Phép biến đổi Kelvin và hàm điều hòa cầu

Tuynhiôn do hạn chế vồ thời gian nôn chúng ta mới chủ yếu nghiên cứu trongmiền bị chặn, tính đặt chỉnh của các bài toán sự tồn tại, tính duy nhất và, sựphụ thuộc liên tục mà chưa tìm hiể

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Bằng, người đã địnhhướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận vănnày

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sail đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bò đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Tác giả

Hà Thị Xuân

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, Luận văn này là kết quả tìm hiểu,nghiên cứu của cá nhân tôi dưới sự hướng dẫn của TS

Trần Văn Bằng

Trong quá, trình thực hiện luận văn, chúng tôi đã kế thừa những

thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ƠĨ1

Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Tác giả

27 2 9

3131

31 3 G

4 3

4 3

4 5 45

45 4 8

5 0

5 2

5252 54 57

Điểm kì dị cô lập

Nguycn lý cực đại

Hàm điều hòa dương

Định lý Lion ville

Bất đẳng thức Harnack và nguyên lý Harnack

Đặc trưng của hàưi điều hòa dương

PHÉP BIẾN ĐỔI KELVIN

Pliép nghịch dảo qua mặt cầu đơn vị

Phép biến đổi Kelvin Định nghĩa

Phép biến đổi Kelvin bảo toàn hàm điều hòa Hàm điều hòa tại vô cực

Bài toán Dirichlet ngoài

HÀM ĐIỀU HÒA CẦU

Hàm điều liòa cầu

Hàm điều hòa đới cầu

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu lần đầu tiên vào giữa thế kỷ

18 trong các công trình của các nhà toán học như Euler, D’ Alambert,Lagrange, Laplace, như là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hìnhcủa vật lý và cơ học Những bài toán có nội dung tương tự vẫn còn đượcnghiên cứu đến tận ngày nay

Trong chương trình học đại học cũng như cao học, ta đã được tìm hiểu lýthuyết cơ bản về các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai quantrọng và những ứng dụng của chúng, đặc biệt là phương trình Laplacc Tuynhiôn do hạn chế vồ thời gian nôn chúng ta mới chủ yếu nghiên cứu trongmiền bị chặn, tính đặt chỉnh của các bài toán (sự tồn tại, tính duy nhất và, sựphụ thuộc liên tục) mà chưa tìm hiểu sâu được trong miền không bị chặncũng như nhiều tính chất đặc trưng khác của hàm điền hòa (nghiệm củaphương trình Lapla.ce)

Dược sự hướng dẫn của TS- Trần Văn Bằng, tôi chọn đề tài: “Biến đổi Kelvỉn và hàm điều hòa cầu” để tìm hiểu về biến đổi Kelvin và vai trò của

nó đối với việc nghiên cứu hàm điều hòa trên miền không bị chặn và hàmđiều hòa cầu

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về hàm điều hòa trên miền không bị chặn, hàm điều hòa cầu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các nội dung sau:

+ Các tính chất cơ bản của hàm điềư hòa

+ Biến đổi Kelvin và các tính chất

+Hàm điều hòa cầu và các tính chất.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Biến đổi Kelvin và hàm điều hòa cầu

Phạm vi nghiên cứu: Các sách, các bài báo, tài liộu viết VC biến đổi Kelvin và hàm điều hòa cầu

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích đế tiếp cận và giải quyết vấn đề

Thu thập tài liệu, nghiên cứu, tổng hợp và trình bày một cách hệ thống những vấn đề mà luận văn đề cập tới

Nội dung của luận văn bao gồm ba chương:

Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị về hàm điều hòa trong miền

bị chặn và các tính chất cơ bản của chúng

Chương 2: Tìrri hiểu về phép biến đổi Kelvin và ứng dụng trong việc nghiên cứu bài toán Dirichlet ngoài đối với phương trình Laplace Chương3: Tìm hiểu vồ hàm điều hòa cầu và các tính chất của chúng

Hà Nội, tháng 10 năm 2013 Tác giả

Hà Thị Xuân

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày các khái niộm và tính chất cơ bản của hàm điềuhòa trong miền bị chặn Các kết quả trình bày ở đây được tham khảo từcác tài liệu [ỊT]-J4]

1.1 Hàm điều hòa

Cho n G N*,n > 1 và í] c M?ỉ là tập mở khác rỗng, E c Mn là tập conkhông nhất thiết mở Ta kí hiệu:

c (E) là không gian tất cả các hàm liên tục trcn E\

c k (Q) ,k G N* là không gian tất cả các hàm khả vi liên tục k lần trên Q; c°° (0) là không gian tất cả các hàm thuộc c k (0) với mọi k e N;

Dj, Dj tương ứng là đạo hàm ricng cấp một và cấp hai theo tọa độ thứ

j;

V := ( D ị , D2, • • • , D n ) là gradient và A := Dị 2 + + D n là toán tử Lapỉace;

D n u = (Vu).n là đạo hàm của u theo hướng vcctơ pháp tuyến ngoài đơn

mãn phương trình Laplace:

Au = 0, \/x GÇ}.

Hàm и được gọi là hàm điền hòa trên tập E с Mn (không nhất thiết mở)

nếu и có thổ thác triển thành một hàm điều hòa trôn một tập mở chứa E.

