Su dung dao ham chung minh BDT

Nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường đối với các khối lớp là nhiệm vụ cơ bản của mỗi giáo viên, đặc biệt là vấn đề chất lượng đối với học sinh lớp 12.. Tôi cho rằng người thầy p

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BĐT

Phần I Đặt vấn đề

A Lyù do chọn đề tài.

Nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà trường đối với các khối lớp là nhiệm

vụ cơ bản của mỗi giáo viên, đặc biệt là vấn đề chất lượng đối với học sinh lớp 12

Là giáo viên tham gia giảng dạy bộ môn toán lớp 12, trong những năm qua tôi luôn trăn trở là làm thế nào để nâng cao chất lượng bộ môn Tôi cho rằng người thầy phải nâng cao chất lượng giờ lên lớp, chú trọng đổi mới phương pháp dạy học, tích cực kiểm tra và theo dõi sát sao việc học tập của học sinh Từ đó người thầy uốn nắn, giải đáp vướng mắc cho các em và điều chỉnh phương pháp dạy học sao cho phù hợp nhất Đồng thời người thầy phải thường xuyên ôn tập hệ thống kiến thức, phân loại bài tập, hình thành phương pháp và kỹ năng giải toán cho các em học sinh

Trong các môn học ở trường phổ thông cùng với môn Văn-Tiếng việt, môn Toán có vị trí rất quan trọng Toán học, với tư cách là môn khoa học nghiên cứu một

số mặt của thế giới thực Toán học có hệ thống kiến thức cơ bản và phương pháp nhận thức cần thiết cho đời sống sinh hoạt và lao động Nó cũng là công cụ cần thiết cho các môn khoa học khác và để tiếp tục nhận thức thế giới xum quanh, đồng thời giúp chúng ta hoạt động có hiệu quả trong thực tiễn đời sống Toán học có nhiều tác dụng trong việc phát triển trí thông minh, tư duy động lập, linh hoạt, sáng tạo trong mọi lĩnh vực hoạt động của con người Toán học còn góp phần giáo dục y chí và đức tính tốt như: cần cù, nhẫn nại, tinh thần vượt khó,

Ứng dụng đạo hàm là một mảng kiến thức rất quan trọng trong chương trình toán học phổ thông Tuy nhiên, thời gian có hạn trước hết tôi chỉ trình bày chuyên đề: “Ứng dụng đạo hàm chứng minh Bất đẳng thức” Nhằm giúp các em học sinh lớp 12 củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng ứng dụng đạo hàm trong việc giải các bài toán sơ cấp, góp phần nâng cao chất lượng bộ môn cũng như chất lượng dạy và học trong nhà trường phổ thông

B Phạm vị ứng dụng.

Đề tài được áp dụng trong chương trình toán lớp 12, Ôn thi Đại học, Cao đẳng

và Bồi dưỡng học sinh giỏi toán

Các bài tập ứng dụng đạo hàm rất đa dạng, phong phú, nó đòi hỏi học sinh phải nắm chăc các kiến thức cơ bản và có kỹ năng tổng hợp nhất định Cho nên ngay

từ đầu giáo viên ôn tập ngay cho học sinh các bài tập tổng hợp thì nhiều em khó có thể tiếp thu được bài học, dẫn đến kết quả bài học thấp

Vấn đề đặt ra là người thầy phải dạy các bài tập liên quan đến ứng dụng của đạo hàm để chứng minh BĐT như thế nào để từng đối tượng học sinh có khả năng tiếp thu được, góp phần nâng cao chất lượng cho học sinh khá, giỏi đạt kết quả cao

Sau đây tôi xin đưa ra một số nội dung mà tôi đã thực hiện, áp dụng và đạt hiệu quả nhất định trong giảng dạy

Phần II Biện pháp thực hiện.

