skkn ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức, giải các bài toán cực trị, bài toán điều kiện về nghiệm của phương trình, bất phương trình

THÔNG TIN CHUNG: Họ và tên tác giả sáng kiến: Tô Minh Hải Ngày, tháng, năm sinh: 26 tháng 08 năm 1961 Đơn vị công tác: Trường THPT Trưng Vương Trình độ chuyên môn nghiệp vụ: Đại học Sư p

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

MẪU BÁO CÁOYÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN CẤP TỈNH HOẶC CƠ SỞ

I THÔNG TIN CHUNG:

Họ và tên tác giả sáng kiến: Tô Minh Hải

Ngày, tháng, năm sinh: 26 tháng 08 năm 1961

Đơn vị công tác: Trường THPT Trưng Vương

Trình độ chuyên môn nghiệp vụ: Đại học Sư phạm Toán

Quyền hạn, nhiệm vụ được giao hoặc đảm nhiệm: Phó hiệu trưởng

tự tin sử dụng công cụ đắc lực này trong giải toán vì:

Đạo hàm là phần kiến thức mới với học sinh, gắn liền với toán học hiện đại,học sinh bắt đầu được làm quen ở cuối chương trình lớp 11 Trong khi đó từ cấpTrung học cơ sở đến cấp THPT học sinh đã được tiếp xúc với rất nhiều bài toán vềgiải PT, HPT, BPT, HBPT; tìm GTLN, GTNN của hàm số; chứng minh bất đẳngthức; các bài toán chứa tham số và đã quen sử dụng các phương pháp giải toán đại

số kinh điển để giải

Sách giáo khoa viết về ứng dụng của đạo hàm không nhiều và đa số theochương trình cũ do đó học sinh không nhận diện được các dạng toán và chưa đượchướng dẫn một cách hệ thống phương pháp để giải quyết bài toán trọn vẹn

Số lượng bài toán có thuộc các dạng toán nêu trên xuất hiện ngày càng nhiềutrong các đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng và học sinh giỏi những năm gầnđây và phương pháp sử dụng để giải chủ yếu là sử dụng phương pháp ứng dụng củađạo hàm.

2 Nội dung sáng kiến đề nghị công nhận:

+ Mục đích của sáng kiến : giúp cho học sinh biết phương pháp sử dụng đạo hàm

để giải các bài toán về : chứng minh bất đẳng thức, giải các bài toán cực trị, bàitoán điều kiện về nghiệm của phương trình, bất phương trình

+ Nội dung sáng kiến được chia thành ba chuyên đề : ứng dụng đạo hàm để tìmGTLN, GTNN của hàm số, ứng dụng đạo hàm để chứng minh BĐT, ứng dụng đạohàm để giải PT, HPT, BPT, HBPT

3 Khả năng áp dụng của sáng kiến:

- Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán chứng minh bất đẳng thức, cực trị củahàm số, bài toán giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, hệ bấtphương trình

- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ cấp trong chương trình THPT

- Thực hiện đề tài trong các giờ bài tập của học sinh lớp 12

- Các biện pháp thực hiện:

Bước 1: Hệ thống hóa kiến thức.

Bước 2: Đưa ra một số ví dụ điển hình.

Bước 3: Rèn luyện kỹ năng giải các bài tập ứng dụng cho học sinh thông qua một

số bài tập bổ sung nâng cao Gợi mở cho học sinh những hướng phát triển, mở rộng

- Kết quả thực hiện : Trong thực tiễn giảng dạy, tôi đã giúp học sinh hệ thống

dạng toán và phương pháp giải theo các chuyên đề

4 Phạm vi áp dụng của sáng kiến : Tổ toán trường THPT và học sinh THPT.

5 Hiệu quả, lợi ích thu được do áp dụng sáng kiến :

- Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ độngsáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học

hợp tác; rèn kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tễn; tác động đến tình cảm, đemlại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh.