Ví dụ 1.1 a, Các hàm tọa độ u ( x ) = X ị là hàm điều hòa trên M” với mọi ỉ =

1, • • • ,77,.

b, Hàm и ( x ) = X i 2 + x 2 — 2x3 + ỉ x 2 là hàm điều hòa trôn R3

c, Hàrri и (X) = |^|2_n là, hàm điều hòa trên Rn khi n > 2.

Từ định nghĩa ta thấy hàm điều hòa (trên Q) có các tính chất sau: Tính chất 1 : Tổng hai hàm điều hòa trên Q là hàm điều hòa trên Ü và bội vô hướng của hàm điều hòa trên íì là hàm điều hòa trên íì Nói cách khác tập tất

cả các hàm điều hòa trên là một không gian vectơ Tính chất 2: Với y G К"

và и là hàm điều hòa trên ũ thì hàm tịnh tiến theo vectơ у, и (X — у) cũng là hàm điền hòa trên ÇI + y.

Tính chất 3'Nói r > Ü, nếu и là hàm điều hòa trên Q thì hàm co giãn tỉ lệ r :

( u r ) (X ) = и ( r x )

cũng là hàm điều hòa trên -Ü

Ánh xạ tuyến tính T : Mn —> ш п gọi là một biến đổi trực giao nếu \ T x \ =

|ж|

với mọi X G M n

Đại số tuyến tính cho ta thấy T là trực giao nếu và chỉ nếu các vectơ cột của

ma trận của T (theo cơ sở chính tắc trên Rn) là một hệ trực chuẩn

Nến T : Rn —)• Mn là một biến đổi trực giao thì hàm и о T gọi là phép quay của и.

Tính chất 4 : Phép quay của hàm điều hòa trên Q là hàm điều hòa trên

T_1(íì)

Thật vậy, giả sử и là hàm điền hòa trên Q Ta sẽ chứng minh rằng

А (и о T) = ( A u ) о т

trẽn Т"1 ( ũ ) Để chứng minh điều này, gọi [ t j k ] là ma trận của T đối với

cơ sở chính tắc trên Rn Khi đó:

có công thức Grccn:

trong đó w = (cưi, Lú n ) là trường vectơ trơn (có giá trị trên cn

và cổ các

thành phần khả vi lien tục) trong một lân cận của Q, dỉvw là divcrgcncc của

w xác định bỏi divw = Dyiúi + + D n üü n Dể có được công thức Green từ công thức Ostrogradski ta chỉ cần cho w = uVv — vVu và tính toán.

Áp dụng công thức Green với и là hàm điều hòa và V = 1 ta nhận được:

(1.1)

Tiếp đến ta đề cập tới một số kí hiệu liên quan tới hìnhcầu trên Kn Kí hiệu:

В (а, г) = {x G Rn : \x — a\ < r} là hình cầu mở tâm a bán kính r;

В (a, r) là hình cầu đóng tâm a bán kính r;

В (0,1) = В và bao đóng của nó là в; s là

biên của hình cầu в;

ơ ( S ) là chuẩn hóa của độ đo diện tích mặt trên s ( ơ ( S ) = 1); ơ là độ

đo xác suất Borcl duy nhất trên s bất biến đối với phóp quay, tức là: ơ (T ( E ) ) = ơ (E), với mọi tập Borel E с s và mọi phép biến đổi trực giao T

Định lý 1.1 [Tính chất giấ trị trung bình] Nếu и là hầm điều hò ã trên В ( a , r ) thì и (а) bằng trung bình của и trên дв (а, r) Cụ thể,

и (а) = / и (а + г О dơ (О JS

—í fdV = Ị r "“1 í f ( r ( ) d ơ ( ( ) d r

hằng số nV (B) sinh ra từ tính chuẩn hóa, của ơ

Định lý 1 2 [Tính chất giá trị trung bình liên quan đến V] Nếu u lầ hằm điều hòa trên B (a, r) thì u (a) bằng trung bình củã u trên B (a, r) Cụ thể:

1 [

u (a) = - — / udV.

1 V (B (a, r)) J B ( U , T )

10

Chứng minh Ta có thổ giả thiết в ( a , r ) = B Sử dụng công thức tọa độ cực

ỏ trên với / bằng u ỵB, sau đó sử dụng Định lỷỊl.lỊ □

Định lý 1.3 [Nguycn lý cực đại] Cho Q là tập lien thông, и lầ hầm điều hò а

vầ có giấ trị thực trên Nếu и đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhét trên Í 2 thì и

là hằng số.

Chứng minh Giả sử и đạt giá trị lớn nhất tại fl G ÍI Chọn r > Ü sao cho В

liên tục của и suy ra trung bình của и trên в (a, r) nhỏ hơn и (а) (mâu thuẫn).

Do đó, и là hằng số trcn в (а, r) Chứng tỏ rằng tập các điểm mà ở đó и đạt giá trị lớn nhất là tập mở trên Ç} Vì tập này cũng là tập đóng trên Çl (do и

tính lien thông) nôn hàm и là hằng số trcn íì.

