Chuyên đề bất phương trình mũ

1

Bất phương trình mũ

A Một số ví dụ

2

x x

x







Giải

Ta có

2

x x

x





2

x x

x



  



2

x x x



2

0 2

x x x



Ta có bảng xét dấu của

2

2

x x x

x   2 3  2  2 3 

2 4 1 2

x



Suy ra tập nghiệm của bất phương trình  1 là  2 3; 2    2 3;

Giải

Ta có

 1  25 25 2x x 2 9 92x x 2 34 15 2x x 2 Chia hai vế của bất phương trình nói trên cho 92x x 2, ta được

Đặt

2

2

5

3

x x

t



 

  

2xx  1 x1 1 suy ra 0;5

3

t  

  Khi đó bất phương trình trên

trở thành

2

25t 34  t 9 0 

9 25 1

t t













Do đó bất phương trình  1 tương đường với

2

2

2

2

5

1 3

x x

x x





 

 





 

 

 





2 2

x x

x x







2 2

x x

x x





2

0; 2

x

x



 



 x   ;1 30; 21 3;

Giải

Ta thấy

2

x   x x   

 1 

2

2

1 1 0

1 1 0

x x x

x x x













 





1

x x

 





 x   1

Ví dụ 4 Giải bất phương trình

1

0

x





Giải

Nhân hai vế của bất phương trình  1 với 2x 0, ta được bất phương trình tương đương:

 2

0

x



 2

0

x



2 1 2 2

0

x



2 1

x

x





x

x







0

x x







Ví dụ 5 Tìm a để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x

Giải

Đặt t 2x, suy ra t 0 và bất phương trình  1 trở thành

2

t a

t t





t

f t

t t





  (t 0) Ta có  

2 2 2

t t

f t

t t

0

t

0

1

_ 0

_

f t

f ' t( )

+∞

∞ t

3

 1 nghiệm đúng với mọi x   2 nghiệm đúng với mọi t 0  đường thẳng ya

nằm hoàn toàn phía trên đồ thị hàm số y f t  (t  )  0 a  1

Ví dụ 6 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

4xm2x m 3 0  1

Giải

Đặt t 2x, suy ra t  và bất phương trình 0  1 trở thành

2

3 0

Để  1 có nghiệm thì trước hết  2 phải có nghiệm Muốn như vậy thì tam thức bậc hai

  2

3

f t t mtm phải có   , tức là 0

2

6

m m

 





Khi đó

 2 

t

 1 có nghiệm   2 có nghiệm dương  m m24m120

 m24m12 m 

0 0

m m













3

m m







Kết hợp với điều kiện  3 suy ra những giá trị cần tìm của m là  ; 36; 

B Bài tập

Bài 1 Giải các bất phương trình sau

2

1

2

2

x



2)  5 2 -1  5 2 -11

x x

x

3)  10 3 13  10 3 13

4) 21 1 31 1

2

5) 9x9x 19x 24x4x 14x 2 ĐS:  9 

21 91

;log

6) 7.3x15x33x45x2 ĐS:  ; log 25

 7)

2

2.3 2

1

3 2









4

Bài 2 Giải các bất phương trình sau

2)  1 2  1 1 1

3 x 3 3 x 12

3)

1

1

0

x





4) 251 2 x x 291 2 x x 2 34.152x x 2 ĐS:  ;1 30; 21 3;

5) 9 3 11 2 x2 5 2 6  x2 3 2x 1 ĐS: ; 0

1 2

x x



7) 9x 3x 2 3x 9

Bài 3 Giải các bất phương trình sau

1) 2x2 x  1 1 2 2x2 2 x 1

4) 22 x  3 x 615.2 x 3 5 2x ĐS:  2; 

Bài 4 Giải các bất phương trình sau

2 x2 x 2 sinxcosx ĐS: 2





 , k  