- Quá trình dạy học với các nhiệm vụ cơ bản là hình thành tri thức, rèn luyện các

kỹ năng hoạt động nhận thức, hình thành thái độ tích cực… được xây dựng trên quátrình hoạt động thống nhất giữa thầy và trò, trò và trò, tính tự giác, tích cực tổ chức,

tự điều khiển hoạt động học nhằm thực hiện tốt các nhiệm vụ đã được đề ra

- Sau khi học xong các chuyên đề ứng dụng chung của đạo hàm, học sinh tự tin và

có thêm kỹ năng làm các bài toán về cực trị của hàm số, về giải phương trình, hệphương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình

Tôi cam đoan những nội dung trong báo cáo Nếu có gian dối hoặc không đúng

sự thật trong báo cáo, xin chịu hoàn toàn trách nhiệm theo quy định của pháp luật./

Thủ trưởng đơn vị xác nhận, đề nghị Văn Lâm, ngày 24 tháng 3 năm 2014

Người báo cáo yêu cầu công nhận sáng kiến

TÔ MINH HẢI

B NỘI DUNGCHUYÊN ĐỀ I:

Theo đó GTLN, GTNN của hàm số có thể không tồn tại

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số học sinh thường đã được làm quen vớimột số phương pháp như:

- Phương pháp sử dụng các BĐT

- Phương pháp tam thức bậc hai

- Phương pháp sử dụng tập giá trị của hàm số

Đó là những phương pháp đại số thông thường, tuy nhiên ta có thể sử dụngmột phương pháp khá hiệu quả là sử dụng đạo hàm

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên đoạn [a, b] với y = f (x) làhàm số liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trong khoảng (a, b) ta thực hiện theocác bước như sau:

Bước 1: Tính đạo hàm y’ rồi tìm những giá trị của biến số trong khoảng (a,b)

làm cho y’ = 0 Giả sử ta tìm được các nghiệm là x1, x2…

Bước 2: Tính các giá trị f(a), f(b), f(x1), f(x2)…

3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên khoảng.

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng ta thực hiện theo cácbước như sau:

Bước 1: Tìm miền xác định.

Bước 2: Tính đạo hàm y’, sau đó giải phương trình y’ = 0

Bước 3: Lập bảng biến thiên của hàm số (thông thường trong trường hợp

hàm số không đơn điệu trên tập cần tìm)

Bước 4: Từ bảng biến thiên của hàm số ta kết luận được GTLN, GTNN

Nên hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ T = 2

Do đó ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một chu kỳ là đoạn 0 ,2

Ta có y’ = 20 sinx cosx (sin18 x– cos18x)

cos x = 0 x = 2

Do đó y’ = 0  sin x = 0  x = 0

sin x = cos x x = 4Tính giá trị y(0) = 1; y 4 = 2 9

cos 2 1 )

cos 2 (

sin ) cos 2 ( cos

x

x x

x x

cos 2 1

2



x x

2

 x = 1

a x

2 2

a a

2 2

a a

f

a + 1

Từ bảng biến thiên suy ra:

f (x)  f (a) = a + 1 với x = a  (0 ; 1) thì Minf (x) = a + 1

II Hàm hai biến.

Biến đổi giả thiết và biểu thức cần tìm GTLN, GTNN để tìm mối quan hệgiữa chúng rồi tìm cách đặt ẩn phụ hợp lý, đưa biểu thức đã cho về hàm một biến

để khảo sát

1 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1:

Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 Tìm GTLN

và GTNN của biểu thức

S = (4x2 + 3y) (4y2 + 3x) + 25 xyPhân tích:

Từ giả thiết x + y = 1 có thể đưa bài toán về một ẩn không?

Khai triển biểu thức S cố gắng làm xuất hiện x + y để sử dụng giả thiết

Chú ý các hằng đẳng thức:

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy

x3 + y3 = (x + y) (x2 – xy + y2)Sau khi khai triển và thế vào x + y = 1, ta có S = 16x2y2 – 2xy + 12

Vậy đến đây ta có thể nghĩ đến việc có thể đưa S về hàm một biến số nếu tađặt t = xy

Cần chặn biến t bằng cách sử dụng bất đẳng thức: 0  xy 

4

) (x  y 2

4

1

; 0 4

1

; 0

x + y = 1Giá trị lớn nhất của S bằng 25 khi  (x : y) =  1 

; 1

; 4 3 2

Giá trị nhỏ nhất của S bằng 19116 khi 

; 4 3 2

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1Với x, y là các số thỏa mãn điều kiện: (x+y)3 + 4xy  2