Hệ quả 1.1 Giả sử ũ bị chặn và и là hầm đicu hò ã trôn Q, đồng thời и lầ, hầm liên tục ỉấy giấ trị thực trên Q Khi đó giắ trị lớn nhất vầ giấ trị nhỏ nhất cỉm и trên Q sẽ đạt được trên ỠQ.

Hộ quả trcn cho ta thấy: Trcn một miền bị chặn, hàm điều hòa hoàn toànđược xác định bởi các giá trị trên biên của nó Chính xác hơn, với í ì bị chặnnếu и và V liên tục trên Í2, điều hòa trên Q và nếu и = V trên ỡíl thì I I = V

trcn í ì Điều này có thổ không đúng trcn một miền không bị chặn Ví dụ, hai

biên của nửa không gian {x 6 Rn : x n > 0}

Hệ quả tiếp theo của nguyên lý cực đại có thể được áp dụng ngay cả khi íì không bị chặn và, khi и không liên tục trên Q.

1 1

Hệ quả 1.2 Cho и lầ hàm điều hò a trôn và có giá trị thực Giả sử:

lim sup и (ữfc) < M

k — ĩ o C '

với mọi (ữfc) С П iiội ủự ủới một điểm trẽn dí~l hoặc tới 00 Khi đó ĩi < M trên Q.

Chú ý: Trong hệ quả trên M có thể bằng oo và ( a k ) hội tụ tới (X) nghĩa là

\ d k \ 00 Hệ quả vẫn đúng nếu thay “limsup” bằng “liminf” và đổi chiều cácbất đẳng thức

Chứng minh Hệ quả

1.2

Đặt А Г = sup { и ( x ) : X G rỉ}, chọn dãy ( Ь к ) с í ì sao cho и ( b k )

—»• M ’ Nếu ( b k ) có một dãy con hội tụ tới 6 G íĩ thì и (b ) = M ’ suy ra и

là hằng số trên thành phần liên thông của Ç I chứa b (theo nguyên lỷ cực

đại) Do đó có một dãy ( a k ) hội tụ tới một điếm trên ỡ f ỉ hoặc tới (X) mà

trên đó и = M f

Nếu không có dãy con nào của ( b k ) hội tụ tới một điểm trên Q thì ( b k ) cómột dãy con (ữjfc) hội tụ về một điểm trên Ỡ Q hoặc (X) Vậy ta vẫn có M ' <

Định lý L3, Hệ quả 1Л_ và Hệ quả L2 chỉ phát biểu đối vớihàm thực.

Hệ quả sail đây sẽ phát biểu đối với hàm phức

Hệ quả 1.3 Cho íì lầ miền liên thông, и là hầm điều hò a trên Q Nếu |m| đạt giấ trị lớn nhất trên Q thì и lầ hằng số.

Chứng minh Giả sử max \u (ж)| = M = \u (а) I với a G Í2

□

hình tương tự của các Hệ quả 1.1 1.2

L ư u ý : Không có nguyên lý cực tiểu đối với \ u \ (chẳng hạn xét

các mô

u ( x ) = X i trên B ) Hệ quả 1.3 là mô hình phức của Định lý 1.3

và vẫn đúng Mô hình địa phươngcủa nguyên lý cực trị sẽ được chứng minh sau khi chứng minh mọi hàm điềuhòa đều giải tích thực

Ta có thc thấy rằng hàm điều hòa giá trị thực có thể có điểm kì dị cô lập(chẳng hạn hàm |x|2_n với n > 2 có kì dị cô lập tại 0) Tuy nhiên chúng không có

không điểm cô lập

Hệ quả 1.4 Mọi không điểm của, hầm điều hòa giấ trị thực đều không phải lầ

điểm cô lập.

Chứng minh Với u là hàm điều hòa và có giá trị thực trên íĩ, ú, G íì và u (a) =

0 Giả sử B (a, r) c Q Nếu u = 0 trên B (a, r) thì ta có điều phải chứng minh Nếu u không đồng nhất bằng 0 trên B (a, r) thì theo nguyên lý cực đại nó lấy ít nhất một giá trị âm và giá trị dương trên dB (a, r) Do đó tập liên thông u (dB (a, r)) c M chứa 0 Vậy u có không điểm trên ÕB (a, r) với mọi r > 0 Chứng tỏ

Giả thiốt giá trị thực ià cần thiết trong Hộ quả ÌẢ vì khi n = 2 mọi hàm giải tích khác hằng số đều có đúng một không điểm Khi n > 2, hàm điều hòa

Bẫy giờ ta chứng minh rằng với mọi X e B,u (x) là trung bình có trọng của u trên s Chính xác hơn, tồn tại hàm p trên B X s sao cho:

P ( x , C ) u ( C ) d ơ ( C )

với mọi X G B và mọi hàm điều hòa u trên B.

Dể tìm ra p ta bắt đầu với trường hợp đặc biệt n = 2 Giả sử u là hàm

điều hòa giá trị thực trên hình tròn đơn vị đóng trên R2 Khi

đó u = Rc f với một hàm giải tích / trôn một lân cận của hình tròn

đóng Vì u = (/ + /) /2 nên từ khai triến Taylor của / suy ra u có dạng:

Vậy đặt p ( x , ( ) — ^1 — |^|2^ / \ x — C|2, ta, có biểu diễn với n — 2:

Hình 1.1: Hình minh họa của 1)0 đề đối xứng.