Để học sinh làm được các bài tập về ứng dụng đạo hàm, trước tiên giáo viên phải giúp học sinh nắm được các kiến thức cơ bản về đạo hàm, sự đồng biến, nghịch biến, cực trị và GTLN, GTNN của hàm số

Phần III Phân loại bài tập và phương pháp giải.

Dạng I Hàm số f(x) cho dưới dạng tường minh.

Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức f(x)>0 (hoặc f(x)≥0), ∀x∈K

Phương pháp:

- Bước 1: Khảo sát hàm số y=f(x) trên tập K

- Bước 2: Dựa vào bảng biến thiên, suy ra f(x)>0 (hoặc f(x)≥0), ∀x∈K

Bài tập mẫu

Lời giải

a) Xét hàm số f x( ) = − − ∀ >e x x 1, x 0, ta có:

f x = − > ∀ >e x ⇒ f(x) đồng biến trên khoảng (0; +∞)

⇒f(x)>f(0)=0, ∀x>0 ⇒e x− − > ∀ >x 1 0, x 0

b) Xét hàm số f x( ) ln(1 = + − ∀ >x) x x, 0, ta có:

1

x

= − = − < ∀ >

+ + ⇒ f(x) nghịch biến trên khoảng (0; +∞)

⇒f(x)<f(0)=0, ∀x>0 ⇒ln(1 + − < ∀ >x) x 0, x 0.

c) Xét hàm số ( ) osx+x2 1, 0

2

f x =c − ∀ >x , ta có:

f x = − ⇒f x''( ) 1 = −cosx>0, x>0 ∀ ⇒f’(x) đồng biến trên khoảng (0; +∞)

⇒f’(x)>f’(0)=0∀x>0⇒f(x) đồng biến trên khoảng (0; +∞)

⇒f(x)>f(0)=0, ∀x>0⇒ osx+x2 1, 0

2

c − ∀ >x

d) Hs làm tương tự

Bài 2 Chứng minh rằng:

2

∀ ∈ thì sinx+tanx>2x.

b) Cho tam giác ABC nhọn, ta có: sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>2π

Lời giải

a) Xét hàm số f(x)=sinx+tanx-2x, (0; )

2

∀ ∈ , ta có:

Bài 1 Chứng minh rằng:

a) ex>1+x, ∀ x>0

c) osx>1-x2

2

c , ∀ x>0

b) ln(1+x)<x, ∀ x>0 d) sinx<x<tanx, ∀ x (0; )

2

π

∈

c

π

−

khoảng (0;π/2)⇒f(x)>f(0)=0, ∀x ∈(0;π/2)⇒ (0; )

2

∀ ∈ , sinx+tanx>2x.

b) Do tam giác ABC nhọn theo chứng minh trên, ta có:

sinA+tanA>A

sinB+tanB>B

sinC+tanC>C

Cộng vế theo vế, ta được: sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>A+B+C=2π

Bài 3 Chứng minh rằng: ∀ x>0, 1 2

2

e > + +x , (ĐH Kiến trúc –HN, 1998)

Lời giải

2

x x

f x =e − −x − ∀ >x , ta có:

f x = − −e x ⇒f x"( ) = − ∀ >e x 1, x 0⇒f’(x) đồng biến trên (0; +∞)⇒f’(x)>f(0)=0

⇒f(x) đồng biến trên (0; +∞)⇒f(x)>f(0)=0, ∀x>0⇒ 1 2

2

e > + +x , ∀ x>0

Bài 4 Chứng minh rằng

2

2 e

x x

x

−

+

Lời giải.

a) Hs tự chứng minh

b) -x e-x

1+x

≤ , ∀x∈[0;1] (Hs tự giải)

Ta chứng minh: e-x 1 4 , x [0; 1]

x x

x

Theo kết quả trên, ta có

x

Ta sẽ chứng minh:

Vậy, BĐT đúng

Bài 5

a) Chứng minh rằng: ∀α>1 (hoặc α<0), ∀ x>0 thì xα≥αx-α+1

(BĐT Bec-nu-li)

