CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Vô tỷ

Nội dung phương pháp Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ - phương pháp lũy thừa.. * Một số phép biến đổi tương đương phương trình

Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Mục lục Loại 1 Phương pháp lũy thừa 1

A Nội dung phương pháp 1

B Một số ví dụ 3

C Bài tập 8

D Đáp số 9

Loại 2 Phương pháp ẩn phụ 11

C Bài tập 18

D Đáp số 20

Loại 3 Phương trình và bất phương trình tích 21

C Bài tập 24

D Đáp số 25

Loại 4 Một số phương pháp đặc biệt 27

A Một số ví dụ 27

B Bài tập 30

C Đáp số 31

Trang 3

Loại 1 Phương pháp lũy thừa

A Nội dung phương pháp

Phần này đề cập đến phương pháp cơ bản nhất khi giải phương trình và bất phương trình vô tỷ - phương pháp lũy thừa Sau đây là các quy tắc cấn nhớ khi sử dụng phương pháp này

* Một số phép biến đổi tương đương phương trình vô tỷ

Trang 4

ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com

Trang 5

x 4x 2x 4 0 x

Trang 6

Trang 7

Ví dụ 5 GPT 2x 3  x 6  x 5  2 x 4    1

Giải ĐK: x 6 Ta có

+) Hai phương trình: f x   g x và f 2 x g 2 x nói chung là không tương đương

Vì lý do này mà trong ví dụ nói trên, sau khi thu được kết quả cuối cùng, ta phải thử lại +) Việc quyết định khi nào bình phương hai về của phương trình là quan trọng Trong ví

dụ nói trên, động tác bình phương được thực hiện sau khi chuyển vế Nhờ thế mà sau khi

bình phương, ta giản ước được 9x 5 ở hai vế

Trang 8

Ví dụ 7 Biện luận số nghiệm của PT   x 3 x m 1 x  1

3x 4 m x 1 0 2 x

2 2

x x

Trang 9

m x

Trang 10

2x 2 2x 1 1 

Trang 11

m : 9 5

4 x 2,

m2 : x2

Trang 12

Trang 13

Loại 2 Phương pháp ẩn phụ

Dùng ẩn phụ là một phương pháp thông dụng để giải phương trình nói chung và phương trình vô

tỷ nói riêng Đối với phương trình vô tỷ, phương pháp này có thể được phân loại như sau:

+) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chỉ chứa ẩn phụ

+) Đặt một ẩn phụ để thu được một phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ

+) Đặt một ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa cả ẩn mới và ẩn cũ +) Đặt hai ẩn phụ để thu được một hệ hai phương trình chứa hai ẩn phụ

Trang 14

Trang 15

Đặt 1  

x

t x 2   

1 2 x

0 3 t x

x 3 1

x t , ta thu được phương trình

2

t   1 t 1  t 2  t 2 0   

 

thỏa mãnkhông thỏa mãn

Trang 16

Xét  4 :

ĐK: x 0

* Dễ thấy x 0 là nghiệm của  4

* x0  VT 4 1  x không phải nghiệm của  4

Vậy  1 có nghiệm duy nhất x0

* Dễ thấy x 1 là nghiệm của  4

* x1  VT 4 4  x không phải nghiệm của  4

* 3  x 1  VT 4 4  x không phải nghiệm của  4

Ví dụ 4 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 22x 2m 5 2x x   2 m 2  1

f x  6 x 1 Ta thấy f x 0 x, dấu bằng xảy

ra  x  1 6; f x  6 x, dấu bằng xảy ra  x 1 Do đó tập giá trị của hàm f là 0; 6

 , thành thử  2 có nghiệm  t 0; 6

Trang 17

Vậy  1 có nghiệm   2 có nghiệm t 0; 6

 Điều kiện phương trình f x m  * có nghiệm:

o  * có nghiệm  đường thẳng ym có điểm chung với đồ thị hàm

số yf x 

o  * có nghiệm  m thuộc tập giá trị của hàm số yf x 

 Trong ví dụ trên, ta dùng điều kiện thứ hai để tìm điều kiện phương trình

có nghiệm Về việc tìm tập giá trị của hàm số yf x , ta có thể dùng khẳng

định sau: Nếu f đạt giá trị nhỏ nhất là m tại a , đạt giá trị lớn nhất là M tại b và

f liên tục trên đoạn với hai đầu mút a , b thì tập giá trị của f là m;M 

Trang 18

 (1) có nghiệm  (2) có nghiệm

 Trong trường hợp (2) có nghiệm t và 1 t thì: 2

1 2 2 1

x t

y t (1)

Trang 19

Thay u 2 vào  2a , ta được 3 3x 2  2  3x 2  8  x 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2

Trang 20

Bài 2 Cho phương trình 3 x  6 x  3 x 6 x  m

1) Giải phương trình với m3

2) Tìm m để phương trình có nghiệm

Bài 3 Tìm m để BPT m x 22x 2 1x 2 x  0

Bài 4 Tìm m để BPT 2 x 4 x x 22x m nghiệm đúng với mọi x  2;4

Bài 5 Giải các PT sau:

Bài 7 [ĐHA07] Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3 x 1 m x 1   2 x 4 21

Bài 8 Giải các phương trình:

2 x  7 x  2 x 7 x  3

Trang 21

5) 3 x3 x 16 3 x 8 6) 4 x4 x 1 4 2x 1

Bài 9 Với giá trị nào của a thì phương trình: 3 1 x 3 1 x acó nghiệm

Bài 10 Giải các phương trình sau

Trang 22

m 3

Trang 23

Loại 3 Phương trình và bất phương trình tích

Phần này đề cấp đến việc giải phương trình, bất phương trình vô tỷ bằng cách đưa phương trình, bất phương trình cần giải về phương trình, bất phương trình tích

Nhân tử chung có thể thấy ngay hoặc nhận được sau một số phép biến đổi đơn giản Việc sử dụng biểu thức liên hợp đôi khi cho ta lời giải bất ngờ

Về biểu thức liên hợp, ta cũng cần biết:

 Biểu thức liên hợp của a b là a b:

Trang 24

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Giải phương trình x 3 2x x 1   2x x 24x 3  1

Giải

 1  x 3 2x x 1 2x x 3 x 1  (ĐK: x 1)  x 3 1   x 1  2x x 1 1   0

x 0

x 3

x 2 x

x 0

x 3 x

Trang 25

Kết hợp với điều kiện để  1 có nghĩa, ta có tập nghiệm của  1 là:  1    

 x1 (thỏa mãn điều kiện để  1 có nghĩa)

       x : 1 3 x 6)  x5 (thỏa mãn  2 )

Trang 26

Trang 27

D Đáp số

Bài 1 1) 0 , 1 2) 1 3) 0 , 1 4) 0

Bài 2 1) 2 2) 1 3) 0 4) 2 x 3

Trang 28

Trang 29

Loại 4 Một số phương pháp đặc biệt

A Một số ví dụ

Ví dụ 1 [ĐHD05] Giải phương trình 2 x 2 2 x 1    x 1 4  1

Giải Đk: x 1 0   x 1  2

x x x

Trang 30

 là nghiệm của

 1 nên  1 có nghiệm duy nhất 1

x 2

2 4 4

x   x 1 x   x Do đó  2  3

4

1 2 x  x 1  1 2.  0 x Điều kiện để  1 có nghĩa: x0  2

x 2x 2 x 1 x x 1 2 x 1 x

VP 1 1 2 x 1 x 1

Trang 32

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	1,48 MB