Chứng minh Bình phương hai vế ta thấy đẳng thức đó đúng □ Để tìm p khi n > 2, ta thực hiện như trong chứng minh định lý giá trị trung bình

Giả sử и là hàm điều hòa trcn B Khi đó chứng tỏ rằng и (0) là trung bình của и trên s, ta đã áp dụng công thức Green với V (у) = \y\ 2 ~ n - là hàm điều hòa trcn B\ {0}, có điểm kì dị tại 0 và không đổi trên s Bây giờ ta cố định một điểm X Ф 0,a; G в Để chứng minh и (ir) là trung bình với trọngcủa и trên s , một cách tự nhiên ta xct V (у) = \у — x\ 2 ~ n Hàm này là hàm điều hòa trcn B\ {x}, có điểm kì dị tại X, nhưng lại không phải là, hàm

Chú ý rằng vế phải của đẳng thức trên là một hàm điều hòa theo biến y trên B.

Do vậy hiệu của vế trái và vế phải có tất cả các tính chất mà ta đang tìm

và chọn £ đủ nhỏ sao cho B (x,e) c B Áp dụng công thức Green với Q , =

B \ B { x , e ) giống phần chứng minh ở tính chất giá trị trung bình ta

Hàm p được định nghĩa ỏ trôn được gọi là nhân Poisson đối với hình cầu Nó

đóng vai trò quan trọng trong mục sau

Ta đi đến một bài toán quan trọng trong lý tlmyết hàm điều hòa: Cho hàm

/ liên tục trên s , có tồn tại một hàm u liên tục trên B không, với u là hàm điều hòa trôn B sao cho u = f trôn 5? Nếu tồn tại, làm thế nào để tìm u l Dó

là bài toán Dirichlet với hình cầu (nhớ lại rằng theo nguyên lý cực đại, nếunghiệm tồn tại thì nó là cluy nhất.)

Theo mục trên, nếu / là hạn chế trên s của một hàm điều hòa u trên B thì

u ( x ) = í P(x,0/(C)<MC)

J s

với mọi X G B Điều đó gợi ý cho ta cách giải bài toán Dirichlet trên B như sa.il Bắt đầu với một hàm liên tục / trôn s, ta sử dụng công thức trên để xác định thác triển của / vào t.rên B và hy vọng rằng thác triển đó có các tính chất cần tìm Cụ thể xét p (rr, C) xác định bỏi công thức (0-

Với bất kỳ / E c (£), ta định nghĩa tích phân Poisson của /, kí hiệu p [/], là một hàm trên B được cho bởi công thức :

P [ f ] { x ) = I p f ( Q d ơ { ( ) (1.5)

J s Định lý 1.4 [Nghiệm cỉm bài toấn Dirichỉet trong hình cầu] Giả sử f liên tục trên s Hầm u xấc định trên B bởi:

í p w W ’ n ° u x e B

u (x) = <

/ (x), nếu X G s.

Khi đó u ỉiên tục trên B và u lầ hầm điều hòâ trên B.

Đe chứng minh định lý ta phải cần hai mệnh đề sau:

Mệnh đề 1.1 Cho ( G s Khi đó p (•, £) là hầm điều hòã trcn Rn \ {C}.

Dể chứng minh mệnh đề này, ta viết p (z,C) = [1 - kl2) \x - Cl ", sau đó tính Laplace của p (•, C) sử dụng công thức:

A (?/,?;) = uAv + 2Ụu • + vAu,

nếu u ỉ V là hai hàm hai lần khả vi liên tục suy ra ta có điều phải chứngminh

Mệnh đề 1.2 Nhẫn Poisson có cấc tính chất sau:

(a) p (x, £) > 0 với mọi X G B và mọi ( G iS;

(b) Ss p (x , £) dơ (£) = 1 vđi mọi X G

Chứng minh Định lý

Laplace của u có thể được tính bằng cách đạo hàm dưới dấu tích

phân

trong công thức (1.5); từ Mệnh đề 1.1 suy ra u là hàm điền hòa trên B

Ta chứng minh u liên tục trên B , cố định T Ị G s và e > 0 Chọn ô > 0

Do phcp tịnh tiến và co giãn biến của hàm điều hòa bảo toàn tính điồu

hòa nên ta có thể khẳng định điều sau đây với mọi hình cầu B (a, r): Mọi hàm / liên tục trên d B (a,r), tồn tại duy nhất một hàm u liên tục trên B (a, r)

và là hàm điều hòa trcn B (a, r ) sao cho u = f trcn d B ( a , r ) Hay u là nghiệm của bài toán Dirichlet trên B ( a , r ) với dữ kiện biên /.

Bây giờ ta chứng minh mọi hàm điều hòa đều khả vi vô hạn Dể thuận

tiện ta sử dụng kí hiệu sau: Đa chỉ số a là bộ n số nguyên không âm (ab 0!n)

D a = Dị ữl D n an (với Dj° = /) Với mỗi (6 5, hàm p (•, Q là khả vi vô hạn trcn

B Kí hiộu đạo hàm ricng cấp a của nó là D a p ( ■ , ( ) (với ( cố định).

