

1 2x = f(x)

Đạo hàm : f ’(x) =  12

4 (1 2x) =

x (1 2x)

4x 1

x (1 2x)



f ’(x) =0 <=> 4x1=0 <=> x=1

4

Bảng biến thiên : t 0 1/4 1/2

f’(x)  0 + f(x) 8

CT

Suy ra : f(x)  8 với mọi x (0;1

2]

Vậy A  f(x) 8 MinA= 8 khi x=1

4=y

Ví dụ 6: Cho a  b >0 Chứng minh rằng: a

a

b 1 2 2



a b b

1 2 2



D2007)

Giả :BĐT cần chứng minh<=> a b

4  1   b a

4  1 <=> ln a b

4  1  ln b a

4  1

<=> b.ln(4a +1)  a.ln(4b +1) <=>

a

a





b

b

 (*)

Xét hàm số f(x) =

x

x

 với x > 0

Đạo hàm f’(x) =

x

x x

2

4 ln 4

x



2 x

4 x ln 4 (4 1) ln(4 1)



=

2 x

 < 0 => hàm số nghịch biến Từ a  b >0 suy ra f(a)  f(b) <=>

a

a





b

b

 ( đpcm)

Ví dụ 7: CM rằng với mọi số thực dương a,b,c thỏa mãn a 2  b 2  c 2  1,

ta có:

Giải : BĐT cần c/m <=>

2

1 a

2

1 b

2

1 c

3

<=> a(1a2) +b(1b2) +c(1c)2 ≤ 2 3

3

Ta có : f(t)= tt3 với t (0;1)

Đạo hàm : f’(t) = 13t2 ; f’(t) =0 <=> t= 1

3

Bảng biến thiên : t  1/ 3 0 1/ 3 1 + f’(t) 0 + + 0  

f(t) CĐ

Từ bảng biến thiên : f(t) ≤ f( 1

3 3

Do đó : a(1a2) ≤ 2

3 3; b(1b2)≤ 2

3 3; c(1c2)≤ 2

3 3

Cộng lại suy ra đpcm

Ví dụ 8: Cho x, y >0 và x+y=1 Tìm GTNN của : P= x

1 x + y

1 y

Giải : P= x

1 x + y

1 y = x

y + y

x =

xy



xy

Đặt t= x + y => xy=

2

2



Vì x < x ; y < y => t > 1

Mặt khác : (1 x +1 y)2 ≤ (12 +12) (x+y) =2 => t ≤ 2

Vậy P=

2

2

2

2





3 2

3t t





Đạo hàm : P’=

(3 3t )(t 1) 2t(3t t )

(t 1)

4

(t 1)

 <0 Bảng biến thiên : t 1 1 2 + P’    

P

=> P  P( 2 )= 2

Khi t= 2 => x=y = 2

2

Ví dụ 9: Cho a,b,c là ba số dương thỏa : a2 +b2 +c2 =1 Chứng minh :

a

b c + 2 b 2

c a + 2 c 2

a b ≥ 3 3

2 Giải : BĐT cần chứng minh <=>

2 3

a

aa +

2 3

b

b b +

2 3

c

c c ≥ 3 3

2 Xét hàm số : f(x) =xx3 với x  (0;1)

Đạo hàm f’(x) = 13x2

f’(x) =0 <=> x=  1

3

Bảng biến thiên : t  1/ 3 0 1/ 3 1 + f’(t) 0 + + 0  

f(t) CĐ

=> 0 < f(x) ≤ f( 1

3 3 => 1

f (x) 3 3

2 Suy ra :

2

3

a

aa  3 3

2 a2 ;

2 3

b

b b  3 3

2 b2 ;

2 3

c

c c  3 3

2 c2 Cộng

2

3

a

aa +

2 3

b

b b +

2 3

c

c c ≥ 3 3

2 (a2 +b2+c2)= 3 3

2 Dấu bằng xảy ra khi a=b=c = 1

3