Từ A kẻ đường thằng song song với BD cắt CD tại E.. 1/ Chứng minh ACE là tam giác vuông tại A.. 2/ Tính diện tích hình thang ABCD... Vậy thời gian cần tìm là 4 giờ.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT LONG ĐIỀN ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Thời gian làm bài : 120 phút
( Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : ( 4 điểm)
Cho phân thức :
2 3
4
x x M
x x
=
−
1/ Tìm điều kiện xác định của M
2/ Rút gọn M
3/ Với giá trị nào của x thì giá trị của M ( sau khi rút gọn) bằng 0
Bài 2 : ( 6 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau :
2
/ 3(3 1) 9 6 1
x b
−
1 4
Bài 3 : ( 4 điểm) Trên quãng đường AB dài 72 km, hai người cùng khởi hành một lúc từ A đến B
Vận tốc của người thứ nhất là 12 km/h, vận tốc của người thứ hai là 15 km/h Hỏi sau lúc khởi hành bao lâu thì người thứ nhất còn cách B một quãng đường gấp đôi quãng đường người thứ hai cách B?
Bài 4 : ( 4 điểm) Cho hình thang ABCD có độ dài hai đáy là AB= 5 cm và CD = 15 cm, độ dài hai
đường chéo là AC = 16cm và BD = 12cm Từ A kẻ đường thằng song song với BD cắt CD tại E 1/ Chứng minh ACE là tam giác vuông tại A
2/ Tính diện tích hình thang ABCD
Bài 5 : ( 2 điểm)
1/ Chứng minh rằng 20092009 + 20112010 chia hết cho 2010
2/ Rút gọn biểu thức sau với n là số tự nhiên ( n ≥ 2) :
n A
n
− − − −
=
Trang 2PHÒNG GD&ĐT LONG ĐIỀN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN CHỌN
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 120 phút
( Không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : ( 4 điểm)
Cho phân thức :
2 3
4
x x M
x x
=
−
1/ Biểu thức M tồn tại khi
( )
( ) ( )
x x x x
2/ Rút gọn M :
2 3
4
M
x x
=
−
2 3
4
x x
=
− (0,5 đ)
( )
2 2 2
4
x
x x
=
− (0,25đ)
( ) ( )
x x x
=
− + (0,25đ)
( ) ( ) ( ) ( )
x x x
=
− + (0,25đ)
( 4 2 )
x
x x
−
=
− (0,25đ)
3/ Giá trị của biểu thức M bằng 0 khi x − = 4 0 hay x = 4(1 đ)
Bài 2 : ( 6 điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau :
2
x b
−
2
⇔ − = − Điều kiện xác định là x ≠ − 1(0,25đ)
2
3(3 x 1) (3 x 1) 0
⇔ − − − = (0,25đ) (1)⇔ 2( x + = 1) x2 − + + x 1 2 x − 1 (0,25đ)
⇔ − − + = (0,25đ) ⇔ x2 − + + x 1 2 x − − 1 2 x − = 2 0
⇔ − = − = (0,25đ) ⇔ x2 − 2 x + − = x 2 0 (0,25đ)
x hay x
Trang 3Vậy phương trình có hai nghiệm ⇔ + = ( x 1) 0 hay x ( − 2) = 0
1
3
x = v x = (0,25đ) ⇔ =− x 1 (loại) hay x = 2(nhận) (0,25đ)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 (0,25đ)
1 4
c − ≥ + −
0 x 1
⇔ ≥ (0,5đ)
Vậy BPT trên vô nghiệm(0,25đ)
2
* Nếu x ≥ 1 thì x − = − 1 x 1(0,25đ) Khi đó PT (1) ⇔ x2 − + + − = 3 x 2 x 1 0
2 2 1 0
x x
⇔ − + = ⇔ − ( x 1)2 = 0 (0,25đ)⇔ − = x 1 0 ⇔ = x 1(nhận) (0,25đ)
* Nếu x < 1 thì x − = − 1 1 x (0,25đ) Khi đó PT (1) ⇔ x2 − + + − = 3 x 2 1 x 0
2 4 3 0
x x
⇔ − + = ⇔ x2 − 4 x + − = 4 1 0 (0,25đ)⇔ − ( x 2)2 − = 1 0 (0,25đ)
3
x
⇔ = (loại) hay x = 1 (loại)
Vậy phương trình (1) có nghiệm là x = 1(0,25đ)
Bài 3 : ( 4 điểm)
Gọi thời gian cần xác định là x (giờ , x > 0) (0,5đ)
Quãng đường người thứ nhất đi được là 12x(km) (0,5đ)
Quãng đường người thứ hai đi được là 15x (km) (0,5đ)
Quãng đường người thứ nhất còn cách B là 72 – 12x (km) (0,5đ)
Quãng đường người thứ hai còn cách B là 72 – 15x (km) (0,5đ)
Theo đề bài ta có phương trình :
72 – 12x = 2(72 – 15x) (0,5đ)
72 – 12x = 144 – 30x
18x = 72
x = 4 ( thỏa) (0,5đ)
Trang 4Vậy thời gian cần tìm là 4 giờ (0,5đ)
Bài 4 : ( 4 điểm) Vẽ hình đúng 0,5 đ
1/ ta có AB//DE và AE//BD, suy ra
Tứ giác ABDE là HBH
=> AB=DE= 5cm; AE=BD= 12cm
=> EC = 15 + 5 = 20cm
Xét ∆AEC có :
AE2 + AC2 = 122 + 162 = 400
EC2 = 202 = 400
Suy ra AE2 + AC2 = EC2 Vậy ∆AEC vuông tại A ( định lý đảo Pitago) ( 1,5đ)
2/ Xét hai ∆AED và ∆ABC có ED=AB và có hai đường cao ứng với hai đáy ED, AB bằng nhau ( cùng bằng đường cao của hình thang ABCD) => S∆AED = S∆ABC
=> S∆AED + S∆ADC = S∆ABC + S∆ADC => S∆AEC = SABCD
Mà S∆AEC = 1
2AE.AC = 1
212.16 = 96 (cm2) Vậy SABCD = 96cm2 (2đ)
Bài 5 : ( 2 điểm)
1/ 20092009 + 20112010 = (20092009 + 1) + (20112010 – 1)
= (2009 + 1)(20092008 - …) + (2011 – 1)(20112009 + …)
= 2010(20092008 - …) + 2010(20112009 + …) chia hết cho 2010.(1đ)
2/
n A
n
− − − −
=
1.3 2.4 3.5 ( 1)( 1)
A
n
− +
=
1.2.3 ( 1) 3.4.5 ( 1)
2.3.4 ( 1) 2.3.4
A
=
−
.
A
+ +
= = (1đ)
Người ra đề: Nguyễn Xuân Tiến
A
D
B
C E