Nến и là hàm điều hòa trên в và liên tục trên в thì:

với mọi X G В và mọi a

Điều này đủng trên mọi hình cầu sau một phép tịnh tiến và một phép cogiãn Do đó ta kết luận mọi hàm điều hòa đều khả vi vô hạn

Dịnh lý sau đây cho ta thấy dáng điệu của một dãy các hàm giải tích đều.Định lý 1 6 G i ả s ử ( u m ) là một dẫy hằm điều hòa trên Q sao cho u m hội

tụ đều tới một hầm и trên mỗi tập con compact của íì Khi đó и là hàm điều

hò a trẽn íì Hơn nữa, với mọi đa chỉ số a, D n u m hội tụ đều tới D a u trên mỗi tập con compact của Q.

Chứng minh Với в (а, г) с Г2, ta chỉ cần chứng minh rằng и là hàm điều

hòa, trên в (а, г) và với mọi а thì D n u m —> D n u đều trên mỗi tập con compact của в (а, r).

Không mất tính tổng quát, giả sử в (a,r) = B Khi đó :

u m { x ) = / Р ( х , С ) и т ( С ) d ơ ( С )

J s với mọi X € В và mọi m Lấy giới hạn liai vé ta được:

u { x ) = [ P ( x , C ) u ( 0 d ơ ( C )

J s

với mọi X G В Suy ra и là hàm điều hòa trcn B

Clio a là một đa chỉ số và cho X G в Ta có:

D°u m (X) = /D a P (x, С) u m (C) da (0

-»• [ D a p (x, О и (() dơ (C) = D a u ( x )

•ỉ s Nếu К С В , К-compact, thì D n p bị chặn đều trên к X s nên D n u m —>> D a u

Ta đã thấy ở phần trước hàm điều hòa là khả vi vô hạn ơ phần này, ta sẽthiết lập tính chất mạnh hơn: Hàm điều hòa là hàm giải tích thực Nói chung,một hàm là giải tích thực nếu nó có thể khai triển địa phương thành một

chuỗi lũy thừa của các tọa độ xi,x 2 ,x n của IRn

Dể biết chính xác hơn, ta cần thảo luận thế nào là chuỗi lũy thừa phức

dạng ^2 c a với Ct là đa chỉ số vấn đề là a không điĩỢc sắp xếp theo trật tự khi n > 1 Tuy nhiên, giả sử c a hội tụ tuyệt đối, tức là :

sup^ \c a \ < oo,

a e F trong đó sup được lấy trên tất cả các tập con hữu hạn F các đa chỉ số Tất cả thứ tự của đa chỉ số a (1), a (2), đồu cho cùng một giá trị Y^jL 1 c n (j) vì

thế ta có thể viết c o cho giá trị này Ta sẽ chỉ quan tâm tới chuỗi lũy thừa hội

H — 0L\ -\- 01-2 + + 0L n

Một hàm / là hàm giải tích thực trên nếu với mọi a G íì tồn tại các số phức c a sao cho:

f (x) = Ỵ2c n (x - a) a

với mọi X trong một lân cận của a và chuỗi tương ứng hội tụ tuyệt đối trong lân cận

đó Một số tính chất cơ bản của chuỗi sẽ được đưa ra ở mệnh đề tiếp theo

Đe đơn giản ta chỉ xét trường hợp а = 0 và đưa ra định nghĩa:

R ( y ) = (iễ K" : |zj| < |%| , j = 1 , 2 , n }

với y 6 Mn; R ( y ) là hình hộp chữ nhật mở tâm о với “các đỉnh ÿ \ Để tránh

trường hợp suy biến ta giả sử mọi thành phần của y đều khác 0

trên tập này theo nghĩa thông thường.

2 Định lý cho ta thấy đạo hàm của một hàm giải tích thực là hàm giải

tích thực và nếu ^2 a a xữ = Ьа х<л với mọi X trong một lân cận của

với mọi đa chỉ số ß

Bây giờ, giả sử \c n y a \ < M với mọi a Nếu к с R(y), К-compact thì К с R ( t y ) , mọi t € (0,1) Vậy mọi X E к và mọi đa chỉ số a,

|c„z a | < Í H \c n y a \ < Mt ịaị

Mà = (1 — t ) ~ u < 00 ncn Ĩ2 c a xa hội tụ đều và tuyột đối trôn K.

Lập luận tương tự với D 8 ( c n x a ) ta có chứng minh của (a).

Đặt / (X) = ^2 c a x a với X G R (?/), từ sự hội tụ đều của chuỗi ^2 D^c a x a với mọi ß trôn các tập con compact của R (y) cho ta thấy / G c°° (R (y)) và / (x)

= D ß ( c n x a ) trong R (y ) với mọi ß Các hệ số c n trong công thức Taylor

Lưu ý rằng: Định lý 1.7 không quả quyết rằng hình chữ nhật là miền

hội tụ của chuỗi lũy thừa

Ví dụ, miền hội tụ của chuỗi Y^° =í ( x i X 2 ) J là { ( x u x 2 ) 6 R2 : \ x ị X 2 \

< l} Định lý tiếp theo cho ta thấy hàm giải tích thực có một số tính chất nhất định không giống như các hàm trong c°°.