3 3 3

b + c + a ≥ + +b c a

Lời giải

a) Xét hàm số f(x)=xα-αx+α-1, ∀ x>0, ta có

f’(x)= αxα -1-α=α( xα -1-1)>0⇔α>1, x>1 hoặc α<0, x<1

Bảng biến thiên

x 0 1 +∞

f’(x) - 0 +

f(x)

f(1)

Do đó: f(x)>f(1)=0, ∀x>0⇒∀α>1 (hoặc α<0) thì xα≥αx-α+1, ∀ x>0

a) Áp dụng kết quả, ta có:

3 3

2 3

3

3

3

3

Cộng vế theo vế ta được: 33 33 33 3( 1)

2

b + c + a ≥ b+ + −c a

b + + − ≥ + + ⇔c a b c a b+ +c a ≥ .

b + +c a ≥ b c a =

Suy ra Đpcm

Bài tập tự luyện

Bài 6* Chứng minh rằng mọi tam giác ABC ta đều có:

2

Bài 7 Chứng minh rằng: 1, ln 2( 1)

1

x

x

−

∀ > >

+

Bài 8 Chứng minh rằng: 0, 1, ln 1

1

x

∀ > ≠ <

−

Bài 9 Chứng minh rằng: ∀ ≥x 1, ln(x2 + 2x+ < 2) ln(x2 + + 1) 1

Bài 10 Cho hàm số f x( ) =x n+ − (c x) ,n c> 0, n∈ ¥ ,n> 1

a) Khảo sát hàm số f(x)

b) Chứng minh rằng: ( ) , 0, \ 0{ }

n n n

Bài 11 Chứng minh rằng: 2 +2

Bài 12 Chứng minh rằng: os x+sin x 2 , n n 2-nn (0; ), , 2

2

c ≥ ∀ ∈x π n∈¥ n>

Bài 13 Chứng mih rằng: log (x x+ > 1) log (y y+ 1), (1 < <x y)

Bài 14 Chứng minh rằng: ∀ >t 0, lnt < t

Bài 15 Chứng minh rằng: e2x>2(x2+x), ∀ x>0

Bài 16 Chứng minh rằng: 2

2

4

Dạng II Hàm số f(x) không cho dạng tường minh.

Phương pháp:

- Bước 1 Biến đổi bất đẳng thức đưa về dạng f(t)>0 (hoặc f(t)≥0 ) với t=u(x) trên tập

K

- Bước 2 Khảo sát hàm số f(t) trên tập K

- Bước 3 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra f(t)>0 (hoặc f(t)≥0), ∀x∈K

Bài tập mẫu

Bài 17 Chứng minh rằng: 2 2sin 2 t anx 232 1, (0; )

2

x

Lời giải

Áp dụng BĐT Cosi, ta có: 2sin t anx 2sin t anx sinx+ t anx+11

2

Ta chứng minh: sinx+ t anx+1>1 3 1 sinx+ t anx>1 3 , (0; )

π

Xét hàm số

3 3

x

π

π

−

⇒f(x) đồng biến trên (0; π2

)⇒f(x)>f(0)=0, ∀x∈(0; π2

π

Bài 18 Cho tam giác ABC có A≤B≤C<900 Chứng minh: 2cos3 4cos 2 1 2

osC

c

(ĐH Mỏ, 2000)

Lời giải

2 osC

BDT

c

Đặt t=cosC, do 600≤C<900 nên 0<t=cosC≤1

BĐT⇔8t3-8t2-8t+5≥0, (0<t≤12)

Xét hàm số f(t)=8t3-8t2-8t+5, (0<t≤12)

f’(t)=24t2-16t-8=8(3t2-2t-1)

Bảng biến thiên

t 0 1

2

-f(t)

5

f(1

2)

