SKKN Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình

Tuy nhiên trong qúa trình dạy học tôi nhận thấy đa số học sinhthiếu tư duy, sáng tạo, có thể nói là học sinh còn rất lúng túng khi vận dụng kiếnthức về hàm số, tính đơn điệu của hàm

Mục lục

Trang

SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Giải phương trình, bất phương trình là một mảng kiến thức lớn và kháquen thuộc đối với học sinh nhưng vấn đề là giải thế nào để cho nhanh, gọn vàhợp logic? Đó là câu hỏi mà biết bao nhiêu giáo viên và học sinh chúng ta ngàyđêm đi tìm câu trả Ở lớp 12 có phần ứng dụng đạo hàm với tính năng ưu việtcủa nó có thể giải rất nhiều dạng toán đặc biệt có thể dùng để giải phương trình,bất phương trình Tuy nhiên trong qúa trình dạy học tôi nhận thấy đa số học sinhthiếu tư duy, sáng tạo, có thể nói là học sinh còn rất lúng túng khi vận dụng kiếnthức về hàm số, tính đơn điệu của hàm số trong quá trình giải phương trình, bấtphương trình Nguyên nhân là do các em chưa hiểu được bản chất của vấn đề,chưa có kỹ năng và kinh nghiệm trong việc vận dụng hàm số vào giải toán.Muốn bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy hàm số người thầy ngoài kiếnthức chuyên sâu cần có lòng say mê nghề nghiệp và năng lực truyền thụ tốt đểgiúp học sinh tìm hiểu một cách logic bản chất của toán học, thông qua giải cácbài toán trên từng giờ lên lớp Từ đó giúp các em có sự say mê trong việc họcmôn toán, để toán học trở nên gần gũi và là sự yêu mến, hứng thú học hỏi, niềmsay mê đối với các em học sinh

Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư duy về môn toán tôi tập trungkhai thác cách giải phương trình, bất phương trình bằng phương pháp dụng tínhđơn điệu và của hàm số Khi sử dụng phương pháp này, những bài toán vềphương trình, bất phương trình sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên, thuần

túy, ngắn gọn và đơn giản Đó là lí do để tôi chọn đề tài : “ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình- bất phương trình”.

có tham số

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tàinói trên tôi đó phải nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, bất phươngtrình đặc biệt là các bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tham số

-Phạm vi nghiờn cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chươngtrình đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là cácphần: phương trình, bất phương trình, phương trình, bất phương trình vô tỉ,phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ và logarit

4 Phương pháp nghiên cứu:

- Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu thực tiễn

- Tổng kết kinh nghiệm

- Thực nghiệm sư phạm

Khi đó ta nói rằng đẳng thức f(x) = g(x) là một phương trình (bất đẳngthức f(x) > g(x) là một bất phương trình) một ẩn.

Số thực a được gọi là một nghiệm của phương trình (bất phương trình), D

là tập xác định của phương trình (bất phương trình)

Giải phương trình (bất phương trình) là tìm tất cả các nghiệm của nó.Định nghĩa trên đây nêu lên mối quan hệ hữu cơ giữa các khái niệm hàm số,phương trình và bất phương trình

1.2.Tính đơn điệu của hàm số:

Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm trên D

Nếu f x '      0, x Dthì hàm số f x( ) đồng biến (tăng) trên D

Nếu f x '      0, x Dthì hàm số f x( ) nghịch biến (giảm) trên D

(Dấu “=” chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn trên D)

Nếu hàm f x  tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình k

x

f( )  , k  R có không quá một nghiệm trong khoảng (a;b).

Nếu hàm f x  tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì u, v (a,b) ta có

Nếu hàm f x  tăng và g x  là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b)

thì phương trình f x g x có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

Định lý Bolzano–Cauchy : Nếu hàm số f x  liên tục trên a b;  và

    0

f a f b  thì tồn tại ít nhất một điểm x0 a b;  để f x  0 0

Nếu hàm số f x  đơn điệu và liên tục trên a b;  và f a f b     0 thì tồntại duy nhất một điểm x0 a b;  để f x  0 0

Nếu f x là hàm số đồng biến (nghịch biến) thì

y = n f x n N n ( ),  ,  2 đồng biến (nghịch biến), 1

( )

f x với f x   0là

nghịch biến (đồng biến), y f x nghịch biến (đồng biến)

Tổng các hàm đồng biến (nghịch biến) trên D là đồng biến (nghịch biến)trên D

Tích của hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến) trên D là một hàmđồng biến (nghịch biến) trên D.