Định lý 1.8 Giả sử Çl là một miến, / là hàm giải tích thực trcn íì Nếu f

= 0 trên một tập COĨ1 mở khấc rỗng củ ã Q thì f — 0 trên Q.

Chứng minh Đặt Lủ là phần trong của tập {ì 6 í] : / (x) = 0} Suy ra LÜ

là tập ĨĨ1Ở và ÜÜ c ũ Sự triệt tiêu của tất cả đạo hàm của / trên Lú cho

ta thấy L ú cũng là tập đóng trên Q vì nếu a G íì là điểm giới hạn của L ú

thì tất cả các đạo hàm riổng của / đều triệt ticu tại a do tính liên tục Vì

thế chuỗi lũy thừa của / tại a bằng Ü, suy ra a G UJ Mà theo giả thiết

Ü J khác rỗng nên U J = Q, suy ra / = 0 trên íì.

Định lý 1.9 Nếu u lầ hầm điều Ỉ 1 Òã trên íì thì u là hầm giải tích thực trên Q.

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh rằng, nếu u là hàm điền hòa trên

B thì u có thé khai triến thành chuỗi lũy thừa hội tụ về u trong một

lâncận của 0

Y tưỏng chính ở đây là giống như trong hàm biến phức: Chúng ta sử

dụng biểu diễn tích phân Poisson của u và khai triển hạt nhân

Poisson thành chuỗi lũy thừa Thật không may là chi tiết khôngđơn giản như trường hợp công thức tích phân Cauchy

Giả sử |x| < y/2 — 1 và ( G s Khi đó 0 < \x — £|2 < 2 và, do đó:

/2 00

P ( x , 0 = (1 - W)2(|Z - d2) = (1 - W)2 ° m (i^i2 “2 x ' 0 ’

ĩ ri = 0

trong đó, Ỵ ^ m = ị ) c m ( t — l)m là chuỗi Taylor của t ~ n ì ' 2 trcn khoảng (0,2) khai triển tại t

= 1 Sau khi khai triển số hạng ộx|2 — 2 x • và sắp xếp lại thì hạt nhânPoisson có dạng:

với mọi X G (\/2 — ì ) B Đây là khai triển của u gần Ü.□

Như đã đề cập trước đó, tính giải tích thực của hàm điều hòa cho phóp tachứng minh nguyên lý cực đại địa phương

Định lý 1.10 [Nguyên lý cực đại địã phương] Giả sử Q là một miền, u là hàm điều hòa có giá trị thực trên và u có một cực đại địa phương trên íì Khi đó u là hằng số trên Q.

Chứng minh Nếu II đạt cực đại tại a G Í2, thì tồn tại một hình cầu B ( a , r )

c íì sao cho u < u (a) trong B (a,r) suy ra u là hằng số trong B (a, r) Vì u

là hàm giải tích thực trên íì, nên theo Định lý 1.8 ta có

u = u ( a ) □

Sau đây ta chỉ ra rằng, hàm điều hòa có khai triển địa phương chuỗi lũythừa thì ta có thổ bicu diỗn chúng thành tổng của các đa thức thuần nhấtđiều hòa Tính chất này có nhiều ứng dụng về sau Trước hết ta bắt đầu với

đa thức thuần nhất

uq a dơ x a

Da thức p ( x ) — ^2 c a x a được gọi là thuần nhất bậc m ơ đó m là một

|tt | = 7M

Số nguyên không âm Tương đương, đa thức p là đa thức thuần nhất bậc

777, nếu p ( t x ) = t m p ( x ) với mọi t e R vầ mọi X G R” Điều này cho thấy

một đa thức thuần nhất sẽ được xác định bởi hạn chế của nó trôn S: Nếu p

và q là đa thức bậc m và p = q trên s thì p = q trên Mn (Điều này khôngđủng với đa thức bất kì chăng hạn 1 — \ x |2 = 0 trên S ) Chú ý rằng nếu p là một đa thức thuần nhất bậc m thì với mọi ánh xạ tuyến tính T I R 11 —y R n , p

Chứng minh Cố định ( G 5 Vì hai chuỗi trên hội tụ và bằng nhau tại mọi

điểm trong rB nên ta có:

với mọi t E (—r, r) Do tính duy nhất các hệ số của chuỗi líĩy thừa một biến

ta có p m (C) = q m (() với mọi m Điều này đúng với mọi e 6 s nên p m = q m

trôn s với mọi m Theo nhận xốt trcn, p m = q m trôn Rn với

rriọi m.

Giả sử u là hàm điều hòa gần 0 Ta đặt:

oo

m = 0

□

theo Dịnh lý 1.9 ta có:

oo

u (X) = p m (x)

771 = 0

v ớ i mọi X gần 0 Vì mỗi P m là đa thức thuần nhất bậc 777 nên chuỗi trên được

gọi là khai triển thuần nhất của u tại 0 Điều đáng chú ý là tính điều hòa của

u suy ra mọi p m đều là hàm điều hòa Thật vậy, ta có Au = Ap m = 0 gần 0 Do

Ap m là đa thức thuần nhất bậc m — 2 với

m > 2 (và là bậc 0 nếu m < 2 ) Nên theo Mệnh đề 1.3 Ap m = 0 với mọi m.