Do đó: f(t)≥f(1

2)=0⇒BĐT được chứng minh

Bài 19 Chứng minh rằng: 4 sinx + 2cosx ≥ 3

Lời giải

Do 0 ≤ sinx , osx 1c ≤ nên sinx ≥ sin x, osx 2 c ≥cos x 2 , ta có: 4 s inx + 2cosx ≥ 4 s in x 2 + 2cos x 2

Ta chứng minh: 4 s in x 2 + 2cos x 2 ≥ 3

t

Xét hàm số f(t)=t3-3t+2, (1≤t≤2)

f’(t)=3(t-1)≥0, ∀t∈[1; 2]⇒f(t) đồng biến trên đoạn [1; 2]⇒f(t) ≥f(1)=0,

∀t∈[1; 2]⇒BĐT được chứng minh

Bài 20 Chứng minh rằng:

a) n≥ 3,n n+1 ≥ (n+ 1)n, (ĐH An ninh, 2000)

b) ∀ ≥n 2, ln 2n> ln(n− 1) ln(n+ 1)

Lời giải

a) Lấy ln hai vế ta được: (n+1)lnn≥nln(n+1)⇔lnn n≥ln(n n+11)

+

Xét hàm số f t( ) lnt, (t 3)

t

2

1 ln

t

−

= < ∀ ≥

⇒f(t) nghịch biến trên [3; +∞)⇒f(n+1)<f(n), ∀n≥3⇒lnn n≥ln(n n+11)

+ , ∀n≥3 (Đpcm)

n

+

−

Xét hàm số ( ) ln( 1),( 2)

ln

t

t

+

Hs tự giải tương tự…

Bài 21 Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh:

Lời giải

Xét hàm số ( ) osxtanx-x, x (0; )

2

'( ) sinx tanx+ 1 3 -1>0, x (0; )

2

⇒f(x) đồng biến trên khoảng (0;

2

π

2

Do đó:

osA t anA>A; osB t anB>B; osC t anC>C

⇒

⇒Đpcm

Bài 22 Cho

2 2

x y

>





 + <

 Chứng minh rằng:

ysinx os(x+y)<

xsiny

c

Lời giải

< + < ⇔ < + < − < ⇒ − =

Ta chứng minh: siny<ysinx sin2 ysinx<0

2

∀ ∈

Xét hàm số

2 2

'(x)=sin y-ycosx

f

Ta biết: siny< y, ∀ > ⇒y 0 sin 2y > y2 > y

Do đó:

2 '(x)=sin y-ycosx>y(1-cosx)>0, x (0; )

2

⇒f(x) đồng biến trên (0;

2

π

)

2

Ta chứng minh:

2

g y =π y y− < ∀ ∈y π

0

2

2

π

Bảng biến thiên:

y 0 y0

4

π

g’(y) - 0 +

g(y) 0 0

g(y0)

Do đó: ( ) ax{g(0);g( )}=0 ( ) 0, (0; )

g y <M π ⇔ g y < ∀ ∈y π

(Đpcm)

Bài 23 Cho α≤3 Chứng minh rằng: sinx osx, x (0; )

α

π

  > ∀ ∈

(HSG Toán 12, Đăk Lăk, 2009)

Lời giải

Bổ đề 1: sinx<x sinx 1

x

⇒ < , ∀x>0

Bổ đề 2: sinx>x-x3, 0

6 ∀ >x

- Hs tự chứng minh

Trước hết ta chứng minh BĐT đúng với α=3, tức là:

3 sinx

osx, x (0; )

π

  > ∀ ∈

Thật vậy

Theo bổ đề ta có:

Ta chứng minh:

3

'( ) sinx ( ) 0, (0; )

x

π π

⇒f(x) đồng biến trên (0;

2

π

)⇒f(x)>f(0)=0, ∀x∈(0;

2

π

)

π

  > ∀ ∈

Với α<3, vì sinx sinx sinx 3

α

Vậy, BĐT đúng (Đpcm)

Bài 24 Cho , , 0

1

x y z

x y z

>



 + + =

7 2

27

xy yz zx+ + − xyz≤

(IMO Quốc tế lần thứ 25)

Lời giải

Không mất tính tổng quát, ta giả thiết: 1 1

3

x y z≤ ≤ ⇒ ≤ <z

1

4

z

f z = − z = ⇔ =z

Bảng biến thiên

z 0 1

3

f’(z) 0 + 0

f(z)

7

27

0

f z ≤ ⇒xy yz zx+ + − xyz≤ .