1.3 Các dạng toán liên quan:

Từ các tính chất trên ta có 3 phương án biến đổi như sau:

Đối với bất phương trình thì biến đổi về dạng f u( )  f v  rồi chứng minh f

đơn điệu để kết luận

2 Thực trạng của vấn đề:

2.1 Về giáo viên và học sinh:

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải phương trình, bất phương trình

là một bài toán thường xuyên gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp, cao đẳng và đại học nhưng thực tế giáo viên và học sinh, đặc biệt là ở các Trung tâm GDTX ít

đề cập đến, đôi khi còn né tránh

2.2 Về tài liệu học tập và nghiên cứu:

SGK mới chỉ là cơ sở ban đầu để nghiên cứ vấn đề này, chưa có nhiều bàitập, ví dụ đề cập đến vấn đề này Trên thị trường tài liệu về phần này cũng chưa

có một cuốn nào dành riêng cho nó mà muốn học tốt phần này GV và HS phải nghiên cứu, tổng hợp từ nhiều tài liệu khác nhau

Chính vì những ly do đó ngay từ đầu năm học 2012 – 2013 tôi đã lên kế hoạch dự giờ, thăm lớp, dạy thực nghiệm và dạy đối chứng ở khối 12, trao đổi với các đồng nghiệp sau mỗi tiết dự giờ, tiết giảng dạy để có những bài học kinh nghiệm rút ra

Vậy x 9 là nghiệm của phương trình

Cách 2: Ngoài cách giải thông thường trên ta có thể dùng hàm số:

22(

2)

12(

2)

x x

1 ( 3

1 )

2

Ví dụ 6: Giải bất phương trình x lnx 1

Ví dụ 7: Giải bất phương trình sau: 4 15 x 4 2  x  1 (*)

Nhân xét: Đối với bất phương trình này, ta chỉ có thể đặt ẩn phụ đưa về hệ

phương trình để giải, còn giải trực tiếp sẽ rất khó khăn.

Do v 0nên ta được 0  v 1 Suy ra 4 2  x   1 x 1

Kết hợp với điều kiện  15  x 2 ta được nghiệm của bất phương trình đãcho là 1 x 2

Cách 2: Dùng tính đơn điệu của hàm số

Kết hợp với điều kiện  15  x 2 ta được nghiệm của bất phương trình đãcho là 1 x 2.

Ví dụ 8:Giải bất phương trình: log 4 x log 3 5  x

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 0 x 4

Ví dụ 9: Giải bất phương trình 7x 7  7x 6 2 49  x2  7x 42 181 14   x (*)Giải : Điều kiện: 6

số hay và tự nhiên hơn rất nhiều so với cách giải đầu Cách giải đầu thường biến đổi phức tạp và có bài thấy thiếu sự tự nhiên, khó tìm ra lời giải Đây là dạng toán khó đối với học sinh lần đầu tiếp xúc, các em chưa quen trong việc

sử dụng phương pháp hàm số để giải Vì vậy việc bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy, sáng tạo, vận dụng các kiến thức cơ bản về tính đơn điệu của hàm số là một việc làm rất cần thiết Từ đó hình thành ở học sinh Tư duy linh hoạt trong giải toán

Hơn nữa, lim   lim 2 2 2 1

Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 1 < m < 1.

Nhận xét: Trong bài toán trên nếu không thực hiện việc xác định giới hạn hàm

số, rất có thể chúng ta ngộ nhận tập giá trị của hàm số là R và dẫn đến việc kết luận sai lầm rằng phương trình có nghiệm với mọi m Do đó việc tìm giới hạn trong bài toán khảo sát là rất cần thiết để tìm ra tập giá trị.

Ví dụ 2 Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt :

2 0



 

Mà f  0  4 3 và lim   0

   nên có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cần tìm của m là: 0m43

Ví dụ 4: Chứng minh rằng m0, phương trình sau luôn có hai nghiệm thực phân biệt: x2 2x 8 m x(  2)

0

Sau khi tìm được điều kiện x 2 việc khảo sát hàm số f x( ) ở trên là rất dễ dàng chủ yếu là dùng đạo hàm tuy nhiên dùng định nghĩa cũng suy ra tính đồng biến của hàm số f x( ).

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt

1  x 8  x (1 x)(8  x) m

Nhận xét:

Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp thông thường là đặt ẩn phụ

t = 1  x 8  x sau đó chuyển về bài toán tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước Tuy nhiên cách đặt ẩn phụ đó thường phải quy về giải bằng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai Định lý này trong chương trình sách giáo khoa mới đã giảm tải Vì vậy phương pháp hàm số là sự lựa chọn thích hợp nhất cho dạng toán này.