Do đó ta có biểu diễn của u gần 0 thành tổng của vô hạn đa thức điều hòathuần nhất.Tịnh tiến kết quả này từ 0 tới điẻm bất kì trong miền xác định của

w, ta được định lý sau

Định lý 1.11 Giả sử u là hàm điều hò ã trôn Q vầ a G Q Khi đó tồn tại cấc

đa thức điều hòa thuần nhất p m bậc m sao cho:

oo

m = 0

với mọi X gần a, chuỗi này hội tụ đều và tuyệt đối gần a.

Khai triển thuần nhất được sử dụng tốt hơn chuỗi lũy thừa nói chung Trong

thực tế, ta sẽ thấy rằng nếu u là điều hòa trên íỉ và B (a, r) c íl thì khai triển t.huần nhất (1.7) đúng với mọi X E B (a, r) Điều này gợi nhớ

lại kết quả về chuỗi lũy thừa của hàm giải tích một biến phức Thật vậy, nếu

u giải tích trên ũ c M2 = c, thì do tính chất duy nhất của

khai triển thuần nhất, (1.7) chính là chuỗi lũy thừa giải tích của u trong

B ( a , r )

1.2.1 Định lý Liouville

Định lý 1.12 [Định lý Liouville] Hàm diều hò ã hi chặn trên R n là hầm hằng.

Chứng minh Giả sử и là hàm điều hòa trcn Rn, bị chặn bởi M Cho X E

Mn và r > Ü Từ tính chất giá trị trung binh (Định lý

Ta sử dụng Định lý Liouville để chứng minh một kết quả duy nhất về

hàm điều hòa bị chặn trên nửa không gian mở Cho nửa không gian trcn H

= H n mở trôn Rn được định nghĩa bỏi:

H = { x G Rn : x n > 0} Trong phần này, ta đồng nhất Rn với Rn_1 X R bằng cách viết zeR", z = ( x , y ) với X G Rn_1 và y G M Ta cũng đồng nhất d H với Mn_1

Hệ quả 1.5 Giả sử и là hàm liên tục, bị chặn trên H và lằ, liàm điều hòâ trên H Nếu и = 0 trên ÕH thì и = 0 trên H

Chứng minh Với mọi ï G R"'1 và у < 0 ta đặt и (x, y) = —u (x, — ỳ ) Khi

đó, ta thác triển и thành hàm liên tục bị chặn trên toàn Rn

1.2

I?/ (x) — и

V ( V T )

hòa trên M7i Theo Định lý Liouville 1.12 suy ra u là hàm hằng trên R

□

Giả thiết bị chặn trong hộ quả trcn là cần thiết; ví dụ, hàm u ( x , y) = y là liên tục trên điều hòa trên H và bằng 0 trên Rn_1

1.2.2 Điểm kì dị cô lập

Ta biết rằng, điểm kì dị cô lập của một hàm giải tích bị chặn là bỏ được

Sau đây ta chỉ ra điều đó cũng đúng đối với hàm điều hòa bị chặn Cho a G

íỉ là điếm kì dị cô lập của hàm u trên íí\ {a} Khi u là điều hòa trẽn í ì \ {a},điểm kì dị a được gọi là bỏ được nếu u có một thác triển điều hòa lên Q.

Định lý 1.13 Điểm kì dị bị cô lập của một hầm điều hò a hị chặn là bỏ được.

Chứng minh Ta chỉ cần chứng rninli rằng nếu u là hàm điều hòa, bị chặn trên B\ {0} thì U có một thác triển điều hòa lên B Không mất tính tổng quát,

ta có thể giả sử rằng u có giá trị thực, ứng cử viên cho thác triển điều hòa của u lên B là tích phân Poisson p [ u \ s ]

Đầu tiên, giả sử n > 2 Với ổ > 0, ta định nghĩa hàm điều hòa v e trên B \ {0}

bởi :

v £ ( X ) = u (x) — p [ u |s] ( x ) + £ ộx|2-,í — 1^

v £ (X ) —» 0 khi |x| —»• 1 Do u bị chặn nên v £ ( x ) +oo

thay “lim sup” bằng “lim inf”:

Theo Định lý

khi X —>• 0 Do đó theo Hộ quả

V e ( x ) > 0 trong B \ {()} Cho £ — > 0, ta kết luận u — p [ u Is]

> 0 trong B \ {0} Thay u bởi — u ì ta có I I — p [ l í |s] < 0

1.4

1.2

suy ra u = p [ u |s] trong B \ {0} Do đó, p [ l i |s] là thác triển điều hòa của u lên B

Khi n = 2 chứng minh hoàn toàn tương tự, ngoại trừ viộc thay ộx|2_n

— 1^ bỏi logl/|x|

1.2.3 Nguyên lý cực đại

Hộ quả h2 là nguycn lý cực đại dạng tổng quát nhất Nó nói rằng,

nếu u là hàm điều hòa có giá trị thực trên íỉ và l i < M trên biên của Í2

thì u < M trên Q Vấn đề ở chỗ ta cần coi oo là một điểm trên biên khi

Q không bị chặn ( ví dụ hàm u ( x , y ) = y trcn nửa không gian trên H 2

cho thấy điều đó) Nói chung ta có thể bỏ qua điểm oo khi u bị chặn.