Và (x+y)2  4xy Khi đó điều kiện bài toán trở thành: x + y  1

Ta biến đổi được A như sau:

x

(do x4 + y4  )

2

) (x 2 y2 2

Hay A 

4

9

(x2 + y2)2 - 2(x2 + y2) + 1

Vì vậy ta có thể nghĩa đến việt đưa A về hàm một biến bằng cách đặt t = x2+y2

Tìm điều kiện của biến t ta sử dụng bất đẳng thức x2 + y2 

2

) (x  y 2

Lời giải:

Ta luôn có kết quả: (x+y)2  4xy, từ đó ta có:

(x+y)3 + 4xy  2  (x+y)3 + (x+y)2  (x+y)3 + 4xy  2

2

) (x 2 y2 2

Hay A  49 (x2 + y2)2 - 2(x2 + y2) + 1

Vì x2+ y2 

2

) (x  y 2 (do x + y  1) nên x2 + y2 

2 1

16 9

Vậy min f (t) = f( )

2

1

= 169 đạt được khi t = 21Suy ra A  169 Mặt khác ta dễ thấy x = y = 21 thì A = 169

Kết luận: min A = 169 khi x = y = 21 và không có giá trị lớn nhất

y xy

y xy

= 2 22( 2 ( 2) 2)

2

y x x xy

y xy

) (

2

y xy x

y xy

) 1 ( 2 ) 1 2 3 (

) 1 ( 2

2 2

2

2

t f t

t

t t

t y

t y

2

2

) 1 2 3 (

) 1 6 3 ( 2 )

1 2 3 (

) 2 6 )(

1 ( 2 ) 1 2 3 ( 2

t t t

t

t t t

2 

III Hàm đa biến

Đối với bất đẳng thức nhiều biến, ta có thể khảo sát lần lượt từng biến mộtbằng cách chọn một biến làm tham số biến thiên và cố định các biến còn lại, bàitoán lúc này trở thành bất đẳng thức một biến Luôn có tâm thể nhìn biểu thứcnhiều biến mà ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dưới dạng là một hàm số

để ta sử dụng được công cụ hiệu quả trong bài toán là đạo hàm

Ta đi đến kết luận: P(x,y,z)  g(y,z)  h (z)  m

Hoặc P(x,y,z)  g(y,z)  h (z)  M

1 Các ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Cho ba số thực x, y, z [1; 4] và x  y, x  z Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

P = x x y y y zzz x





 3 2

- Bằng cách đặt ẩn phụ t = y x để đưa P(x,y) về hàm một biến Tìm GTLNcủa hàm số một biến này.

- Vậy P(x,y,z)  P(x,y) = P(t)  3433

Xem đây là hàm theo biến z; còn x, y là hằng số

2 2

) )(

( ) ( )

xy z y x x z

z z

2

=

y

x y

x y x





2 3 2

Đặt t = y x do x  y, x  z và x, y, z [1; 4] nên 1  t  2

Xét hàm f (t) =

t t

) 1 ( ) 3 2 (

)]

3 2

( 3 ) 1 ( 4 [ 2

t t

t t t

z = xy

Đẳng thức xảy ra:  x = 4, y = 1, z = 2

) )(

( ) ( )

bc a c b c

a

c b

Suy ra b – c  0; a2 – bc  0 nên P’(a)  0 Do đó P(a) tăng trên  ; 3

3 1

3 3

3

c g c

c c b

) 3 )(

3 ( ) 3 (

3 )

c b b

c c b

b

 0 Do đó g (c) giảm trên  ; 3

3 1

Suy ra: g(c)  g (31) = ( )

10

1 1 3

3 3

3

b h b

1 ( )

3 (

3 )

2 3 (

Từ kết quả của trường hợp 1, ta có: P(a,b,c) 58

Mặt khác: P(a,b,c) – P(c,b,a) = 0 ( , , ) 85

) )(

)(

(

) )(

a c b b a

c a c b b a

Vậy Max S = 58, đạt được khi (a,b,c) =

; 3

; 3

1 , 3

1

; 1

; 3

Chuyên đề II ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Để chứng minh bất đẳng thức dạng: f(x) > g(x) ta thực hiện như sau:

- Xét hàm số h (x) = f(x) – g(x)

- Tìm miền xác định của h(x)

- Tính đạo hàm cấp một và giải phương trình h’(x) = 0

- Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

+ Nếu phương trình h’(x) = 0 không giải được thì ta tính đạo hàm cấp hai, bađến khi nào xét dấu được thì ta dừng.

x x

Từ bảng biến thiên suy ra:

f(x) < 0 khi x > 0 Vậy sinx < x khi x > 0

x x

D = Rf’(x) = - ( 2 1 ) 2

1 2







x x x

Để giải các PT, HPT, BPT, HBPT bằng phương pháp ứng dụng đạo hàm tacần nắm vững các mệnh đề (MĐ) sau:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập D

MĐ 1: Phương trình f(x) = m có nghiệm xD  minf(x)  m  max f(x)

MĐ 2: BPT f(x)  m, có nghiệm xD  min f(x)  m

xD

MĐ 6 : Cho hàm số y = f(x) đơn điệu trên tập D khi đó

F(u) = f(v)  u = v (với mọi u, v D)

Dạng 1: Bài toán PT, HPT, BPT, HBPT không chứa tham số.

I Phương pháp.

Để giải phương trình f(x) = g(x) bằng phương pháp ứng dụng đạo hàm tathường chứng minh hai miền giá trị của hai hàm f(x) và g(x) chỉ có chung đúng mộtphần tử x0 Từ đó kết luận x0 là nghiệm

+ Nếu f(t) là hàm đơn điệu trên D thì f(x) = f(y)  x = y

II Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Giải các phương trình.

a) x + xlog

2 = xlog

2b) 2 15 3 2 2 8

2t + 3t = 5t  1

5

3 5

5

3 ln 5

3 5

2 ln 5

Suy ra: f(t) là hàm nghịch biến trên R

Lại có f(1) = 1 nên đồ thị hàm y = f(t) cắt đồ thị hàm y = 1 tại một điểm duynhất t = 1

Do đó, phương trình (2) có nghiệm duy nhất với t = 1  log2x = 1  x = 2Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2

x

Ta thấy f(x) =

8 15

7

2 2

Do đó, đồ thị hàm f(x) cắt đồ thị hàm g(x) tại một điểm duy nhất x = 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1

c) 2x+1 – 4x = x – 1 (1)

Đặt t = 2x > 0  x = log2t

Phương trình (1) trở thành 2t – t2 = log2t – 1 (2)

+ Nếu 0 < t < 2

+ Nếu t < 2  log2t < 1  log2t – 1 < 0 < f(t)

Do đó phương trình (2) vô nghiệm  t (0;2)

mà t > 2  log2t – 1 > 0 > f’(t) nên phương trình (2) vô nghiệm

Do vậy, phương trình (2) chỉ có nghiệm t = 2 với t = 2

 2x = 2  x = 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau:

7 2

5   

x

7 5

5 2

t t

4x2 + y2 + 2 3  4x = 7

Lời giải:

Điều kiện x  43 ; y  25

4x2 +

2 2

2

4 5

Xét hàm số g(x) = 4x2 +

2 2

2

4 5

3

; 0

4 3

4 )

3 4 ( 4 4 3

4 2

x x

z = f(x)+ Nếu x < y thì f(x) < f(y)  z < x  f(z) < f(x)  y < z

Từ đó suy ra x < y < z < x điều này là vô lí

+ Nếu y < x thì f(y) < f(x)  x < z  f(x) < f(z)  z < y

Từ đó suy ra y < x < z < y điều này là vô lí

Do đó hệ đã cho chỉ có nghiệm khi x = y = z

Thay x = y = z vào 1 phương trình của hệ ta tìm được nghiệm của hệ là (x, y, z) = (1; 1; 1)

Ví dụ 5: Giải phương trình: 3 x + 5 x = 6x + 2

Lời giải:

3x + 5x = 6x + 2  3x + 5x - 6x – 2 = 0Xét hàm số f(x) = 3x + 5x - 6x – 2

f’(x) = 3xln3 + 5xln 5 – 6f’’(x) = 3xln23 + 5xln25 – 6 > 0 xRBảng biến thiên

x - x0 +



f’’(x) + 0 +f’(x) + 

0-6

Dạng toán thường gặp là tìm giá trị tham số m để PT, BPT có nghiệm Vớidạng toán này ta có thể thực hiện theo các bước như sau:

Bước 1: Biến đổi PT, BPT về dạng f(x) = g(m) (hoặc f(x)  g(m), hoặc f(x)  g (m)

Bước 2: Tìm tập xác định D của hàm số f(x)

Bước 3: Tính f’(x)

Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số

Bước 5: Xác định min f(x) và max f(x)

xD xD

Từ đó vận dụng một trong các mệnh đề đã nêu ở phần kiến thức bên trên rút

ra kết luận cho bài toán

Lưu ý: Trường hợp PT, BPT chứa các biểu thức phức tạp ta làm như sau:

- Đặt t = (x)

- Từ điều kiện ràng buộc của ẩn số x, tìm điều kiện của ẩn số t

- Đưa PT, BPT ẩn số x về PT, BPT ẩn số t ta được f(t) = h (m) (hoặc f(t) h(m), hoặc f(t)  h(m))

- Lập bảng biến thiên của hàm số f(t)

- Từ bảng biến thiên rút ra kết luận bài toán

II Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm

m x x x

x 9    2  9  (1)Lời giải: Điều kiện 0  x  9

PT (1)  x + 9 – x + 2 x( 9  x) - x2 + 9x + m

 9 + 2 x2 9x



 = - x2 + 9x + mĐặt t = x2 9x





Ta có: t’ =

x x

x

9 2

9 2

x 0

2 9

9t’ + 0 -t

2 9

f’(t) = - 2t + 2; f’(t) = 0  t = 1

Lập bảng biến thiên hàm f(t) trên đoạn 0 ;92

t 0 1

2 9

Đặt t = log2x, (t 5) PT (2) trở thành t2 – 2t – 3 = m2 (t – 3)2  m2 = 31





t t

t 5 +

 f’(t) – f(t) 3

1

) 3 (

Ví dụ 3: Tìm m để PT 3 tanx 1 (sinx 2 cosx)= m(sinx + 3cosx) (1)

Có nghiệm duy nhất thuộc khoảng 

x x

cos 3 sin

cos 2 sin





= m  3 tanx 1 tantan 32

t 0 +

 f’(t) +

2

) 3 (

1 3 3

2 1 2

;

khi và chỉ khi phương trình (3) có duy nhất nghiệm t > 0

Từ bảng biến thiên suy ra m > 2

2 2

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên [1; 2]

Bảng biến thiên

t 1 2f(t’) +

f(t)

3 2

2 1

Từ bảng biến thiên, bất phương trình (1) có nghiệm x [ 0; 1; 3] khi và chỉkhi bất phương trình (2) có nghiệm t  [1; 2]

Điều này xảy ra khi và chỉ khi m  Max f(t) = f(2) = 32

[1; 2]

Ví dụ 5:

2x3 – (y +2)x2 + xy = mTìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

Với u  -41 , ta có: (1)  m(2u +1) = - u2 + u  m =

1 2

Xét hàm số f(u) =

1 2

, với u  -14 ; ta có:

2

) 1 2 (

1 2 2

PHẦN I: MẪU BÁO CÁO YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG

KIẾN CẤP TỈNH HOẶC CƠ SỞ

1

CHUYÊN ĐỀ I: Ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN của hàm số 4CHUYÊN ĐỀ II: Ứng dụng đạo hàm để chứng minh BĐT 16CHUYÊN ĐỀ III: Ứng dụng đạo hàm để giải PT, HPT, BPT, HBPT 21

SỎ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN TRƯỜNG THPT TRƯNG VƯƠNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

"

Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức, giải các bài toán cực trị, bài toán điều kiện về nghiệm của phương trình, bất phương trình".

Lĩnh vực/Môn: Toán Tên tác giả: Tô Minh HảiChức vụ : Phó hiệu trưởng Trường THPT Trưng VươngTài liệu đính kèm (nếu có): ………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN

TRƯỜNG THPT TRƯNG VƯƠNG



SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG

THỨC GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ, BÀI TOÁN ĐIỀU KIỆN

VỀ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG

TRÌNH

Môn : TOÁN