Bài tập tự luyện

Bài 25* Cho các số α, β thoả mãn β>α>0 Chứng minh rằng:

(15α +17 )α α1 >(15β +17 )β β1

(HSG Toán 12, Đăk Lăk, 2004)

Bài 26 Cho a.b≠0 Chứng minh rằng a44 b44 (a22 b22) a b 2

b +a − b +a + + ≥ −b a

Bài 27* Cho 2 2 2

1

x y

>



 + + =

 Chứng minh rằng:

3 3 )

2

a

y z + x z + x y ≥

+ + + (ĐH Đà Nẵng, Khối A, 2001)

{ }

2

n

(Tạp chí Toán học &Tuổi trẻ)

Bài 28 Cho x≥0, y≥0 và x+y=1 Chứng minh rằng: 2008x+2008y≤2009

(HSG Toán 12, Đăk Lăk, 2009)

Bài 29* Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: A.cosB+sinAcosC>0

Bài 30* Chứng minh rằng: Mọi tam giác ABC đều có

Bài 31 Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng:

A+ B+ C< π + A B C

Bài 32 Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng:

Bài 33 Cho tam giác ABC nhọn, chứng minh:

tanA+ tanB+ tanC+ 6(sinA+ sinB+ sin ) 12 3C ≥

Bài 34* Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2

π π

(HSG Toán 12, Hà Tĩnh, 1999)

Bài 35* Chứng minh bất đẳng thức: 1 ln2002 1

2002 < 2001 < 2001

(HSG Toán 12, Đăk Lăk, 2003)

Bài 36*.(Bất đẳng thức Nesbitt).Chứng minh rằng: 3, , , 0

2

a b c

b c a c a b+ + ≥ ∀ >

Phần III Kết luận

Trên đây là đề tài tôi đã áp dụng trong quá trình giảng dạy Ôn thi Đại học, Cao đẳng, Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 12 Hệ thống phân dạng bài tập đưa đến cho học sinh từng loại bài tập từ dễ đến khó, giúp học sinh hình thành tốt kỹ năng ở từng dạng bài tập

Qua việc áp dụng thực tế, bản thân tôi cũng rút ra một số kinh nghiệm nhất định Đó là giáo viên phải bám sát học sinh, tìm hiểu thông tin ngược từ phía học sinh Để có phương pháp giảng dạy tốt người thầy phải phát huy tính chủ động, tích cực sáng tạo của học sinh Từ đó các em có điều kiện, khả năng nhìn nhận, bao quát toàn diện, định hướng đúng đắn và nắm kiến thức sâu sắc Làm như thế chúng ta mới góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong trường THPT

Đề tài này của tôi có thể có nhiều tác giả đã dề cập tới khía cạnh này hay khía cạnh khác, cho nên không có sự sáng tạo hoàn toàn mà chỉ mang tính hệ thống dựa trên cơ sở các kiến thức đã biết

Trong quá trình nghiên cứu, sưu tầm tài liệu tôi đã nhận được sự cộng tác, đóng góp nhiệt tình của các đồng nghiệp, đặc biệt là sự quan tâm của Ban giám hiệu Nhà trường đã giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này Chắc chắn đề tài của tôi không thể tránh khỏi những hạn chế, tôi mong được sự đống góp ‎yù ‎kiến của các đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn!

Lăk, ngày 12 tháng 03 năm 2009

Người thực hiện

Dương Văn Đạt