Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức

Lý do chọn đề tài Bất đẳng thức BĐT trong các kì thi chọn HSG Tỉnh, HSG Quốc gia, HSG khu vực và Quốc tế có thể coi là “điểm nóng”, thường trở thành đề tài giành được nhiều lời giải nhấ

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Bất đẳng thức (BĐT) trong các kì thi chọn HSG Tỉnh, HSG Quốc gia, HSG khu vực và Quốc tế có thể coi là “điểm nóng”, thường trở thành đề tài giành được nhiều lời giải nhất và được thảo luận nhiều nhất trên các diễn đàn cũng như các tạp chí về Toán học

Cùng với BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes, BĐT Jensen thì đạo hàm cũng là một phần kiến thức quan trọng không thể thiếu trong nhiều bài toán đại số cũng như BĐT Nó thực sự là một công cụ hiệu quả và có ứng dụng rộng rãi trong giải toán, cũng là một phương pháp chuẩn mực nhất khi ta gặp phải các BĐT thông thường

Các tài liệu viết về BĐT hiện nay rất nhiều, tuy nhiên một số chuyên

đề viết riêng về việc vận dụng đạo hàm vào chứng minh BĐT và giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) có tính hệ thống

và tính phân loại cũng như tinh sát thực phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng HSG và ôn luyện cho học sinh thi Đại học và cao đẳng là rất cần thiết

Do vậy tôi chọn chuyên đề này nhằm phần nào đáp ứng được những yêu cầu trên cũng như góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng HSG của tỉnh nhà

2 Các nhiệm vụ của đề tài

Chuyên đề nghiên cứu và trình bày các nội dung sau:

Phần I: Các kiến thức cơ bản cần thiết

Phần II: Sử dụng đạo hàm vào giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Cauchy-Dạng 3: Khảo sát theo hàm số từng biến

3 Mở rộng một số bài toán thi vô địch Quốc tế

3 Mục đích của đề tài

Chuyên đề hệ thống hóa, phân loại toán và trình bày theo từng ý tưởng cũng như các kỹ năng vận dụng đạo hàm vào việc giải một lớp các bài toán

về chứng minh BĐT, tìm GTLN và GTNN cùng loại

Qua các ví dụ cụ thể của chuyên đề giúp cho người học nâng cao thêm về

“cái nhìn” định hướng phương pháp giải toán Đồng thời thông qua lời giải các bài toán đó giúp học sinh thấy được bản chất Toán học ẩn chứa trong nó Giúp cho học sinh hình thành được phương pháp giải toán chứng minh BĐT,

tìm GTLN và GTNN bằng đạo hàm, học sinh có được kỹ năng, kỹ xảo cần thiết nhất để nâng cao năng lực giải các bài toán này

Chuyên đề còn góp phần phát huy trí thông minh, tính sáng tạo, khả năng

tư duy linh hoạt, có được các suy luận logic, chính xác, tinh thần vượt khó

4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu về cơ sở lý luận có liên quan đến đề tài

- Nghiên cứu các dạng thức toán nhằm rút ra phương pháp giải

- Tích lũy kinh nghiệm thường xuyên trong quá trình giảng dạy bồi dưỡng

HSG và quá trình tự học, tự bồi dưỡng nghiên cứu của bản thân

5 Đối tượng nghiên cứu

- Các tài liệu: SGK, STK, các đề thi ĐH và HSG các cấp,…

- Học sinh trường THPT Chuyên Hưng Yên và học sinh các đội tuyển HSG

tỉnh, đội tuyển HSG Quốc gia

6 Những đóng góp mới của đề tài

- Về mặt lý luận, đề tài xây dựng hệ thống lý thuyết cần thiết và tư duy

phương pháp trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đồng thời, thông qua chuyên đề hình thành kỹ năng, kỹ xảo cho học sinh

B NỘI DUNG

I CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT

1 Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên [a; b]

*) Nếu f x( )    0, x  a b; thì f(x) đồng biến trên [a; b] và khi đó ta có

f x 

3 Định lý 3: (Điều kiện đủ để hàm số có cực trị)

