Suy ra LimUn Hớng dẫn C/m bằng quy nạp.
Trang 1Chuên đề:dãy số hàm số cấp số cộng cấp số nhân–hàm số –cấp số cộng –cấp số nhân –hàm số –cấp số cộng –cấp số nhân –hàm số –cấp số cộng –cấp số nhân
Bài1 : Cho dãy số (Un) xác định bởi
n n
U U
U
1 2
1 1
a) C/m Un<0 với mọi n thuộc N b) Đặt
n
n
U
V 1 C/m Vn là một cấp số cộng.Suy ra biểu thức của Vn và Un
Bài2 : Cho (Un) xác định bởi U U n N
U n n
8 1 1 1
Dãy số (Vn) xác định Vn=Un-2 C/m Vn là cấp số nhân.Suy ra biểu thức của Vn,Un
Bài 3: Cho (Un) n N
U U U n n
3 1 1 1
Xác định công thức tính Un theo n
Hớng dẫn Vì 3Un+1-Un=3 nên
3U2-U1=3
3U3-U2=3 => 9U3-3U2=9
3U4-U3=3 => 27U4-9U3=27
………
3Un-Un-1=3 => 3n-1Un-3n-2Un-1=3n-1
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta đợc 3n-1Un-U1=3+9+….+3n-1=3 ( 3 1 )
2
3 1 3
1
n n
3
1 1 ( 2
3
n
C/m công thức này bằng quy nạp
Bài 4: Cho Un
n n
n U U U
) 2 ( 1 1 1
.Tìm Un ,suy ra LimUn
Hớng dẫn: Ta có U1=1 Cộng vế với vế từ đó suy ra Un= n
2
1 2
2
U2=U1+
2 1
U3=U2+ )2
2
1 (
U4=U3+ )3
2
1 (
………
Un=Un-1+ ) 1
2
1 ( n
Bài 5 Cho (Un)
2 1
; 0 1 2
2 1
n n
n
U U
U
U U
a) C/m Un+1= 1
2
1
U n b) XĐ Un, suy ra LimUn
Hớng dẫn a) C/m bằng quy nạp b) Tơng tự Bài 3
Bài 6 Cho Un n n N
U U U U U
n n n
; 3 2
1
; 2
2 1 2 1
C/m 2Un+Un-1=4 (1) ; Un-Un-1=- ) 2
2
1
n (2) Suy ra LimUn
Hớng dẫn C/m bằng quy nạp Từ (1) và (2) suy ra Un
Bài 7 Cho 2 2 2 2
n
Hớng dẫn C/m Un<2 với mọi n bằng quy nạp
C/m Un<Un+1 với mọi n
Vậy (Un) là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi 2 Do đó tồn tại giới hạn LimUn=x
Ta có Un+1= 2 U n Un+12=2+Un=>LimUn+12=Lim(2+Un)=> x2=2+xx=2 .Vậy LimUn=2
N n U U
U n n n
4 ) 1 ( 1 0
Hớng dẫn C/m Un là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên => tồn tại giới hạn LimUn=x
Từ
2
1 4
1 4
1 ) 1 ( 4
1 ) 1
1
Bài 9 Tính các tổng sau
1) S=5+55+555+…+555555…5 (n số 5)
2) S=1+11+111+…+111…111
3) S=1+2.2+3.22+4.23+…+100.299
4) S=1+4.2+7.22+10.23+…+(3n-2).2n-1
Bài 10 Tìm giới hạn của các dãy số
n n
7 5
2
7 3
) 1 (
1
4 3
1 3 2
1 2 1
1 (
n
1
4 3 2
1 3 2 1
1 (
n n n
Trang 2d) Lim
3
2 2
2
2 2 3
1
n
n
4
1 1 )(
3
1 1 )(
2
1 1
n
Bµi 11 T×m giíi h¹n c¸c hµm sè
1)
x
x x
Lim
x
3 0
1
1
2)
3 2
3 7 2
x Lim
x
x x
Lim
3
cos cos
5 4
3
) 1 )(
1 )(
1 )(
1
(
x
x x
x x
Lim
Bµi 12 Sö dông
x
x Lim
x
sin
0
0
sin tan
x
x x
Lim
x
2)
4 cos
4
2
x Lim
3)
2 tan ) 1 (
1
x x
Lim
x
0
cos
1
x
ax Lim
x
5) 2
0
3 cos 2 cos cos 1
x
x x
x Lim
x
6) x
x Lim
x 1 2cos
3 sin
3
7)
x
x Lim
cos 1
2
8)
x x
x
x Lim
2
x
x x
Lim
x
2 sin 1 2 sin 1
0
10)
) sin(tan
) cos 2 cos(
x Lim
x
11)
) sin(
) sin(
m
x Lim
12)
2
cos
x
x Lim
x
x 1 cot
tan 1 lim
4
x
tan ) 2 cos
1
(
2
x x
Lim
x 1 tan
cos sin
16)
2 0
2 cos cos 1
x
x x
Lim
x
17)
) 6 cos(
tan 3 tan 3
x x
Lim
x
x Lim
x 1 2cos
) 3 sin(
3
19)
3 0
sin 1 tan 1
x
x x
Lim
x
Bµi 13 Sö dông giíi h¹n d¹ng 1 1
e Lim
x
x
x x
( 1) : Lim x x e
1
0(1 )
1)
) ln(cos
) ln(cos
ax Lim
2 0
) ln(cos
x
x Lim
e x
x
e
1 ln lim 4)
) 2 1 ln(
) 3 1 ln(
x x
x Lim
) 2
1
ln(
2
x
x
Lim
6)
) 1 ln(
) 1 ln(
10
2
x x
Lim
) 3 ln(
) 2 ln(
2
3
x x
e Lim
) 1
ln(
) 1
ln(
4 3
3
x x
x x Lim
bx
ax
) 4 tan(
ln lim
0
10)
x
x
1
1
(
cot
1( 1 sin )
x
1
sin 1
tan 1 (
a
x
1
) sin
sin (
1
2 cos
cos
x Lim
15)
x x
x
Lim tan 2
4
)
(tan
16)
x x
x
Lim tan
2
) (sin