Định lý sau đây cho ta thấy điều này là có thể trong trường hợp haichiều

Định lý 1.14 Giả sử Q c M 2 và 0 7^ R 2 , nếu u là hàm điều iiòa có gìấ trị thực và hị chặn trôn íì thỏa mãn

lim sup u ( o , ỵ ) < M (1-8)

k —^ oc

với mọi dãy ( a k ) trên íì hội tụ tới một điểm trên díì thì u < M trên íì.

Chứng minh Vì íì ^ M2 nên dCt khác rỗng Cho ổ > 0, chọn một dãy trên íì hội tụ tới một điểm trên ỠQ Theo giả thiết , u < M + £ trên phần cuối của dãy đó Suy ra tồn tại hình cầu đóng B (a, r) c Í2 sao cho trcn đó u < M + £.

Với t > 0: L O ị = u — M — £ — t v là hàm điều hòa trên ry Từ (1.8) suy

ra lim supcO ị ( a k ) < 0, với mọi dãy ( d k ) c £ 1 ' hội tụ tới một điểm trên

k ^ oc

di}' Trong khi đó, do tính bị chặn của u trên íl' suy ra uj ị ( ữ k ) — ỳ ’ — o o với mọi dãy (a,k) hội tụ tới oo trên ry Theo Hệ quả 1.2 suy ra (dị < 0 trẽn Q'.

Cho t —>• 0 suy ra ĨI < M + £ trên íì' Vì u < M + e trên B (a, r) nên u < M + £ trcn toàn íì Do £ nhỏ từy ý nôn u < M trcn Í2. □

Dịnh lý 1.14 không còn đúng trong không gian có số chiều lớn hơn 2 Ví

dụ, cho íì = {x e Rn : |x| > 1} và đặt u (x) = 1 — |x|2_7ỉ Nếu n > 2, thì u là hàm điều hòa bị chặn trên íỉ, u = 0 trên nhưng u không đồng nhất bằng 0

Ta có V > 0 và là hàm điều hòa trên V ( z ) — > oo khi z ootrên

H n Sau đó, chứng minh tương tự Định lý 1.14 □

1.3.1 Định lý Liouville

Ớ phần hàm điều hòa bị chặn ta đã chứng minh một hàm điều hòa bị

chặn trcn W l là hàm hằng Bây giờ ta sẽ mở rộng kết quả đó

Định lý 1.16 [Dinh lý Liouviỉỉe đối với hàm điều hòa dương] Mọi hầm điều hòa dương trên R n đều lằ hầm hằng.

Chứng minh Giả sử u là hàm điều hòa dương trên Mn cố định X E Mn, lấy

r > \x\ và gọi V r là hiệu đối xứng của hình cần B (x, r) và B (0, r).

Theo tính chất giá trị trung bình (Định lý 1.2) ta có:

Hệ quả 1.6 Hàm điều hòã dương trẽn IR 2 \ {0} là hàm hằng.

Chứng minh Nếu u > 0 và u là điều hòa trôn ]R2\ {()} thì hàm z i->

u ( e z ) là dương và điều hòa trên R2(= C) Do đó theo Định lý

V ( B ( Q , r ) )

( r + |x|)n — ( r — |x|)

□

Hình 1.2: Hiệu đối xứng V r của hình cầu B ( x , r ) và B (0,r).

Trong không gian có số chiồu lớn hơn2thì Hộ quả L6nói chungkhôngđúng; ví dụ, hàm |x|2_n > 0 và là hàmđiều hòa dương trên M?7 \{()} khi

n > 2 Ta sẽ phân loại hàm điều hòa dương trên W l \ {0} với n > 2 saukhi chứng minh Định lý Bôcher

1.3.2 Bất đẳng thức Harnack và nguyên lý Harnack

Hàm điều hòa dương không thể dao động quá lớn trên một tập

com-pact K c Í2 nếu Q là liên thông; điều này được chỉ ra ở bất đẳng thức Harnack Trước tiên ta xét trường hợp đặc biệt, ở đó í ì là hình cầu đơn vị

Chứng minh Nếu u là hàm điều hòa dương trên bao đóng của hình cầu đơn vị B thì

với mọi X G B Nếu u là hàm điều hòa dương trên B thì áp dụng kết quả trên đối với hàm co giãn u r rồi lấy giới hạn khi r — > 1 ta vẫn có khẳng định đó.Vậy ta có bất đẳng thức thứ hai Bất đẳng' thức thứ nhất được chứng minh

Với 0 < t < 1, đặt a ( t ) = (1 — t ) / (1 + t) n_1 và

( t ) = (1 + t ) /(1 — t ) n ~ l Sau một phép tịnh tiến và co giãn, bất đẳng thức

Harnack với hình cầu cho ta thấy nếu u là hàm điều hòa dương

trên B (a, R ) và \ x — a \ < r < R thì

a ( r/R) u (a) < u ( X) < Ẹ> (r/R) u (a) (1-9)

Hãrnack thứ hãi)]

Giả sử rằng Ũ là liên thông và K là tập con compacẨ của Vt Khỉ

đó, tồn tại một hằng số c G (l,oo) sao cho:

c u ( X )

3 6

1 I I2

1 — \x\

với mọi X, y G K và m,ọi hàm, u điều hòa dương trên

3 7