Cho hàm số y = f(x) xác định trên [a; b] và x0 Trong một lân cận đủ bé 

của x0, nếu f x ( )0 thay đổi dấu khi x qua x0(có thể không tồn tại f x ( )0 ) thì f(x) đạt cực trị tại x0

*) Nếu f x ( )    0, x x0   ;x0 và f x ( )    0, x x x0 ; 0   thì x0 là điểm cực tiểu

*) Nếu f x ( )    0, x x0   ;x0 và f x ( )    0, x x x0 ; 0   thì x0 là điểm cực đại

4 Định lý 4: Giả sử y = f(x) xác định trên [a; b] và x0  a b; Trong một lân cận đủ bé  của x0, hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục, đồng thời 0

f x  và f ( )x  0 thì x0 là một điểm cực trị của hàm số

*) Nếu f x ( )0  0 và f ( )x  0 thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số

*) Nếu f x ( )0  0 và f ( )x  0 thì x0 là một điểm cực đại của hàm số

II ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1 Bất đẳng thức một biến số

1.1 Dạng 1: Khảo sát trực tiếp cực trị của hàm số để tìm tập giá trị của hàm số

Bài toán 1: ( ĐHBK Hà Nội, 1997)

Cho tam giác ABC có ba góc thỏa mãn A > B > C Tìm GTNN của hàm

(*

0 sin

Chú ý: Từ kết quả trên ta suy ra được phương trình

có đúng một nghiệm vì trên sin ;A  Hàm số f(x) đồng biến có f(sinA) < 0 ( vì 0 < sinA – sinB < sinA – sinC)

Bài toán 2: ( Thi HSG Quốc gia, 1992)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 ta có

Vậy f(x) nghịch biến [0; 1) nên f(x) < f(0) = 2,  x  0;1 (đpcm)

Bài toán 3: (ĐH An ninh, 1997)

Cho n là số lẻ lớn hơn 3 Chứng minh rằng với mọi x 0ta có

y’ + 0 -

Từ bảng biến thiên ta có f( )x  f(0) 1,   x 0 (đpcm)

Bài toán 4: (Bộ đề tuyển sinh Đại học)

Cho số nguyên dương n Chứng minh rằng

1 1

Vậy

2

2 1 (0;1)

(2 )

ax ( )

n n

Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số ( ) lnf x  x trên [2n; 2n+1] suy ra tồn tại c2 ;2n n1 thuộc sao cho ( ) (2 1) (2 )

Bài 3 (Toán học và tuổi trẻ)

Cho số nguyên dương n Chứng minh rằng

1

1

2ln 2(2 1)

trên 0; Hàm số đồng biến trên 0; suy ra ( )f x  f(0), đpcm

Bài 4: Cho x > 0 Chứng minh rằng

 f(x) đồng biến trên [a; b] thì f(x) > f(a) với mọi x > a

 f(x) nghịch biến trên [a; b] thì f(x) > f(b) với mọi x < b

Bài toán 5: Chứng minh rằng với mọi x 0ta có 3 sinx

2( ) sinx( ) 1 cos



2

Từ bảng biến thiên suy ra min ( ) 2f x   x 0

Bài toán 7: Cho a, b, x > 0 và a b Chứng minh rằng

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi x > 0 ta có

s inx t anx 1 s inx t anx 2

Nhận xét: Khi trong BĐT có chứa các loại hàm số khác nhau ta thường cô

lập mỗi loại hàm số để dễ xét dấu của đạo hàm, hoặc ta có thể đạo hàm liên tiếp để khử bớt một loại hàm số như trong bài toán 5

Cách 2: Theo bài 5 ta có 3 sinx

Nên hàm số f’(x) đồng biến trên [0; 1], suy ra phương trình f’(x) = 0 có nhiều nhất một nghiệm trên (0; 1)

 Nếu phương trình f’(x) = 0 vô nghiệm thì f(x) đơn điệu trên [0; 1], thì

Bài toán 11: (VMO – 2003, Bảng B)

Cho hàm số f xác định trên tập số thực, lấy giá trị trên R và thỏa mãn điều

cot sin 2 cos 2 , 0;

1 0;