4 3 4

Dựa vào bảng biến thiên ta có các giá trị cần tìm của m là: 0 m 4 3

Ví dụ 7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm trong 32;

log22x 2log2 x 3 mlog2x 3 (1)

Giải: Đặt t log2 x với x32;  t 5 Khi đó, phương trình

4 2

1  x2  2 1 3  x2 m có nghiệm duy nhất

3 Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

   2

25 2log mx 28  log 12 4  x x

Ở lớp thực nghiệm, khi giải phương trình, bất phương trình tôi đã sử dụngtính đơn điệu của hàm số Ở lớp đối chứng, tôi tiến hành dạy các phương phápbình thường khác Sau mỗi giờ dạy, tôi kiểm tra mức độ hiểu bài, nắm kiến thứccủa học sinh bằng cách làm bài tập 15 phút cuối buổi học đó.

Kiểm tra:( 15 phút)

Đề bài:

Câu 1: Giải phương trình x2 15 3 x 2 x2 8

Câu 2: Giải phương trình : 2x2x 2x 1 x 12

em được rèn khả năng nhanh nhẹn, khéo léo và tạo cho các em mạnh dạn, tự tinhơn , yêu thích, ham mê với môn toán

III KẾT LUẬN

1 Bài học kinh nghiệm:

Sách giáo khoa THPT đã giảm tải khá nhiều nhưng trong các đề thi tuyểnsinh vào đại học có nhiều bài rất khó được phát triển từ các bài tập trong sáchgiáo khoa, nên để giải quyết các bài toán đó cần phải sử dụng linh hoạt tính đơnđiệu của hàm số.Trong những năm qua tôi đã đọc và nghiên cứu rất nhiều tàiliệu để vận dụng phương pháp trên bồi dưỡng học sinh ôn thi TN và luyện thiđại học, cao đẳng và thấy rằng học sinh tiếp thu tương đối chủ động, đa số họcsinh hiểu và vận dụng tốt trong quá trình giải các dạng bài tập ở trên

2 Đề xuất kiến nghị:

2.1 Đối với giáo viên: Cần tiếp cận nhanh chóng, tìm hiểu kỹ nội dung chương

trình và phương pháp dạy học Phải lên kế hoạch bài học chu đáo, tích cực thamkhảo tài liệu, học hỏi bạn bè đồng nghiệp, nâng cao trình độ chuyên môn Cần

có lòng nhiệt tình, yêu nghề, có tinh thần trách nhiệm cao đối với công việc.Mạnh dạn trong việc đổi mới phương pháp và phát huy tốt tác dụng của việc tổchức trò chơi toán học nhằm nâng cao chất lượng giờ dạy

2.2 Đối với Phòng Giáo dục - Sở Giáo dục: Thường xuyên tổ chức, bồi

dưỡng, tập huấn cán bộ giáo viên để giáo viên hiểu rõ vai trò và tổ chức thực

hiện tốt nội dung này cũng như những nội dung kiến thức khác trong chươngtrình nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy, học tập của học sinh.

Mặc dù đã tham khảo một số lượng lớn các tài liệu hiện nay để vừa viết, vừa

đi giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, song vì năng lực và thời gian cóhạn, trong quá trình biên soạn đề tài này chắc sẽ không tránh khỏi những thiếusót.Tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp và nhữngngười yêu thích môn toán để đề tài này có ý nghĩa thiết thực hơn trong nhàtrường Góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao hơn nữa chất lượng Giáo dục phổthông Giúp các em học sinh có phương pháp - kỹ năng khi giải các bài toánliên quan đến hàm số trong các kỳ thi cuối cấp

Tôi xin chân thành cảm ơn !

XÁC NHẬN CỦA HIỆU

TRƯỞNG NHÀ TRƯỜNG

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 4 năm 2013

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.

Người thực hiện

Lê Bích Hảo

Tài liệu tham khảo

1 Sách giáo khoa Đại số 10 – NXB giáo dục

2 Sách giáo khoa Giải tích 12– NXB giáo dục

3 Căn số và toán vô tỉ - Nxb GD của Hoàng Kỳ

4 Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán Đại số và Giải tích 12 – NXB ĐHQG

Hà Nội

5 Khảo sát nghiệm phương trình – Nxb GD của Lê Hoành Phò

6 Hàm số - Nxb GD của Phan Huy Khải

7 Sách giải các đề thi Đại Học – Cao Đẳng