2 Bất đẳng thức có hai hay nhiều biến số

Để chứng minh BĐT có chứa nhiều biến số bằng phương pháp đạo hàm thì điều quan trọng nhất là chúng ta đưa được về một biến và khảo sát hàm số theo biến đó

21

Lập bảng biến thiên của f(x) trên 0;

Nhận xét: Trong BĐT trên A, B, C bình đẳng nên ta dễ dàng kiểm tra được

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi



0 Suy ra f x    0, x R f a  f b  f c 0

Nhận xét: Các bạn thử nghĩ xem tại sao không xét hàm số

nên f là hàm nghịch biến trên 0; Do đó f a  f b  (đpcm)

Nhận xét: Trong bài toán trên ta đã sử dụng kêt quả:

Cho hàm số f(x) đồng biến trên (a; b) Khi đó với  ,  a b; ta có

Bài toán 18: (Đại học khối A, 2004)

Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện

f t  f 

  nên f(t) đồng biến trên

10;

suy ra f(x) Trên mỗi khoảng ( ; 3) và 1;) do đó f(u)f(1);  u 1

Còn 0 < f(-3) < f(u) <1, u > -3, từ đó ta có đpcm

Bài toán 20: (VMO, 2004)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn  3

32

x y z  xyz Tìm GTLN và GTNN của biểu thức

128

P và max 383 165 5

256

Đạt được khi (x, y, z) là các hoán vị của (2, 1, 1) và 3 5,1 5 1, 5

CMR : x  y z xy yzzx (1) Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào

2.2 Dạng 2: Kết hợp với các BĐT khác như BĐT AM-GM, BĐT Schwarz, BĐT Chebyshes,…

Cauchy-Đối với các bài toán phức tạp, ta cần phối hợp với phương pháp chặn khoảng các biến và các BĐT phụ khác như BĐT AM-GM, BĐT Cauchy-Schwarz, BĐT Chebyshes,… hoặc các đánh giá khác , hoặc phối hợp với các phương pháp khác như phương pháp tọa độ,

Ta thường ước lượng T(x, y, z, ) bởi một hàm số chỉ phụ thuộc vào một biến số, từ đó khảo sát hàm số này để đạt được mục đích

Bài toán 21: Cho các số x y z, ,  0;1 thỏa mãn xyz 1 x1y1z

x   y z

Bài toán 22: ( Tuyển sinh Đại học Vinh, 2001)

Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì

T  a  b  c  abc Do vai trò của a, b, c bình đẳng nên

không giảm tổng quát ta có thể giả sử 0 a b c  

Bài toán 23: (Tuyển sinh Đại học khối B, 2006)

Cho x, y là các số thực dương thay đổi Tìm GTNN của biểu thức

Bài toán 24: (Tuyển sinh Đại học khối A, 2011)

Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [1; 4] và x y x,  z Tìm GTNN của biểu thức

ab

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b hoặc ab = 1

Áp dụng (*) với x, y thuộc đoạn [1; 4] và x y x, z ta có

y   , khi đó

2 2

2

t P

Do đó f’(a) = 0 có nghiệm duy nhất 2  

1;011

a    Mà

2

011

  nên f(a) đạt GTLN tại

211

13

Bài 3: (Đại học xây dựng Hà Nội, 2001)

Cho các số x, y, z thay đổi trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn 3

2

x  y z Tìm GTLN và GTNN của  2 2 2

2.3 Dạng 3: Khảo sát hàm số theo từng biến

Đối với các BĐT nhiều biến, ta có thể chọn một biến là biến số biến thiên

và cố định các biến còn lại, bài toán lúc này trở thành BĐT một biến

Bài toán 27: Cho0a b, 1 Chứng minh rằng

tan tana btanab

Giải: Giả sử a b Đặt f x tan tanb xtanbx với b x 1 Ta có

1

66

Vì x0 nên x1 0;1 Xét hai trường hợp

 Nếu x2 0;1  f x   0, x  0;1 Suy ra f(x) giảm trên [0; 1] Do

2 2

3; ;3

f b 

  + -

13; ;3

f  b 

 

85

Từ bảng biến thiên suy ra   1 8

Bài toán 32: (Đề thi HSG THPT toàn quốc bảng A, 1999)

Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc + a + c = b Tìm GTLN của biểu thức

c  va qua c thì g’(c) đổi dấu từ dương 0

sang âm nên g(c ) là giá trị cực đại, suy ra 0 1 10

38

Bài toán 33: (VMO, 2001)

Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện

215

1

35

xz yz

Do đó g(z) là hàm giảm và     2

45

Bài toán 32: (Đề thi chọn ĐTQG, 2001)

Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn 21ab + 2bc + 8ac 12 Tìm

x y

 (1) Suy ra

x y

 và y là tham số dương Ta có

   và qua x thì f’(x) đổi dấu từ âm sang dương nên 0

f(x) đạt cực tiểu tại x nên 0

52

Nhận xét: Phương pháp khảo sát lần lượt từng biến cho thấy đường lối giải

rõ ràng hơn so với cách vận dụng BĐT, đồng thời giải hàng loạt các bài toán tìm cực trị của hàm nhiều biến khác

Bài 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác (có thể suy biến) Đặt

3 Mở rộng một số bài toán thi vô địch Quốc tế

Trong kì thi IMO 2004 có bài toán sau:

Cho n là một số tự nhiên lớn hơn 2 và n số thực dương thỏa mãn

Giả sử n và k là hai số tự nhiên thỏa mãn n k 2 Tìm số thực lớn nhất g(n, k) có tính chất: bất kì k trong n số thực dương x x1, 2, ,x sẽ là n

độ dài k cạnh của một đa giác lồi nếu

C KẾT LUẬN

Mỗi bài toán có một đặc trưng riêng, có những bài toán mà đặc thù của nó

là cơ sở để các chứng minh mang tính kỹ thuật trở nên hữu dụng Thường là các chứng minh đó rất hấp dẫn bởi tính đơn giản của nó Tuy nhiên, việc tìm

ra các chứng minh đẹp đẽ như vậy trong đa số trường hợp là rất mơ hồ Trái lại, phương pháp sử dụng đạo hàm có vẻ cồng kềnh, nặng nề về tính toán có thể lại là con đường dễ thực hiện nhất

Chuyên đề đã hệ thống và phân loại các bài toán có thể áp dụng đạo hàm vào giải, đồng thời thông qua các ví dụ cụ thể giúp học sinh khi đứng trước bài toán liên quan đến đạo hàm biết cách vận dụng

Các bài toán trong chuyên đề đã được chọn lọc kĩ càng, khá đa dạng và phong phú Thông qua đó giúp học sinh hình thành được phương pháp giải toán khi gặp các bài toán cùng loại

Chuyên đề này đã được đưa vào giảng dạy cho đội tuyển HSG Quốc gia của tỉnh Hưng Yên từ năm 2007 đến nay Và đã gây được sự hứng thú, say

mê học tập, kích thích được sự ham hiểu biết, tìm tòi sáng tạo của học sinh Kết quả là trong các năm gần đây các đội tuyển Toán của tỉnh ta đều đạt giải HSG Quốc gia như: 3 giải năm 2009, 3 giải năm 2010, 5 giải năm 2011, 6 giải năm 2012, 8 giải 2013

Chuyên đề “ Phương pháp sử dụng đạo hàm chứng minh BĐT” tôi viết với tinh thần trách nhiệm cao, với mong muốn phần nào giúp các thầy cô dạy Toán, các em THPT, các em trong ĐTQG có tài liệu tham khảo và học tập, cũng hi vọng các thầy cô giáo và các em tìm thấy nhiều bổ ích và lí thú ở chuyên đề Tuy nhiên chuyên đề chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự động viên, đóng góp chân thành của quý thầy cô và các em học để được ngày càng hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Vẻ đẹp Bất đẳng thức trong các kì thi Olympic Toán học, Trần Phương,

NXB ĐHQG Hà Nội, 2010

[2] Những viên kim cương trong bất đẳng thức Toán học, Trần Phương,

2009

[3] Sáng tạo bất đẳng thức, Phạm Kim Hùng, 2006

[4] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ các số 298, 299, năm 2002

[5] Các đề thi HSG Quốc gia, thi tuyển sinh Đại học